Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
9.3. ФУНКЦИОНАЛ Θ 221
где ρ
= ρ1/ρ1. Индивидуальная эргодическая теорема и теория Крыло-
1
ва– Боголюбова показывают, чтоΘ(ρ
меры ρ
,атаккакΘ(ρ) max{Θ
ln Θ δ +lnmax{Θ
) Θ(ρ) для некоторойэргодической
1
, Θ
per
}, мы окончательно получаем
erg
, Θ
, Θ
per
},
vir
erg
что и доказывает утверждение.
Предложение 9.9. Пусть Θ отвечает системе (X, f, g),а'Θ —системе ('X,'f, 'g), фигурирующей в предложениях 9.1, 9.3, 9.3 и 9.7.Тогдав
случае предложений 9.1 и 9.3 мы имеем'Θ=Θ, в случае предложения 9.4
можно так выбрать 'g,что'Θ Θ, а в случае предложения 9.7 мы также
имеем'Θ Θ.
В условиях предложения 9.1 переход от первой системы ко второй
может привести к замене одних периодических орбит другими с тем же Θ,
но без изменения виртуальных периодических точек и эргодических мер;
следовательно,'Θ=Θ.
В условиях предложения 9.3 выбор 'g гарантирует, что если ξ ∈ Fix'f
то либо'Θ(ξ)=0,либоξ = πx,гдеx ∈ Fix f
m
,атогда'Θ(ξ)=Θ(ξ).Ес-
m
ли (ξ, ±) — виртуальная периодическая точка для'f,толибо'Θ(ξ, ±)=0,
либо ξ = πx,гдеx — f-периодическая. В таком случае либо (x, ±) —вирту-
альная периодическая точка для f и'Θ(ξ, ±)=Θ(x, ±),либо'Θ(ξ, ±)=0.
Если, наконец, 'ρ —эргодическаямерадля'f и'Θ('ρ) > 0,то'ρ сосредоточена
на множестве точек вида πx,такчто'ρ = πρ,гдеρ — f -эргодическая мера,
и'Θ('ρ)=Θ(ρ), вследствие чего мы получаем'Θ=Θ.
В условиях предложения 9.4 необходимо начать с продолжения 'g на
все'X.Если'f-периодическая точка ξ имеет период m,тоfmотображает
замкнутый интервал π
−1
ξ в себя. В случае, когда множество π−1ξ ∩Fix f
m
непусто, положим 'g('fkξ)=g(fkx), k 0, где x — какая-нибудь точка
этого множества. Если же π
точка x ∈ π
−1
ξ ∩ Fix f2m.Положимтогда
k
'g('f
−1
ξ ∩Fix fm= ∅,тоξ ∈ Fix
ξ)=g(fkx)g(f
m+k
x)
1/2
,k 0,
где квадратный корень выбран так, что точки 'g('f
−
m
'
исуществует
f
k
x), g(fkx), g(f
m+k
x)
принадлежат одной и той же половине комплексной плоскости, граница которой проходит через начало координат. Из этого определения с помощью
простого геометрического рассуждения, использующего подобие треугольников, получаем
$
$
k
x) − g(fkx)
'g('f
$
$
$
$
$
m+k
+
g(f
$
$
x) − 'g('fkx)
$
$
$
2
$
$
g(f
m+k
x) − g(fkx)
$
$
. (9.1)
,
222 ГЛАВА 9
Поскольку 'g(ξ) уже определено для периодических ξ,положим'g(ξ)=
−1
= g(π
ξ) для всех остальных ξ (данное определение согласуется с опреде-
лением, содержащимся в предложении 9.4 и замечании 9.5(1)). В силу (9.1)
Var 'g 2Varg.
По построению'Θ
годической, то она приписывает нулевую вероятность счетному множеству
{ξ :cardπ
−1
ξ>1}. Следовательно, существует такая f-эргодическая ме-
ра ρ,чтоπρ = 'ρ и'Θ('ρ)=Θ(ρ),апотому'Θ
туальная периодическая точка периода m для'f и ξ
per
Θ
. Если неатомическая мера 'ρ является'f-эр-
per
Θ
erg
.Пусть(ξ, −) —вир-
erg
ξ.Еслиxα∈ π−1ξ
α
α
и xα x,тоx ∈ Fix fmи lim 'g(ξα) = lim g(xα), так что выполняются
равенство'Θ(ξ, −)=Θ(x, −) и аналогичное равенство для (ξ, +).Следо-
вательно,'Θ
В условиях предложения 9.7'Θ
Θ
vir
и, таким образом,'Θ Θ.
vir
=Θ
vir
и'Θ
vir
erg
=Θ
erg
. Значения'Θ,
отвечающего периодическим точкам новой системы, совпадают со значениями Θ, отвечающего периодическим или виртуальным периодическим
точкам старой системы. Тем самым, и здесь'Θ Θ.
9.4. Трансфер-оператор L
Как и раньше, рассмотрим систему (X, f, g),состоящуюизкомпактного подмножества X ⊂ R, кусочно-монотонногоотображения f и функции
ограниченной вариации g. Выберем минимальное покрытие (J
связанное с f . Назовем трансфер-оператором оператор L, определенный
на банаховом пространстве B функций X → C ограниченной вариации
формулой
иположим
(LΦ)(x)=
1
R = lim
m→∞
y : fy=x
(Lm0)
g(y)Φ(y),
1/m
.
Тем самым, R — это спектральный радиус того же L, но действующего на
пространстве ограниченных функций X → C.
Теорема 9.10. (а) Спектральный радиус R
оператора L, действую-
B
щего на B, удовлетворяет неравенству
, ..., JN),
1
B
R.
Θ R
1
В другом месте (Рюэль [12]) мы использовали обозначение R для спектрального радиуса
оператора |L|, действующего на пространстве ограниченных функций и определяемого как
как оператор, который получается при замене g в определении L на |g|.
9.4. ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОР L 223
(b) Существенный спектральный радиус оператора L не превосхо-
дит Θ.
(c) Если g 0,тоR
= R. Если, кроме того, Θ <R,тоR слу-
B
жит собственным значением оператора L и существует отвечающая ему
собственная функция Φ
0
0.
В параграфе 9.6 мы увидим, что R max (Θ, exp P (ln |g|)),гдеP —
давление.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ (а). Для каждого m>0 подберем
такое y
Пусть Φ
,что
m
— функция, равная единице в точке ymи равная нулю в остальных
m
$
m−1
$
$
$
$
k=0
g(fkym)
$
$
$
$
$
$
m−1
$
$
1
sup
$
2
$
y
k=0
g(fky)
$
$
$
.
$
$
точках. Тогда
R
= lim
B
= lim
m→∞
m→∞
Lm
$
m−1
$
$
$
$
k=0
1/m
lim
g(fkym)
m→∞
$
1/m
$
$
$
$
4
1
L
2
lim
m→∞
m
Φm
.
1
2
5
sup
1/m
y
$
m−1
$
$
$
$
k=0
=
g(fky)
$
/
1/m
$
$
=Θ.
$
$
Аналогично получаем
m→∞
(Lm0)
R = lim
Пусть интервалы#J
странства X и ψ
ϕ
i1, ..., i
i
мы получим
m
Φ(x)=
L
1/m
lim
, i =1, ..., N,где#Ji⊂ Ji, образуют разбиение про-
i
m→∞
(LmΦm0)
1/m
= lim
m→∞
=
$
m−1
$
$
$
$
k=0
g(fkym)
$
1/m
$
$
$
$
=Θ.
— отображение, обратное к f |#Ji.Положив
(x)=g(ψ
k
x) · g(ψ
i
1
ψ
i
2
x) ···g(ψ
i
1
i
k
...ψ
x),
i
1
i1, ..., i
m
ϕ
i1, ..., i
(x)Φ(ψ
m
i
m
...ψ
x),
i
1
224 ГЛАВА 9
m
Var LmΦ=
k=1
× sup
+sup
$
k−2
$
gf
sup
x
$
$
$
y
i
...i
k+1
$
m−1
$
gf
x
x...g(fx)g(x)
ϕ
i
...i
k+1
m
x...g(fx)g(x)
$
$
·
Var( g ◦ψ
i
k
(ψ
y)Φ(ψ
i
m
k
$
$
i
m
· Va r Φ.
...ψ
i
k
y)
)×
i
k
$
$
+
$
Следовательно, если
m
Var L
Φ C
(m +1)C
Θ > Θ, R>R, то найдутся такие C, C> 0,что
i
Var g ◦ψi·
max(
m
k=1
Θ, R)
k−1Rm−k
Θ
m
· Va r Φ
Φ0+ ΘmVar Φ
и, значит,
1/m
Lm
lim
m→∞
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ (b). Пользуясь обозначениями пунк-
та (a), возьмем точку x
ψ
◦···◦ψ
i
m
(если эта область непуста) и определим оператор Kmра-
i
1
i1, ..., i
max(Θ,R)=R.
из области определения отображения
m
венством
(K
Очевидно, K
Φ)(x)
m
i1...i
— оператор конечного ранга, и если мы докажем, что
m
ϕ
m
lim sup
m→∞
i1, ..., i
(x)Φ(ψ
m
Lm− Km
◦ ... ◦ ψ
i
m
1/m
Θ, (9.1)
i
1
x
i1, ...,i
m
).
то из формулы Нуссбаума [1] для существенного спектрального радиуса
будет следовать, что существенный спектральный радиус оператора L не
превосходит Θ. Будем действовать так же, как в пункте (a), но с заменой
m
L
Φ на LmΦ − KmΦ. Заметим, что
i
k+1
...i
Φ ◦ ψ
m
− Φ(ψ
◦ ... ◦ ψ
i
m
i
m
◦ ... ◦ ψ
−
i
k
(ψ
i
k−1
◦ ... ◦ ψ
i
k
i
1
x
i1...i
))0 var Φ,
m
9.4. ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОР L 225
апотому
m
Var(L
Φ − KmΦ)
(
C
i
Var g ◦ψi·
m
k=1
k−1Θm−k
Θ
var Φ + Θm· 2VarΦ)
(m +1)C
откуда вытекает (9.1).
ОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ (c). Из условия g 0 получаем
Д
ΘmVar Φ,
1/m
1/m
= lim
m→∞
(Lm0)
1/m
= R,
(9.2)
lim
m→∞
так что R
1/m
Lm
R. Тогда, согласно п. (a), RB= R.
B
lim
m→∞
lim
m→∞
(Var(Lm1))
(Lm10)
Предположив, что Θ <R, докажем, что R — собственное число опе-
ратора L и что отвечающая ему собственная функция неотрицательна. Мы
можем написать
1=Ψ+
где каждая функция Ψ
принадлежит обобщенному собственному подпро-
j
странству оператора L, отвечающему собственному числу λ
j
Ψj,
с |λj| = R.
j
При этом
lim
m→∞
Var LmΨ
r
=0,
m
где 0 <r<R.Всилу(9.2)
и, значит, не все Ψ
lim
m→∞
равны нулю.
j
1
ln Var(L
m
m
1) = ln R
Представив ограничение оператора L на обобщенное собственное пространство, отвечающее λ
, в жордановой нормальной форме, можно убе-
j
диться в том, что существует целое k 0, для которого
lim
m→∞
1
LmΨj=Φj, LΦj= λjΦ
m
k
λ
m
j
j
226 ГЛАВА 9
при всех j,ичтонайдетсяj, для которого Φj=0.Таккак
m
LmΨ
λ
j
R
j
j
m
k
λ
m
j
0
m
L
Rmm
m
L
1
=
k
Rmm
Ψ
+
k
,
мы получаем
j
m
λ
j
Φj −ε(m), (9.3)
R
где 0 ε(m) → 0 при m →∞. Заметим, что сумма в левой части послед-
него неравенства конечна и что |λ
Пусть ...
обозначает усреднение по m ∈ Z. Тогда (9.3) приводит
m
/R| =1при всех j.
j
к неравенствам
6
(1 ± cos αm)
6
(1 ± sin αm)
Если λ
и, следовательно,
= R при всех j,то
j
6
λ
j
R
j
6
iαm
e
j
при всех вещественных α.НотогдаΦ
Тем самым, R — собственное число, скажем, λ
6
=
λ
R
j
Лемма 9.11. Пусть (U
7
m
j
Φ
0 и Φ0не может быть тождественным нулем.
j
m
) — семейство попарно не пересекающихся
α
интервалов в X (не обязательно замкнутых) и Y =
чтокаждыйинтервалU
) fUαсодержится в некотором Uβиз того же семейства, либо
(a
1
) g равно нулю на Uα.
(a
2
содержится в некотором Jiичтолибо
α
λ
R
j
λ
j
R
j
m
Φ
j
m
λ
j
R
j
7
m
j
Φ
0,
j
m
7
m
Φ
0.
j
m
7
=0
m
7
Φ
=0
j
m
=0при всех j,чтоневозможно.
= R.Крометого,Φ0=
0
Uα. Предположим,
α
9.4. ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОР L 227
Предположим также, что каждый интервал Uαобладает одним из
следующих ниже свойств:
(b
) если Uβ<Uα, то существует такое yαβ∈ X \ Y ,чтоUβ<
1
<x
<Uα,
αβ
) если Uβ>Uα, то существует такое yαβ∈ X \ Y ,чтоUα<
(b
2
<y
<Uβ.
αβ
При условии (a) LB
⊂BY. В таком случае оператор L\Yна B
Y
\Y
удовлетворяет условию L\Yω = ωL,гдеω : B→B\Y— фактор-отображение.
При условии (b) спектральный радиус ограничения оператора L на B
не превосходит Θ.Следовательно,если|λ| > Θ и Eλ, E
собственные пространства операторов L и L
ному числу λ,тоω : B→B
порождает биекцию Eλ→ E
\Y
\Y
λ
— обобщенные
\Y
, отвечающие собствен-
λ
.
\Y
Предположим, что Ψ обращается в нуль вне Y .Тогда(LΨ)(x) =0возможно лишь при x = fy,гдеy ∈ U
x ∈ U
⊂ Y . Следовательно, LBY⊂BYи L\Yкорректно определено.
β
Если выполняется условие (b) и Ψ ∈B
, g(y) =0. Поэтому в силу условия (a)
α
,то
Y
Var Ψ
Var(Ψ |Uα) 2VarΨ
α
(для доказательства второго неравенства заметим, что при вычислении
Var Ψ = lim|Ψ(a
)| +|Ψ(ai) − Ψ(a
0
)| + |Ψ(an)|
i−1
Y
можно предположить, что каждому растянутому a
в данном Uαнепосред-
i
ственно предшествует или за ним непосредственно следует некоторое a
с Ψ(aj)=0).
Стало быть, если Ψ ∈B
Var L
Ψ
m
и, обозначив отображение, обратное к f |J
m
(χ
L
Ψ) = (g ◦ψ
U
α
) ...(g ◦ ψ
i
1
При любом ε>0 произведение k множителей g вдоль траектории преобразования f не превосходит C(Θ + ε)
m
VarL
(χ
Ψ) mC2(Θ + ε)
U
α
,то
Y
Var( LmΨ|Uβ)
β
◦ ... ◦ ψ
i
1
VarLm(χ
α
,черезψi,мыполучим
i
)(χ
i
m
k
. Следовательно,
m−1
Ψ) ◦ ψ
U
α
· Va r g · Var(Ψ |Uα)
U
Ψ),
α
i
1
◦ ... ◦ ψ
i
m
j
.
228 ГЛАВА 9
и, окончательно,
m
Var L
Ψ mC2(Θ + ε)
Таким образом,
m
L
|BY 2mC2(Θ + ε)
m−1
· Va r g ·2VarΨ.
m−1
· Va r g
и спектральный радиус ограничения L|B
не превосходит Θ.Отсюдавы-
Y
текает утверждение леммы.
Предложение 9.12. Предположим, что L, Y , Θ,атакже'L,'Y ,'Θ
с'Θ Θ удовлетворяют условиям леммы 9.11. Если существует изомор-
физм B
\Y
"'B
,отождествляющийL\Yи'L
\Y
, будем говорить, что
\Y
трансфер-операторы L и'L являются Θ-эквивалентными: их собственные
значения λ с |λ| > Θ одинаковы, а между обобщенными собственными
подпространствами E
λ
и'Eλимеется естественное соответствие. От-
ношение Θ-эквивалентности можно продолжать, пользуясь его транзитивностью.
Конструкции предложения 9.1 (приводящего к некоторомуразбиению),
предложения 9.3 (приводящего к марковскому разбиению), предложения 9.4
при'Θ Θ(приводящего к образующему разбиению) и предложения 9.7
(дающего функцию 'g, непрерывную в периодических точках) каждый раз
порождают Θ-эквивалентность L∼'L.
В случае предложения 9.4 мы вначале предположим, что (J
, ...,JN) —
1
марковское разбиение. Условия применимости леммы 9.11 уже проверены в
предложениях 9.1, 9.3 (при Y = ∅), 9.4 (в марковском случае) и 9.7. Кроме
"'B
того, из построения вытекает, что изоморфизм B
\Y
отображениями Φ → Φ ◦'π (предложение 9.1),'Φ|X
'
Φ◦π ←'Φ (предложение 9.4) и Φ → Φ◦'π (предложение 9.7), отождествляют
L
и'L
\Y
.
\Y
, порождаемый
\Y
'
Φ (предложение 9.3),
→
Таким образом, если не заботиться о марковости разбиений в предложении 9.4, то мы установили требуемую Θ-эквивалентность L∼'L.
Переходя к общему случаю в предложении 9.4, заметим, что предложения 9.3 и 9.4 можно применять в любом порядке, получая при этом почти
одинаковые результаты (см. замечание 9.5(3)). Обозначим символами (∗)
и (') применение предложений 9.3 и 9.4 соответственно. Тогда мы полу-
чим операторы L, L
∗
L∼L
∼ (L∗)','L∼'L∗. Но, согласно предложению 9.3 и замечанию (3),
∗
,'L,'L∗, (L∗)',причемвсмыслеΘ-эквивалентности
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 229
сделанному после предложения 9.4, (L∗)'∼'L∗, что по транзитивности дает L∼'L.
Замечание 9.13. Предположим, что X — канторово множество, и пусть
= {Φ ∈B: {x:Φ(x) =0} счетно}. Определим L\∞равенством
B
∞
L
ω = ωL,где
\∞
ω : B→B
\∞
= B/B
∞
— фактор-отображение. Тогда у L и L\∞совпадают собственные значения λ с |λ| > Θ,аω индуцирует биекцию E
λ
→ E
λ
соответствующих
\∞
обобщенных собственных подпространств.
Зафиксировав Ψ ∈B
fmZ. Поскольку каждая точка счетного множества Y является пре-
=
m0
,положимZ = {x :Ψ(x) =0} и Y =
∞
дельной для X \Y (так как X — канторово множество), мы можем применить лемму 9.11. Значит (как и при доказательстве этой леммы),
m
L
Ψ 2mC2(Θ + ε)
m−1
Var g ·Ψ,
а потому спектральный радиус L|B
не превосходит Θ,чтоиприводитк
∞
нашему утверждению.
Замечание 9.14. Предположим, что X — канторово множество, а функ-
ция #g с Var #g<∞ такова, что множество {x: #g(x) = g(x)} счетно и
lim
m→∞
sup
x
$
m−1
$
$
$
$
k=0
#g(fkx)
$
$
$
$
$
1/m
Θ.
Тогда трансфер-оператор#L, связанный с #g, Θ-эквивалентен оператору L.
Для доказательства можно воспользоваться замечанием 9.13, заметив,
\∞
=#L\∞.
что L
9.5. Дзета-функции
Изучение дзета-функций кусочно-монотонных отображений на том
уровне общности, с которым мы здесь имеем дело, было начато Балади
и Келлером [1], которые рассмотрели случай, когда X — интервал прямой R и минимальное покрытие (J
доказательство упрощается, если предположить, что (J
зующее марковское разбиение (а X — канторово множество). Мы начнем
с рассмотрения именно этого случая, а затем используем развитую выше
технику в более общих случаях (и, в частности, докажем теорему Балади –
Келлера).
, ..., JN) является образующим. Их
1
, ..., JN) —обра-
1
230 ГЛАВА 9
Предложение 9.15. Пусть X — канторово множество, f : X → X —
кусочно-монотонное отображение, g — функция ограниченной вариации и
(J
, ..., JN) — разбиение, связанное с f.
1
Предположив, что (J
= X для i =1, ..., N (откуда, в частности, видно, что (J
, ..., JN) — образующее разбиение и что fJi=
1
, ..., JN) —
1
марковское разбиение), определим дзета-функцию равенством
∞
m
m=1
z
m
x∈Fix f
ζ(z)=exp
Тогда функция 1/ζ(z) аналитична при |z| < Θ
где λ — собственные значения трансфер-матрицы
m−1
gfkx.
m
k=0
−1
иеенулиимеютвидλ−1,
1
L, причем кратности
нулей и соответствующих им собственных значений совпадают.
Первоначальная идея доказательства принадлежит Xайдну [1], который
работал с функциями g, удовлетворяющими условию Гельдера. Рассуждения Хайдна были приспособлены к рассматриваемой ситуации Балади и
Келлером.
Пусть Λ
ξ
∈{1, ..., N} и τ —сдвиг:τξ =(ξ1,ξ2,...).Пару(X, f) мы можем
i
отождествить с (Λ
тельность (ξ
— множество последовательностей ξ =(ξ0,ξ1, ...) с
+
,τ), поставив в соответствие точке x такую последова-
+
,...), что fkx ∈ J
0,ξ1
. Имея в виду это отождествление, мы
ξ
k
будем соответствующим образом менять обозначения там, где это окажется
удобным.
Пусть
m−1
m
k=0
∞
m=1
gτkξ,
1
ζ
z
m
m
)
m
.
так что
=
ζ
m
ξ∈Fix τ
1/ζ(z)=exp(−
Согласно теореме 9.10(b), можно найти такое
Θ > Θ, как угодно близкое
к Θ, что у трансфер-оператора L не существует собственных значений λ
с |λ| =
Θ,ачислотехλ, для которых |λ| > Θ, конечно (и равно, скажем, M).
Проектор P, отвечающий той части спектра оператора L, которая лежит в
области {λ : |λ| <
1
Автор употребляет термины «трансфер-оператор» и «трансфер-матрица» как синонимы. —
Прим. ред.
Θ}, является ограниченным оператором в B, и мы можем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]