Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ 261
Компактное подмножество S множества K называется гранью K ,если
supp m ⊂ S для любой вероятностной меры m, результант которой принад-
лежит множеству S.
A.5.2. Максимальные меры
Пусть S ⊂C(K) — выпуклый конус непрерывных выпуклых функций
на K. Введем отношение порядка ≺ на множестве M
(m
≺ m2) ⇐⇒ (m1(f) m2(f) для всех f ∈ S).
1
,положив
+
Если m
частности, ||m
результант. Если m ∈ M
относительно порядка ≺. Для любой меры m ∈ M
≺ m2и f — непрерывная аффинная функция, то m1(f)=m2(f);в
1
Говорят, что m ∈ M
|| = ||m2|| иеслиm1∈ M1,тоm1и m2имеют одинаковый
1
(результант m равен ρ) ⇐⇒ (m % δ
и ρ ∈ K,то
1
).
ρ
— максимальная мера, если она максимальна
+
существует макси-
+
мальная мера #m, для которой m ≺ #m (см. [Ш-M], теорема 3). В частности,
для любой точки ρ ∈ K существует максимальная мера с результантом ρ.
A.5.3. Проблема единственности
Пусть K — основание выпуклого конуса C с вершиной O ∈ V .Это
означает, что K является пересечением C с замкнутой гиперплоскостью H
пространства V , которая не содержит O и пересекает все образующие лучи C. Эту ситуацию всегда можно реализовать, заменив V на R × V и
вложив K в R ×V как {1}×K. Конус C определяет порядок в V (ξ
означает, что ξ2−ξ1∈ C); если C — структура относительно этого порядка
(см. приложение A.1.1), говорят, что K является симплексом (Шоке). Это
определение не зависит от выбора C.
Следующие условия эквивалентны ([Ш-M], теорема 11):
(a) K — симплекс.
(b) Если ρ ∈ K, то существует единственная максимальная мера
% δρ(т. е. каждая точка ρ ∈ K является результантом только одной
m
ρ
максимальной меры m
Для любого симплекса K отображение ρ → m
).
ρ
аффинно ([Ш-M],
ρ
доказательство теоремы 11).
ξ
1
2
262 ПРИЛОЖЕНИЕ A.5
A.5.4. Максимальные меры и крайние точки
Пусть E(K ) — совокупность крайних точек множества K. Если мера m ∈ M
m(K \E(K )) = 0), то m максимальна ([Ш-M], предложение 15). Обрат-
но, если K метризуемо и мера m ∈ M
на E(K ) ([Ш-M], лемма 13).
Таким образом, если K метризуемо и m ∈ M
сосредоточена на E(K) (т. е. если E(K) m-измеримо и
+
максимальна, то m сосредоточена
+
,то
+
(m максимальна ) ⇐⇒ (m сосредоточена на E(K)).
В частности, всякая точка ρ ∈ K является результантом некоторой меры m
сосредоточенной на E(K),иеслиK — симплекс, то ρ → m
является вза-
ρ
имнооднозначным отображением множества K на множество вероятност-
ных мер, определенных на K и сосредоточенных на E(K). В этом случае
можно сказать, что каждая точка ρ ∈ K имеет единственное интеграль-
ное представление на E(K), определяемое некоторой мерой m
f(ρ)=m
(f) для любой непрерывной аффинной функции f на K.
ρ
,такой,что
ρ
A.5.5. Симплексы мер
Пусть Ω — компактное пространство. Зададим на пространстве C(Ω)
действительных мер на Ω слабую топологию (см. приложение A.4.1). Тогда
множество E = M
метризуем, если метризуемо пространство Ω.
Пусть G — замкнутое линейное подпространство пространства C(Ω)
Если из σ ∈Gследует |σ|∈G,томножествоK = E ∩Gявляется сим-
плексом. Если ρ, ρ
— различные крайние точки множества E ∩G,то||ρ− ρ|| =2,т.е.
ρ, ρ
меры ρ и ρ
G
— выпуклый конус положительных мер из G.ТаккакE ∩G= H ∩G+,
+
сингулярны. [Действительно, пусть H = {σ ∈G: σ(1) = 1} и
множество EG служит основанием конуса G
гда меры σ
с sup(σ
=
±
) и inf(σ1,σ2) в C(Ω)∗, по предположению принадлежат мно-
1,σ2
жеству G, а следовательно, и множеству G
мер σ
и σ2относительно порядка, определенного в G+.ПоэтомуG+—
1
симплициальный конус и E ∩G— симплекс. Пусть теперь ρ, ρ
Положим ρ
ли ||ρ
±
=
±
|| =0, и 0 в противном случае. Меры m+и m−сингулярны (так как
сингулярны меры ρ
вероятностных мер на Ω будет компактом, который
1
∈ E ∩G,то||ρ− ρ|| = ||m
1
(σ1+ σ2±|σ1− σ2|), которые совпадают соответственно
2
1
(|ρ−ρ|±(ρ−ρ)) 0,атакжеm±= ||ρ±||m
2
и ρ−)иm
+
−mρ= m+−m−(так как ρ−ρ = ρ+−ρ
ρ
− mρ||. В частности, если
ρ
.Пустьσ1, σ2∈G+;то-
+
.Нотогдаσ±—этоsup и inf
+
∈ E ∩G.
ρ±/||ρ±||
,ес-
,
ρ
∗
∗
.
−
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ 263
и σ → mσ— аффинное отображение). Поэтому
||ρ
− ρ|| = ||ρ+− ρ−|| = ||ρ+|| + ||ρ−|| =
= ||m
|| + ||m−|| = ||m+− m−|| = ||m
+
− mρ||.]
ρ
A.5.6. Z-инвариантные меры
Пусть Ω — компактное пространство, τ — действие группы Zνгомеоморфизмами этого пространства и I ⊂C(Ω)
вероятностных мер на Ω. Единственная максимальная мера m
∗
— симплекс τ -инвариантных
ρ
зультантом ρ ∈ I однозначно определяется соотношением
m
l
ρ
i=1
'
A
i
= lim
Λ1, ..., Λl∞
l
|Λ
ρ
i=1
−1
|
i
x∈Λ
Ai◦ τ
i
x
где'A: I → R определяется равенством'A(σ)=σ(A).
Крайние точки множества I называются эргодическими мерами. Эргодичность меры ρ ∈ I равносильна тому, что m
всех A ∈C. Интегральное представление ρ → m
('A2)=ρ(A)2для
ρ
называется эргодическим
ρ
разложением (см. Рюэль [3], глава 6).
на I сре-
,
Приложение B
НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
В этом приложении собраны нерешенные задачи, различные по трудности и значению
1
.
B.1. Системы условных вероятностей (глава 2)
Насколько общим является представление системы условных вероятностей (μ
Салливан [1].)
(Λ)ξ
) ввиде(μ
L\Λ
2
Φ
)? (По этому поводу см., в частности,
(Λ)ξ
L\Λ
B.2. Теория фазовых переходов (глава 3)
Показать, что в подходящем пространстве взаимодействий точки сосуществования n +1фаз образуют многообразие размерности n?Каковы
отношения инцидентности этих многообразий? Как появляется критическая
точка? «Эвристическая теория» содержится в статье Рюэля [9]. [Частично
отрицательные результаты получены в работах Дэниелса и ван Энтера [1]
и ван Энтера [1]].
3
B.3. Точка зрения абстрактной теории меры (глава 4)
В замечании 4.5 гиббсовское состояние получается из другого гиббсовского состояния умножением на непрерывную функцию и переходом к
пределу в слабом смысле. Существует ли вариант этого подхода в рамках
1
Некоторые из этих задач сопровождаются комментариями автора, присланными специаль-
но для русского издания. Эти комментарии помещены в квадратные скобки. — Прим. ред.
2
Первым этот вопрос исследовал Аверинцев [1∗]. См. также Козлов [1∗], где имеются
ссылки на другие работы. — Прим. ред.
3
С этой проблемой связана «теория Пирогова – Синая», изложенная в книге Синая [5∗]. —
Прим. ред.
НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ 265
абстрактной теории меры? В частности, можно ли использовать бернуллиевское свойство из теоремы 5.10?
B.4. Одна теорема Добрушина (глава 5)
Можно ли теорему Добрушина [4] об аналитичности давления для
одномерных систем обобщить на перемешивающие системы?
B.5. Определение давления (глава 6)
Если τ разделяет точки, то давление определяется с помощью предельного перехода при a →∞(см. конец параграфа 6.7). Можно ли здесь
использовать предел при Λ ∞. Заметим, что это возможно в ситуации
главы 3 (следствие 3.13).
B.6. Гипотеза Шуба об энтропии (глава 6)
Пусть f — диффеоморфизм компактного многообразия и f∗—соответствующий линейный оператор на гомологиях (с вещественными коэффициентами). Верно ли, что логарифм спектрального радиуса оператора f
не больше топологической энтропии преобразования f?Поповодуэтой
хорошо известной гипотезы см., например, Мэннинг [2].
∞
физмов класса C
гипотезаШубабыладоказанаЙомдином[1].]
1
[Для диффеомор-
∗
B.7. Условие (SS3) (глава 7)
Если выполняются условия (SS1) и (SS2), то существует ли метрика d,
для которой имеет место (SS3) и найдется такая константа L,что
d(fx, fy) Ld(x, y),d(f
(см. (7.12))? [Ответ на этот вопрос — положительный: Фрид [1] показал,
что существует метрика d, для которой выполняется условие (SS3), а функции f, f
−1
удовлетворяют условию Липшица; в частности, функция C из
следствия 7.10(c) является гельдеровской. По поводу растягивающих отображений сошлемся на статью Ковена и Редди [1].]
1
См. также Каток [1∗]. — Прим. ред.
−1
x, f−1y) Ld(x, y)
266 ПРИЛОЖЕНИЕ B
B.8. Гиббсовские состояния на пространствах Смейла
(глава 7)
Всегда ли гиббсовское состояние на пространстве Смейла (см. § 7.18)
является равновесным? [В работе Хайдна [1] получен положительный ответ
на этот вопрос.]
B.9. Когомологическая интерпретация (глава 7)
Можно ли дать когомологическую интерпретацию формулы Мэннинга
(предложение 7.22) и рациональной дзета-функции ζ(z)? (Об этой проблеме
см., в частности, Френкс [1].)
B.10. Потоки Смейла (глава 7 и приложение C)
Существует ли вариант теории пространств Смейла для потоков? (По
этому поводу см., например, Боуэн [4].) См. также приложение C.4. [См.
Полликот [1].]
Приложение C
ПОТОКИ
Поток на множестве Ω —этосемейство(τt)
t
: Ω → Ω, для которого τ
τ
t+t
= τt◦ τ
t
и τ0— тождественное отоб-
отображений
t∈R
ражение. Существует несколько неэквивалентных способов, позволяющих
заменить в термодинамическом формализме Z на R. Здесь мы не будем
рассматривать обычную статистическую механику непрерывных одномерных систем (см. Рюэль [3]), а опишем формализм, пригодный для изучения
потоков на дифференцируемых многообразиях.
C.1. Термодинамический формализм на метризуемом
компактном множестве
Пусть Ω —метризуемыйкомпакти(τt) — непрерывный поток, т. е.
(x, t) → τ
τ -инвариантных вероятностных мер на Ω, выпукло и компактно в слабой
топологии. Если σ ∈ I ,то
где h
ка (τ
жество S ⊂ Ω называется (T, ε)-разделенным (где T>0, ε>0), если
для любой пары не совпадающих x, y ∈ S найдется такое t ∈ [0,T],что
t
d(τ
x, τty) >ε.ДляA ∈C(Ω) положим
Z
T
t
x — непрерывное отображение. Множество I ,состоящееиз
t
(σ)=|t|hτ(σ),
h
τ
(σ) называется (средней) энтропией меры σ относительно пото-
τ
t
) (см. Абрамов [1]).
1
Пусть d —метриканаΩ, совместимая с заданной топологией. Мно-
T
exp
A(τtx) dt: S является (T, ε)-разделенным,
0
(A) = lim
τ
ε→0
lim sup
T →∞
1
T
ln Z
(A, ε).
T
(A, ε)=sup
P (A)=P
x∈S
1
Из последнего равенства видно, что h()=h
() — Прим. ред.
1
268 ПРИЛОЖЕНИЕ C
Так определенное P(A) не зависит от выбора метрики на Ω.ЕслиA1(x)=
1
-
=
A(τtx) dt,тоP (A)=P
0
ному принципу
(см. Боуэн и Рюэль [1]). Мера σ, максимизирующая h
τ
P
(A)=sup
τ
1
(A1). Давление P удовлетворяет вариацион-
[hτ(σ)+σ(A)]
σ∈I
(σ)+σ(A), называ-
τ
ется равновесным состоянием для A.
C.2. Специальные потоки
Пусть Ω — компактное метризуемое пространство, τ :Ω→ Ω —гомео-
морфизм и ψ :Ω→ R — положительная непрерывная функция. Отожде-
ствив в множестве
U = {(ξ, u) ∈ Ω × R :0 u ψ(ξ)}
точки (ξ, ψ(ξ)) и (τξ, 0), мы получим компактное метризуемое простран-
ство Ω.НаΩ можно определить непрерывный поток (τ
t
τ
(ξ, u)=(ξ, u + t), если 0 u + t ψ(ξ).
t
), для которого
Пусть σ принадлежит множеству I вероятностных мер на Ω, инвариантных относительно τ .Еслиm — мера Лебега на R, то равенство σ =
= σ ×m/(σ × m)(U ) задает на Ω некоторую меру σ ∈ I .
1
Отображе-
ние σ → σ определяет биекцию I → I , и по теореме Абрамова [1]
h
(σ)
h
τ
(σ)=
τ
σ(ψ)
.
C.3. Специальный поток над пространством Смейла
Пользуясь введенными выше обозначениями, предположим, что Ω —
пространство Смейла, τ — топологическое перемешивание и ψ ∈C
ψ(ξ)
Пусть, далее, A ∈C(Ω), ϕ(ξ)=
1
Чтобы определить меру,достаточноприлюбомTmax ψ задать на Ω× [0,T] прямое
произведение
что результат не будет зависеть от T.—Прим. ред.
= σ×m и взятьнормированное ограничение меры
-
A(ξ, u) du и ϕ ∈Cα(Ω).Тогдадля A
0
на U. Легко проверить,
α
(Ω).
ПОТОКИ 269
существует единственное равновесное состояние σ на Ω, причем σ соответствует единственному равновесному состоянию σ ∈ I на Ω,отвечающему функции ϕ−P(A) ·ψ (Боуэн и Рюэль [1]). Если (τ
перемешивание, то (σ, τ
t
) — поток Бернулли (Бунимович [1], Ратнер [2]).
t
) — топологическое
Положим
λ(γ)
(
ζ
A
(s)=
1 − exp
γ
где произведение берется по всем периодическим орбитам γ потока (τ
λ(γ) — элементарный период орбиты γ,аx
орбиты. Функцию ζ
(s) можно переписать в виде
A
(A(τtxγ) − s) dt
0
— произвольная точка этой
γ
)
−1
,
t
),
ζ
(s)=exp
A
∞
m=1
1
m
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
[ϕ(τkξ) −sψ(τkξ)].
k=0
Она аналитична при Re s>P(A) и имеет простой полюс в точке P (A)
(Рюэль [6]).
C.4. Проблемы
Предположим, что (τt) — топологическое перемешивание.
(a) Пусть B
Верно ли, что разность σ(B
мится к нулю с экспоненциальной скоростью?
(b) Существует ли такое r>0, что функция ζ
Re s>P(A) − r и имеет единственный полюс в точке P (A)?
[Ответы на оба эти вопроса — отрицательные (см. Рюэль [10]). В то же
время, как показали Перри и Полликот [1], функция ζ
торой окрестности прямой Re s = P (0), за исключением точки P(0),где
она имеет полюс. Таким образом, у теоремы о простых числах существует
аналог, касающийся периодических орбит A-потоков.]
, B2∈Cα(U) и supp B1, B2⊂{(ξ, u): 0 <u<ψ(ξ)}.
1
· (B2◦ τt)) − σ(B1)σ(B2) при |t|→∞стре-
1
мероморфна при
A
голоморфна в неко-
0
ЛИТЕРАТУРА
1
АБРАМОВ Л. М.
[1] Об энтропии потока.
А
ВЕРИНЦЕВ М.Б.
ДАH СССР
, 128, №5 (1959), 873–875.
[1*] Об одном способе описания случайных полей с дискретным аргумен-
Пробл. перед. информ.
том.
ДЛЕР,КОНХЕЙМ И МАК-ЭНДРЮ (ADLER R.L., KONHEIM A. G., AND
А
6, в.1 (1970), 100–102.
MCANDREW M. H.)
[1] Topological entropy.
НОСОВ Д.В.
А
Trans. Amer. Math. Soc.
, 114, no.2 (1965), 309–319.
[1] Геодезические потоки на компактных римановых многообразиях отри-
цательной кривизны.
РАК И (ARAKI H.)
А
Труды МИАН СССР
[1] Gibbs states of a one-dimensional quantum lattice.
, 90 (1967).
Comm. Math. Phys.
, 14,
no.2 (1969), 120–157.
РТИН И БОТТ (ARTIN M. AND BOTT R.)
А
[1] A Lefshetz fixed point formula for elliptic complexes.
Ann. Math.
, 86 (1967),
374–407; 88 (1968), 451–491.
А
РТИН И МАЗУР (ARTI N M. AND MAZUR B.)
[1] On periodic points.
язык: О периодических точках. В сб.:
АЛАДИ (BALADI V.)
Б
[1] Dynamical zeta functions. In:
Ann. Math.
, 81 (1965), 82–99; (Перевод на русский
Математика
, 11, №5 (1967), 3–20.)
Real and Complex Dynamical Systems.
(Hillerbd, 1993). NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C, Math. Phys., 464,Kluwer,
1–26.
Б
АЛАДИ И КЕЛЛЕР (BALADI V. AND KELLER G.)
[1] Zeta functions and transfer operators for piecewise monotone transformations.
Comm. Math. Phys.
АЛАДИ И РЮЭЛЬ (BALADI V. AND RUELLE D.)
Б
, 127, no.3 (1990), 459–477.
[1] An extention of the theorem of Milnor and Thurston on zeta functions of
interval maps.
[2] Sharp determinants.
1
Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором перевода.
Erg. Theory Dyn. Syst.
Invent. Math.
, 14, no.4 (1994), 621–632.
, 123 (1996), 553–574.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]