Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
5.30. ЗАМЕЧАНИЕ 121
5.30. Замечание
Функция z → ζ(zeA), вообще говоря, не допускает мероморфного продолжения на всю комплексную плоскость. В работе [2] Галлавотти построил
контрпримеры того же типа, что описан в упражнении 8.
Комментарии
Основным фактом статистической механики одномерных систем является «отсутствие фазовых переходов». В частности, существует только
одно гиббсовское состояние: это верно для перемешивающих систем и взаимодействий из пространства B
гиббсовского состояния была независимо доказана Рюэлем [2] с помощью
метода трансфер-матрицы и Добрушиным [3], применившим другие методы. В этой главе мы обобщили идею Добрушина и выяснили структуру
гиббсовских состояний, не предполагая перемешивания (см. теоремы 5.2
и 5.3). Заметим, что случай взаимодействий конечного радиуса, сводящийся
к теории марковских процессов, уже давно был понят физиками. Напомним
также, что перемешивающие системы с «дальнодействием» (Φ ∈B\B
могут иметь несколько гиббсовских состояний, как это видно из параграфа 3.21
1
.
Любопытная теорема 5.7 и ее специальные случаи — теорема 5.21,
следствие 7.10(c) и замечание 7.11 — появились в работах Лившица [1], [2]
и Синая [4] (см. также статью Боуэна [6]).
Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию Φ ∈B
оператором L; для трансфер-матрицысправедлив аналог теоремы Перрона –
Фробениуса
2
. L имеет положительное собственное значение, которое совпадает со спектральным радиусом; это собственное значение равно exp P
Спектральные свойства L связаны с кластерными свойствами гиббсовского
состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные факты оправдывают изучение оператора L, которое мы провели при помощи
нового метода.
Единственность гиббсовского состояния — это один аспект «отсутствия
фазовых переходов»в одномерных системах. Другой его аспект проявляется
в вещественной аналитичности давления P , ограниченного на подходящее
подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убывающие взаимодействия и установили аналитичность функции P , показав,
что expP
1
ствий (безих явного построения) с несколькими гиббсовскимисостояниями. Простые примеры
таких взаимодействий были ранее известны благодаря работе Дайсона [1]. Другие примеры
получены в моделях Фишера [1] и кратко изложены в упражнении 8.
2
Φ
является изолированным собственным значением оператора L
В параграфе 3.21 мы следовали Израэлю [1], который доказал существование взаимодей-
См., например, книгу Гантмахера [1].
(см. следствие 5.6(b)). Единственность
1
, сопряжена с
1
Φ
)
1
.
122 ГЛАВА 5
(здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным квантовым
спиновым системам; см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение B). В параграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета τ-периодических точек,
взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет
полюс в точке exp(−P
Φ
), соответствующей собственному значению exp P
оператора L. Другие свойства систем с экспоненциально убывающими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности, экспоненциальное убывание корреляций). Эти свойства окажутся полезными при
изучении пространств Смейла в главе 7.
Хотя сильное условие на взаимодействие типа экспоненциального убы-
вания кажется необходимым для доказательства того факта, что expP
Φ
изолированное собственное значение оператора L, аналитические свойства
давления P можно получить при менее ограничительных условиях. Это
следует из одного красивого и довольно неожиданного результата Добрушина [4]. К сожалению, его доказательство является трудным, а условия,
наложенные на решетчатую систему, — по-видимому, слишком точными.
Поэтому за формулировкой и доказательством теоремы Добрушина мы отсылаем читателя к оригинальной работе.
Упражнения
1. Пусть Ω0— конечное множество и t =0— квадратная матрица с элементами t
Введем множество Ω
∗
t
(i, j, m)(k, l,n)
гда (Ω
употреблять обозначение (Ω
(a) Предположим, что t
(Ω
,t) является Z-решетчатой системой. Если ξ∗∈ Ω∗и ξ
0
положим (Fξ
является Z-изоморфизмом.
(b) Показать, что Z-решетчатая система, полученная ограничением Z
на N Z и применением группового изоморфизма Z → NZ, Z-изоморфна
системе (Ω
2. Пусть (Ω
η
0∨η>
ξ|{0} = η
Тогда g
, i, j ∈ Ω0, принимающими целые неотрицательные значения.
ij
=1,еслиj = k,иt
∗
,t∗) является Z-решетчатой системой, для которой мы будем также
0
∗
,tN)∗(см. Вильямс [1]).
0
∗
= {(i, j, m) ∈ Ω0× Ω0× Z>: m tij} иположим
0
)x= i. Показать, что отображение F :(Ω
,t) — перемешивающая Z-решетчатая система и σ ∈ I.Для
0
∗
(i, j, m)(k, l,n)
,t)∗(мы предполагаем, что Ω
0
принимает только значения 0 и 1,такчто
ij
=0в противном случае. То-
∗
= ∅).
0
∗
=(i, j, 1),
x
∗
,t∗) → (Ω0,t)
0
∈ Ωобозначим через pσ(η0∨η>) условную вероятность того, что
, при условии, что ξ|Z>= η>.Положимgσ(ξ)=−ln pσ(ξ0∨ ξ>).
0
определено σ-почти всюду, gσ 0 и
σ
dσ = s(σ)
g
σ
Φ
—
(см. Биллингслей [1], § 13).
УПРАЖНЕНИЯ 123
Пусть Φ ∈B1и σ — соответствующеегиббсовское состояние. Доказать,
что g
которой мы используем то же обозначение g
продолжается до непрерывной функции на пространстве Ω,для
σ
g
(ξ)=−ln
σ
ψ
(τ−1(ξ0∨ξ>)) exp[−U
>
λ · ψ>(ξ>)
,причем
σ
(ξ0) − W
{0}
{0}, Z
(ξ0∨ ξ>)]
>
.
Доказать, что-g
лишь при σ
3. Пусть Φ, Φ
σ, σ
— соответствующие гиббсовские состояния. Доказать, что
(a) если A ∈C(Ω
Если A, B ∈C(Ω
σ((A ◦α
dσ-gσdσпри всех σ∈ I, а равенство выполняется
σ
= σ (см. Перри [2], а также Кин [1] и Ледрапье [2]).
∈B1(Ω0,t),где(Ω0,t) — перемешивающая система, и
) и n 0,то
>
σ(A ◦α
),то
>
) · (B ◦ αZ>◦ τn)) = σ(((SnA) ◦ αZ>) · (B ◦ αZ>)).
Z>
)=σ((SnA) ◦ α
Z
>
Z
>
(b) Положим
Z
−
n+1
Z
n
= σ
+
= σexp
exp
0
x=−n
n
x=1
A
A
Φ−Φ
Φ−Φ
◦ τ
◦ τ
x
и определим меру #σ как слабый предел:
#σ = lim
n→∞
(Z
−
n+1
−1
)
exp
0
x=−n
A
Φ−Φ
= lim
n→+∞
x
◦ τ
(Z
· σ
=
+
−1
exp
)
n
).
x
,
n
x=1
A
Φ−Φ
◦ τ
x
· σ.
Показать, что
τ #σ = #σ · exp[A
− AΦ− P
Φ
Φ
+ PΦ].
(Утверждение (b) принадлежит Синаю: см. Гуревич и Оселедец [1]. Для доказательства существования и равенства пределов используйте лемму 5.9(a).
124 ГЛАВА 5
Очевидно, τ #σ = C exp A
=exp(P
Φ
4. Пусть Φ ∈B
Φ
− P
) в силу предложения 4.4.)
θ
(Ω0,t),где(Ω0,t) — перемешивающая система, и σ —
·#σ,гдеC = lim
Φ−Φ
n→∞
Z
n+1
/Z
−
n
= lim
n→∞
(Z
−
1/n
)
n
−
соответствующее гиббсовское состояние. Доказать следующие утверждения.
=
(a) Если 0 A ∈C(Ω
),то||Sm(A ◦ α
[1,m]
[1,m], Z
)||θ cσ(A ◦α
>
[1,m]
при некотором c, не зависящем от A и m.
(b) Если 0 A ∈C(Ω
m+n
*
S
*
*
[1,m]
(A ◦ α
σ(A ◦α
) и σ(A ◦α
[1,m], Z
>
)
[1,m]
)
[1,m]
− 1
) > 0,то
*
*
a−bn
<e
*
,
где действительные числа a, b не зависят от A и m,причемb>0.
(c) (Экспоненциальное убывание корреляций.) Если 0 A ∈C
и 0 B ∈C
[n+1,n+m]
(d) Если A ∈C
(e) При b
если A, B ∈F
|σ(A ·(B ◦τ
При фиксированных θ и M>0 постоянные a
это неравенство будет выполняться для всех Φ с ||Φ||
,то
a−bn
|σ(AB) − σ(A)σ(B)| e
(−∞, 0]
и B ∈C
[n+1, ∞)
|σ(AB) − σ(A)σ(B)| e
< min(b, 2| ln γ|) существует такое действительное a,что
γ
,то
x
)) − σ(A)σ(B)| e
σ(A)σ(B).
,то
a−bn
σ(|A|)σ(|B|).
a−b|x|
||A||γ||B||γ.
и bможно выбрать так, что
M.
θ
[−m+1, 0]
[Утверждение (a) вытекает из доказательства леммы 5.23, причем c
можно сделать непрерывной функцией от ||Φ||
при фиксированном θ.Из(a)
θ
и предложения 5.24 вытекает утверждение (b), в котором a и b могут быть
выбраны непрерывными функциями от ||Φ||
пользуйте аналитичность по Φ ∈B
множество {Φ: ||Φ||
M } компактно в B
θ
,гдеθ<θ< 1,итотфакт,что
θ
(чтобы убедиться в этом, ис-
θ
). Утверждения (c) и (d) полу-
θ
чаются из (b) и упражнения 3(a). Чтобы доказать (e), представьте функции A
и B ввидеA =A
, B =Bn, как в доказательстве предложения 5.20.]
n
)
УПРАЖНЕНИЯ 125
5. Пусть (Ω0,t) — перемешивающая система и σ = σA— единственное
равновесное состояние для A ∈F
l
(B1, ..., Bl)=
D
Тогда
1
(B1)=σ(B1);
(a) D
2
(b) D
(B1,B2)=
(c) отображение B
∂s1...∂s
[σ(B1· (B2◦ τx)) − σ(B1)σ(B2)];
x∈Z
→ D2(B1,B1) задает положительно полуопре-
1
деленную квадратичную форму на F
+C ◦τ −C : c ∈ R,C∈F
θ
}, которое, тем самым, не зависит от функции A.
Кроме того, существует такое R>0,что[D
(d) При всех p ∈ R (mod 2π)
x∈Z
−ipx
e
(σ(B1· (B1◦ τx)) − σ(B1)σ(B1)) 0.
θ
.ДляB1, ..., Bl∈Fθположим
$
l
∂
PA +
l
θ
.Егоядромслужитмножество{c +
2
(B1,B1))
$
siB
$
i
i
s1= ...=sl=0
1/2
.
R||B1||θ.
С учетом упражнения 4(e) достаточно доказать (b) в случае, когда A,
B
, B2∈CΛ,гдеΛ — конечное множество. Перейдя к Z-изоморфной систе-
1
ме (см. доказательство следствия 4.10(b)), можно считать, что
A =#A ◦ α
где#A,#B
,#B2∈C(Ω0).ПоложимU(ξ0)=exp[#A(ξ0)+s#B2(ξ0)] и
1
определим на пространстве Ω
σ
{(ξ−n, ..., ξn)} было пропорционально произведению
n, s
U(ξ
,B1=#B1◦ α
{0}
−n)tξ−nξ
−n+1
,B2=#B2◦ α
{0}
вероятностную меру σ
[−n, n]
U(ξ
−n+1
) ...t
ξ
n−1ξn
U(ξn).
{0}
n, s
,
так, чтобы
В силу единственности гиббсовского состояния термодинамический предел
мер σ
d
σ
ds
n, s
n,s
равен σ
(#B1◦ α
{0},[−n,n]
. Нетрудно проверить, что
A+sB
2
)=
− σ
n
x=−n
n, s
[σ
n,s
(#B1◦ α
((#B1◦ α
{0}, [−n, n]
{0},[−n,n]
)σ
n, s
)(#B2◦ α
(#B2◦α
{x},[−n,n]
{x}, [−n, n]
))−
)].
При |x|→∞выражение в квадратных скобках экспоненциально убывает
равномерно по n (и по s при достаточно малых s). Поэтому
lim
n→∞
ds
d
σ
n, s
(#B1◦ α
{0}, [−n, n]
)=
=
[σ
x∈Z
(B1· (B2◦ τx)) − σ
A+sB
2
A+sB
(B1)σ
2
A+sB
(B2)]
2
126 ГЛАВА 5
и, следовательно,
d
ds
σ
A+sB
(B1)=
2
что доказывает (b). Неравенство D
В частности, если D
позволяет с помощью индукции по l вычислить D
2
ли D
(B1,B1)=0,тоDl(B1, ..., Bl)=0при l 2. Следовательно,
l
σ
d
(B2)/dsl→ 0 при s =0и l 1,атаккакs → σ
A+sB
1
[σ
x∈Z
2
(B1,B1)=0,тоD2(B1,B2)=0. Равенство (∗)
(B1· (B2◦ τx)) − σ
A+sB
2
2
(B1,B1) 0 следует из выпуклости P .
(B1)σ
A+sB
l
и установить, что ес-
2
A+sB
A+sB
(B2) — веще-
1
(B2)],
2
(∗)
ственно-аналитическая функция, она является константой. Вид ядра отображения B
Оценка D
Чтобы доказать утверждение (d), заметим, что в пространстве L
→ D2(B1,B1) определяется теперь при помощи теоремы 5.21.
1
2
(B1,B1) R2(||B1||θ)2следует, например, из упражнения 4(e).
2
(Ω,σ) су-
ществует унитарный оператор V , для которого V 1=1и VB= B ◦τ.Сего
помощью рассматриваемое выражение можно представить в виде
−ipx
e
(B1−1,B1),Vx(B1−1,B1).
x∈Z
6. Пусть (Ω
,t) — Z-решетчатая система. Тогда
0
(a) для любой непрерывной функции A:Ω→ C радиус сходимости
степенного ряда в правой части равенства
ζ
(zeA)=exp
τ
∞
m=1
z
m
m
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
A(τkξ)
k=0
(атакжерядадляζ
(b) функции A → ζ
(zeA)−1) не меньше, чем exp[−P (Re A)];
τ
(eA) и A → ζτ(eA)−1голоморфны в «выпуклой
τ
цилиндрической области» {A : P (Re A) < 0} банахова пространства непрерывных функций A:Ω→ C.
7. Пусть (Ω
,t) — перемешивающаясистема. Тогда на пространстве F
0
существует такая действительная непрерывная функция R,что
(a) R(A) exp[−P(Re A)];
(b) если d
(z, A) → d
∞
(z)=exp(−
A
(z) аналитична в области
A
m=1
{(z, A) ∈ C ×F
m
z
m
ξ∈Fix τ
θ
: |z| <R(A)};
C
m−1
exp
m
A(τkξ)), то функция
k=0
θ
C
УПРАЖНЕНИЯ 127
(c) если функция A действительна, то R(A) >e
−P (A)
и функция dA(·)
имеет только один нуль в круге {z : |z| <R(A)}. Этот нуль находится в
точке z =exp[−P (A)] иявляетсяпростым.
[Утверждение (c) вытекает из теоремы 5.29, в которой R>e
можно считать непрерывной функцией на F
θ
: следуя доказательству этой
−P
,аR
теоремы, положим
+
−P (A)/θβ
R(A)=
e
−P (A)
e
= r/|Ω0|β, если β 1,
/θ, если β 1,
где
ln r
β =
+ P (A)
ln |Ω0|−ln θ
В силу упражнения 6 функция (z, A) → d
{(z, A) ∈ C ×F
виде A = B+iC,гдеB, C ∈F
θ
: |z| < exp[−P (Re A)]}. Представим функцию A ∈F
C
θ
. Пользуясь теоремой 5.29 при действитель-
.
(z) голоморфна на множестве
A
θ
C
ных t и упражнением 6 при остальных t, мы можем оценить производные
n
d
d
dz
n
B+tC
(z)|
, (∗)
z=0
а затем с помощью конформного отображения и формулы
2π
1
ln |f(reiθ)|dθ ln |f (0)|
2π
0
в
(теорема Иенсена) получить новые оценки этих производных. Благодаря
этому функцию R можно продолжить непрерывным образом с F
θ
на F
так, чтобы выполнялись условия (a) и (b).)
8. Пусть Ω
Φ(ξ|X )=
= {0, 1} и взаимодействие Φ определено равенством
0
,
ϕ
, если X — интервал и ξx=1при всех x ∈ X,
|X|
0 в противном случае.
Пусть
W
n
=
n
(n − k +1)ϕk,C=
k=1
∞
k=1
ϕk.
θ
C
128 ГЛАВА 5
Проверить, что
∞
m=1
z
m
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
AΦ(τkξ)=−z
k=0
(
d
dz
+ln1 −
ln(1 − z)+ln(1− ze
∞
z
1 − z
k=1
zke
−W
k
)
−C
)+
и, следовательно,
ζ(ze
A)−1
=(1−ze−C)(1 − z1+
∞
k=1
zke
−W
)
k
.
(Введенный здесь потенциал соответствует модели Фишера [1], см. также
Галлавотти [2]).)
9. Пусть Φ ∈B
σ — соответствующее гиббсовское состояние. Для A ∈F
θ
(Ω0,t),где(Ω0,t) — перемешивающая система, и
θ
иконечного
интервала Λ ⊂ Z положим
A
(ξ)=|Λ|
Λ
D =
%
σ(A ·(A ◦τ
x∈Z
Пусть γ — гауссовская вероятностная мера (1/
ли D>0, и вероятностная мера δ
−1/2
[A(τxξ) −σ(A)] ,
x∈Λ
x
)) − σ(A)
, сосредоточенная в точке 0, если D =0.
0
&
2
= D
√
2
2πD)e
(A, A) 0.
−t2/2D
dt на R,ес-
(a) При всех целых n 0
n!
D
n
n
2
, lim
|Λ|→∞
σ(A
2n+1
Λ
)=0.
σ слабо
Λ
σ(A
2n
Λ
)=
lim
|Λ|→∞
(2n)!
(b) (Центральная предельная теорема.) При |Λ|→∞мера A
сходится к γ. В действительности, если функция ϕ : R → R растет не
быстрее, чем полиномиально, то (A
(c) (Обобщение.) Для A=(A
положим
(ξ)=|Λ|
A
Λ
%σ
D
=
ij
x∈Z
A
· (Aj◦ τx)− σ(Ai)σ(Aj)&= D2(Ai,Aj).
i
σ)(ϕ) → γ(ϕ).
Λ
, ...,Am): Ω →Rm,гдеA1, ...,Am∈Fθ,
1
−1/2
[A(τxξ) −σ(A)] ,
x∈Λ
УПРАЖНЕНИЯ 129
Тогда матрица (Dij) неотрицательна. Предположим (для простоты), что она
имеет обратную матрицу (Δ
−m/2
(2π)
(det(Dij))
). Пусть γ — гауссовская вероятностная мера
ij
−1/2
exp−
1
2
i, j
Δijt
dt
ij
...dtm.
1
Тогда (A
ции ϕ : R
σ)(ϕ) → γ(ϕ) при |Λ|→∞для любой непрерывной функ-
Λ
m
→ R, которая растет не быстрее, чем полиномиально.
[Заметим сначала, что D = D
2
(A, A) 0 в силу упражнения 5, при-
чем D =0 только тогда, когда A = c + C ◦ τ − C,гдеc ∈ R, C ∈F
Утверждение (a) вытекает из упражнения 4. Далее,
n!
D
2
n
,γ(t
n
2n+1
)=0;
поэтому (A
(2n)!
2n
γ(t
)=
σ)(ϕ) → γ(ϕ),еслиϕ — многочлен,и утверждение (b) вытекает
Λ
из того факта, что мера γ однозначно определяется своими моментами.
Наконец, утверждение (c) можно легко доказать с помощью теоремы Вика
(см., например, Саймон [1], предложение I.2).]
θ
.
ГЛАВА 6
ОБОБЩЕНИЕ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО
ФОРМАЛИЗМА
В этой главе мы распространим некоторые результаты предыдущих
глав на более общий случай. Доказательства будут изложены кратко, но при
этом будут даны ссылки на соответствующую литературу (в самом в тексте
или в библиографических замечаниях в конце главы). Обобщение заключается в замене пространства конфигураций Ω более общим компактным
метризуемым пространством Ω, на котором группа Z
физмами.
6.1. Общие понятия
ν
действует гомеомор-
Пусть Ω — непустое компактное метризуeмое пространство и x → τx—
представление группы Z
ственное преобразование и τ
алгебру C(Ω) непрерывных действительных функций на Ω с равномерной
нормой. Вероятностные меры на Ω (называемые также состояниями)образуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального
к C пространства C
слабой топологией). Множество I инвариантных относительно τ состояний
выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение A.5.5).
Крайние точки множества I называются эргодическими состояниями,итак
как I — метризуемый симплекс, каждое состояние σ ∈ I допускает един-
ственное разложение на эргодические состояния, называемое эргодическим
разложением (см. приложение A.5.6).
Мы воспользуемся метрикой d, совместимой с топологией простран-
ства Ω, но результаты не будут зависеть от конкретного выбора метрики.
ν
гомеоморфизмами пространства Ω (τ0—тожде-
x+y
= τxτy). Обозначим через C банахову
∗(C∗
состоит из действительных мер на Ω иснабжено
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]