Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
6.2. РАЗДЕЛИМОСТЬ ТОЧЕК 131
6.2. Разделимость точек
Zν-действие τ на пространстве Ω называется разделяющим точки1,
если существует такое ε>0,что
x
d(τ
ξ,τxη) ε при всех x ∈ Z
ν
=⇒ξ = η.
Число ε называется разделяющей константой (относительно метрики d).
Нетрудно проверить, что действие τ на пространстве Ω, рассмотренное в
главе 3, разделяет точки.
Предположим, что τ разделяет точки и ε — разделяющая константа.
Тогда для любого δ>0 найдется такое L>0,что
x
d(τ
ξ,τxη) ε при всех |x| L=⇒d(ξ, η) <δ. (6.1)
(Это вытекает из компактности пространства Ω.)
6.3. Покрытия
Семейство A =(Ai) подмножеств пространства Ω называется покры-
тием,если
индексов i конечно, и открытым (соответственно, борелевским, измеримым) покрытием, если A
римые) множества. Разбиение — это покрытие, для которого A
при i = j.
тие A ∨ B состоит из множеств A
няется на любое конечное число покрытий. Покрытие τ
множеств τ
Ai= Ω; A называется конечным покрытием, если множество
i
Пусть A =(A
−x
Ai.Положим
— открытые (соответственно, борелевские, изме-
i
) и B =(Bj) — покрытия пространства Ω. Покры-
i
A
∩ Bj. Это определение распростра-
i
Λ
=
τ−xA,
x∈Λ
A
i
−x
A состоит из
j
= ∅
где diam A
Пусть A =(A
|A| =card{i: A
diam A =sup
— диаметр множества Aiотносительно метрики d.
i
) — открытое покрытие компактного метризуемого
i
i
diam Ai,
i
= ∅},
множества Ω. Тогда существует такое δ>0 (число Лебега), что если
1
В оригинале — expansive. — Прим. ред.
132 ГЛАВА 6
diam X<δ,тоX ⊂ Aiпри некотором i. (Это вытекает из компактно-
сти Ω.)
Предположим, что τ — разделяющий гомеоморфизм с разделяющей
константой ε ичтоdiam A ε. Тогда для всякогоδ>0 существует конечное
множество Λ ⊂ Z
ν
, для которого
diam A
Λ
<δ. (6.2)
(Это следует из (6.1).)
Если A — покрытие пространства Ω и B — подсемейство семейства A,
также являющееся покрытием Ω, мы будем говорить, что B — подпокрытие.
Очевидно, |B| |A|.
6.4. Энтропия
Для меры σ ∈ I и конечного борелевского разбиения A пространства Ω
положим
H(σ, A)=−
(где 0ln0= 0). Тогда существует предел
h
(σ, A) = lim
τ
Λ∞
(Доказательство. Следуя главе 3, положим Ω=(Ω
Существует такая мера σ ∈ I,
ных Λ ⊂ Z
ν
и, значит, можно применить теорему 3.10.) Нетрудно проверить,
что для любого непустого конечного Λ ⊂ Z
hτ(σ, A)=hτ(σ, AΛ). (6.4)
Величина
h(σ)=h
σ(Ai)lnσ(Ai)
i
1
H(σ, A
|Λ|
1
что H(σ, AΛ)=S(αΛσ) для всех конеч-
(σ)=supAhτ(σ, A)
τ
Λ
)=inf
1
H(σ, A
Λ
|Λ|
0
ν
Λ
). (6.3)
ν
Z
)
,гдеΩ0= {Ai}.
называется (средней) энтропией меры σ; это неотрицательное число
или +∞. Энтропия является инвариантом абстрактной динамической системы (Ω, σ,τ) (при ν =1он называется инвариантом Колмогорова –
Синая).
1
Здесь и ниже используются обозначения главы 3; в частности, I —этомножествоτ-инва-
риантных мер на Ω.—Прим. ред.
6.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 133
6.5. Предложение
Пусть σ ∈ I и A — борелевское разбиение пространства Ω.Тогда
(σ, A) → h(σ) при diam A → 0, вследствие чего функция h
(a) h
τ
аффинна на I ;
(b) если τ разделяет точки и ε — разделяющая константа, то
h
(σ, A)=hτ(σ) при diam A ε, в частности, если τ разделяет точ-
τ
ки, то функция h
полунепрерывна сверху на I .
τ
[Доказательство, данное Боуэном (см. [6], §2A) для ν =1, легко рас-
пространяется на общий случай. Вначале доказывается (см. упражнение 1),
что
(σ, A) −hτ(σ, B) H(σ, A ∨B) − H(σ, B), (6.5)
h
τ
азатем—тотфакт,чтоприлюбомA (неотрицательную) правую часть
неравенства можно сделать как угодно малой, выбрав diam B достаточно
близким к нулю. Отсюда следует утверждение (a). В условиях утверждения (b) из (6.2) и (6.4) следует, что h
(σ, A)=hτ(σ) при diamA ε.Для
τ
любого ρ ∈ I покрытие A можно выбрать таким, что diam A <εи границы
элементов A
покрытия A имеют ρ-меру 0. Тогда функция σ → H(σ, AΛ)
i
непрерывна в точке ρ при каждом Λ и, следовательно, в силу (6.3) энтропия
h
(·)=hτ(·, A) полунепрерывна сверху в той же точке1.]
τ
6.6. Давление
τ
Пусть A — конечное покрытие пространства Ω.Длявсякойфункции A ∈Cи всякого конечного множества Λ ⊂ Z
ν
определим статисти-
ческую сумму
Z
(A, A)=min
Λ
exp(sup
j
ξ∈B
A(τxξ)):
j
x∈Λ
} — подпокрытие покрытия A
{B
j
Очевидно,
(A, A)=ZΛ(A, A). (6.6)
Z
Λ+x
Нетрудно также проверить, что если Λ
Z
1
Cм. приложение A.1.3. — Прим. перев.
Λ1∪Λ
(A, A) Z
2
Λ
(A, A) · Z
1
1∩Λ2
= ∅,то
(A, A). (6.7)
Λ
2
Λ
.
134 ГЛАВА 6
Положим
P (A, A) = lim
|Λ(a)|−1ln Z
a→∞
(A, A)=infa|Λ(a)|−1ln Z
Λ(a)
Λ(a)
(A, A).
(6.8)
То, что предел существует и равен inf, следует из субаддитивности функции a → ln Z
(A, A), которая имеет место в силу (6.6), (6.7) (см. прило-
Λ(a)
жение A.1.4). Очевидно,
exp(−|Λ|·||A||) Z
(A, A) (|A|exp ||A||)
Λ
|Λ|
. (6.9)
В силу первого из неравенств (6.9) P (A, A) < ∞. Используя (6.7) и второе из неравенств (6.9), мы можем сравнить Z
(A, A) со статистической
Λ
суммой для объединения непересекающихся сдвигов множества Λ(a),содержащихся в Λ. Это приводит к соотношению
1
lim sup
Λ∞
|Λ|
ln Z
(A, A)=P (A, A). (6.10)
Λ
Предполагая A конечным открытым покрытием пространства Ω,можно доказать, что существует предел
lim
diam A→0
P (A, A)=P(A)=Pτ(A), (6.11)
который конечен или равен +∞. [См. Боуэн [6], предложение 2.8. Идея
состоит в том, что если B — открытое покрытие и каждый его элемент B
содержится в некотором Ai,тоP (A, A) P (A, B)+δ,гдеδ — максимум колебания функции A на множестве A
−A(η)|: ξ,ηηη ∈ A
}. Это, в частности, верно, если diam B является числом
i
,т.е.δ =maxisup{|A(ξ) −
i
Лебега для A.] Предел P (A), определенный в (6.11), называется (топологическим) давлением функции A ∈C.
Если имеется последовательность (или сеть) открытых покрытий A и
для каждого A существует такое непустое конечное множество Λ ∈ Z
diam A
ство равенства (6.11): если diam B
Λ
→ 0,тоP (A, A) → P (A). (Доказательство похоже на доказатель-
Λ
служит числом Лебега для A,то
ν
,что
j
Z
(A, A) Z
Λ(a)
(A, B)exp[|Λ(a)|δ +(|Λ(a)+Λ|−|Λ(a)|)||A||]
Λ(a)+Λ
и, следовательно, P (A, A) P (A, B)+δ.) В частности, если τ разделяет
точки и diam A — разделяющая константа, то P (A, A)=P (A).
6.7. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ 135
6.7. Другие определения давления
Пусть снова A ∈Cи A — конечное открытое покрытие пространства Ω.
Определим новую статистическую сумму:
(1)
Z
(A, A)=min
Λ
exp(inf
j
ξ∈B
A(τxξ)):
j
x∈Λ
(B
) — подпокрытие покрытия A
j
Λ
.
Тогда
где δ — максимум колебаний функции A на множествах из A
1
Z
Z
(A, A)
Λ
(1)
(A, A)
Λ
e
|Λ|δ
,
Λ
.Нетрудно
проверить, что
(1)
1
P (A) = lim
diam A→0
=sup
A
lim sup
Λ∞
lim sup
Λ∞
1
|Λ|
|Λ|
ln Z
ln Z
(1)
Λ
(A, A)=
Λ
(A, A).
В этой формуле можно заменить Λ на Λ(a) и Λ ∞—наa →∞.Кроме
того,
P (A) = lim
diam A→∞
lim inf
a→∞
1
|Λ(a)|
ln Z
(1)
Λ(a)
(A, A).
Пусть S — конечное подмножество пространства Ω. Будем говорить,
что S является (Λ,ε)-разделенным,еслиξ, η ∈ S и ξ = η влечет
x
ξ,τxη) >εпри некотором x ∈ Λ.
d(τ
Будем называть множество S (Λ,ε)-плотным,еслидлялюбогоη ∈ Ω
существует такое ξ ∈ S,что
x
d(τ
ξ,τxη) ε при всех x ∈ Λ.
Теперь можно определить статистические суммы
(2)
Z
(A, ε)=sup
Λ
(3)
(A, ε)=inf
Z
Λ
ξ∈S
ξ∈S
exp
A(τxξ): S является (Λ,ε)-разделенным,
x∈Λ
exp
A(τxξ): S является (Λ,ε)-плотным.
x∈Λ
136 ГЛАВА 6
Очевидно, при i =2, 3
(i)
1
ln Z
lim sup
Λ∞
|Λ|
Λ
(A, ε)
возрастает при убывании ε. Доказывается (Уолтерс [1], § 1), что
P (A) = lim
ε→0
lim sup
Λ∞
1
|Λ|
ln Z
(i)
Λ
(A, ε) = lim
ε→0
lim sup
a→∞
1
|Λ(a)|
ln Z
(i)
Λ(a)
(A, ε)
(см. упражнение 2). Кроме того,
P (A) = lim
ε→0
lim inf
a→∞
1
|Λ(a)|
ln Z
(i)
Λ(a)
(A, ε).
Если τ разделяет точки, то нет необходимости полагать diam A→0 или
ε → 0 в формуле для давления (в этом и предыдущем параграфах), доста-
точно взять diamA или ε равным разделяющей константе. В частности,
P (A) = lim
a→∞
= lim
a→∞
= lim
a→∞
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
ln Z
ln Z
ln Z
(A, A)=
Λ(a)
(1)
(A, A)=
Λ(a)
(i)
(A, ε),i=2, 3.
Λ(a)
Таким образом, определение давления, данное в теореме 3.4, является специальным случаем приведенного здесь.
6.8. Свойства давления
Имеет место альтернатива: либо P (A)=+∞ для всех A ∈C,либо
P (A) конечно для всех A ∈C. В последнем случае функция P выпукла и
не убывает (т.е. A B влечет P (A) P (B)); кроме того, она непрерывна:
|P (A) − P (B)| ||A −B||
и обладает следующими свойствами:
P (A + B ◦τ
(Простые доказательства имеются в статье Уолтерса [1], теорема 2.1.)
x
− B + t)=P (A)+t (t ∈ R),
P (A + B) P (A)+P (B),
|P (A)| P (|A|).
6.9. ДЕЙСТВИЕ τ
6.9. Действие τ
Для любых целых a1, ..., aν> 0 положим ax =(a1x1, ..., aνxν).
ν
-действие τaопределяется равенством (τa)x= τax. Нетрудно проверить,
Z
a
что
P
(A, A)=
τ
h
(σ, A)=
τ
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
a
P
τ
h
τ
x∈Λ(a)
a
(σ, A
A ◦ τx, A
Λ(a)
), (6.12)
Λ(a)
(Боуэн [6], лемма 2.9).
6.10. Лемма
137
(6.13)
Пусть B — конечное открытое покрытие пространства Ω и Λ —
конечное подмножество решетки Z
разбиение B
(a) каждый элемент разбиения B
покрытия B
пространства Ω,что
Λ
Λ
;
ν
. Тогда существует такое борелевское
содержится в некотором элементе
Λ
(b) каждая точка ξ ∈ Ω принадлежит замыканию не более чем |Λ|·|B|
элементов B
.
Λ
[См. Боуэн [6], лемма 2.12. Идея состоит в следующем. Разбиение
единицы, подчиненное B, порождает отображение α: Ω → Δ,гдеΔ —
(|B|−1)-мерный симплекс. Пусть β =(α ◦ τ
качестве B
можно выбрать прообраз при отображении β подходящего
Λ
разбиения (|B|·|Λ|−|Λ|)-мерного множества Δ
x
)
: Ω → ΔΛ;тогдав
x∈Λ
Λ
.]
6.11. Лемма
Если A — борелевское разбиение пространства Ω икаждаяточка ξ ∈ Ω содержится в замыкании не более чем M элементов разбиения A,
то
h(σ, A)+σ(A) P (A)+lnM. (6.14)
Λ
[См. Боуэн [6], лемма 2.11. Пусть A
менты разбиения A
Λ
.Длякаждогоi выберем такое ξi∈ A
Λ
A
i
σ(dξ)
A(τxξ) σ(A
x∈Λ
(i =1, 2, ...) —непустыеэле-
i
Λ
)
A(τxξi).
i
x∈Λ
Λ
,что
i
138 ГЛАВА 6
Тогда
h
(σ, A)+σ(A) |Λ|
τ
|Λ|
|Λ|
−1
−1
−1
(
H(σ, A
σ(A
i
ln
i
Λ
)+σ
Λ
)−ln σ(A
i
exp
x∈Λ
x∈Λ
A(τxξi).
A ◦ τ
Λ
)+
i
)
x
A(τxξi)
x∈Λ
Пусть B — такое конечное открытое покрытие пространства Ω,чтокаждый
элемент разбиения B пересекает не более чем M элементов разбиения A,
ипустьB
го A
покрытия B
венства
Λ
i
=(B
выберем B
x∈Λ
h
) — какое-нибудь подпокрытие покрытия BΛ.Длякаждо-
j
ξi; тогда при отображении A
j
имеет не более M
A(τxξi) sup
ξ∈B
(σ, A)+σ(A) |Λ|−1ln
τ
|Λ|
A(τxξ) следует, что
x∈Λ
j
прообразов. Теперь из очевидного нера-
M
j
|Λ|
sup
ξ∈B
Λ
i
→ B
j
x∈Λ
каждый элемент
j
A(τxξ).
Взяв минимум по всем подпокрытиям (B
h
(σ, A)+σ(A) ln M + |Λ|−1ln ZΛ(A, B).
τ
),получим
j
Перейдя к пределу при Λ ∞,азатем—приdiam B → 0, получим (6.14).]
6.12. Теорема (вариационный принцип)
При всех A ∈C
P (A)=sup
Это основная общая теорема о топологическом давлении. Мы дадим
набросок ее доказательства (предположив для простоты, что P (A) < ∞).
При этом в п. (a) мы следуем Боуэну ([6], §2.B), а в п. (b) — Денкеру ([1],
теорема 2).
(a) Для всех A ∈Cи σ ∈ I
h(σ)+σ(A) P (A). (6.15)
[h(σ)+σ(A)].
σ∈I
6.12. ТЕОРЕМА (ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП) 139
Идея доказательства состоит в том, чтобы в (6.14) убрать слагаемое ln M , заменив Z
ν
-действие τ на τa.ПустьA — борелевское разбиение
пространства Ω. В силу (6.12)
(σ, A)+σ(A)=
h
τ
1
|Λ(a)|
)+σ
x∈Λ(a)
(
h
τ
a
(σ, A
Λ(a)
A ◦ τ
)
x
.
Взяв конечное открытое покрытие B сдостаточномалымdiam B, выберем
борелевское разбиение B
и леммы 6.11, примененной к B
в соответствии с леммой 6.10. В силу (6.5)
Λ(a)
, приведенное выше выражение не
Λ(a)
превосходит
A ◦ τ
x
+
))
Λ(a)
)).
Λ(a)
−1
ln(|Λ(a)|·|B|)
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
(
a
h
(σ, B
τ
+ H(σ, A
(
a
P
τ
x∈Λ(a)
+ H(σ, A
Λ(a)
Λ(a)
A ◦ τ
Λ(a)
)+σ
x∈Λ(a)
∨ B
∨ B
) − H(σ, B
Λ(a)
x
+ln(|Λ(a)|·|B|)+
) − H(σ, B
Λ(a)
В силу (6.13)первое слагаемоеравно P (A); величина |Λ(a)|
стремится к нулю при a →∞; наконец (см. упражнение 1(a)),
(
1
|Λ(a)|
H(σ, A
итаккакdiam τ
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
x
B
Λ(a)
∨ B
x∈Λ(a)
x∈Λ(a)
diam B, это выражение можно сделать как угодно
Λ(a)
) − H(σ, B
Λ(a)
%
H(σ, (τ
%
H(σ, A ∨ τ
−x
Λ(a)
A) ∨ B
x
B
Λ(a)
))
) − H(σ, B
Λ(a)
) − H(σ,τxB
Λ(a)
Λ(a)
)&
)&,
малым (см. упражнение 1(b)).
(b) Для любых A ∈Cи ε>0 существует такое σ ∈ I ,что
h(σ)+σ(A) P (A) − 3ε. (6.16)
Выберем конечное открытое покрытие B = {B
двум условиям:
P (A, B) P (A) −ε,
}, удовлетворяющее
j
140 ГЛАВА 6
и |A(ξ) − A(η)| <εпри ξ, η ∈ Bj. Затем возьмем такое a,что
−1
|Λ(a)|
ствии с леммой (6.10). Положив Ω
где cl(V ) — замыкание множества V .Пустьp:Ω
ln(|Λ(a)|·|B|) <ε, и выберем разбиение A = B
= {Ai}, рассмотрим пространства
0
ν
Ω=(A
∗
Ω
=(ξ, (A
) ∈ (Ω0)
i
x
i
Z
:
x∈Z
)) ∈ Ω × Ω: ξ ∈
x
cl(τaxA
ν
x∈Z
) = ∅,
i
x
cl(τaxA
ν
∗
i
x
→ Ω, q :Ω∗→ Ω — про-
Λ(a)
),
всоответ-
екции на соответствующие пространства. Определим функцию B ∈C(Ω)
равенством
B(A
)= max
i
x
j : A
⊂B
i
j
0
sup
ξ∈B
j
x∈Λ(a)
A(τxξ).
Тогда
P (A) − ε P(A, B)=
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
a
P
τ
x∈Λ(a)
P (B)=
A ◦ τx, B
1
|Λ(a)|
[s(σ)+σ(B)],
Λ(a)
где σ — некоторая инвариантная относительно сдвига вероятностная мера
на Ω (мы используем здесь теорему 3.12). В силу теорем Хана– Банаха и
Маркова– Какутани (см. приложения A.3.2 и A.3.4) существует такая инвариантная относительно сдвига вероятностная мера σ
∗
что qσ
(величину h
пересечениями замыканий множеств A
или, если положить σ = |Λ(a)|
= σ.Пусть#σ = pσ∗;тогда#σ является τa-инвариантной мерой и
σ(B) #σ
x∈Λ(a)
s(σ) h
a
(#σ) можно оценить при помощи разбиения, образованного
τ
P (A) − ε
|Λ(a)|
a
(#σ)+ln(|Λ(a)|·|B|)
τ
(
1
h
−1
τ
a
(#σ)+#σ
x∈Λ(a)
x
A ◦ τ
+ |Λ(a)|ε,
). Следовательно,
i
x∈Λ(a)
τx#σ ∈ I ,то
∗
на пространстве Ω∗,
)
x
A ◦ τ
+2ε,
P (A) − 3ε
1
|Λ(a)|
a
h
(σ)+σ(A)=hτ(σ)+σ(A).
τ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]