Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
7.12. СЛЕДСТВИЕ 161
7.12. Следствие
Предположим, что (Ω,f) топологически перемешивает. Фиксируем
α ∈ (0, 1) идляA, B
, ..., Bl∈Cα(Ω) введем обозначение
1
l
l
(B1, ..., Bl)=
D
Вчастности, D
∂s1...∂s
1
(B1)=ρA(B1).
l
∂
PA +
l
i=0
(a) Для всякого M>0 найдутся такие a, b>0,что
|ρ
(B1· (B2◦ fk)) − ρA(B1)ρA(B2)| e
A
если ||A||
ратичной формой на C
имеет вид {c + C ◦ f − C : c ∈ R, C ∈C
M (||·||α— норма в пространстве Cα(Ω)).
α
2
(B1,B2)=
(b) D
(c) B
→ D2(B1,B1) является положительно полуопределенной квад-
1
[ρA(B1· (B2◦ fk)) − ρA(B1)ρA(B2)].
k∈Z
α
(Ω). Если выполнено условие (SS3),тоееядро
α
(Ω)}. Существует такое R>0,
что
2
(B1,B1)]
[D
1/2
R||B1||α.
(d) При всех p ∈ R mod 2π
−ipk
e
[ρA(B1· (B1◦ fk)) − ρA(B1)ρA(B1)] 0.
k∈Z
(e) (Центральная предельная теорема
−1/2
= |Λ|
B
Λ
k∈Λ
1
.) Пусть
[B1◦ fk− ρA(B1)],
$
$
siB
$
i
a−b|k|
||B1||α||B2||α,
s1= ...=sl=0
.
где Λ — конечный интервал на Z. Обозначим через γ вероятностную меру на R, которая имеет плотность (1/
если D = D
ра δ
0
2
(B1,B1) > 0, и приписывает единичную массу точке 0(δ-ме-
),еслиD2(B1,B1)=0. Тогда при |Λ|→∞мера BΛρAслабо сходится
√
2πD)e
−t2/2D
(гауссовская мера),
к γ.
Все это — переформулировка упражнений 4(e), 5 и 9 главы 5.
1
См. Ратнер [1]; этот результат можно улучшить и обобщить, следуя упражнению 9 главы 5.
162 ГЛАВА 7
7.13. Следствие
Пусть динамическая система (Ω,f) топологически (+)-транзитивна
и A, B ∈C
α
(Ω). Положим
Z
[a, b]
= ρ
b−1
exp
A
k=a
B ◦f
k
.
Тогда
(a) lim
b−a→∞
(b) Мера Z
слабой топологии к ρ
1
b − a
−1
[a, b]
ln Z
(exp
A+B
= P(A + B) − P(A).
[a, b]
b−1
B ◦fk) · ρAпри a →−∞, b →∞сходится в
k=a
.
См. предложение 4.4 и замечание 4.5 для перемешивающих систем.
Случай (+)-транзитивных систем рассматривается аналогично.
7.14. Равновесные состояния для негельдеровских
функций A
В этом параграфе мы опишем один результат, справедливый для динамических систем несколько более общей природы, чем пространства Смейла.
Пусть Ω — компактное метризуемое пространство и f : Ω → Ω —
гомеоморфизм. Выберем метрику d на Ω.Мыбудемговорить,чтоf удо-
влетворяет условию спецификации, если для любого δ>0 существует та-
для любых интервалов Λ
и удовлетворяющих условию d(Λ
x
, ..., xn∈ Ω, существует такая точка x ∈ Ω,что
1
и
d(f
, ..., Λn⊂ Z,содержащихсяв[a, b]
1
, Λj) p(δ) при i = j,илюбых
i
b−a+p(δ)
f
k
x, fkxi) <δпри k ∈ Λi.
x = x
Пусть A — непрерывная действительная функция на Ω. Сформулируем
следующее условие:
(S) Существуют такие δ>0 и K 0,чтоеслиd(f
k
x, fky) <δпри
k =0, 1, ..., n,то
$
$
$
$
$
k=0
n
A(fkx) −
n
k=0
A(fky)
$
$
$
$
$
K.
7.15. СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ И СОПРЯГАЮЩИЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ 163
Боуэн [5] получил следующее условие единственности равновесного
состояния:
Если гомеоморфизм f : Ω → Ω разделяет точки и удовлетворяет условию спецификации, а функция A ∈C(Ω) удовлетворяет условию (S),тоA
имеет единственное равновесное состояние.
В случае пространств Смейла спецификация вытекает из перемешивания, что можно установить при помощи символической динамики (см.
теорему 7.6(e)). Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Если (Ω,f) — топологически (+)-транзитивное пространство Смей-
ла и функция A ∈C(Ω) удовлетворяет условию (S),тодляA существует
ровно одно равновесное состояние.
(Случай топологической (+)-транзитивности сводится к случаю перемешивания.)
Для любого A ∈C(Ω) положим
var
A =sup{|A(y) −A(x)|: d(fkx, fky) <δпри |k| n}.
n, δ
∞
Предположим, что
вию (S) с K =2
место, если A — гельдеровская функция (поскольку d(x, y) <Cλ
k
d(f
x, fky) <δпри |k| <n(см. §7.3)).
n=0
∞
n=0
var
A<∞. Тогда функция A удовлетворяет усло-
n, δ
var
A. В случае пространств Смейла это имеет
n, δ
n
,если
В частном случае Z-решетчатых систем (см. пример 7.2) функция A
удовлетворяет условию (S), если Φ ∈B1.
Φ
7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы
Пусть, как и раньше, Ω — пространство Смейла. Будем говорить, что
точки x, y ∈ Ω сопряжены,если
d(fkx, fky)=0.
lim
|k|→∞
Тогда найдется такое n>0,что
+
n
f
y ∈ V
(δ),f−ny ∈ V
n
f
x
идляz из некоторой окрестности O точки x можно положить
ϕz =[f
−n[fn
[z, x],fny],fn[f−ny, f−n[x, z]]].
−
(δ)
−n
x
f
164 ГЛАВА 7
Очевидно, ϕx = y и
(a) отображение ϕ непрерывно в O;
(b) lim
Пару (O, ϕ) со свойствами (a) и (b) будем называть сопрягающим отоб-
ражением.Пусть(O
y ∈ O
, ϕy = x.Тогдаи(O∩ϕ−1O,ϕϕ) является сопрягающим отображе-
нием и, как видно из (a), (b), ϕ
d(fkz, fkϕz)=0равномерно по z.
|k|→∞
,ϕ
) — другое сопрягающее отображение, для которого
ϕ — тождественное отображение в некоторой
окрестности точки x.ПоэтомуO можно заменить меньшей окрестностью
точки x так, чтобы в этой окрестности ϕ было гомеоморфизмом. В этом
случае мы будем называть (O, ϕ) сопрягающим гомеоморфизмом.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Если x и y сопряжены, то существует такой сопрягающий гомеоморфизм (O, ϕ),чтоx ∈ O, ϕx = y. Пусть (O, ϕ), (O
гомеоморфизмы. Если O ∩ϕ
щий гомеоморфизм. Если x ∈ O ∩O
−1O
= ∅,то(O ∩ ϕ−1O,ϕϕ) — сопрягаю-
и ϕx = ϕx,тоϕ = ϕв некоторой
,ϕ
) — сопрягающие
окрестности точки x.
7.16. Предложение
(a) Если x — неблуждающая точка и точка y сопряжена с x,тоиy —
неблуждающая точка.
(b) Если x ∈Ω
ных с x.
При доказательстве утверждения (a) мы можем предполагать, что x —
периодическая точка (это не ограничивает общности в силу существования сопрягающих гомеоморфизмов (§ 7.15) и леммы Аносова о замыкании
(§ 7.3)). Пусть x имеет период p и O — окрестность точки y.Всилу(7.4)
можно выбрать число δ
при d(u, v) <δ
αβ
,тоΩαβ— замыкание множества точек, сопряжен-
настолько малым, что
4
+
V
(δ) ∩V
u
. Возьмем произвольно большое m>0, для которого
4
mp
d(f
y, x) <δ4/2,d(f
−
(δ) = ∅
v
−mp
y, x) <δ4/2
и в силу (SS2)
−
−mp
f
V
(δ) ⊂ O, fmpV
mp
f
y
Тогда
mp
f
O ∩ f
−mp
O ⊃ V
что и доказывает утверждение (a).
−
f
mp
(δ) ∩V
y
+
f
−mp
+
f
(δ) ⊂ O.
y
−mp
(δ) = ∅,
y
7.17. ТЕОРЕМА 165
Множества Ωαβудалены друг от друга на положительное расстояние
и инвариантны относительно f
если y сопряжено с x ∈ Ω
N
αβ
при подходящем N>0.Следовательно,
,тоy ∈ Ωαβ,таккак lim
d(fkNx, fkNy)=0.
|k|→∞
Чтобы доказать (b), достаточно проверить, что множество точек, сопряженных с x, всюду плотно в Ω
если lim
|k|→∞
αβ
для (Ω
kn
α
d(f
x, f
n
α
,f
). Поэтому достаточно доказать, что точки, сопряженные с x,
αβ
.Точкиx, y ∈ Ωαβсопряжены, если и только
kn
α
y)=0, т.е. если и только если они сопряжены
всюду плотны в Ω, если отображение f топологически перемешивает. Очевидно, это верно, если точки, сопряженные с ξ,гдеπξ = x, всюду плотны
в Ω. Но последнее есть свойство (D
местопотому,чтосистема(Ω
,t) перемешивает (теорема 7.6(e)).
0
∗
) из замечания 1.14, которое имеет
7.17. Теорема
Пусть система (Ω,f) топологически (+)-транзитивна и ρ0— f -инвариантная вероятностная мера, на которой реализуется максимум энтропии (мера Боуэна).Тогда
(a) Для всякого x ∈ Ω существуют положительные меры σ
определенные на V
ние [·, ·]: V
−
x
чение меры ρ
−
(δ) и V
x
(δ) ×V
+
(δ) → Ω переводит произведение σ−× σ+в ограни-
x
на множество [V
0
+
(δ) соответственно и такие, что отображе-
x
−
x
(δ),V
x
+
(δ)].
(b) если (O, ϕ) — сопрягающий гомеоморфизм, то ϕ переводит огра-
ничение меры ρ
на O в ограничение ρ0на ϕO:
0
ϕ(ρ
|O)=ρ0|ϕO.
0
Утверждение (a) доказано Синаем [1], а также Рюэлем и Салливаном
[1, теорема 1.1]. Оно связано с тем, что ρ
= πρ0,где(ρ0,τ) — переме-
0
шивающий марковский процесс, если отображение (Ω,f) топологически
перемешивает (теорема Перри [1]).
При доказательстве утверждения (b) можно предположить, что O —
достаточно малая окрестность точки x, затем использовать (a) и проверить,
что факторизация меры ρ
точки ϕx при естественных отображениях V
вблизи точки x переходит в факторизацию вблизи
0
±
x
→ V
ϕx
±
.
−
и σ+,
7.18. Гиббсовские состояния
Пусть A ∈Cα(Ω) и (O, ϕ) — сопрягающий гомеоморфизм. Определим
функцию g : O → R равенством
∞
g(z)=exp
[A(fkϕz) −A(fkz)].
k=−∞
166 ГЛАВА 7
Так как d(fkz, fkϕz) равномерно стремится к нулю c экспоненциальной
скоростью, функция g непрерывна. Назовем вероятностную меру σ на Ω
гиббсовским состоянием для A,если
ϕ(g · (σ|O)) = σ|ϕO
для всех сопрягающих гомеоморфизмов (O, ϕ). Эта формула означает, что
ϕ переводит ограничение меры σ на O, умноженное на g,вмеруσ на ϕO.
Если σ — равновесное состояние для A, то оно является и гиббсовским
состоянием для A.[Таккакмераσ f-инвариантна, ее носитель содержится
в неблуждающем множестве (см. § 7.4). Мы также знаем, что точка, сопряженная с точкой из базисного множества, содержится в том же базисном
множестве (см. предложение 7.16(b)). Поэтому наше утверждение достаточно доказать для случая, когда система (Ω,f) топологически (+)-транзитив-
на. При этом предположении оно справедливо для A =0(теорема 7.17(b))
и, значит, в силу следствия 7.13(b), — для любой функции A ∈C
α
(Ω).]
7.19. Периодические точки
Обозначим через Fix f множество неподвижных точек отображения F .
Для любой непрерывной действительной функции A на Ω и любого натурального n определим статистическую сумму
n
exp
n−1
k=0
A(fkx).
Z
(A)=
n
x∈Fix f
Так как f разделяет точки с разделяющей константой δ (см. §7.3), множе-
ство Fix f
n
является ([1,n],δ)-разделенным.
Пусть (Ω,f) топологически перемешивает. Тогда для любого α>0
найдется такое m,чтоеслиx, y ∈ Ω,тосуществуетz ∈ Ω, для которого
d(y, z) <α, d(x, f
m
z) <α.
[Покроем пространство Ω конечным числом шаров радиуса α/2,центрами которых служат некоторые периодические точки y
надлежат множеству Fix f
ство
n0
ществует такое n, что каждая точка x ∈ Ω находится на расстоянии <α
от множества f
fnNV
−
(α/2) всюду плотно в Ω (см. предложение 7.16(b)), су-
y
i
nNV−
x
ниями (a) и (b) параграфа 7.3, можно выбрать такое m,чтоеслиn>m
и x ∈ Ω,тосуществуетx
N
при некотором N>0.Таккакмноже-
(α/2) при каждом i.] Поэтому, пользуясь утвержде-
i
∈ Fix fn, для которого d(fkx, fkx) <δ
.Всеyiпри-
i
7.20. ТЕОРЕМА 167
при всех k ∈ [1,n− m]. Другими словами, множество Fix fnявляется
([1,n− m],δ)-плотным.
Поскольку для перемешивающего f множество Fix f
n
одновременно
является ([1,n],δ)-разделенным и ([1,n−m],δ)-плотным, из параграфа 6.7
следует, что если A ∈C,то
n−1
n
exp
A(fkx).
k=0
P (A) = lim
n→∞
1
ln
n
x∈Fix f
Без предположения о перемешивании из спектрального разложения Смейла
получаем равенство
P (A) = lim sup
n→∞
n
1
ln
x∈Fix f
n
exp
n−1
A(fkx). (7.11)
k=0
7.20. Теорема
Пусть (Ω,f) топологически перемешивает. Тогда
(a) Функции P
поточечно сходятся к P (A) при n →∞.
(b) Определим f-инвариантную вероятностную меру σ
n
в Fix f
, положив для любого y ∈ Fix f
, определенные на пространстве C = C(Ω) равенством
n
P
(A)=
n
σn{y} =
1
n
ln
x∈Fix f
x∈Fix f
exp
n
n
n
n−1
k=0
exp
exp
A(fky)
n−1
k=0
n−1
A(fkx),
k=0
A(fkx)
с носителем
n
.
Если для функции A существует единственное равновесное состояние ρ
то при n →∞последовательность {σ
} слабо сходится к ρA.Вчаст-
n
A
ности, такая сходимость имеет место, когда функция A — гельдеровская
или когда она удовлетворяет условию (S) из параграфа 7.14.
Утверждение (a) было доказано выше. Так как
d
P
ds
(A + sB)|
n
s=0
= σn(B),
утверждение (b) следует из (a) и выпуклости функционалов P
d
P (A + sB)|
ds
= ρA(B),
s=0
.
n
,
168 ГЛАВА 7
7.21. Изучение периодических точек с помощью
символической динамики
Периодические точки отображения f можно изучать с помощью символической динамики. Действительно, точка ξ ∈ Ω периодична тогда и
только тогда, когда периодична точка πξ (правда, не обязательно с тем
же периодом): это немедленно следует из теоремы 7.6(d). Известно также, что если точка πξ = πη периодична и ξ
= η0,тоξ = η (Боуэн [2],
0
предложение 12).
7.22. Предложение
Существует конечное число Z-решетчатых систем (Ωi,ti), которые
отвечают сдвигам τ
рывные отображения π
(a) π
удовлетворяет условию Липшица и πiτi= fπi.
i
(b) Существует одно значение индекса i,скажем,1, для которого s
=+1и τ
, Ω1, π1являются соответственно сдвигом τ, пространством Ω и
1
отображением π, ассоциированными с некоторым марковским разбиением.
(c) Если i =1,тоπ
(d) Для каждого x ∈ Ω
card[{x}∩Fix f
, действующим на пространствах Ωi, а также непре-
i
→ Ω ичислаsi= ±1 такие, что
i:Ωi
= Ω.
iΩi
n
]=
sicard[π
i
−1
{x}∩Fix τ
i
1
n
].
i
=
Сдвиги τ
явно построены Мэннингом [1] так, что имеет место (d); (a),
i
(b), (c) вытекают из построения (в связи с (a) см. § 7.7).
7.23. Дзета-функции
Рассмотрим формальный степенной ряд
∞
ζ(z)=ζ
В силу предложения 7.22
ζ(z)=
(z)=exp
f
(
exp
i
∞
n=1
n=1
|Fix τ
|Fix fn|
n
i
n
z
n
)
s
n
i
z
|
.
n
.
7.23. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 169
Нетрудно проверить, что
|Fix τ
n
| =trt
i
n
i
и, следовательно,
ζ(z)=
[exp tr(−ln(1 − zti))]
i
s
i
=
[det(1 − zti)]
i
−s
i
.
Отсюда видно, что ζ имеет ненулевой радиус сходимости и продолжается
до рациональной функции переменной z.
Более общим образом, для A ∈Cположим
(zeA)=exp
ζ
f
∞
n=1
z
n
n
x∈Fix f
n
exp
n−1
A(fkx)=exp
k=0
∞
n=1
Zn(A)
n
z
.
n
При A =0это сводится к ζ-функции, определенной выше. В общем случае
ряд
в силу (7.11) сходится при |z| <e
z → ζ
|z| <e
(zeA) является аналитической и не обращается в нуль в области
f
−P (A)
.
Заметим, что ζ
ζ
f|Ω
(zeA) есть произведение функций
f
α
ze
A|Ω
α
по базисным множествам Ω
∞
Zn(A)
n=1
= ζ
αβ
n
α
f
|Ω
α
спектрального разложения Смейла, так что
n
z
n
z
n
−P (A)
. Таким образом, функция
nα−1
α
exp
A ◦ fm|Ω
m=0
αβ
можно ограничиться случаем, когда система (Ω,f) топологически переме-
шивает.
В силу предложения 7.22
ζ
(zeA)=exp
f
(
=
exp
i
∞
n=1
∞
n=1
n
z
n
n
z
n
ξ∈Fix τ
i
s
i
n
i
ξ∈Fix τ
n−1
exp
k=0
n
i
n−1
exp
k=0
A ◦ πi(τ
A(fkπiξ)=
)
s
i
k
ξ)
=
i
A◦π
s
i
[ζ
(ze
τ
i
i
i
)]
.
170 ГЛАВА 7
Как было замечено выше, множитель
аналитичен и не обращается в нуль при |z| <e
В силу теоремы 7.9 P (A ◦ π
%
ζ
τ
i
1
&
s
i
i
−P (A◦πi)
.
ze
A◦π
)=P (A).Еслиi =1, то (см. теоре-
му 7.6(d))
Z
(A ◦ πi) d ·Zn(A|πiΩi)
n
и P(A ◦π
множество пространства Ω и π
вытекает, что P (A|π
) P (A|πiΩi).ТаккакπiΩi—замкнутоеf-инвариантное под-
i
Ω) <P(A) (см. следствие 7.10(b)).
i
= Ω (см. предложение 7.22(c)), отсюда
iΩi
7.24. Теорема
Пусть (Ω,f) топологически перемешивает и A ∈Cα(Ω).Тогдасуществует такое R(A) > exp[−P (A)], что функция z → ζ(ze
не обращается в нуль и имеет только один полюс в круге {z : |z| <R(A)}.
Этот полюс находится в точке z =exp[−P(A)] и его порядок равен еди-
нице.
Утверждение достаточно доказать для ζ
τ
(ze
A◦π
это уже было сделано в теореме 5.29.
Заметим, что для общего пространства Смейла Ω и функции
α
A ∈C
z → ζ(ze
(Ω) существует такое R(A) > exp[−P (A)], что функция
A
) мероморфна в круге {z : |z| <R(A)}, не обращается там в нуль
и имеет полюса только в точках exp[−P (A)+2πik/d], k =0, ..., d− 1,
где d ∈ N.
Заметим также, что в общем случае функция z → ζ(ze
иметь мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость C (см.
замечание 5.30).
A
) мероморфна,
) вместо ζf(zeA),но
A
) не обязана
7.25. Следствие
Пусть (Ω,f) топологически перемешивает. Тогда
(a) Если A ∈C
сходится при |z| <R(A) и, следовательно,
при n →∞сходится к нулю c экспоненциальной скоростью.
α
(Ω),торяд
∞
Zn(A)zn−
n=1
Z
(A)e
n
∞
n=1
−nP (A)
nP (A)zn
e
− 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]