Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА 251
открытым множеством U = ∅ и, следовательно, всюду плотно в Ω.Поэтому
(+T) ⇒ (+T
и U, V — непустые открытые множества то f
).Ясно,что(+T) ⇒ (+T). Если выполняется условие (+T)
m
x ∈ U и f
m+n
x ∈ V при
некоторых m, n>N.Отсюдаследует(+T).]
Заметим, что если множество предельных точек последовательно-
n
сти {f
x} совпадает со всем пространством Ω,томножество{fnx: n>0}
всюду плотно в Ω.ЕслиΩ не содержит изолированных точек, то верно и
обратное.
Динамическая система (Ω,f) (или отображение f ) называется топо-
логически перемешивающей, если выполняется условие
(M) для любых непустых открытых множеств U , V ⊂ Ω существует
такое N 0,что
n
f
U ∩ V = ∅ при всех n>N.
Если отображение f топологически перемешивает, то оно топологически (+)-транзитивно. Гомеоморфизм f топологически перемешивает тогда
и только тогда, когда этим свойством обладает f
−1
.
Гомеоморфизм f называется топологически транзитивным,еслион
удовлетворяет условию
(T) для любых двух непустых открытых множеств U, V существует
такое n ∈ Z,чтоf
n
U ∩ V = ∅.
Гомеоморфизм f топологически (+)-транзитивен тогда и только то-
гда, когда он топологически транзитивен и его неблуждающее множество
совпадает с Ω:
(+T) ⇔ (T) и неблуждающее множество =Ω.
[Ясно, что из (+T) вытекает (T) и совпадение неблуждающего множества
с Ω. Обратно, пусть выполняется (T) и Ω является неблуждающим множеством. Возьмем непустые открытые множества U, V ⊂ Ω илюбоеN 0.
Мы хотим доказать, что
m
f
U ∩ V = ∅ при m>N.
Из (T) следует, что f
ка x множества W = f
при котором W ∩ f
n
U ∩V = ∅ при некотором n ∈ Z. Так как каждая точ-
n
U ∩V является неблуждающей, существует m>N,
m−n
W = ∅.ПоэтомуfmU ∩ V ⊃ W ∩ f
m−n
W = ∅.]
Если Ω — компактное метризуемое пространство и f — гомеоморфизмом, то (T) эквивалентно следующим условиям (см. Уолтерс [2], гл. 5, § 2):
) существует такая точка x ∈ Ω,чтомножество{fnx: n ∈ Z}
(T
всюду плотно в Ω;
) точки x ∈ Ω, для которых множество {fnx: n ∈ Z} всюду
(T
плотно в Ω, образуют массивное подмножество.
Приложение A.3
ВЫПУКЛОСТЬ
A.3.1. Общие определения
Пусть V — вещественное векторное пространство. Множество S ⊂ V
называется выпуклым,еслиαx +(1−α)y ∈ S при всех x, y ∈ S и α ∈ [0, 1].
Выпуклой оболочкой множества S ⊂ V называется наименьшее выпуклое
множество, содержащее S.
Пусть S — выпуклое множество. Функция f : S → R называется вы-
пуклой,если{(x, t) ∈ V × R : x ∈ S, t f (x)} —выпуклоемножество.
Функция f называется вогнутой, если функция −f выпукла; если функция f одновременно выпукла и вогнута, она называется аффинной.Вболее
общем случае, когда W — вещественное векторное пространство, мы говорим, что f : S → W — аффинное отображение, если f(αx +(1− α
= αf(x)+(1−α)f(y) при любых x, y ∈ S и α ∈[0, 1]. В частности, всякое
линейное отображение V → W аффинно.
Если S — открытое выпуклое множество в R
функция на S непрерывна. Если f — действительная функция, определенная
на интервале (a, b) ⊂R и d
Понятие выпуклости занимает центральное место в теории топологических векторных пространств (см. К¨ете [1]
2
f(x)/dx2 0 при x ∈ (a, b),тоf выпукла.
1
n
,товсякаявыпуклая
). Здесь мы приводим только
некоторые результаты, используемые в тексте.
)y)=
A.3.2. Теорема Хана –Банаха
Пусть P : V → R — выпуклая функция и W — линейное подпространство пространства V . Предположим, что линейная функция w : W → R
удовлетворяет условию w P |W . Тогда существует такая линейная функция v : V → R,что
v P, v|W = w.
1
Более доступны отечественному читателю книги Бурбаки [2∗], Данфорда и Шварца [1∗],
Иоффе и Тихомирова [1
∗
], Рокафеллара [1∗]. — Прим. ред.
ВЫПУКЛОСТЬ 253
Если V — топологическое векторное пространство и функция P непрерывна, то и функция v непрерывна. Стандартный пример: V — нормированное
пространство и P —норма.
A.3.3. Теоремы отделимости
Говорят, что подмножества S и Sтопологического векторного пространства V разделены (замкнутой) гиперплоскостью, если существуют
непрерывная линейная функция f : V → R ичислоc ∈ R, для которых
f(x) c при x ∈ S и f (x) c при x ∈ S
f(x) >cпри x ∈ S
Пусть S и S
(a) Если S открыто, то S и S
(b) Если S и S
(с) Если пространство V локально выпукло, множество S компактно,
амножествоS
, то говорят, что S и Sстрого разделены.
— непересекающиеся выпуклые множества.
открыты, то они строго разделены гиперплоскостью.
замкнуто, то S и Sстрого разделены гиперплоскостью.
разделены гиперплоскостью.
.Еслиf(x) <cпри x ∈ S и
(Заметим, что утверждения (a) и (b) — это различные формы теоремы
Хана –Банаха).
A.3.4. Выпуклые компактные множества
Пусть V — нормированное пространство. Сопряженное к нему пространство V
∗
(пространство непрерывных линейных функционалов на V )—
это банахово пространство с нормой
σ →||σ|| =sup
x∈V : ||x||1
Слабой топологией на V
∗
называется топология, порожденная поточечной
сходимостью линейных функционалов на V .
топологией локально выпукло и сопряженное к нему пространство есть V .
Замкнутый единичный шар {σ ∈ V
логии пространства V
∗
(это частный случай теоремы Алаоглу – Бурбаки).
∗
: ||σ|| 1} компактен в слабой топо-
|σ(x)|.
1
Пространство V∗со слабой
Пусть K — выпуклое компактное подмножество локально выпуклого
топологического векторного пространства V и (f
) — семейство коммути-
α
рующих непрерывных аффинных отображений множества K всебя.Тогда
отображения f
имеют общую неподвижную точку (теорема Маркова– Ка-
α
кутани).
1
Эту топологию часто называют также ∗-слабой (Колмогоров и Фомин [1∗]) и V -топологией
(Данфорд и Шварц [1
∗
],гл.5,§4).—Прим. ред.
254 ПРИЛОЖЕНИЕ A.3
A.3.5. Крайние точки
Пусть V — вещественное векторное пространство и S ⊂ V .Точкаz ∈ S
называется крайней точкой множества S,если
z = αx +(1− α)y при некоторых x, y ∈ S, α ∈ (0, 1),
лишь в том случае, когда x = y = z.
Пусть K — выпуклое компактное подмножество локально-выпуклого
топологического векторного пространства V и E — совокупность крайних
точек множества K. Тогда замыкание выпуклой оболочки множества E сов-
падает со всем K (теорема Крейна – Мильмана).
Пусть S — подмножество локально-выпуклого топологического векторного пространства V , причемзамыкание K его выпуклой оболочки компактно. Тогда крайние точки множества K содержатся в замыкании множества S
(теорема Мильмана).
A.3.6. Касательные функционалы к выпуклым функциям
Пусть V — топологическое векторное пространство и P : V → R —
непрерывная выпуклая функция. Линейный функционал σ : V → R называется касательным к P вточкеx,если
P (x + y) P (x)+σ(y) при всех y ∈ V.
Рассмотрим более общую ситуацию. Функционал σ называется P-ограни-
ченным, если существует такое c ∈ R,что
σ −c P.
По теореме Хана – Банаха функционал σ непрерывен, т.е. содержится в
пространстве V
∗
, сопряженном к V .Крометого,длякаждойточкиx ∈ V
множество касательных функционалов к P в этой точке непусто.
Пусть V — банахово пространство, P : V → R — непрерывная выпуклая функция и C — замкнутый выпуклый конус с вершиной O в пространстве V . Если функционал σ
и ε>0, то существует функционал σ ∈ V
σ(y) σ
и касательный к P в некоторой точке x ∈ x
0
||
||x − x
∈ V∗является P -ограниченным, x0∈ V
0
(y) −ε||y|| при всех y ∈ C (∗)
0
1
[P (x
ε
∗
, удовлетворяющий условию
+ C такой, что
0
) − σ0(x0) − s(σ0)],
0
ВЫПУКЛОСТЬ 255
где s(σ0)=inf{P (y) − σ0(y): y ∈ V }. (Это теорема Израэля [1]. Если C —
линейное подпространство, то условие (∗) принимает вид ||(σ −σ
)|C|| ε;
0
в частности, при C = V мы получаем теорему Бишопа –Фелпса.)
A.3.7. Единственность касательного функционала
1
Если V — сепарабельное банахово пространство и P : V → R —непрерывная выпуклая функция, то множество точек x ∈ V , в которых существует только один касательный функционал к P , является массивным (теорема
Мазура [1]).
Если V — сепарабельное банахово пространство и P : V → R —непрерывная выпуклая функция, то множество
{σ ∈ V
∗
: σ — касательный функционал к P вточкеx}
совпадает с замкнутой (в слабой топологии) выпуклой оболочкой множества предельных точек последовательностей {σ
касательный функционал к P вточкеx
к x: lim
xn= x (теорема Лэнфорда –Робинсона [1]).
n→∞
, которая при n →∞стремится
n
},гдеσn— единственный
n
1
В оригинале название этого пункта таково: «Multiplicity of tungent functionals». Однако
речь в нем идет по преимуществу о единственности. — Прим. ред.
Приложение A.4
МЕРЫ И АБСТРАКТНЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
A.4.1. Меры на компактных множествах
Пусть Ω — компактное пространство и C(Ω) — банахово пространство
непрерывных действительных функций на Ω снормой
A →||A|| =sup
(равномерная норма). Пространство C(Ω)
из действительных мер на Ω. Мы будем иметь дело со слабой топологией
на C(Ω)
∗
(см. приложение A.3.4)1. Пространство C(Ω)∗является банаховым
|A(x)|
x∈Ω
∗
, сопряженное к C(Ω),состоит
пространством с нормой
ρ →||ρ|| =sup
A : ||A||1
Пусть Ω
— другое компактное пространство и f :Ω→ Ω— непрерыв-
ное отображение. Определим отображение f : C(Ω)
(fρ)(A)=ρ(A ◦ f),ρ∈C(Ω)
Меру fρ будем называть образом меры ρ при непрерывном отображении f .
Если A ∈C(Ω) и ρ ∈C(Ω)
∗
, то произведение A·ρ ∈C(Ω)∗определяется
|ρ(A)|.
∗
→C(Ω)∗формулой:
∗
,A∈C(Ω).
равенством (A ·ρ)(B)=ρ(AB), B ∈C(Ω).
Если ρ
функции A ∈C(Ω), мы пишем ρ
1
В оригинале автор употребляет для нее также наименование vague topology. Этот термин (не имеющий общепринятого русского эквивалента) обычно относится к топологии на
пространстве мер, порождающей сходимость интегралов от любой непрерывной функции с
компактным носителем. Поскольку пространство Ω компактно, такая топология совпадает со
слабой. — Прим. ред.
, ρ2∈C(Ω)∗и ρ1(A) ρ2(A) для любой неотрицательной
1
ρ2. Это неравенство устанавливает
1
МЕРЫ И АБСТРАКТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 257
отношение порядка, которое превращает пространство C(Ω)∗вструктуру
(см. приложение A.1.1). Мера ρ на Ω называется вероятностной,есливыполнены любые два (а значит, и все) из следующих условий:
(a) ρ 0;
(b) ρ(1) = 1;
(c) ||ρ|| =1.
Для ρ ∈C(Ω)
∗
и A ∈C(Ω) мы используем обозначение ρ(A)
ρ(A)=Adρ =A(x)ρ(dx).
Интегрирование по мере ρ можно продолжить с пространства C(Ω) на широкий класс функций, в частности, на характеристические функции многих подмножеств пространства Ω и определить тем самым меру этих (из-
меримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого
компактного пространства относятся борелевские множества —элементы
σ-кольца, порожденного компактными множествами. (Hепустой класс множеств называется σ-кольцом, если он замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества —
это множества вида X ∪ N ,гдеX — борелевское подмножество, а N —
подмножество некоторого борелевского множества меры нуль.
Мы кратко изложили здесь теорию мер Радона на компактных пространствах (см., например, Бурбаки [1]). Меры Радона на локально компактных пространствах определяются аналогичным образом (примером может
служить мера Лебега на R
n
). Во всех случаях, специально оговоренных,
меры в этой монографии считаются радоновыми.
A.4.2. Абстрактная теория меры
Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на
пространстве Ω имеется топология (см., например, Халмош [1]). Основной
объект такой теории — это пространство с мерой (Ω, A,ρ),гдеA — семей-
ство подмножеств пространства Ω (измеримых подмножества), а мера ρ —
счетно-аддитивная функция на A. Мы предполагаем, что ρ 0 и ρ(Ω) < ∞.
Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры
ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега,т.е.изоморфно
объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет
положительную меру, или «массу» (см. Рохлин [1]). В частности, если вероятностная мера ρ на компактном метризуемом пространстве не имеет
258 ПРИЛОЖЕНИЕ A.4
атомов (т. е. ρ(x)=0для любой точки x), то она определяет пространство
с мерой, изоморфное единичному интервалу (0, 1) ⊂ R с мерой Лебега.
A.4.3. Абстрактные динамические системы
Мы будем называть четверку (Ω, A,ρ,τ) абстрактной динамической
системой,если(Ω, A,ρ) — пространство с мерой и τ :Ω→ Ω —обратимое
отображение, сохраняющее A и ρ.Предположим,что(Ω, A,ρ) изоморфно
единичному интервалу (0, 1) ⊂ R с мерой Лебега.
Изоморфизмом двух абстрактных динамических систем, (Ω, A,ρ,τ) и
(Ω
, A,ρ,τ), называется такой изоморфизм f :(Ω, A,ρ) → (Ω, A,ρ)
пространств с мерой, что f ◦τ = τ
◦ f .
Энтропия,илиинвариант Колмогорова– Синая абстрактной динами-
ческой системы, определяется так, как это было сделано в параграфе 6.4, но
с заменой борелевских разбиений на измеримые. В случае, когда абстрактная динамическая система определяется гомеоморфизмом компактного метризуемого пространства, это определение совпадает с определением параграфа 6.4. Энтропия любой динамической системы — это неотрицательное
число или +∞; она не меняется при изоморфизме.
A.4.4. Сдвиги Бернулли
Пусть μ — вероятностная мера на конечном множестве Ω0.Мераρ на
пространстве Ω=Ω
Z
, определяемая как прямое произведение ρ = μ⊗Z,
0
инвариантна относительно сдвига τ (см. главу 5). Полученная таким образом динамическая система (и любая динамическая система, изоморфная ей)
называется сдвигом Бернулли. Заметим, что энтропия в этом случае равна
h = −
μ{ξ} log μ{ξ}.
ξ∈Ω
0
Мы предполагаем, что h>0.
A.4.5. Разбиения
Определение разбиения и связанных с ним понятий было дано в параграфе 6.3.
Пусть A =(A
i)i∈I
и B =(Bj)
ния пространства (Ω, A,ρ) и ε>0. Говорят, что разбиение A является
— конечные измеримые разбие-
j∈J
МЕРЫ И АБСТРАКТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 259
ε-независимым от B, если существует множество J⊂ J, для которого
ρ(Bj) ε и
j∈J
|ρ(Ai∩Bj)/ρ(Bj) − ρ(Ai)| <ε
i∈I
при j/∈ J
. Это отношение не симметрично, но оно влечет за собой сим-
метричное неравенство
|ρ(Ai∩Bj) − ρ(Ai)ρ(Bj)| < 3ε
i∈Ij∈J
и, в свою очередь, вытекает из симметричного неравенства
|ρ(Ai∩ Bj) − ρ(Ai)ρ(Bj)| <ε2.
i∈Ij∈J
Разбиение A =(A
ем) абстрактной динамической системы (Ω, A,ρ,τ), если множества τ
) называется образующей (образующим разбиени-
i
k
A
(k ∈ Z) порождают A (при помощи операций счетного объединения и
пересечения и с точностью до множеств меры нуль). Разбиение A назы-
вается слабо бернуллиевским, если для любого ε>0 существует такое n,
что разбиение
:
x∈[n, n+k]
τxA является ε-независимым от
:
x∈[−k, −1]
τxA при
всех k>0.
A.4.6. Теоремы об изоморфизме
Два сдвига Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны (теорема
Орнстейна).
Если абстрактная динамическая система (с пространством Лебега и
неатомической мерой) имеет слабо бернуллиевское разбиение в качестве
образующей, то она изоморфна сдвигу Бернулли (теорема Фридмана и Орн-
стейна).
Подробно теоремы изоморфизма изложены в книгах Орнстейна [1],
Шилдса [1], Смородинского [1].
i
Приложение A.5
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
НА ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТНЫХ
МНОЖЕСТВАХ
Здесь мы следуем дополнению Д.5 из книги Рюэля [3]. Доказательства
можно найти в книге Бурбаки [1] и статье Шоке и Мейера [1], на которые
мы в дальнейшем будем ссылаться как на [Б] и [Ш-M]. См. также Фелпс [1]
и Лэнфорд [1].
A.5.1. Результант меры
Пусть V — локально-выпуклое топологическое векторное пространство
и K ⊂ V — выпуклое компактное множество. Пространство C(K)
∗
,дуальное к C(K), состоит из действительных мер на K.ОбозначимчерезM
выпуклый конус положительных мер на K ичерезM1— множество положительных мер с нормой единица (M
на K). Для ρ ∈ K обозначим через δ
— множество вероятностных мер
1
вероятностную меру, соответствую-
ρ
щую единичной массе в точке ρ (меру Дирака).
Если m ∈ M
,тосуществуеттакоеρ ∈ K ,чтодлявсехf ∈ V∗(V∗—
1
пространство, дуальное к V ) справедливо равенство
f(ρ)=f(σ)m(dσ).
Точка ρ называется результантом меры m (см. [Б]). Если вероятностная
мера m имеет результант ρ, то ее можно представить как слабый предел
последовательности мер m
носитель (т.е. m
=
(см. [Б]). Если мера m ∈ M
n
i=1
∈ M1срезультантомρ, имеющих конечный
λiδ
, λi 0,
ρ
i
имеет результант ρ и функция f аффинна и
1
n
λi=1, ρi∈ K ,
i=1
n
i=1
λiρi= ρ
полунепрерывна сверху на K,тоm(f )=f(ρ) ([Ш-M], лемма 10).
+
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]