Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
7.26. РАСТЯГИВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 171
(Это утверждение усиливает пункт (a) теоремы 7.20 в случае, когда
α
A ∈C
(Ω).)
(b) Функция z → ζ(z) продолжается до рациональной функции на C,
у которой в точке z =exp[−P (0)] (где P (0) — топологическая энтропия)
имеется простой полюс, а все остальные полюса и нули строго больше по
абсолютной величине, чем e
−P (0)
.
7.26. Растягивающие отображения
Пусть Ω — компактное метрическое пространство с метрикой d и f —
непрерывное отображение пространства Ω на себя
1
. Будем называть отображение f растягивающим, если существуют ε>0 и λ ∈ (0, 1) со следующим
свойством:
(E) Если d(fx, y
fy = y
, d(x, y) < 2ε и, кроме того,
) < 2ε, то найдется единственное y, для которого
d(x, y) λd(fx, fy).
Из (E) вытекает, что
d(fx, fy) λ
−1
d(x, y),
как только d(x, y) < 2λε.
Определим отображение
fγ(x, y
) ∈Ω ×Ω : d(fx, y) <ε}→Ω
)=y,d(x, γ(x, y)) < 2ε.
γ : {(x, y
условиями:
В силу свойства (E) они определяют γ однозначно, причем
d(x, γ(x, y
Кроме того, отображение γ непрерывно. [Пусть (x, y
)=y, γ(x0,y
γ(x, y
так как d(y
0,x0
)=y0.Тогда
0
d(y
,y) d(y0,x0)+d(x0,x)+d(x, y) < 2λε,
0
)+d(x, y) <λd(fx0,y
угодно мало. Отсюда в силу (E) следует, что d(y
1
Если f не является сюръективным, то заменим Ω на
)) λd(fx, y).
) → (x0,y
)+λd(fx, y) < 2λε и d(x0,x) как
0
,y) λd(y
0
fnΩ.
n0
0
,y) → 0.]
0
) и
172 ГЛАВА 7
В частности, f является локальным гомеоморфизмом (и, следовательно,
открытым отображением).
Положим
Ω
= {(xn)
f (x
)=(fxn), f−1(xn)=(x
n
Это согласуется с определением Ω
: xn∈ Ω,fx
n∈Z
= xnпри всех n},
n−1
), π(xn)=x0.
n−1
, τ и π в § 6.17. Множество Ω является
компактным метрическим пространством с метрикой
d((x
), (yn)) = sup
n
n0
|n|
λ
d(xn,yn),
а отображение f — гомеоморфизмом этого пространства, причем f π =
= πf ,гдеπ — непрерывное открытое отображение пространства Ω
на
пространство Ω.
Если d((x
= x
и d(zn,yn) <εдля всех n. Эквивалентное определение:
0
), (yn)) <ε, определим (zn)=[(xn), (yn)] условиями z0=
n
= x0,z
z
0
n−1
= γ(y
n−1,zn
).
Отображение [·, ·] непрерывно, поскольку непрерывно γ.Легковидеть,что
для него выполняются условие (SS1); условие (SS2) (с δ = ε) также справедливо. Это же можно сказать и об условии (SS3) из параграфа 7.11, так
как
), [(xn), (yn)]= d(x0,y0) d(xn), (yn).
d(y
n
Кроме того,
Таким образом, Ω
−1
(xn), f−1(yn)) λ−1d((xn), (yn)). (7.12)
d(f
(с отображением [·, ·] и гомеоморфизмом ) является пространством Смейла, канонически связанным с растягивающим отображением f .
7.27. Замечания
(a) Поскольку Ω, f , π определены так же, как аналогичные объекты в
в параграфе 6.17, можно утверждать, что π индуцирует биекцию σ
множества f -инвариантных состояний на Ω
на Ω, для которой h(σ
)=h(σ).Крометого,еслиA ∈C(Ω),тоP (A ◦π)=
в f -инвариантные состояния
= P(A) (см. § 6.18).
→ σ
7.28. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ РАСТЯГИВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 173
(b) π — биекция множества Fix fnв Fix fn(доказательство очевидно).
(c) Отображение π — сжатие. Следовательно, если A — гельдеровская
функция на Ω,тоA ◦π — гельдеровская функция на Ω
.
(d) Отображение f топологически (+)-транзитивно (соответственно,
перемешивает) тогда и только тогда, когда таковым является отображение f .
[f топологически (+)-транзитивно, если и только если для любых непустых открытых множеств U , V ⊂ Ω илюбыхp, q, N 0 существует
такое n>N,что
n(fpπ−1
f
U) ∩(fqπ−1V ) = ∅,
илиеслисуществуеттакоеn>N+ p − q,что
−1
U) ∩(f−nπ−1V ) = ∅.
(π
−nπ−1
Так как f
V =(πfn)−1V =(fnπ)−1V = π−1(fn)−1V ,этоусловие
можно переписать в виде
−1
U) ∩(π−1(fn)−1V ) = ∅,
(π
атакжеввиде
n)−1
U ∩ (f
V = ∅ или в виде fnU ∩ V = ∅.
Случай перемешивания рассматривается аналогичным образом.]
7.28. Результаты для растягивающих отображений
Из приведенных замечаний видно, что теория, связанная с давлением
и равновесными состояниями для пространств Смейла, переносится на растягивающие отображения. В частности, если отображение f топологически
(+)-транзитивно и A ∈C
состояние ρ
, т. е. единственное f-инвариантное состояние, для которого
A
принимает максимальное значение, равное P (A). Читатель может также
проверить, что почти все утверждения следствий 7.10, 7.12, 7.13 переносятся на растягивающие отображения буквально или с простыми изменениями.
Используя замечание 7.27(b) о периодических точках, можно показать,
что остаются справедливыми также теоремы 7.20, 7.24 и следствие 7.25.
Дальнейшие результаты получаются при помощи марковских разбиений пространства Ω.
α
(Ω), то существует единственное равновесное
h(ρ)+ρ(A)
174 ГЛАВА 7
7.29. Марковские разбиения
Пусть (Ri) — марковское разбиение пространства Ω.КаждоеRiимеет
вид [C
],гдеCiсовпадает с замыканием в V
i,Di
множества своих внутренних точек. Поэтому каждое множество πCi⊂ Ω
имеет всюду плотную внутренность. Мы определим множества S
замыкания минимальных непустых пересечений множеств πint C
ства S
непусты, замкнуты, имеют всюду плотную внутренность и покры-
j
−
(δ) при некотором x
x
i
⊂ Ω как
j
.Множе-
i
вают Ω.Крометого,
(a) int S
(b) каждое fS
Семейство (S
вающего отображения f .
Множества π
ское разбиение пространства Ω
но мы можем считать, что при некотором N>0 семейство (f
ется настоящим марковским разбиением пространства Ω
построить символическую динамику. Более точно, пусть Ω
множеств S
Определим пространство Ω
фе 5.8, и введем односторонний сдвиг #τ :Ω
=(ξ
n+1)n0
∩ int Sj= ∅,еслиi = j;
i
является объединением множеств Sj.
i
) будем называть марковским разбиением1для растяги-
i
−1
Siудовлетворяют условиям, определяющим марков-
(эти множества не имеют малого диаметра,
Nπ−1
Si) явля-
. Поэтому можно
— совокупность
.Положим
i
t
SiS
,
1, если intS
=
j
0 в противном случае.
так же, как это было сделано в парагра-
∩f−1int Sj= ∅,
i
→ Ωравенством #τ(ξn)
0
n0
. Этот сдвиг очевидным образом связан со сдвигом τ на про-
странстве Ω.
7.30. Теорема
Если ξ =(ξn)
n0
∈ Ω,то
ки π(ξ). Кроме того,
(a) Отображение π :Ω
ным.
(b) π ◦#τ = f ◦π.
(c) Отображение π
стве Ω \
1
Марковские разбиения для растягивающих отображений можно получить и непосредственно с помощью упрощенной конструкции марковских разбиений для пространств Смейла; см.
Боуэн [1].
f−n∂,где∂ =
n0
−1
f−nξnсостоит из единственной точ-
n0
→ Ω является непрерывным и сюръектив-
однозначно определено на массивном множе-
(Si\ int Si).
i
i
=
7.31. ПРИЛОЖЕНИЯ 175
(d) Существует такое число d<∞,чтоcard π−1x d при
всех x ∈ Ω.
(e) Если отображение f топологически (+)-транзитивно (соответ-
ственно, перемешивает),тосдвигτ транзитивен (соответственно, перемешивает).
Все это можно непосредственно получить из теоремы 7.6 (в доказа-
тельстве утверждения (e) нужно воспользоваться замечанием 7.27(b)).
7.31. Приложения
Пусть f — растягивающее отображение пространства Ω и A — действи-
тельная непрерывная функция. Определим отображение L
равенством
(L
A
B)(x)=
y : fy=x
e
A(y)
B(y).
: C(Ω) →C(Ω)
A
Обозначим через D массивное множество точек пространства Ω,длякото-
рых отображение π
(L
где L — некоторый оператор на пространстве C(Ω
−1
B)(πξ)=
A
однозначно определено. Если πξ ∈ D,то
A◦π(η)
e
η :τη=ξ
B ◦π(η)=(L(B ◦ π))(ξ),
). Этот оператор того же
типа, что и оператор из параграфа 5.11. К нашей ситуации можно применить
или приспособить рассуждения главы 5.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что отображение f
топологически перемешивает и A ∈C
ция#A ∈C
α
(Ω) и вероятностная мера σ, для которых
α
(Ω).Тогдасуществуютфунк-
supp σ = Ω
и при всех B ∈C(Ω)
lim
n→∞
−nP (A)Ln
e
B = σ(B) · e
A
A
,
причем сходимость равномерна на Ω.
[В силу предложения 5.16 сходимость равномерна на D и, следовательно, на всем Ω,таккакD всюду плотно в Ω.Предположим,что
при d(x
,x) < 2ε выполняется неравенство |C(x) − C(x)| cd(x, x)α.
176 ГЛАВА 7
Тогда
eC)(x)
(L
A
(LAeC)(x)
так что |#A(x) −#A(x
В качестве другого примера рассмотрим отображение f, которое имеет якобиан e
A
)| #ad(x, x)α,где#a = aλα(1 − λα)−1.]
относительно некоторой вероятностной меры ρ на Ω.Это
exp[A(y)+C(y)]
y : fy=x
exp[A(y)+C(y)]
y: fy=x
=
exp[a(λd(x, x
))α
+ c(λd(x, x))α],
означает, что если B ∈C(Ω),то
(
(f(B ·ρ))(dx)=
y : fy=x
A(y)
e
B(y))· ρ(dx)
и, следовательно,
n
f
(B ·ρ)=(L
В частности, если отображение f топологически перемешивает и A∈C
то P (A)=0и f
n
ρ → e
A
ρ, причем норма разности fnρ − e
n
B) ·ρ.
A
α
A
ρ убывает
(Ω),
экспоненциально быстро (см. упражнение 4(b) главы 5). В таком случае
A
мера e
ρf-инвариантна и эквивалентна мере ρ.
Приведенные выше рассуждения часто позволяют показать, что g
n
имеет предел, когда σ — мера на компактном множестве Λ, но отображение
g :Λ→ Λ не удовлетворяет нашему условию (E). Для этого достаточно
найти сюръективное отображение ω : Ω → Λ и растягивающее отображение f, для которых ω ◦f = g ◦ω и отображение ω
−1
однозначно определено
σ-почти всюду.
n
Предположим, например, что Λ=
множество I(i) и непрерывное отображение g
щими свойствами:
(a)
I(i)={1, ..., n}.
i
(b) Множества Λ
(c) Отображения g
замкнуты и σ(Λi∩ Λj)=0,еслиi = j.
i
биективны и
i
Λiидлякаждогоi существуют
i=1
i:Λi
→
Λjсо следую-
j∈I (i)
σ
d(x, y) λd(fx, fy).
КОММЕНТАРИИ 177
(d) Существует такая функция Ai∈Cα(Λi),что
$
g
(σ|Λi)(dx)=exp[Ai◦ g
i
−1
i
x] ·σ
$
$
j∈I (i)
(dx).
Λ
j
Пусть ограничение отображения g :Λ→ Λ на Λ
обязательно определено на Λ
∩ Λjпри i = j). Тогда gnσ при n →∞име-
i
совпадает с gi(g не
i
ет предел, эквивалентный мере σ. Чтобы убедиться в этом, введем множество Ω последовательностей вида (x
и x
n+1
= g
xn.Пустьf (xn,in)=(x
i
n
), n 0,гдеxn∈ Λ
n,in
n+1,in+1
, i
n+1
∈ I(in)
i
n
), ω(xn,in)=x0.Тогда
ω ◦f = g ◦ω идляf иметрики
%
d((x
), (yn,jn)) = supnλ
n,in
n
d(x
выполняется условие (E). Положим ρ = ω
)+2ε(1 −δ
n,yn
−1
σ и A(xn,in)=A
inj
&
)
n
(x
).
i
i
0
0
Тогда A ∈Cα(Ω) и отображение f имеет якобиан eAотносительно меры ρ.
Комментарии
Диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, были определены
Смейлом в статье [1], которая до сих пор служит лучшим введением в эту
тематику. Определение Смейла обобщает более раннее понятие диффеоморфизма Аносова (см. Аносов [1]). Идея абстрактного изучения A-диффеомор-
физма, ограниченного на неблуждающее множество (или на гиперболическое множество), принадлежит Боуэну [1] (ср. с «Фактом 1», используемым
в его работе). Наше рассмотрение основывается на аксиомах (SS1) и (SS2),
и термин «пространство Смейла» мы употребляем по отношению к динамическим систем с этими свойствами. Полученные результаты применимы
к A-диффеоморфизмам и, в частности, к диффеоморфизмам Аносова.
Основным инструментом служат марковские разбиения и символическая динамика, существование которых впервые доказано Синаем в [1, 2]
для диффеоморфизмов Аносова. Это доказательство было улучшено и обобщено на А-диффеоморфизмы Боуэном [1]. Синай [4] обнаружил, что, используя символическую динамику, можно применить методы статистической механики к изучению инвариантных мер на многообразии с диффеоморфизмом Аносова. Это соображение обобщается и на А-диффеоморфизмы (см. Рюэль [5], Боуэн и Рюэль [1]). Данное изложение следует идеям
Синая и монографии Боуэна [6], но содержит и некоторые новые факты.
1
Из (b) и (d) следует, что отображение ω : Ω → Λ обратимо σ-почти всюду. Это и позволяет
говорить о мере ω
−1
σ.—Прим. ред.
1
178 ГЛАВА 7
Теория гиббсовских состояний, представленная в параграфах 7.15–7.18,
соответствует общему определению гиббсовского состояния, предложенному Капокачиа [1].
Изучение периодических точек в параграфах 7.19– 7.25 следует Боуэну [2] и Мэннингу [1]. Теорема 7.24 была анонсирована Рюэлем в [6].
Теория растягивающих отображений, развитая в параграфах 7.26 –7.31,
служит приложением теории пространств Смейла. Она является более общей (и, следовательно, менее богатой), чем теория растягивающих диффеоморфизмов Шуба [1] и Хирша [1]. Исследование итераций оператора L
A
параграфе 7.31 приводит к обобщению теоремы Перрона– Фробениуса (см.
предложение 5.16). Развитие этой темы можно найти у Уолтерса [3], [4] и,
в другом направлении, у Ласоты и Йорка [1].
Упражнения
в
1. Доказать, что пространство Смейла имеет конечную хаусдорфову
размерность
1
.
[Покроем Ω конечным числом N множеств диаметра <δ,гдеδ опре-
делено в параграфе 7.3. Тогда для всякого n>0 пространство Ω можно
покрыть не более чем N
2n−1
множествами Siдиаметра <Cλn.Поэтому,
если α>(2 ln N )/|ln λ|,то
Cλn=0,
lim
n→∞
lim
n→∞
(diam Si)α lim
i
n→∞
N
2n−1
(Cλn)α=
α
C
N
(N2λα)n=0
lim
n→∞
и, значит, dim Ω (2 ln N)/|ln λ| (см. Биллингслей [1], § 14).]
2. Пусть (Ω,f) — топологически (+)-транзитивное пространство
Смейла. Тогда следующие условия на функцию B ∈C
α
(Ω) эквивалент-
ны:
(a) σ(B)=0для всех σ ∈ I .
n−1
(b)
B(fkx)=0для всех n и x ∈Fix fn.
k=0
(c) B = C ◦f − C ,гдеC ∈C(Ω).
В (c) функция C определена с точностью до аддитивной постоянной,
и если выполняется условие (SS3) из параграфа 7.11, то C ∈C
[Импликации (c)⇒(a)⇒(b) тривиальны. Чтобы доказать (b)⇒(c), выберем точку y ∈ Ω, для которой множество Γ={f
1
Этот результат, принадлежащий Розенбергу, сообщен мне Боуэном.
k
y : k ∈ Z} плотно в Ω,
α
(Ω).
УПРАЖНЕНИЯ 179
и построим сначала функцию C на множестве Γ так, как это было сделано при доказательстве теоремы 5.7. Пусть u, v ∈ Ω, f
k
y → u, fly → v
и l −k → +∞. Если расстояние d(u, v) достаточно мало, то существует
точка z, для которой f
l−k
z = z и d(fmz, f
k+m
y) <δпри m ∈ [0,l− k]
(см. § 7.3). Тогда
l−k−1
C(v) −C(u) = lim[C(f
l−k−1
= lim
j=0
l
y) − C(fky)] = lim
k+j
[B(f
y) −B(fjz)].
j=0
B(f
k+j
y)=
Последнюю сумму можно оценить почленно, пользуясь тем, что
k+j
y, fjz) < const × max(λj,λ
d(f
).
Перейдя к пределу при l − k →∞, z → [u, v],получим:
C(v) − C(u)=
∞
[B(fju) − B(fj[u, v])] +
j=0
∞
[B(f−jv) −B(f−j[u, v])].
j=1
Таким образом,
|C(v) − C(u)| const ×%d(u, [u, v])
Отсюда следует, что C ∈C(Ω), а если выполняется условие (SS3),
то C ∈C
α
(Ω).]
α
+ d(v, [u, v])
&
α
.
3. Используя упражнение 2, покажите, что при выполнении условия (SS3) (см. §7.11) функция C из следствия 7.10(с) является гельдеровской.
4. Пусть f — растягивающее отображение. Тогда
(a) Если f топологически перемешивает, то множество периодических
точек всюду плотно в Ω.
(b) f топологически перемешивает тогда и только тогда, когда для
каждого непустого открытого множества O ⊂ Ω существует такое N>0,
N
что f
O = Ω.
(c) Если множество периодических точек всюду плотно в Ω и Ω связно,
то f топологически перемешивает.
[(a): В силу замечания 7.27(d) отображение f топологически переме-
шивает. Поэтому Ω
риодические точки всюду плотны в Ω
состоит из неблуждающих точек и, следовательно, пе-
. Но тогда (см. замечание 7.27(b))
180 ГЛАВА 7
периодические точки всюду плотны в Ω. (b): Пусть f топологически перемешивает и O — непустое открытое подмножество пространства Ω.Сучетом (a) возьмем x ∈ O ∩ Fix f
центром в точке x и пользуясь условием (E), получим
образом, множество f
np
O возрастает с ростом n.Еслиy ∈
силу (E) {z : d(z, y) < 2ε}⊂
ство
ством Ω.Множестваf
fnpO всюду плотно в Ω и, значит, совпадает со всем простран-
n>0
np
O открыты, а пространство Ω компактно. Поэтому
существует такое n,чтоf
p
. Заменив O достаточно малым шаром с
O ⊂ fpO.Таким
fnpO,тов
fnpO.Таккакf перемешивает, множе-
n>0
np
O = Ω. Обратное утверждение очевидно. (c)
n>0
доказывается так же, как (b).]
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]