Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
0.2. ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 21
топологии. Для конечного борелевского разбиения A пространства Ω име-
ры σ ∈ I положим
h(σ, A) = lim
a1,...,aν→∞
Функция h : I → R
1
|Λ(a)|
h(σ) = lim
+
∪{+∞}называется (средней) энтропией; она обладает
diam A→0
H(σ, A
Λ(a)
)=inf
h(σ, A).
a
1
|Λ(a)|
H(σ, A
Λ(a)
);
свойством аффинности. Если τ разделяет точки, то функция h конечна и
полунепрерывна сверху на множестве I (наделенном слабой топологией).
Теорема 1 (вариационный принцип).
P (A)=sup
[h(σ)+σ(A)]
σ∈I
при всех A ∈C.
Теорема 1 соответствует вариационному принципу для конечных систем, если интерпретировать −A как вклад в энергию от одного узла решетки.
Предположим, что функция P конечна. Определим множество I
A
рав-
новесных состояний для A ∈Cсоотношением
I
= {σ ∈ I : h(σ)+σ(A)=P (A)}.
A
Заметим, что множество I
может быть пустым.
A
Теорема 2. Предположим, что функция h конечна и полунепрерывна
сверху на множестве I (со слабой топологией).Тогда
(a) I
= {σ ∈C∗: P (A + B) P (A)+σ(B) при всех B ∈C}.
A
множество непусто, выпукло и компактно
и гранью множества
I.
(b) Множество D = {A ∈C: card I
;
оно является симплексом Шоке
=1} массивно в C.
A
Это
(c) При всех σ ∈ I справедливо равенство
h(σ)= inf
Вследствие того, что множество I
элемент σ ∈ I
имеет единственное интегральное представление в виде
A
[P (A) − σ(A)].
A∈C
— метризуемый симплекс, каждый
A
барицентра некоторой меры, сосредоточенной на множестве крайних точек
этого симпклеса. Известно, что множество I также является симплексом.
Поскольку I
служит гранью этого симплекса, все крайние точки IAсодер-
A
жатся в множестве крайних точек I (т.е. являются эргодическими мерами
на Ω).
22 ГЛАВА 0
III. Статистическая механика на решетке
Приведенные выше теоремы обобщают результаты, известные для
некоторых систем статистической механики (классических решетчатых систем). Hапример, если F — непустое конечное множество (с дискретной то-
пологией), то мы можем взять в качестве Ω пространство F
прямого произведения и определить преобразования τ
В более общем случае в качестве Ω можно взять непустое τ -инвариант-
ное замкнутое подмножество пространства F
физическую интерпретацию как пространство бесконечных конфигураций
системы спинов на кристаллической решетке Z
ν
Z
.МножествоΩ допускает
ν
. С точностью до знака
ν
Z
x
очевидным образом.
с топологией
имножителяβ величину P можно рассматривать как «свободную энергию» или «давление» — в зависимости от физической интерпретации F
как множества «значений спина» или множества «чисел заполнения» в узле
решетки. Для простоты мы будем употреблять термин «давление».
Для x =(x
расстояние d между точками ξ =(ξ
i
) ∈ Zνположим |x| =max|xi|. Пусть 0 <λ<1.Введем
x)x∈Z
ν
∈ Ω и η =(ηx)
x∈Z
ν
∈ Ω при
помощи равенства
d(ξ,η)=λ
k
, где k =inf{|x| : ξx= ηx}.
Очевидно, расстояние d совместимо с топологией пространства Ω.
Можно проверить, что τ разделяет точки; поэтому применима теорема 2.
В дальнейшем мы будем предполагать, что существуют конечные множества Δ ⊂ Z
Обозначим через pr
Zν\Λ
и F
Пусть 0 <α 1.ОбозначимчерезC
ν
и G ⊂ FΔ, для которых
Ω={ξ ∈ F
, pr
Λ
соответственно.
ν
Z
: τxξ|Δ ∈ G при всех x}.
, где Λ ⊂ Zν, проекции пространства F
Λ
α
банахово пространство дей-
ν
Z
на F
ствительных функций на Ω, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем α (относительно метрики d). Пусть ξ =(ξ
Если ξ
и A ∈C
= ηxпри всех x, за исключением, быть может, конечного числа,
x
α
, то произведение
) ∈ Ω,η=(ηx) ∈ Ω.
x
g
A
сходится, так как |A(τ
(ξ,η)=
x
ξ) −A(τxη)| при |x|→∞стремится к нулю с экс-
exp[A(τxξ) −A(τxη)]
ν
x∈Z
поненциальной скоростью. Тогда для любого конечного множества Λ ⊂ Z
Λ
ν
0.2. ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 23
функция fΛ: prΛΩ × pr
(ξ)=
f
Λ
непрерывна
1
.
Для любого конечного Λ ⊂ Z
Ω → R, заданная равенством
Λ
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
η∈Ω:pr
Λ
η=pr
gA(η, ξ)
ξ
Λ
0, если ξ/∈ Ω
−1
, если ξ ∈ Ω,
ν
обозначим через εΛмеру на prΛΩ,
,
которая приписывает каждой точке этого множества массу, равную единице.
Определение. Пусть A ∈C
α
. Вероятностную меру σ на простран-
стве Ω будем называть гиббсовским состоянием,если
σ = f
· (εΛ⊗ pr
Λ
(здесь мы обозначили одной и той же буквой σ меру на Ω иобразэтой
меры при каноническом отображении Ω → pr
Λ
σ)
Ω × pr
Λ
Ω). Это определе-
Λ
ние допускает иную формулировку: σ является гиббсовским состоянием,
если для любого конечного множества Λ условная вероятность того, что
ξ|Λ реализуется в Λ, при условии, что ξ|(Z
равна f
(ξ).
Λ
Теорема 3. Пусть A ∈C
α
. Тогда
ν
\ Λ) реализовано в Zν\ Λ,
(a) Каждое равновесное состояние является τ-инвариантным гиббсов-
ским состоянием.
(b) Если Ω=F
ν
Z
, токаждоеτ-инвариантное гиббсовское состояние
является равновесным состоянием.
Согласно утверждению (a), у равновесных состояний точно такие же
условные вероятности f
справедливо при гораздо более общих условиях, чем Ω=F
ние о том, что A ∈C
, как у гиббсовских состояний. Утверждение (b)
Λ
α
, также можно значительно ослабить. Для простоты
ν
Z
. Предположе-
мы дали в этом параграфе не совсем обычное описание статистической
механики, использовав гельдеровские функции на Ω вместо «взаимодействий», которые больше подходят для подробного изучения.
Теорема 4. Гиббсовские состояния для функции A ∈C
α
образуют
симплекс Шоке.
Следовательно, всякое гиббсовское состояние единственным образом
разлагается на крайние («чистые») гиббсовские состояния.
1
ВформуледляfΛ(ξ) аргумент ξ понимается как пара (ξ,ξ), где ξ∈ prΛΩ,ξ∈ pr
эта пара отождествляется с конфигурацией ξ на
Прим. ред.
, которая не обязательно принадлежит Ω. —
Ω;
Λ
24 ГЛАВА 0
Физическая интерпретация. Крайние равновесные состояния — это
τ-эргодические меры. Они интерпретируются как чистые термодинамиче-
ские фазы. Так как равновесные состояния соответствуют касательным к
графику функции P (см. теорему 2(a)), отсутствие непрерывности производной этой функции соответствует фазовым переходам. Поэтому интересно
знать, обладает ли P свойством кусочной аналитичности (в подходящем
смысле) на C
α
. Крайнее равновесное состояние σ может иметь нетривиальное разложение на крайние гиббсовские состояния (которые в силу теоремы 3(b) не будут τ-инвариантными). В этом случае говорят о нарушении
симметрии (симметрия, которая нарушена, — это инвариантность относительно τ).
Главная цель равновесной статистической механики — понять природу
фаз и фазовых переходов. Поэтому основным предметом термодинамического формализма является изучение дифференциальных и аналитических
свойств функции P , а также структуры равновесных и гиббсовских состояний. Как уже отмечалось, подробные результаты получены только в частных
случаях. Мы же ограничимся в этой монографии изложением общей теории,
которая существует на данный момент.
Для одномерных систем, т.е. для ν =1,полученыдостаточнополные
результаты, которые можно суммировать, сказав, что в одномерных системах нет фазовых переходов. Пусть
Ω={ξ =(ξ
где t =(t
) — матрица c элементами, равными 0 и 1. Предположим, что
uv
существует N>0, при котором все элементы матрицы t
Теорема 5. Если выполняются сформулированные выше условия, то
функция P : C
го, для A ∈C
α
→ R является вещественно-аналитической. Кроме то-
α
существует только одно гиббсовское состояние, которое
x)x∈Z
∈ FZ: t
=1при всех x},
ξxξ
x+1
N
положительны.
одновременно является и единственным равновесным состоянием.
Утверждение этой теоремы перестает быть верным при ν>1.
0.3. Краткий обзор содержания
Главы 1–5 этой монографии посвящены равновесной статистической
механике классических решетчатых систем. Как правило в них приводятся
полные доказательства. В главах 6 и 7 термодинамический формализм обобщается на системы, лежащие вне традиционных пределов статистической
механики. Доказательства здесь в большинстве случаев либо опущены, либо
только намечены
1
При этом, конечно, даны необходимые ссылки на литературу.
1
. Теперь расскажем о содержании книги более подробно.
0.3. КРАТКИЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ 25
В главах 1 и 2 изложена теория гиббсовских состояний без предположения трансляционной инвариантности (поэтому решетка Z
ν
заменяется
произвольным бесконечным счетным множеством L). В главе 3 предпола-
гается трансляционная инвариантность и развивается теория равновесных
состояний и давления для классических решетчатых систем. Здесь также получены общие результаты, касающиеся фазовых переходов. Глава 4
является центральной, в ней устанавливается связь между гиббсовскими
и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам,
она предваряет главу 7. В главе 6 теория равновесных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство Ω заменяется
произвольным метризуемым компактным пространством, на котором груп-
ν
па Z
действует гомеоморфизмами. Глава 7 обобщает теорию гиббсовских
состояний и связанные с ней понятия на один класс компактных метрических пространств (мы называем их пространствами Смейла), в которых Z
действует гомеоморфизмами. В совокупность пространств Смейла входят
базисные множества диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, и, в
частности, многообразия, на которых действуют диффеоморфизмы Аносова.
Некоторый дополнительный материал помещен в конце каждой главы
в форме упражнений.
Библиографические ссылки даются или в самом тексте, или в комментариях в конце главы. Для лучшей ориентации в материале может быть
полезно читать эти комментарии перед соответствующей главой. Читателю
рекомендуются следующие оригинальные работы: Рюэль [1], Добрушин [2],
[3], Ланфорд и Рюэль [1], Израэль [1], Синай [4].
Справочный материал собран в приложениях A.1–A.5. Эти приложения
содержат некоторые хорошо известные факты и терминалогию, а также
и менее стандартные результаты. Предполагается, что читатель знаком с
основными понятиями функционального анализа, но никаких знаний по
физике от него не требуется.
В приложении B сформулировано несколько нерешенных задач. Приложение C содержит краткое введение в теорию потоков.
Сделаем несколько замечаний относительно обозначений и терминологии. Мы часто будем обозначать через |X| число элементов конечного мно-
жества X. В главах 5–7 мы будем использовать символы Z
, Z, Z<, Z
>
для обозначения множеств целых чисел, которые соответственно > 0, 0,
< 0 и 0.Мераρ всегда будет предполагаться (при отсутствии противо-
положной информации) мерой Радона на компактном множестве Ω. Если
f :Ω→ Ω
(см. приложение A.4) будем употреблять обозначение fρ (а не f
— непрерывное отображение, то для образа ρ относительно f
∗
ρ).
Для более широкого изучения равновесной статистической механики
мы отсылаем читателя к книге Рюэля [3] и превосходной монографии Бо-
26 ГЛАВА 0
уэна [6], посвященной приложениям к дифференцируемым динамическим
системам
ги [1] и Престона [1], [2].
1
.
Упомянем еще монографию Израэля [2] и заметки Лэнфорда [2], Геор-
2
Различные авторы планируют издание монографий, посвященных
некоторым разделам статистической механики, не отраженным в этой книге, но на сегодняшний день имеется много интересного материала, который
в книжной форме еще не представлен.
Перед чтением главы 1 рекомендуем читателю просмотреть приложения A.1–A.5.
1
Современное введение в эргодическую теорию и топологическую динамику см. в книгах
Уолтерса [2], Денкера, Грилленбергера и Зигмунда [1]. (См. также Каток и Хасселблатт [1*],
Корнфельд, Синай, Фомин [1*] и Синай [6], [7]. — Прим. ред.)
2
Большой объем информации собран в книге Георги [3*]. — Прим. ред.
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ГИББСОВСКИХ
СОСТОЯHИЙ
Эта глава посвящена общей теории гиббсовских состояний; трансля-
ционная инвариантность не предполагается.
1.1. Пространство конфигураций
Предположим, что заданы следующие объекты:
L — бесконечное счетное множество;
— конечное множество при каждом x ∈ L;
Ω
x
F — локально-конечное множество конечных подмножеств Λ ⊂ L (ло-
кальная конечность F означает, что всякий элемент x ∈ L содержится лишь
в конечном числе множеств Λ ∈F);
(
ΩΛ)
— семейство множеств ΩΛ⊂
Λ∈F
Теперь мы можем определить пространство конфигураций:
Ω={ξ ∈
Ωx:(∀Λ ∈F) ξ|Λ ∈ ΩΛ}. (1.1)
x∈L
x∈Λ
Ωx.
Будем всегда предполагать, что Ω = ∅. Множество F может быть пустым.
В этом важном частном случае Ω=
x∈L
Ωx.
Множество L удобно представлять себе как кристаллическую решетку, в каждом узле x ∈ L которой система может находиться в конечном
числе различных состояний ξ
ство Ω
состоит из типов атомов, которые могут находиться в точке x,
x
а для спиновых систем Ω
∈ Ωx. Например, в модели сплава множе-
x
— это множество возможных ориентаций спи-
x
на, который имеется у атома в x. Часто рассматривают решетчатый газ
= {1, 0} (узел x либо занят атомом, либо пуст) и спиновую систему
с Ω
x
= {1, −1} (спин направлен либо вверх, либо вниз). Конфигурацией
с Ω
x
системы служит элемент ξ =(ξ
x)x∈L
множества
Ωx. На конфигурации
x∈L
28 ГЛАВА 1
мы наложим набор условий (ξx)
∈ ΩΛ. Для решетчатого газа примером
x∈Λ
таких условий является запрет двум соседним узлам решетки быть одновременно занятыми (в этом случае говорят, что частицы на решетке имеют
твердую сердцевину).
Для любого множества S ⊂ L положим
Ω
= {ξ ∈
S
Так как Ω = ∅,всеΩ
Введем на Ω
дискретную топологию, а на множестве
x
Ωx:(∀Λ ∈F:Λ⊂ S) ξ|Λ ∈ ΩΛ}. (1.2)
x∈S
– непустые множества.
S
Ωx— топо-
x∈S
логию прямого произведения (в которой оно компактно). Тогда пространства Ω
α
S(ξx)x∈L
Точно так же можно определить отображения α
бом T ⊂ S.
и, в частности, Ω, тоже компактны. Положив αSξ = ξ|S,т.е.
S
=(ξx)
1
, получим непрерывное отображение αS:Ω→ ΩS.
x∈S
TS:ΩS
→ ΩTпри лю-
Пусть C = C(Ω) — алгебра непрерывных действительных функций
на Ω. Она является банаховым пространством относительно равномерной
нормы, а вероятностные меры на Ω образуют компактное выпуклое множество E в пространстве C
действительных мер на Ω, наделенное слабой топологией
∗
, слабо сопряженном к C (C∗— пространство
2
). Множество E с
индуцированной на нем топологией метризуемо. Для конечного Λ ⊂ L обо-
значим через C
Стоуна-Вейерштрасса объединение множеств C
алгебру функций вида A ◦αΛ, где A ∈C(ΩΛ).3По теореме
Λ
всюду плотно в C.
Λ
Элементы алгебры C можно рассматривать как наблюдаемые нашей
классической решетчатой системы. Тогда элементы C
—этофизические
Λ
величины, которые можно наблюдать в конечной области Λ. Вероятностная
мера μ ∈ E называется состоянием. Мы интерпретируем ее как функционал, ставящий в соответствие каждой наблюдаемой ее среднее значение,
т. е. как положительный линейный функционал на C, для которого μ(1) = 1.
1.2. Взаимодействия
Взаимодействием называется такая действительная функция Φ на мно-
жестве
1
Заметим, что при F =отображения αSи αTSне обязательно являются эпиморфизма-
ми. — Прим. ред.
2
См. приложения A.3.4, A.4.1. — Прим. ред.
3
По определению, (A ◦ αΛ)(ξ)=A(αΛξ) и, тем самым, A ◦ αΛ∈C.—Прим. ред.
ΩΛ,
Λ⊂L, |Λ|<∞
1.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 29
что Φ|Ω∅=0иприлюбомx ∈ L
1
Φx=
Xx
|X|
sup
|Φ(ξ)| < ∞, (1.3)
ξ∈Ω
X
где |X | = card X.
При заданном Φ определим для каждого конечного Λ ⊂ L энергию
Φ
U
:ΩΛ→ R равенством
Λ
(ξ)=
Φ
всюду, где это не может привести к пута-
Λ
Φ(ξ|X ). (1.4)
X⊂Λ
Мы будем писать U
вместо U
Λ
Φ
U
Λ
нице.
Очевидно,
и, значит,
U
Λ
(ξ)=
x∈ΛX:x∈X ⊂Λ
|
|U
Λ
x∈Λ
1
Φ(ξ|X ) (1.5)
|X|
Φx. (1.6)
В оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что выполнено
более сильное, чем (1.3), условие
||Φ||
=
x
Xx
sup
|Φ(ξ)| < +∞. (1.7)
ξ∈Ω
x
Если Λ,M — непересекающиеся подмножества L, причем Λ конечно, и е сли
ξ ∈ Ω
где
, то можно определить величину
Λ∪M
W
(ξ)=
ΛM
∗
обозначает суммирование по конечным множествам X ⊂ Λ ∪M,
∗
Φ(ξ|X ), (1.8)
X
для которых X ∩ Λ = ∅ и X ∩M = ∅. В таком случае
|W
ΛM
|
Φx. (1.9)
x∈Λ
Если Λ и M конечны, то
U
= UΛ+ UM+ WΛM. (1.10)
Λ∪M
30 ГЛАВА 1
1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел
Гиббсовским ансамблем для конечной области Λ ⊂ L ивзаимодей-
ствия Φ называется вероятностная мера μ
шением
μ
(Λ)
(ξ)=Z
−1
Λ
exp[−U
на ΩΛ, определенная соотно-
(Λ)
Φ
(ξ)], (1.11)
Λ
где
Z
=
Λ
ξ∈Ω
exp[−U
Λ
Φ
Λ
(ξ)].
Выражение термодинамический предел относится к предельному переходу при «стремлении Λ к бесконечности». Мы будем, в частности, писать
Λ → L, если всякое конечное множество Δ ⊂ L принадлежит всем Λ, на-
чиная с некоторого (т. е. предел берется по возрастающей сети конечных
подмножеств L, упорядоченных по включению).
Докажем теперь существование термодинамического предела для гиббсовских ансамблей, используя соображения компактности.
1.4. Предложение
Пусть (Mn) — последовательность конечных подмножеств множества L, удовлетворяющая условию M
задана вероятностная мера μ
довательность (M
), что при любом конечном Λ ⊂ L существует предел
n
(Mn)
→ L, и пусть при каждом n на Ω
n
M
. Тогда можно выбрать такую подпосле-
n
lim
n→∞
α
ΛM
μ
= ρ
(M
n
Λ
)
n
(1.12)
и найдется единственная вероятностная мера ρ на Ω, для которой при
всех Λ
= αΛρ. (1.13)
ρ
Λ
μ
Заметим, что мера α
ΛM
n
определена только при Mn⊃ Λ, т. е.
(Mn)
только при достаточно большом n. Так как конечные подмножества Λ ⊂ L
образуют счетное семейство, а множества Ω
последовательности (M
), для которой справедливо (1.12), доказывается
n
с помощью диагонального процесса. Из (1.12) вытекает, что α
= ρ
,еслиΛ ⊂ M . Поэтому можно согласованным образом определить ρ
Λ
на функциях вида A ◦ α
,A∈C(ΩΛ), равенством ρ(A ◦ αΛ)=ρΛ(A).
Λ
конечны, существование под-
Λ
ΛMρM
Теперь ρ можно продолжить по непрерывности на все C: для любого Λ
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]