Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
УПРАЖНЕНИЯ 51
определенные семействами (Fx)
Ω
(x
M
)
#
F
:Ω
x
M(x)
→ Ω
. Пусть˜M(x)={M(x):x∈ M (x)} и отображение
x
→ Mxтаково, что#F (ξ)=Fx(F
Проверить, что отображение˜F = F ◦F
мейством (˜F
. Проверить также, что˜F∗Φ=F∗F∗Φ, где F∗,F∗,˜F
x)x∈L
определены семействами (Fx), (F
2. Если мы откажемся от условия μ
, (F
x∈L
), (˜Fx) соответственно.
x
(Λ)ξ
)
x
с Fx:Ω
x∈L
ξ).
M(x)
— морфизм, определяемый се-
{ξΛ} > 0 при ξΛ∨ ξ
L\Λ
M(x)
→ Ωxи F
L\Λ
x
∈ Ω
(см. параграф 2.7, условие (a)), то получим более общее определение системы условных вероятностей. Проверить, что свойства, перечисленные в
первом абзаце параграфа 2.8 (за исключением замечания 1.14), останутся в
силе.
3. Пусть дана система условных вероятностей (μ
(Λ)ξ
L\Λ
).Еслидля
ξ,η ∈ Ω существует такое конечное множество Λ, что ξ|(L \Λ) = η|(L \Λ),
положим
V (ξ, η)=lnμ
(Λ)ξ|(L\Λ)
{ξ|Λ}−ln μ
(Λ)ξ|(L\Λ)
{η|Λ}. (∗)
Проверить, что V (ξ,η) не зависит от выбора множества Λ и обладает следующими свойствами:
(a) V — действительная функция на множестве {(ξ, η) ∈ Ω × Ω:
ξ|(L \Λ) = η|(L \Λ) при некотором конечном Λ};
(b) если ξ
непрерывна на множестве {ξ
∈ ΩΛ, то функция ξ
Λ,ηΛ
L\Λ
∈ Ω
L\Λ
→ V (ξΛ∨ ξ
L\Λ
: ξΛ∨ξ
∈ Ω и ηΛ∨η
L\Λ
L\Λ
, ηΛ∨ ξ
L\Λ
L\Λ
∈ Ω};
(c) V (ξ, η)+V (η,ζ)+V (ζ,ξ)=0, если левая часть этого равенства
определена.
Проверить, что (*) устанавливает взаимнооднозначное соответствие
между системами условных вероятностей и объектами V, удовлетворяющими условиям (a), (b) и (c). Очевидно, эти объекты образуют линейное
пространство. Проверить, что если F — морфизм, то естественное действие F
ций Ω,Ω
сумму и произведение как решетчатые системы с пространствами конфигураций Ω
ведение) соответственно. Определим т акже сумму и произведение взаимодействий Φ и Φ
мом.
σ ⊗σ
∗
на этом пространстве является линейным.
4. Рассмотрим две решетчатые системы с пространствами конфигура-
и взаимодействиями Φ, Φ. Определим естественным образом их
∗
=Ω∪ Ω(дизъюнктное объединение) и Ω∗∗=Ω× Ω(произ-
.
(a) Доказать, что инъективное отображение Ω → Ω
(b) Доказать, что если σ, σ
— гиббсовское состояние для Φ ×Φ.
— гиббсовские состояния для Φ и Φ, то
∗
является морфиз-
:
∗
)
52 ГЛАВА 2
)
∗
,воспользуйтесь
Λ∈F
∗
)
Λ∈F
Λ
∗∗
∗
так, чтобы
= L ∪L.)
(Чтобы определить суммуL∗, (Ω
∗
)
x∈L
x
, (Ω
∗
Λ
произвольной идентификацией бесконечных счетных множеств L и L
∗
положите L
= L = L, Ω
включение ξ ∈ Ω
∗
выполнялось только при ξ ∈ Ω или ξ ∈ Ω. Чтобы опре-
∗
=Ωx∪ Ω
x
.Выберите(Ω
x
делить произведение, возьмите дизъюнктное объединение L
и
ГЛАВА 3
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ
ИНВАРИАНТНОСТЬ. ТЕОРИЯ
РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
Предположив трансляционную инвариантность, мы построим в этой
главе теорию равновесных состояний и давления, а также получим общие
результаты, касающиеся фазовых переходов.
3.1. Трансляционная инвариантность
Теория гиббсовских состояний получает очень интересное развитие
в случае, когда предполагается инвариантность относительно «достаточно
большой» группы симметрии G.ВкачествеG мы возьмем группу Z
ν 1, но заметим, что и другие группы могут представлять интерес
В данной главе мы не будем рассматривать гиббсовских состояний, а вместо
этого изложим теорию равновесных состояний. Связь между гиббсовскими
и равновесными состояниями будет обсуждаться в главе 4.
Пусть L = Z
Для любого x ∈ Z
любого S ⊂ L определим отображение τ
ством
ν
и группа G = Zνдействует на L посредством сдвигов:
(a, x) → a + x.
ν
положим Ωx=Ωo,такчто
a
(τ
ξ)x= ξ
a
:
x+a
x∈S
x∈Z
Ωx→
Ωx=(Ωo)
ν
x∈S−a
Z
Ωxравен-
.
ν
.Для
ν
,
1
.
В этой главе мы не будем вводить семейство (
просто предположим, что Ω ⊂
ν
Λ ⊂ Z
) удовлетворяют условиям:
(a) Ω
(b) Ω
= τaΩΛ;
Λ−a
|Λ ⊂ ΩΛ,еслиΛ ⊂ M;
M
x∈Z
ν
Ωxи ΩΛ⊂
(c) Ω = ∅; ξ ∈ Ω тогда и только тогда, когда ξ|Λ ∈ Ω
1
См., например, иерархическую модель Дайсона [1].
ΩΛ)
Λ∈F
Ωx(для конечных
x∈Λ
для всех Λ.
Λ
из главы 1, а
54 ГЛАВА 3
В части, касающейся Ω, эти условия сводятся к предположению, что
Ω — произвольное непустое замкнутое τ-инвариантное подмножество про-
странства
что τ
отображение A → A ◦τ
изометрией и переводящий C
Пусть αΛ, αΛM, C и CΛопределены так же, как в главе 1. Заметим,
a
, a ∈ G, является гомеоморфизмом компактного множества Ω ичто
x∈Z
1
Ωx.
ν
a
определяет автоморфизм алгебры C, являющийся
в C
Λ+a
.
Λ
Взаимодействие Φ будем называть инвариантным, если
a
Φ(τ
ξ)=Φ(ξ)(3.1)
ν
при всех a ∈ Z
, ξ ∈ ΩΛиконечныхΛ ⊂ Zν. Такие взаимодействия
образуют банахово пространство A относительно нормы
1
Φ =
X0
|X|
sup
|Φ(ξ)|. (3.2)
ξ∈Ω
X
В дальнейшем мы будем использовать всюду плотное линейное про-
странство A
⊂A,состоящееизвсехвзаимодействий конечного радиуса;
o
по определению, Φ — взаимодействие конечного радиуса, если существует
такое конечное множество Δ,чтоΦ(ξ|X ) может быть отлично от нуля лишь
в случае, когда X − x ⊂ Δ при всех x ∈ X .
В описанной модели множество L = Z
ν
можно интерпретировать как
ν-мерную кристаллическую решетку. Тогда групповая инвариантность —
это инвариантность относительно сдвигов решетки.
3.2. Функция A
Φ
Каждому взаимодействию Φ ∈Aпоставим в соответствие некоторую
непрерывную функцию A
на пространстве Ω так, чтобы величину −AΦ(ξ)
Φ
можно было интерпретировать как вклад одного узла решетки (скажем,
узла 0) в энергию конфигурации ξ.Этоможносделать,положив
X0
1
|X|
Φ(ξ|X ).
A
Φ
(ξ)=−
Возможны, однако, и другие определения с той же физической интерпретацией и с тем же значением σ(A
1
Легко понять, что семейство множеств ΩΛне определяется однозначно множеством Ω.—
Прим. ред.
) для любого инвариантного состояния σ
Φ
3.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ 55
(см. ниже § 3.5). Так, мы могли бы положить
∗
Φ(ξ|X ), (3.3)
X
где сумма
A
(ξ)=−
Φ
∗
берется по всем тем X, которые, будучи лексикографически упорядочены, имеют 0 своим первым элементом (или последним элементом). Лексикографическим здесь является любой полный порядок на
множестве Z
лить A
рых0служит[(|X |+1)/2]-м
ν
, согласованный со сдвигами. Мы могли бы также опреде-
равенством (3.3), где суммирование ведется по всем X ,длякото-
Φ
1
(т. е. «средним») элементом множества X при
лексикографическом упорядочении. Мы будем использовать это последнее
определение. Его достоинство состоит в том, что
{A
:Φ∈Ao} =
Φ
Λ —конечное
Чтобы убедиться в представимости каждой функции A ∈C
подходящем Φ ∈A
,подберемтакоеX ⊃ Λ, в котором 0 является [(|X| +
o
CΛи {AΦ:Φ∈A}= C.
ввидеAΦпри
Λ
+1)/2]-м элементом (в лексикографическом порядке). Положим Φ(ξ|X )=
= −A(ξ) и Φ(ξ|Y )=0,еслиY не получено сдвигом из X.Тогда
и A = A
где A
выше способом, мы получим равенство A = A
. Для любой функции A ∈Cимеет место разложение A =
Φ
и
n∈CΛ
n
Заметим, что отображение Φ → A
An < ∞. Следовательно, если Φnвыбрано указанным
n
является линейным и что
Φ
X0
1
|X|
sup
ξ∈Ω
X
A
Φ
с Φ=
Φ
|Φ(ξ)| = Φ .
n
Φn.
Φ = A
An,
n
Более точно,
A =inf{|Φ|: A = A
Таким образом, мы имеем линейное отображение Φ → A
}. (3.4)
Φ
пространства A
Φ
на C.
3.3. Статистические суммы
2
Для любого конечного S ⊂ Zνположим
∗
= {ξ:(∃ξ∗∈ Ω) ξ = ξ∗|S}.
Ω
S
1
[(|X| +1)/2] обозначает целую часть числа (|X| +1)/2.
2
В оригинале — «partition functions»; при переводе этого термина мы следуем давно сло-
жившейся и вполне оправданной традиции. — Прим. ред.
56 ГЛАВА 3
Для конечного Λ идляΦ ∈Aвведем статистические суммы
Φ
Z
=
Λ
ξ∈Ω
exp[−U
Λ
Φ
(ξ)],Z
Λ
Λ
∗Φ
=
ξ∈Ω
exp[−U
∗
Λ
Φ
Λ
(ξ)].
При A ∈Cположим также
где для каждого ξ ∈ Ω
Пусть P
Φ
= |Λ|−1ln Z
Λ
d
Φ+tΨ
P
Λ
dt
=(Z
Φ
.Тогда
Λ
−1
)
ξ∈Ω
∗
Z
(A)=
Λ
∗
произвольно выбрано такое ξ∗∈ Ω,чтоξ∗|Λ=ξ.
Λ
Φ+tΨ
Λ
∗
Λ
ξ∈Ω
exp
Λ
x∈Λ
− U
A(τxξ∗),
Ψ
(ξ)
Λ
|Λ|
exp[−U
Φ+tΨ
Λ
и, следовательно,
2
d
dt
P
Λ
2
Ψ
Λ
Φ+tΨ
|
=
t=0
(η)]2exp[−U
Φ
(ξ) −U
Λ
Φ
(η)] 0. (3.5)
Λ
Λ
η∈Ω
1
[U
2
Λ
=(Z
Φ
−2
)
Λ
ξ∈Ω
Отсюда видно, что Φ → P
|Λ|
Ψ
(ξ) − U
Λ
Φ
— выпуклая функция. С другой стороны,
Λ
(ξ)]
d
Φ+tΨ
P
dt
поэтому
Φ
|P
Ψ
− P
Λ
| sup
Λ
0t1
Заметим также, что
−
Φ P
Свойства, аналогичные (3.5), (3.6) и (3.7), сохранятся, если заменить
Φ
Z
Λ
тогда функция A → P
(предполагается, что в определении Z
ки ξ
на Z
∗
∈ Ω).
∗Φ
Λ
или Z
∗
(A). В частности, положим P
Λ
∗
(A) выпукла и
Λ
∗
|P
(A) − P
Λ
Ψ ;
Λ
$
$
Φ+t(Ψ−Φ)
d
P
$
Λ
dt
Φ
Φ +ln|Ωo|. (3.7)
Λ
∗
(B)| ||A − B|| (3.8)
Λ
∗
фиксирован некоторый выбор точ-
Λ
$
$
Φ − Ψ . (3.6)
$
∗
(A)=|Λ|−1ln Z
Λ
∗
Λ
(A);
3.4. ТЕОРЕМА 57
3.4. Теорема
Для любых a1, ..., aν> 0 определим множество
Λ(a)={x ∈ Z
ν
:0 xi<ai}
и будем писать a →∞,когдаa
, ..., aν→∞.ЕслиΦ ∈Aи A ∈C,то
1
существуют пределы
При этом P
Φ
P
= lim
|Λ(a)|−1ln Z
a→∞
P (A) = lim
Φ
= P (AΦ), функция P, которая называется давлением, вы-
|Λ(a)|−1ln Z
a→∞
Φ
Λ(a)
= lim
a→∞
|Λ(a)|−1ln Z
∗
(A). (3.10)
Λ(a)
∗Φ
, (3.9)
Λ(a)
пукла и непрерывна на C; более того,
|P (A) − P (B)| ||A −B||. (3.11)
Если t ∈ R,то
P (A + B ◦τ
x
− B + t)=P (A)+t. (3.12)
Ниже мы увидим, что термодинамический предел a →∞в (3.9), (3.10)
можно заменить более общим предельным переходом Λ ↑∞(см. § 3.9 и
следствие 3.13). Другие свойства функции P приведены в параграфе 6.8.
Пусть сначала Φ ∈A
При Λ ⊂ M
где
Если Λ
где N (Λ
∩ Λ2= ∅,то
1
) —числотакихточекx ∈ Λ2,чтоx +Δ⊂ Λ2.
2
Положим
:еслиξ ∈ ΩXи X − X ⊂ Δ,тоΦ(ξ)=0.
o
Z
Φ
|Ω
Λ
Φ
Z
M
|M|−|Λ|
||Φ||
|e
o
, (3.13)
sup
Φ
Z
Λ
Φ
P
||Φ|| =
Z
1∪Λ2
= liminf
a→∞
X0
Φ
Λ
|Λ(a)|−1ln Z
1
ξ∈Ω
Z
Λ
Φ
|Φ(ξ)|.
X
N(Λ2)||Φ||
e
2
, (3.14)
Φ
. (3.15)
Λ(a)
Для всякого ε>0 выбираем такое b,что
N(Λ(b))
|Λ(b)|
||Φ|| <ε/2, |Λ(b)|
−1
ln Z
Φ
<PΦ+ ε/2.
Λ(b)
58 ГЛАВА 3
Тогда для любого набора a1, ..., aν, который целочисленно кратен набору
b
, ..., bν, в силу (3.14) справедливо неравенство
1
|Λ(a)|
−1
ln Z
Φ
Λ(a)
<PΦ+ ε.
С помощью (3.13) отсюда нетрудно вывести, что
lim sup
a→∞
|Λ(a)|−1ln Z
Φ
PΦ. (3.16)
Λ(a)
Из (3.15), (3.16) получаем
lim
|Λ(a)|−1ln Z
a→∞
Φ
= PΦ. (3.17)
Λ(a)
Случай произвольного Φ ∈Aсводится к рассмотренному с использованием
свойства равномерной непрерывности (3.6).
Заметим теперь, что (3.14) можно заменить неравенством
Φ
Z
Λ
1∪Λ2
где
#
Z
Φ
#
Z
определяется аналогичным образом. Неравенство (3.18) легко обоб-
Λ
2
щить, заменив Λ
Φ
=
Λ
1
exp[−UΛ(ξ)],#Ω
ξ∈Ω
Λ
1
на Λ1∪ ... ∪ Λn.ВзяввкачествеΛ1, ..., Λnмно-
1∪Λ2
жества, полученные сдвигом из Λ(b) итакие,чтоΛ
#Z
Φ
Φ
N(Λ2)||Φ||
#
Z
e
Λ
Λ
1
2
= {#ξ|Λ1:#ξ ∈ Ω
Λ
1
, (3.18)
};
Λ
Λ
1
2
∪ ... ∪ Λn=Λ(a),
1
приходим к неравенству
lim
a→∞
при этом#Z
|Λ(a)|−1ln Z
Φ
вычисляется с использованием множества
Λ(b)
Φ
|Λ(b)|−1ln#Z
Λ(a)
#
Ω
= {#ξ|Λ(b):#ξ ∈ Ω
Λ(b)
Φ
Λ(b)
Λ(b)+Δ
N(Λ(b))
+
|Λ(b)|
},
||Φ||;(3.19)
где Δ — любое конечное множество, содержащее 0 (чтобы убедиться в этом,
заметим, что Λ
+Δ ⊂ Λ(a) для большинства j между 1 и n,еслиa →∞).
j
Из справедливости неравенство (3.19) при всех Δ вытекает, что
Φ
|Λ(b)|−1ln Z
P
∗Φ
Λ(b)
N(Λ(b))
+
|Λ(b)|
||Φ||,
3.5. ИНВАРИАНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ 59
атаккакZ
∗Φ
Λ(b)
что и завершает доказательство соотношений (3.9).
В силу (3.3) при ξ
Φ
U
(ξ∗|Λ) +
Λ
Следовательно, если Φ ∈A
и, значит,
Пользуясь плотностью множества {A
рывностью (3.8), мы получаем отсюда (3.10) и равенство P
всех Φ ∈A. Выпуклость функции P и неравенство (3.11) вытекают из
соответствующих свойств P
%
∗Φ
P
lim
a→∞
Λ(a)
Φ
Z
a→∞
, мы получаем
Λ(b)
a→∞
∗
AΦ(τxξ∗)=
x∈Λ
$
$
Φ
(ξ∗|Λ) +
U
$
Λ
|Λ(a)|
lim
|Λ(a)|−1ln Z
lim
∈ Ω
Φ(ξ∗|X) −
X⊂Λ
,то
o
AΦ(τxξ∗)
x∈Λ
%
−1
∗Φ
ln Z
∗Φ
, а равенство (3.12) — из соотношений
Λ
− ln Z
Λ(a)
:Φ∈Ao} в C и равномерной непре-
Φ
(AΦ+ AΨ◦ τx− AΨ) − P
∗
(A + t)=e
Z
Λ(a)
∗Φ
= PΦ,
Λ(a)
x∈ΛX
$
$
N(Λ)Φ
$
∗Φ
(AΦ)&=0.
Λ(a)
∗Φ
(AΦ)&=0, Φ, Ψ ∈Ao,
Λ(a)
t|Λ|Z∗
Λ(a)
(A),
∗
Φ(ξ∗|X + x).
Φ
= P(AΦ) для
которые проверяются непосредственно.
3.5. Инвариантные состояния
Для каждого a ∈ Zνопределим линейное отображение τa, действующее в пространстве C
Это отображение непрерывно в слабой топологии и переводит множество E
вероятностных мер (состояний) в себя. Пусть I —множествоτ -инвариантных мер:
Мы будем называть эти меры трансляционно-инвариантными состояниями
или просто инвариантными состояниями.
∗
действительных мер на Ω равенством
a
(τ
σ)(A)=σ(A ◦ τa),σ∈C∗,A∈C.
I = {σ ∈ E : τ
a
σ = σ при всех a ∈ Zν}.
60 ГЛАВА 3
3.6. Предложение
Множество I инвариантных состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке.
Это общее свойство совокупности вероятностных мер, инвариантных
относительно некоторой группы гомеоморфизмов компактного множества.
Выпуклость и компактность I очевидны. Если σ — какая-нибудь τ -инвариантная мера, то мера |σ| тоже τ -инвариантна. Отсюда следует, что I —
симплекс Шоке (см. приложение A.5.5).
Крайние точки множества I называются эргодическими состояниями.
Единственное разложение инвариантного состояния ρ на эргодические со-
стояния называется эргодическим разложением; оно определяется вероят-
ностной мерой m
где'A — функция на I , заданная равенством'A(σ)=σ(A) (см. приложение A.5.6). Поэтому инвариантное состояние ρ эргодично, если и только
если
для всех A ∈C. Это свойство называется слабым кластерным свойством.
Его физическая интерпретация будет обсуждаться в параграфе 3.15.
на I, для которой
ρ
m
('A2) = lim
ρ
lim
Λ∞
Λ∞
ρ(|Λ|
−1
ρ(|Λ|
A ◦ τ
x∈Λ
−1
x
x∈Λ
2)
x
A ◦ τ
=[ρ(A)]
2)
,
2
3.7. Теорема
Пусть A ∈Cи IA⊂C∗— множество таких мер σ на Ω,что
P (A + B) P (A)+σ(B) для всех B ∈C.
Тогда
(a) ∅ = I
мы увидим позже, оно является симплексом Шоке и гранью симплекса I
(следствие 3.14).
(b) Множество
массивно в C.
⊂ I , причем множество IAвыпукло и компактно; как
A
D = {A ∈C: I
состоит из единственной точки}
A
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]