Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
8.7. СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ 191
Заметим, что тривиальный выбор B =0в (8.7), превращающий эту
формулу в (8.5), соответствует в силу продакт-формулы из § 8.4 нетривиальному выбору A в (8.6). Это делает введение веса ϕ = e
A
очень естественным. Определения (8.6) и (8.7) были предложены и изучены Рюэлем
[6], [7], [8] (для динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А).
Оказалось, что динамические дзета-функции тесно связаны с проблемами эргодической теории (убыванием корреляций, термодинамическим
формализмом).
8.7. Свойства динамических дзета-функций
Если мы сравним свойства теоретико-числовых дзета-функций и динамических дзета-функций, то убедимся, что для последних имеют место
(i) аналитические свойства, которые могут быть подробно изучены;
(ii) разложения в ряды Дирихле в случае полупотока;
(iii) продакт-формула;
(iv) возможно, что-то вроде функционального уравнения (см. Рюэль [14]).
Параллелизм бросается в глаза. Если, однако, мы посмотрим на
(ко)гомологическую интерпретацию дзета-функции Лефшеца (раздел 8.5),
то обнаружим, что она полностью разрушается в результате введения весов: вместо возможности выразить дзета-функцию в терминах действия
динамической системы на конечномерных группах когомологий, мы теперь
можем только выразить ее в терминах действия динамической системы на
бесконечномерных группах коцепей.
Здесь следует упомянуть, что Атья и Ботт в классической работе [1]
проанализировали ситуации, в которых все-таки можно «перейти к фактору» и достичь уровня когомологических групп.
Упомянутое выше действие динамической системы на группах цепей
задается так называемыми трансфер-операторами, а динамическая дзета-функция выражается через детерминанты этих операторов. В некоторых
случаях детерминанты трансфер-операторов — это просто определители
Фредгольма (в смысле Гротендика, см. ниже, § 8.11). Но в других случаях теория Фредгольма– Гротендика требует обобщения.
Замечательно, что Дворк уже на ранней стадии использовал трансфер-операторы в p-адической ситуации для изучения дзета-функций алгебраических гиперповерхностей над конечным полем. Аналогичные более
поздние исследования касались гельдеровской, дифференцируемой и аналитической ситуаций.
192 ГЛАВА 8
8.8. Трансфер-операторы
Как и раньше, рассмотрим отображение f : M → M, но заменим матричнозначную функцию φ скалярной функцией g: M → C (матричнознач-
ные функции через минуту появятся снова). Определим трансфер-опера-
тор L действующий на функции Φ: M → C формулой
LΦ(x)=
Отметим важное свойство:
L(Φ · (Φ
Интересная ситуация возникает, естественно, в случае, когда f необратимо
и существует конечное (или хотя бы дискретное) множество обратных ветвей ψ
(часто удается извлечь пользу из перехода от задачи с обратимым f
ω
к задаче с необратимым f ). Перепишем L в терминах обратных ветвей ψ
или, более общим образом, определим (обобщенный) трансфер-оператор K
одним из следующих равенств:
KΦ(x)=
g(y)Φ(y).
y : fy=x
◦ f )) = Φ· (LΦ).
ϕω(x)Φ(ψωx),
ω
ω
(x)Φ(ψωx);
ω
здесь ψ
K =m(dω)ϕ
— гомеоморфизм, переводящий одно из подмножеств простран-
ω
ства M вдругое,иm(dω) — некоторая мера. Оператор K действует в банаховом пространстве B функций (обычно непрерывных) на M или, в более
общем случае, на пространстве сечений некоторого векторного расслоения.
Если M и f — гладкие, мы можем заменить g матричнозначной функ-
l(T∗
цией g ·∧
ψω) и в результате получить трансфер-оператор L
ющий на l-формы, причем L
(0)
— исходный трансфер-оператор L.
(l)
, действу-
8.9. Следы и определители
Если M и f обладают свойством гладкости и график функции f трансверсален к диагонали Δ ⊂ M × M , естественно определить «след» (или
«плоский след», см. Атья и Ботт [1], Гийемин и Стернберг [1]).
Tr L =
x∈Fix f
g(x)
|det(1 − Dxf−1|
,
8.9. СЛЕДЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 193
где Dxf — производная функции f, действующая в касательном пространстве T
M. Естественность этого определения вытекает из того, что в ло-
x
кальных координатах в окрестности точки x мы имеем согласно теории
распределений
L(ξ, η)δ(ξ −η) dξ dη =g(η)δ(η −f
−1
ξ)δ(ξ −η) dξ dη =
=g(ξ)δ(ξ −f
−1
ξ) dξ = g(x)/|det(1 − Dxf−1)|
(ядро L(ξ, η) определено так, что LΦ(ξ)=-L(ξ, η)Φ(η) dη).
Это определение естественным образом обобщается на трансфер-операторы L
(l)
спомощьюформулы
l
Tr L
=
g(x)tr(∧lDxf−1)
x∈Fix f
|det(1 − Dxf−1|
,
где Tr обозначает след оператора в конечномерном пространстве ∧
Тогда мы получаем удивительный результат
dimM
(−1)lTr L
l=0
(индекс Лефшеца L(x, f
(l)
=
x∈Fix f
−1
det(1 − D
g(x)
|det(1 − Dxf−1)|
f−1)
x
) достаточно просто связан с L(x, f) ивомногих
=
g(x)L(x, f−1)
x∈Fix f
случаях равен единице).
С помощью «следов» Tr определим «детерминант» Det обычной формулой
Det(1 −zL)=exp−
∞
m=1
Tr L
m
.
m
z
m
Тогда мы получим
l
TxM.
где ζ
dimM
(z)=
l=0
Det(1 − zL
(l)
×
ζ
×
есть ζ-функция Лефшеца. Различие между ζ×и ζ не должно вызы-
l+1
(−1)
)
,
вать особого беспокойства: часто эти две функции довольно просто связаны. Серьезная проблема состоит в том, чтобы выражению Det(1 − zL
(l)
)
194 ГЛАВА 8
придать смысл не формального степенного ряда, а аналитической функции, определенной в достаточно большой области. Здесь потребуется спектральная теория трансфер-операторов, и результат будет зависеть как от
рассматриваемого класса динамических систем, так и от функционального
пространства.
Обратимся теперь ненадолго к теории детерминантов Фредгольма, которые служат одним из хорошо понятых примеров функциональных детерминантов типа Det(1 − zL).
8.10. Целые аналитические функции
Стоит напомнить некоторые результаты, касающиеся целых аналитических функций.
Пусть целая аналитическая функция f (z) имеет нуль порядка m в
точке 0 и пусть (α
в порядке возрастания модулей, в которой каждый нуль повторен столько
раз, какова его кратность. При λ>0 положим
и определим показатель сходимости нулей ρ0формулой
Если ρ
< +∞, мы называем родом функции f наименьшее целое p 0,
0
для которого S(p +1) < +∞ (таким образом, p =[ρ
есть целое число 1, в этом последнем случае p = ρ
Вейерштрасса
где g
=0, gp(z)=
0
Порядок ρ целой функции f(z)=a
Теорема 8.3. Всегда справедливо неравенство
и в случае, когда ρ<∞, функция g в (8.8) — многочлен степени ρ, причем
= ρ,еслитолькоρ не есть целое число 1.
ρ
0
) — последовательность других ее нулей, расположенных
k
−λ
|
k
z
1 −
|f(z)| = lim sup
exp g
α
k
zkопределяется равенством
k
r→∞
ρ
], если только ρ0не
0
− 1). По формуле
0
z
p
, (8.8)
α
k
n ln n
|ln |an||
f(z)=z
p
k=1
ρ = lim sup
r→∞
S(λ)=|α
ρ
=inf{λ : S(λ) < +∞}.
0
meg(z)
k
zk/k и g — некоторая целая функция.
1
ln ln max
ln r
|z|=r
ρ
0
.
8.11. ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА–ГРОТЕНДИКА 195
8.11. Теория Фредгольма–Гротендика
(См. Гротендик [1], [2].)
Если E
определяется равенством
, ..., En— банаховы пространства, то норма ·1на ⊗E
1
i
u
=inf
1
xi1·xi2···xin,
i
где нижняя грань берется по всем представлениям
u =
Пополнение произведения ⊗E
ство'⊗E
(проективное тензорное произведение пространств Ei). Гротен-
i
xi1⊗ xi2⊗···⊗xin.
i
по этой норме есть банахово простран-
i
дик назвал элементы этого пространства фредгольмовыми ядрами.
Если E, F — банаховы пространства и E
к E, то существует каноническое отображение E
ние которого очевидно. Оно не увеличивает норму
мента u ∈ E
'
⊗F называется ядерным оператором, действующим из E в F .
Всякий такой оператор компактен. В частности, образ пространства E
— пространство, сопряженное
'
⊗F →L(E, F), определе-
1
.Образ#u ∈L(E, F) эле-
⊗F
'
есть идеал в L(E).Всякийэлементu ∈ E'⊗F можно записать в виде схо-
дящегося ряда
∞
u =
где x
∈ E, yi∈ F , xi 1, yi 1, λi 0 иλi u1+ ε для как
i
λixi⊗ yi,
i=1
угодно малого ε.
'
Присоединив к алгебре E
⊗E единицу (если E бесконечномерно) и
взяв
∞
i=1
x
⊗ xi,
i
u =
1
Отображение E
можно отождествить с подпространством пространства L(E, F ).
⊗F →L(E, F ) часто оказывается инъективным; в этом случае E
⊗F
196 ГЛАВА 8
где xi∈ E, x
где (x
сированы числами k, l =1, ..., n.
Если u
и определить n-линейную симметричную функцию 'α
венством
Не ограничивая общности, можно взять x
|'α
n(u1
так что |'α
(u, ..., u), мы видим, что (8.10) определяет на E
= 'α
n
∈ E, естественно положить по определению
i
∞
Det(1 + u)=1+
n=1
=1+
n=1
,x
) представляет собой n×n-матрицу, элементы которой индек-
i
k
i
l
, ..., un∈ E⊗ E, можно написать
1
∞
u
'α
n(u1
, ..., un)|
, ..., un)| n
n(u1
=
k
, ..., un)=
x
i
i=1
···
i
i
1
i1<...<i
∞
1
n!
n
α
(u), (8.10)
n
det(x
,x
)= (8.9)
i
i
k
l
⊗ xki,k=1, ..., n,
'
:(E
⊗E)
n
···
i
i
1
n
i
n
1/2
(n
)x
k=1
n
n/2
u11...un1.Таккакαn(u)=
det(x
i
,x
l
ki
=1.Тогда
n/2
= n
ki
k
).
k
n
k=1
'
⊗E целую ана-
i
литическую функцию u → Det(1 + u).
Теорема 8.4. Следующие условия эквивалентны:
(а) оператор 1 − #u обратим на L(E),
(б) элемент 1 −u обратим в алгебре, полученной путем присоединения
'
единицы к E
⊗E,
(в) Det(1 − u) =0.
Теперь можно написать
n
→ C ра-
xki,
(1 − u)
−1
R(u)
=
Det(1 − u)
,
где R(u) — операторозначная целая аналитическая функция от u (коэффи-
циенты которой могут быть явно указаны).
8.11. ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА–ГРОТЕНДИКА 197
Теорема 8.5. Если λ — собственное значение кратности n опера-
'
тора #u,отвечающегоэлементуu ∈ E
соответствующего обобщенного собственного пространства),тоλ
⊗F (т.е. если n — размерность
−1
нуль порядка n целой функции z → Det(1 − zu).
Замечания 8.6. (а) Следx
рывной линейной формы Tr : E
Det(1 −zu)=exp−
⊗xi→x
i
'
⊗E → C, и справедливо тождество
,xiпродолжается до непре-
i
∞
n
z
n=1
n
,
Tr u
n
связывающее степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля.
В частности, если z → Det(1 − zu) имеет порядок < 1 и, значит, род 0, то
|λ
| < ∞ (где λi— собственные значения оператора #u)иTr u =λi.
i
(б) В силу наших оценок коэффициентов функции z → Det(1 −zu) эта
целая функция имеет порядок 2. Теперь, пользуясь результатом Гротендика ([1], гл.2, стр. 18), получаем
Det(1 −zu)=e
−z Tr u
(1 − zλi)e
i
zλ
i
,
где произведение берется по всем ненулевым собственным значениям λ
(каждое из которых повторено столько раз, какова его кратность). Ес-
ли
|λi| < ∞,то
i
где α =Tru −
Det(1 −zu)=e
λi.
i
−αz
(1 − zλi),
i
(в) Если M и L — компактные пространства и m —меранаL,то
непрерывное ядро K : M × L → C определяет элемент u ∈C(L)
'
⊗C(M ),
отвечающий оператору
—
i
#u :Φ→K(·,y)Φ(y)m(dy),
причем
u
=maxx|K(x, y)||m(dy)|.
1
Описанная ситуация содержит классический случай, рассмотренный Фредгольмом, к которому теория Гротендика, следовательно, применима. Гротендик указал ряд неклассических примеров, в которых его теория также
работает.
198 ГЛАВА 8
8.12. Линейные отображения, улучшающие
аналитичность
Рассмотрим d-мерное комплексное многообразие V и ограниченную
меру m на V , имеющую непрерывную положительную плотность. Для
открытого U ⊂ V обозначим через E(U) подпространство голоморфных
функций из L
было бы рассмотреть и более общую ситуацию, когда E(U ) — гильбертово
пространство интегрируемых в квадрате голоморфных сечений голоморфного векторного расслоения над U ).
Предложение 8.7. Пусть F — банахово пространство и
#u : E(V ) → F — линейное отображение, удовлетворяющее условию
2
(U, m|U) ичерез||·||Uсоответствующую норму (можно
||#uΦ|| const||Φ||
где U — открытое множество с компактным замыканием
гда отображение #u отвечает u ∈ E(V )
∞
=
k=1
λkx
⊗ yk,где||x
k
|| 1, ||yk|| 1 и 0 <λk expA − Bk
k
,
U
U ⊂ V .То-
'
⊗F и можно написать u =
1/d
(A, B — константы, причем B>0).
Мы можем выбрать такие открытые множества W
замыканиями
W1, W2,что
, W2с компактными
1
U ⊂ W1⊂ W1⊂ W2⊂ W2⊂ V.
С помощью формулы Коши можно убедиться, что отображения ограничения E(W
ными ядрами. Будучи квадратично интегрируемыми, они отвечают элементамλ
ограничения E(W
||w
i
тирование, можно взять w
лора функции Φ в конечном числе точек a
) → E(W2) → E(U ) определяются ограниченными непрерыв-
2
v
⊗ viс|λi|2< ∞, ||v
i
i
) → E(U ) отвечает элементуλiw
2
|| 1, ||vi|| 1. Тогда отображение
i
⊗wiс|λi|2< ∞,
i
|| 1, ||wi|| 1. По построению wi∈ L2(U, m|U), а применив проек-
∈ E(U ).
При Φ ∈ E(V ) мы можем оценить w
i
(Φ) с помощью разложения Тей-
i
, производные в этих точках
j
выразив в терминах интегралов Коши. В результате получим
j
k1, ..., kd0
k1+ ...+k
α
d
A
ijk1...k
u
jk
d
...k
1
(Φ),
d
w
i
(Φ) =
где 0 <α<1 и
|A
ijk1...k
| const, ||u
d
jk
...k
1
|| const.
d
8.12. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, УЛУЧШАЮЩИЕ АНАЛИТИЧНОСТЬ 199
По предположению #u получено с помощью композиции отображения
ограничения E(V ) → E(U) и ограниченного линейного отображения
ϕ: E(U ) → F . В итоге убеждаемся, что #u связано с
j
k1, ..., kd0
k1+ ...+k
α
d
u
...k
jk
1
⊗
λiA
d
ijk1...k
i
(ϕwi),
d
а это и есть требуемое выражение. Заметим, что α можно считать произвольно малым положительным числом и, тем самым, B — произвольно
большим.
Следствие 8.8. Пусть F = E(V ),т.е.#u улучшает аналитичность.
Тогда целая функция z → Det(1 − zu) имеет порядок 0; более точно,
существуют такие константы C, D,что
|Det(1 − zu)| expC + D (ln
d+1
|z|)
+
.
См. Фрид [2], лемма 6.
РИМЕР 8.9. Пусть ψ : V →U — голоморфное отображение и ϕ∈E(V ).
П
Определим оператор, действующий на интегрируемые в квадрате голоморфные l-формы на V равенством
l
2
∗
ψ)(Φ ◦ ψ(z)) ,
(LΦ)(z)=ϕ(z) ·
∗
где T
ψ — отображение, сопряженное касательному отображению Tψвточ-
z
ке z. Если множество
U ⊂ V компактно, то предложение 8.7 и следствие 8.8
(T
z
применимы к трансфер-оператору L. Эти результаты применимы также к
линейным комбинациям вида-μ(dω)L
условия на ϕ
, ψωи μ.
ω
, если выполнены естественные
ω
Отметим следующие результаты, полезные для приложений.
d
Лемма 8.10. Пусть V ⊂ C
, V связно и ψV → U голоморфно, причем
U ⊂ V компактно. Тогда множество
∞
ψkU
l=1
состоит из единственной точки Z , причем все собственные значения производной ψ
меньше единицы по модулю.
Z
См. Рюэль [7], лемма 1 (D надо взять открытым, связным и удовлетворяющим условию D ⊃
U).
200 ГЛАВА 8
Предложение 8.11. При сделанных выше предположениях и введенных
обозначениях
Tr L =
ϕ(Z)tr
det (1 − ψ
l
3
ψ
Z
.
)
Z
См. Рюэль [7], лемма 2.
8.13. Нефредгольмовы ситуации
Если динамическая система (M, f) и функция g голоморфны (или вещественно аналитичны) и если f растягивает, то с помощью результатов
предыдущего параграфа можно доказать, что L улучшает аналитичность.
Следовательно, существует корректно определенный определитель Фредгольма Det(1 − zL), являющийся целой функцией от z. Это приводит к
дзета-функции, мероморфной на всей комплексной плоскости.
Бывают, однако, случаи, когда L не только не имеет конечного следа,
но даже не является компактным оператором и когда, тем не менее, можно
доказать, что радиус сходимости формального степенного ряда Det(1 −zL)
нетривиален. В следующей главе мы подробно обсудим один такой пример,
изложив предварительно общий подход, который будет сейчас намечен и
который доказал свою эффективность в нескольких различных ситуациях.
Прежде всего необходимо определенным образом выбрать банахово
пространство B, на котором действует оператор L (это могут быть гельдеровские и дифференцируемые функции или функции ограниченной вариации). Затем мы оценим спектральный радиус этого оператора, пользуясь
формулой
спектральный радиус = lim
m→∞
Пусть r таково, что существует лишь конечное число собственных значений λ оператора L (каждое из которых имеет конечную кратность) с |λ| >r.
Точная нижняя грань этих r есть существенный спектральный радиус и
||Lm||
1/m
.
сущ. спектральный радиус = lim
если E
— операторы конечного ранга (Нуссбаум [1] показал, что при
m
подходящем выборе операторов E
||Lm− Em||
m→∞
правая часть этого неравенства есть
m
1/m
,
на самом деле существенный спектральный радиус). Если повезет удачно
выбрать E
, то можно получить оценку существенного спектрального ра-
m
диуса, которая строго меньше, чем спектральный радиус, и, следовательно,
дает нетривиальную информацию о спектре.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]