Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
5.6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ 5.2 И 5.3 101
систему, которую (ввиду изоморфизма Z → NZ) можно рассматри-
вать как Z-решетчатую систему (Ω
ли ξ, ξ
мы полагаем t
(β)
Ω
= {(ξ0,ξ1, ..., ξ
0
(β)
0
,тоt
ным Ω
ипустьF
∈ Ω
∗
ξξ
∗
ξξ
(β)
Ω
(β):Ω(β)
∗
, ξ =(ξ0,ξ1, ..., ξ
0
= t
N−1
=0.Пустьt
= {ξ ∈ (Ω
.Приβ =0, 1, ..., N − 1 положим
ξ
ξ
N−1
0
∗
) ∈Ω
0
(β)
(β)
)Z: t
0
→ Ω — отображение вложения. Тогда
(β)Ω(β)
F
при некотором [j].ТаккакN — делитель J,система(Ω
∗
,t∗).ЗдесьΩ
0
), ξ=(ξ
N−1
∗
0
=Ω
,ξ
, ..., ξ
0
1
[0,N)
иес-
N−1
: ξβ∈ [i]}.Еслиξ, ξпринадлежат различ-
(β)
— ограничение t∗на Ω
(β)
=1при всех x ∈ Z}
ξ
xξx+1
[i]
= τ−βΩ
=Ω
[j]
(β)
×Ω
,t
0
(β)
.Положим
) является
0
(β)
0
перемешивающей в силу определения классов эквивалентности [j]. Теперь
утверждение (a) теоремы 5.3 следует из (5.8). Чтобы доказать (b), заметим,
что если Φ ∈B
принадлежит B
,t), то соответствующее взаимодействие Φ∗на (Ω∗,t∗)
1(Ω0
∗
(Ω
,t∗). Поэтому достаточно применить теорему 5.2(b) и
1
0
доказанное выше утверждение, что чистое гиббсовское состояние сосредоточено на некотором Ω
[j]
. Утверждение (c) доказывается непосредственно.
5.6. Следствия теорем 5.2 и 5.3
Пусть (Z, Ω0, (ΩΛ)
ствие из B
.Тогда
1
(a) если система (Z, Ω
единственное равновесное состояние
трансляционно-инвариантным гиббсовским состоянием; его носителем является все пространство Ω;
(b) если система (Z, Ω
ет единственное гиббсовское состояние;
(с) в условиях теоремы 5.2 (при A ∈C)
Φ
P
=maxαP
) — Z-решетчатая система и Φ — взаимодей-
Λ∈F
, (ΩΛ)
0
, (ΩΛ)
0
(α)∗
F
Φ
,P(A)=maxαP (A ◦F
) транзитивна, то существует
Λ∈F
1
, которое совпадает с единственным
) — перемешивающая, то существу-
Λ∈F
(α)
);
),
(d) в условиях теоремы 5.3 при всех β
Φ
P
= N−1P
1
Единственность равновесного состояния можно доказать при несколько меньших ограни-
чениях на функцию A,чемусловиеA = A
(β)∗Φ∗
F
,P(A)=N−1P ((A+ A ◦τ + ...+ A ◦τ
, Φ ∈B1. См. § 7.14.
Φ
N−1
) ◦F
(β)
).
102 ГЛАВА 5
В транзитивном случае инвариантное гиббсовское состояние обязано
иметь вид
где σ — гиббсовское состояние, имеющее носитель в Ω
единственное. В силу замечания 1.14 supp σ =Ω
N−1
1
β=0
τ−βσ,
[i]
и, следовательно,
[i]
. Таким образом, су-
N
ществует самое большее одно инвариантное гиббсовское состояние, и его
носитель совпадает с Ω. Так как всегда существует по крайней мере одно
равновесное состояние, из теоремы 4.2 вытекает утверждение (a). Утверждение (b) доказывается непосредственно, а утверждение (c) вытекает из
вариационного принципа для P (см. теорему 3.12) и предложения 4.12(a).
Наконец, утверждение (d) следует из (c) и предложения 4.14(b).
5.7. Теорема
Пусть Φ, Φ∈B1для транзитивной Z-решетчатой системы и ρ, ρ—
соответствующие равновесные состояния. Тогда ρ = ρ
, если и только если
существуют такие c ∈ R и C ∈C,что
A
− AΦ= c + C ◦τ − C. (5.9)
Φ
В этой формуле постоянная c однозначно определяется разностью Φ
−Φ,
а функция C — однозначно с точностью до аддитивной постоянной.
Если выполняется (5.9), то P (A
(теорема 3.4) и, следовательно, ρ = ρ
Обратно, пусть ρ = ρ
. Вследствие выпуклости P мера ρ является равновесным состоянием для (1 −t)Φ +tΦ
мы оказываемся в ситуации параграфа 4.6: мера ρ — гиббсовское состояние
для (1 −t)Φ + tΦ
при t ∈ [0, 1] и, следовательно, при всех действитель-
+B)=P (AΦ+B)+c для всех B ∈C
Φ
(теорема 3.7).
при всех t ∈ [0, 1]. Таким образом,
ных t (последнее доказывается с помощью аналитического продолжения).
Так как ρ — трансляционно-инвариантное гиббсовское состояние и наша
Z-решетчатая система транзитивна, следствие 5.6(a) показывает, что мера ρ — равновесное состояние для (1 −t)Φ + tΦ
Пусть Ψ=Φ
− Φ и c = ρ(AΨ).Тогда
max
[s(σ)+σ(AΦ)+tσ(AΨ)] = s(ρ)+ρ(A
σ∈I
при всех t ∈ R.Отсюдаследует,чтоσ(A
A
− AΦ= c + B, (5.10)
Φ
при всех действительных t.
)=PΦ+ ct
Φ+tΨ
)=c для всех σ ∈ I,или
Ψ
5.7. ТЕОРЕМА 103
где σ(B)=0при всех σ ∈ I . В частности, если точка ξ ∈ Ω имеет период n,
то
n−1
B(τjξ)=0. (5.11)
j=0
Так как наша Z-решетчатая система транзитивна, существует точка η ∈ Ω
с плотной орбитой Γ={τ
ством
C(τ
Пусть η
, η∈ Γ и η
k
η : k ∈ Z}. Определим на Γ функцию C равен-
⎧
k−1
⎪
⎪
⎪
B(τiη), если k 0,
⎪
⎪
⎨
k
η)=
j=0
−1
⎪
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎩
= η
x
B(τjη), если k<0.
j=k
при |x| m.Еслиη= τkη, η= τlη
x
и k<l,то
l−1
B(τjη)
j=k
и η
k+x
= η
l+x
для которого τ
C(η
) − C(η)=
при |x| m. Для достаточно большого m существует ξ ∈ Ω,
l−k
ξ = ξ и ξx= ηxпри k −m x l + m. Используя (5.11),
получаем
l−1
[B(τjη) −B(τjξ)].
j=k
Если (τ
C(η
) − C(η)=
j
η)x=(τjξ)xпри |x| r,то
|B(τ
Поэтому
|C(η
j
η) −B(τjξ)| = |AΨ(τjη) −AΨ(τjξ)|
2
X0: diamX>r
∞
) − C(η)| 4
r=m
X0: diamX>r
1
|X|
4
X0: diamX>m
sup
ξ∈Ω
1
|X|
|Ψ(ξ)|
X
diam X
sup
|Ψ(ξ)|. (5.12)
ξ∈Ω
X
|X|
ξ∈Ω
sup
|Ψ(ξ)|.
X
104 ГЛАВА 5
Так как Ψ ∈B1, последнее выражение мало, если m велико. Отсюда следует,
что C продолжается до непрерывной функции на Ω.Очевидно,
C ◦τ − C = B.
Поэтому (5.9) вытекает из (5.10).
Из построения видно, что постоянная c единственна, а функция C
определяется с точностью до аддитивной константы.
5.8. Перемешивающие Z-решетчатые системы
На основании теорем 5.2 и 5.3 мы можем сосредоточить внимание на
перемешивающих Z-решетчатых системах. Итак, будем считать, что система (Ω
целых чисел, которые соответственно 0, 0, > 0 и < 0.Положим
,t) перемешивает. Обозначим через Z, Z, Z>и Z<множества
0
Z
Ω
= {ξ ∈ (Ω0)
: t
=1при всех x ∈ Z}
ξxξ
x+1
и аналогичным образом определим Ω
на подмножества пространств Z
Φ
, Φ, Φ>, Φ<.
, Ω>, Ω<. Ограничив Φ ∈B1(Ω0,t)
, Z, Z>, Z<, получим взаимодействия
5.9. Лемма
(a) На пространстве Ω(соответственно, на Ω, Ω>, Ω<) существует единственное гиббсовское состояние σ
для взаимодействия Φ
(соответственно, для Φ, Φ>, Φ<).
(b) Существует такое K>0,что
σ
(dξ) × σ>(dξ>)exp[−W
Z, Z
где σ — единственное гиббсовское состояние для взаимодействия Φ на Ω.
(c) Для всякого ε>0 найдется такое n(ε),чтоеслиB ∈C(Ω
||B|| 1 и B(ξ
$
$
σ(d(ξ
$
∨ ξ>))B(ξ,ξ>)−
) не зависит от ξxпри |x| <n(ε),то
,ξ>
−
σ(d(ξ
∨ ξ
(соответственно, σ, σ>, σ<)
(ξ∨ ξ>)] = Kσ(d(ξ∨ ξ>)),
>
))σ(d(ξ
>
∨ ξ
>
))B(ξ
,ξ
>
×Ω>
$
$
)
<ε.
$
),
5.9. ЛЕММА 105
Утверждение (a) доказывается так же, как единственность гиббсовского
состояния с носителем в Ω
[i]
, (см. § 5.5 и лемму 5.4), но с заменой Z на Z
(соответственно, Z, Z>, Z<)и[i] —наΩ0.
Так как Φ ∈B
× Ω>. Отсюда, пользуясь определением гиббсовского состояния, полу-
Ω
, функция exp[−W
1
] непрерывна на множестве
Z, Z
>
чаем утверждение (b).
Рассмотрим решетчатую систему (L, (Ω
= Z
∪Z>
, Ωx=Ω0,
x)x∈L
, (ΩΛ)
),гдеL = Z =
Λ∈F
F = {{x, x +1}: x ∈ Z и x =0},
Ω
{x, x+1}
Пространством конфигураций этой системы служит Ω
действие Φ
X ⊂ Z
∗
определим равенством Φ∗(ξ|X )=Φ(ξ|X ) при X ⊂ Zили
и равенством Φ∗(ξ|X )=0в противном случае. В силу опреде-
>
ления гиббсовского состояния и утверждения (a) существует только одно
гиббсовское состояние для Φ
= {(ξx,ξ
∗
, а именно, σ⊗ σ>(обобщение этой кон-
x+1
): t
ξxξ
x+1
=1}.
× Ω>,авзаимо-
струкции см. в упражнении 4 главы 2).
Теперь можно применить теорему 1.11(C) c функцией
A(ξ
,ξ>
где W = W
. Из утверждения (b) следует, что если B ∈C(Ω× Ω>),
Z, Z
>
||B|| 1 и B(ξ) не зависит от ξ
$
$
$
σ(d(ξ
))B(ξ,ξ>) −σ(dξ)σ>(dξ>)B(ξ,ξ>)
∨ξ>
2
)=
exp%−W (ξ
Kε
при |x| <n, то при достаточно больших n
x
∨ ξ>)&,
$
$
$
<
ε
. (5.13)
2
Аналогичным образом, положив
A(ξ
(
)=
2
K2ε
(dξ
>
)exp%−W (ξ
>
σ
(
×
σ
,ξ
>
∨ ξ
)
>
(dξ
)exp%−W (ξ
)
&
×
)
∨ ξ
&
)
,
>
получим при достаточно больших n
$
$
$
(dξ)σ>(dξ>)B(ξ,ξ>)−
σ
∨ξ
−
σ(d(ξ
))σ(d(ξ
>
Сравнение (5.13) с (5.14) дает (c).
$
∨ ξ
))B(ξ
>
$
,ξ
)
<ε/2. (5.14)
$
>
106 ГЛАВА 5
5.10. Теорема
1
Пусть Φ — взаимодействие из класса B1для перемешивающей Z-решетчатой системы (Ω
,t) и σ — единственное гиббсовское состояние. Ес-
0
ли Ω содержит больше одной точки, то динамическая система (Ω,σ,τ)
изоморфна сдвигу Бернулли.
Очевидно, множества A
= {ξ ∈ Ω: ξ0= i}образуют некоторое разби-
i
ение A пространства Ω. Согласно теореме Фридмана –Орнстейна (см. приложение A.4.6) достаточно показать, что разбиение A является слабо-бер-
нуллиевским для системы (Ω,σ,τ). Это означает, что для любого ε>0
найдется такое n(ε),чтопривсехn n(ε) и k, l 0
|(α
[−n−k, −n]∪[n, n+l]
η, ζ
σ){η ∨ζ}−
− (α
[−n−k, −n]
σ){η}·(α
σ){ζ}| <ε. (5.15)
[n, n+l]
Пусть'B(η ∨ ζ) равно ±1 в зависимости от знака разности в левой ча-
сти (5.15). Если ξ
B(ξ
)='B(η ∨ ζ). При таком выборе функции B неравенство (5.15)
,ξ>
|[−n − k, −n]=η и ξ>|[n, n + l]=ζ,положим
вытекает из леммы 5.9(c).
5.11. Трансфер-матрица и оператор L
Представим ξ∈ Ωввидеξ= ξ0∨ ξ>,гдеξ0∈ Ω0, ξ>∈ Ω>,ипо
заданной мере μ на Ω
(M
∗
μ)(A)=
ξ
0
Из определения гиббсовского состояния вытекает, что мера M
циональна гиббсовскому состоянию для Φ
следующим образом
Введем статистические суммы
Z
([0,n])η
Z
([1,n])η
=
ξ
[0,n]∈Ω[0,n]
=
ξ
[1,n]∈Ω[1,n]
1
См. Галавотти [1], Ледрапье [1].
2
Приводимое ниже рассуждение добавлено при переводе. — Прим. ред.
определим меру M∗μ на Ωравенством
>
)A(ξ0∨ ξ>)exp[−U
μ(dξ
>
2
.
exp[−U
exp[−U
[0,n]
[1,n]
− W
[0,n], [n+1, ∞)(ξ[0,n]
− W
[1,n], [n+1, ∞)(ξ[1,n]
(ξ0) − W
{0}
на Ω. В этом можно убедиться
(ξ0∨ ξ>)].
{0}, Z
>
∗
σ>пропор-
∨ η)],η∈ Ω
∨ η)],η∈ Ω
[n+1, ∞)
[n+1, ∞)
,
.
5.11. ТРАНСФЕР-МАТРИЦА И ОПЕРАТОР L 107
Положим σ∗= M∗σ>. Из определения σ∗и σ>непосредственно выводится,
что при всех n
∗
σ
(1) =(α
[n+1, ∞)
σ>)(dη)Z
([0,n])η/Z([1,n])η
ипривсехξ
(α
σ∗){ξ
[0,n]
Отсюда видно, что для вероятностной меры σ = σ
выполняются соотношения (1.14), (1.15), в первом из которых роль σ
играет вероятностная мера (α
[0,n]
[0,n]
∈ Ω
[0,n]
} =(α
exp[−U
×
[n+1, ∞)
[0,n]
[n+1, ∞)
σ>)(dη)×
− W
[0,n], [n+1, ∞)(ξ[0,n]
Z
([0,n])η
σ>)(dη)
σ∗(1)
∨ η)]
Z
([0,n])η
Z
∗/σ∗
(1) при Λ=[0,n]
Z
1
Z
([0,n])η
([1,n])η
.Ноеслиэто
.
([1,n])η
L\Λ
верно для Λ=[0,n], то верно и для любого Λ ⊂ [0,n] (ср. §1.6). Поэто-
му в соответствии с определением из § 1.5 мера σ является гиббсовским
состоянием для Φ
на Ω.
Тогда, по лемме 5.9(a),
∗
M
σ>= λσ
при некотором λ>0. Определим отображение τ−1:Ω→ Ω>,следуя
параграфу 3.1. Очевидно, τ
Оператор L
∗
, действующий на меры, называется трансфер-матрицей.Со-
пряженный к нему оператор L на C(Ω
−1
σ= σ>.ПустьL∗= τ−1M∗.Тогда
∗
L
σ>= λσ>. (5.16)
) определяется равенством
>
(LA)(ξ
>
)=
A(τ−1(ξ0∨ ξ>)) exp[−U
ξ
0
(ξ0) − W
{0}
{0}, Z
(ξ0∨ ξ>)].
>
Заметим, что
L[A · (B ◦α
для любых A, B ∈C(Ω
).
>
◦ τ )] = (LA) ·B (5.17)
Z>Z
Как мы увидим в дальнейшем, изучение оператора L приведет к важ-
ным результатам, касающимся гиббсовских состояний и давления экспоненциально убывающих взаимодействий.
108 ГЛАВА 5
5.12. Функция ψ
Определим на пространстве Ω>функцию ψ>,положив
)=
K
1
(dξ)exp[−W
σ
Z, Z
(ξ∨ ξ>)],
>
ψ
>(ξ>
где K — постоянная из леммы 5.9(b). В силу этой леммы при всех A ∈C(Ω
в частности, σ
Так как система (Ω
стояние для Φ
σ
)=1.
>(ψ>
(соответственно, σ>— гиббсовское состояние для Φ>), мы
0
· A)=σ(A ◦ α
>(ψ>
,t) — перемешивающая и σ— гиббсовское со-
); (5.18)
Z
>
знаем, что
supp σ
(см. замечание 1.14). Из определения ψ
при некотором d>0.
1
=Ω, suppσ>=Ω
видно, что
>
−1
ψ>(ξ>) d (5.20)
d
>
(5.19)
В силу (5.17) и (5.18)
σ
((Lψ>) · B)=σ>(L[ψ>· (B ◦α
>
>(ψ>
· (B ◦α
Z>Z
= λσ
◦ τ )) = λσ(B ◦ α
Z>Z
◦ τ )]) =
)=σ>((λψ>) · B),
Z
>
)
>
откуда, используя (5.19), получаем
= λψ>. (5.21)
Lψ
>
5.13. Предложение
Для собственного значения λ операторов L и L∗, определенного в (5.21)
и (5.16), справедливо соотношение
Φ
.
1
См. (5.3). — Прим. ред.
ln λ = P
В силу (5.20) и теоремы 3.4
5.14. ОПЕРАТОР S 109
ln λ = lim
n→∞
= lim
n→∞
1
n
ln L
n
1
n
ψ>(ξ>) = lim
ln
ξ
−n+1
− W
exp[−U
...ξ
0
{−n+1, ..., 0},Z
n→∞
{−n+1, ..., 0}
1
n
ln(L
(ξ
>
−n+1
5.14. Оператор S
Ввиду (5.20) равенство
SA =(ψ
)−1· λ−1L(ψ>· A)
>
определяет ограниченный оператор S на C(Ω
S1=1,
(A 0) =⇒ (SA 0)
и, следовательно,
||S|| =1.
Заметим также, что в силу (5.17)
n
если B ∈C(Ω
).
>
[A · (B ◦(α
S
◦ τ )n)] = (SnA) · B, (5.22)
Z>Z
5.15. Лемма
n
1)(ξ>)=
(ξ
∨ ... ∨ ξ0)−
−n+1
∨ ... ∨ ξ0∨ ξ>)] = PΦ.
).Очевидно,
>
Функции
→
ξ
>
где A ∈C(Ω
рывны на пространстве Ω
Пусть Δ — множество таких функций. Тогда S
B ∈C(Ω
), ||B|| 1 и B(ξ>) зависит только от ξ1, ..., ξn.
>
Отображение Ω
непрерывно. Отсюда следует ограниченность и равностепенная непрерывность. Включение S
1
K ·ψ>(ξ>)
) и ||A|| 1, равномерно ограничены и равностепенно непре-
→C(Ω), определенное соответствием
>
ξ
n
B ∈ Δ проверяется прямым вычислением.
(dξ)A(ξ)exp[−W
σ
.
>
→ exp[−W
>
Z, Z
(·∨ξ>)],
>
Z, Z
(ξ∨ ξ>)],
>
n
B ∈ Δ,если
110 ГЛАВА 5
5.16. Предложение
Если B ∈C(Ω>),то
SnB = σ(B ◦α
lim
n→∞
λ−nLnB = σ>(B) ·ψ>, (5.24)
lim
n→∞
), (5.23)
Z
>
причем сходимость равномерна на компактных подмножествах пространства C(Ω
), в частности, на Δ.
>
Так как ||S|| =1, достаточно доказать (5.23) в предположении, что
) зависит только от ξ1, ..., ξN,гдеN — некоторое натуральное число.
B(ξ
>
В этом случае по лемме 5.15 последовательность (S
но сходящуюся подпоследовательность. Пусть
n
B) имеет равномер-
B — ее предел. Используя
сначала (5.22), затем тот факт, что σ — чистое гиббсовское состояние (см.
теорему 1.11(c)) и (5.18), получим для всех C ∈C(Ω
σ
Из (5.19) и (5.20) теперь следует, что
приходим к соотношению (5.23), а из него непосредственно вытекает (5.24).
· B ·C) = lim σ>(ψ>·SnB · C)=
>(ψ>
= limσ
= limσ
>(ψ>
>(ψ>
= limσ((B ◦α
Так как ||S
= σ(B ◦α
n
|| =1при любом n>0, сходимость в (5.23) и (5.24)
Z
>
·Sn[B · (C ◦ (α
· B ·(C ◦(α
) · (C ◦α
Z
>
) · σ(C ◦ α
Z>Z
Z>Z
Z
>
)=σ(B ◦α
Z
>
B — константа: B = σ(B ◦α
>
◦ τ )n)]) =
◦ τ )n)) =
◦ τn)) =
)
) · σ>(ψ>· C).
Z
>
),имы
Z
>
равномерна на компактных множествах.
5.17. Замечание
Множество X ⊂ Z будем называть (конечным) интервалом,еслиX =
=[k, l]={x: k x l}. Для любого Φ ∈B
что
(ξ|X )=0,еслиX не является интервалом,
(a) Φ
∗
Φ
(b) U
(c) W
(d) ||Φ
Φ
Λ
Φ
Λ,M
∗
= U
,еслиΛ — интервал,
Λ
Φ
∗
= W
|| = ||Φ∗||1 ||Φ||1.
∗
,еслиΛ и M — интервалы,
Λ,M
найдется такое Φ∗∈B1,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]