Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
ГЛАВА 8
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКИЕ
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Главы 8 и 9 основаны на айзенштадтовских лекциях «Динамические
дзета-функции», прочитанных автором в Монреальском университете в октябре 1993 г. Но здесь акцент сделан на другом. С одной стороны, уже
существуют два прекрасных обзора, посвященных этому предмету: они принадлежат Перри и Полликоту [2] и Балади [1]. С другой стороны, теория
дзета-функций для гиперболических динамических систем находится в движении благодаря продолжающейся работе Ру [1] и Фрида. По этой причине
гиперболические системы здесь подробно не обсуждаются. После общего
введения, содержащегося в главе 8, мы сосредоточимся на кусочно-монотонных отображениях интервала и дадим подробное доказательство обобщенного варианта теоремы Балади и Келлера [1] (гл. 9). Эта теорема содержит типичные утверждения, которые желательно иметь для дзета-функций,
связанных с различными классами динамических систем, а изложенный
здесь вариант представляется в разумном смысле окончательным.
Не сразу очевидно, что динамические дзета-функции, которые мы определим ниже, интересны с математической точки зрения. Наша цель в этой
главе — показать, что в действительности они представляют собой интересный и естественный объект для изучения. Попутно мы вводим здесь понятия, необходимые для главы 9, что делает изложение в известном смысле
замкнутым.
Для более подробного ознакомления с материалом этой главы мы рекомендуем монографию Перри и Полликота [2] и обзорную статью Балади [1];
в них содержатся также многочисленные ссылки на литературу по динамическим дзета-функциям.
Заметим, что в гл. 8 мы отдаем предпочтение доступности перед строгой логической организацией и полнотой: эта глава представляет собой
скорее введение, чем обзор.
182 ГЛАВА 8
8.1. Подсчет периодических орбит для отображений и
потоков
Пусть f : M → M — отображение, Fix fm= {x: fmx = x} и
ϕ: M →M
нечно при всех m, мы можем определить формальный степенной ряд
(C) — матричнозначная функция. Если множество Fix fmко-
d
∞
m
m=1
z
m
Пусть (f
t
)
t0
(полупоток) и (ϕ
ζ(z)=exp
— однопараметрическая группаотображений ft: M →M
t
)
: M →Md(C) — семейство матричнозначных функ-
t0
ций, удовлетворяющее условиям ϕ
x∈Fix f
0
=1, ϕ
m−1
tr
m
ϕ(fkx). (8.1)
k=0
s+t
(x)=ϕs(ftx)ϕt(x).Обо-
значим через P семейство периодических орбит и через T (γ) —период
орбиты γ ∈ P .Положим
где x
ζ =
— произвольная точка орбиты γ (здесь мы игнорируем проблему
γ
det1 − ϕ
γ∈P
%
T (γ)
сходимости).
В частности, взяв B : M → C, можно определить ϕ
t
равенством ϕ
t
(x)=exp
ζ = ζ(s)=
-
(B(fux) − s) du.1Тогда
0
T (γ)
(
1 − exp
γ∈P
0
(xγ)
B(f
t
&
−1
, (8.2)
t
)
xγ) − sdt
−1
.
(при d =1)
При B =0получим
ζ(s)=
γ∈P
1 − e
−sT (γ )
−1
.
Очевидно, можно рассмотреть варианты определений (8.1) и (8.2), в
которых матричнозначные функции ϕ и ϕ
торных расслоений над f или f
1
Конечно, здесь требуется некоторое условие измеримости, но в этом параграфе оно также
игнорируется. — Прим ред.
t
.
t
заменены на отображения век-
8.2. ПОДСДВИГИ КОНЕЧНОГО ТИПА 183
Продакт-формула (см. ниже 8.4) показывает, что определения (8.1)
и (8.2) тесно связаны одно с другим. Мы будем называть объекты только
что введенного типа динамическими дзета-функциями. В них суммируются
периодические орбиты (отображений и потоков) с весами (определяемыми
функцией ϕ).
8.2. Подсдвиги конечного типа
Пусть I — непустое конечное множество, называемое алфавитом (можно взять I = {1, ..., card I}), и t — матрица с элементами t
называемая матрицей перехода.МножествоI, наделенное дискретной топологией, компактно, вследствие чего произведение I
Определим замкнутое подмножество Λ ⊂ I
Z
и непрерывное отображе-
Z
тоже компактно.
ние τ :Λ→ Λ равенствами
Λ={(ξ
k)k∈Z
: t
(τ(ξ
=1для всех k},
ξkξ
k+1
= ξ
•))l
l+1
.
Пара (Λ,τ) называется подсдвигом конечного типа, а отображение τ —
сдвигом.
Предложение 8.1 (формула Боуэна– Лэнфорда). Дзета-функция
∞
m
ζ(z)=exp
m=1
z
card Fixτ
m
m
продолжается до рациональной функции
1
ζ(z)=
det(1 − zt)
.
∈{0, 1},
ij
Основное наблюдение состоит в том, что
card Fixτ
m
=trtm.
Теперь, используя общую формулу
det exp A =exptrA,
находим
ζ(z)=exp
∞
m=1
m
z
card Fix τ
m
m
=exp
∞
m=1
=exptr[−ln(1 − zt)] = [det(1 − zt)]
Впервые это было замечено Боуэном и Лэнфордом [1].
m
z
m
tr t
m
−1
=
.
184 ГЛАВА 8
8.3. Продакт-формула для отображений
Пусть Per (n) — множество периодических орбит отображения
f : M → M, имеющих минимальный период n.Приγ ∈ Per (n) инату-
ральном q обозначим через γ
γ ∈ Per (n), x
∈ γ положим
γ
q
Φ(γ
)=tr
Пусть Per (n) — множество периодических орбит минимального периода n.
Тогда
tr
m
x∈Fix f
где n |m означает, что n делит m. Следовательно,
∞
ζ(z)=exp
m=1
n
m
n|m
=exp
∞
=exp
p=1
nq−1
k=0
m−1
k=0
m
z
γ∈Per (n)
∞
p=1
γ∈Per (p)
q
ту же орбиту γ, но пройденную q раз. Для
n−1
ϕ(fkxγ)=tr
ϕ(fkx)=
n|mγ∈Per (n)
γ∈Per (p)
Φ(γ
m/n
∞
q=1
(
−tr ln1 − z
∞
=
p=1
γ∈Per (p)
(
ϕ(fkxγ)
k=0
)=
pq
z
Φ(γ
q
p−1
p
ϕ(fkxγ))=
k=0
(
det1 − z
nΦ(γ
q
)=
p
m/n
p−1
k=0
)
q
.
),
ϕ(fkxγ)
)
−1
.
Мы получили продакт-формулу
ζ(z)=
∞
p=1
γ∈Per (p)
(
det1 − z
p
p−1
k=0
ϕ(fkxγ)
)
−1
.
Обозначив через p(γ) минимальный период орбиты γ, ее можно переписать
ввиде
ζ(z)=
γ∈P
(
det1 − z
p(γ)
p(γ)−1
k=0
ϕ(fkxγ)
)
−1
.
8.4. ПРОДАКТ-ФОРМУЛА ДЛЯ ПОЛУПОТОКОВ 185
Если, в частности, ϕ ≡ 1,то
ζ(z)=exp
∞
m=1
m
z
card Fix f
m
∞
m
=
(1 − zp)
p=1
− cardPer(p)
.
Заметим, что все формулы справедливы лишь на уровне формальных степенных рядов.
∞
n=0
2
отрезка [−1, 1] всебя,гдеμ —
1+z
n
2
П
РИМЕР 8.1. Отображение x → 1 −μx
константа Фейгенбаума, равная 1,401155 . . . , имеет при каждом n 0 одну
периодическую орбиту периода 2
(1 − z)
n
.Отсюдаспомощьютождества
−1
=
получаем
ζ(z)=exp
∞
n=0
2
n+1
− 1
z
n
2
∞
2
=
1 − z
n=0
n
n
2
−1
∞
=
1+z
n=0
n
n
2
.
8.4. Продакт-формула для полупотоков
Предположим, что полупоток (ft) обладает глобальным сечением Σ.
Это значит, что всякая орбита (f
функция t :Σ → R,чтоt(x) —наименьшееизтехt>0,длякото-
t(x)
рых f
и будем писать ϕ(x)=ϕ
x ∈ Σ. Определим отображение ϕ:Σ→ Σ формулой ϕx = ϕ
t(x)
t
x)
(x).Тогда
пресекает Σ и существует такая
t0
t(x)
x
ζ =
γ∈P
(
det1 − ϕ
t(γ)
=
∞
p=1
(xγ)
γ∈Per (p)
)
−1
=
(
det1 −
p−1
k=0
ϕ(fkxγ)
)
−1
= ζ(z)
$
$
z=1
.
Эта формула (в которой мы игнорируем проблему сходимости) связывает
дзета-функцию для полупотока и дзета-функцию для отображения.
186 ГЛАВА 8
8.5. Формула Лефшеца
Для непрерывного отображения f : M → M компактного многообразия M можно определить индекс L(x, f ) ∈ Z любой изолированной непо-
движной точки x.Еслиf дифференцируемо в этой точке и матрица 1 − D
обратима, то L(x, f) = sign det(1 −D
f).Сумма
x
L(x, f ) (имеющая
x∈Fix f
смысл, если множество Fix f конечно) является гомотопическим инвариантом.
Число Лефшеца отображения f определяется равенством
dim M
Λ(f)=
(−1)itr f∗i,
i=0
x
f
где f
— автоморфизм, который f индуцирует на группе Hi(M, Q) i-мер-
∗i
ных (сингулярных) гомологий с рациональными коэффициентами. Отсюда
вытекает формула следа Лефшеца
L(x, f )=Λ(f ).
x∈Fix f
Введем дзета-функцию Лефшеца
∞
#
ζ(z)=exp
m=1
(предполагается, что множество Fix f
∞
#
ζ(z)=exp
m=1
=
z
i
m
m
(
exp tr
(−1)itr f
i
m=1
∞
m
z
m
m
∗i
z
m
f
m
∗i
x∈Fix f
m
=
)
m
(−1)
L(x, fm)
m
конечно при всех m). Тогда
i
=
[det (1 − zf∗i)]
i
(−1)
i+1
.
Как мы видим, эта функция рациональна и допускает гомологическую интерпретацию.
Пусть x — гиперболическая периодическая точка минимального периода p (в этом случае D
u
— подпространство, отвечающее собственным значениям λ дифферен-
E
циала D
fpс |λ| > 1.Обозначивчерезγ = {x, ..., f
x
fpне имеет собственных чисел λ с |λ| =1)и
x
p−1
x} орбиту точки x,
8.5. ФОРМУЛА ЛЕФШЕЦА 187
положим u(γ)=dimEuи будем писать Δ(γ)=±1 в зависимости от того, сохраняет Df
p
ориентацию в Euили меняет ее. Следуя Смейлу [1],
заметим, что
L(x, f
pq
)=(−1)
u(γ)
Δ(γ)q.
Значит, если все периодические точки преобразования f — гиперболиче-
ские, мы имеем продакт-формулу
#
ζ(z)=exp
=
p
=
p
γ∈Per (p)
(
γ∈P
(−1)
γ∈Per (p)
[1 − Δ(γ)zp]
1 − Δ(γ)z
p(γ)
u(γ)
)
(−1)
(−1)
q
u(γ)+1
pq
z
q
u(γ)+1
Δ(γ)
=
.
q
=
Заметим, что в голоморфном случае Δ(γ)=1, u(γ) — четное число и#ζ(z)
сводится к ζ(z).
Теперь естественно определить динамическую дзета-функцию Лефше-
ца по формуле
#
ζ(z)=exp
∞
m=1
z
m
m
x∈Fix f
L(x, fm)tr
m
m−1
k=0
ϕ(fkx).
В общей ситуации имеет смысл попытаться свести изучение динамической
дзета-функции к изучению дзета-функции Лефшеца (последняя в некотором
смысле более естественна и ее легче анализировать).
Чтобы достичь успеха и, в частности, исследовать сходимость формальных степенных рядов, определяющих ζ(z), нам придется выбрать конкретный класс динамических систем и функциональное пространство, из
которого берутся весовые функции ϕ. Оказывается, что возможны и представляют интерес разные способы сделать такой выбор. Но это, в то же
время, означает, что теория динамических дзета-функций имеет тенденцию
распасться на ряд отдельных ветвей: все они связаны друг с другом, но
различны, и объединяющая их теория отсутствует. В гл. 9 излагается одна
из таких «специальных ветвей», где f предполагается кусочно-монотонным
отображением отрезка. Чтобы приобрести более широкий взгляд на предмет, в этом месте имеет смысл остановиться на истории дзета-функций.
188 ГЛАВА 8
8.6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана
к динамическим дзета-функциям
Для вещественного s>1 положим
ζ(z) ≡
∞
n=1
1
s
n
=
p —простое
(1 − p−s)−1.
Эта продакт-формула была открыта Эйлером в XVIII веке, но подробное
аналитическое исследование функции ζ было проведено в XIX веке Риманом, отсюда и ее название — дзета-функция Римана.
При всяком целом m классы вычетов
с (n, m)=1
1
образуют мультипликативную группу. Пусть χ — характер
этой группы; для любого целого n будем писать χ(n)=χ(
n по модулю m целых чисел n
n),если(n, m)=
=1,иχ(n)=0,если(n, m) =1.Формула
L(s, χ) ≡
∞
n=0
χ(n)
=
s
n
1 − χ(p)p
p
−s
−1
.
определяет L-функцию Дирихле.
В дальнейшем были определены другие функции, аналогичные дзета-функции Римана и L-функции Дирихле. Часто эти функции вводились
ради теоретико-числовых приложений и, как правило, обладали следующими свойствами
2
:
(i) Мероморфность на всей комплексной плоскости [положение полюсов и нулей было первым предметом изучения: дзета-функция Римана имеет
простой полюс в точке s =1и простые нули при s = −2, −4, ..., −2n, . . .
(тривиальные нули), а согласно гипотезе Римана, все остальные нули лежат
на прямой Re s =1/2 (нетривиальные нули)].
(ii) Представление в виде ряда Дирихле
−λns
ane
n
.
(iii) Представление в виде произведения Эйлера.
(iv) Функциональное уравнение [для дзета-функции Римана, если мы
положим ξ(s)=π
−s/2
s
ζ(s), функциональное уравнение будет иметь
Γ
2
вид ξ(s)=ξ(1 −s)].
1
(n, m) — обозначение для наибольшего общего делителя чисел n и m.—Прим. ред.
2
См. статью «Zeta functions» в математическом энциклопедическом словаре Сугаккаи [1]
(см. также аналогичную статью в «Математической энциклопедии», т. 2, стр. 112–119, М.,
1979. — Прим. ред.)
8.6. ОТДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА К ДИНАМИЧЕСКИМ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯМ 189
Пусть k — конечное поле, состоящее из q элементов, и V — несингулярное проективное алгебраическое многообразие размерности n, определен-
ное над k (заметим, что координаты точек V принадлежат алгебраическому
замыканию поля k, но коэффициенты уравнений, определяющих V ,при-
надлежат самому k). Если N
— число точек многообразия V , координаты
m
которых лежат в расширении степени m поля k, то можно определить дзета-функцию многообразия V ,положив
∞
Z(z, V )=exp
m=1
m
z
N
.
m
m
Заметим, что
N
=cardFixFm,
m
где F — морфизм Фробениуса, заменяющий точку с координатами (x
q
кой (x
привели к циклу работ Вейля, Дворка, Гротендика и других; полное дока-
). Несколько гипотез о свойствах Z (z, V), высказанных Вейлем,
i
) точ-
i
зательство в конце концов дал Делинь. Было обнаружено, что Z (z, V) —
рациональная функция от z:
2n
Z(z, V )=
где P
— многочлен, нули которого по абсолютной величине равны q
l
Pl(z)
l=0
(−1)
l+1
,
−l/2
,а
сам он имеет когомологическую интерпретацию (состоящую, грубо говоря,
вследующем:P
(z)=det1 − zF∗|Hl(V ),гдеF∗— действие морфизма
l
Фробениуса на когомологиях).
Если морфизм Фробениуса алгебраического многообразия V заменить
диффеоморфизмом f компактного гладкого многообразия, то получится
функция
ζ(z)=exp
Артин и Мазур [1] показали, что для плотного в C
∞
m=1
m
z
card Fix f
m
m
. (8.3)
1
-топологии множества
диффеоморфизмов f
lim sup
m→∞
1
ln card Fix f
m
m
< ∞
и, следовательно, ряд (8.3) имеет ненулевой радиус сходимости. Затем
Смейл [1] предположил, что для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, которые он ввел, дзета-функция Артина – Мазура рациональна.
190 ГЛАВА 8
Впоследствии это было доказано Гукенхеймером [1] и Мэннингом [1] (см.
также Боуэн [6] и Фрид [2]).
Пусть {γ} — множество замкнутых геодезических на компактной поверхности M постоянной кривизны, равной −1,иl(γ) — длина геодезической γ.Формула
Z(s)=
γ
∞
k=0
1 − e
−(s+k)l(γ)
(8.4)
определяет дзета-функцию Сельберга. Это целая функция порядка 2, удовлетворяющая некоторому функциональному уравнению. Она имеет «тривиальные нули» в точках 0, −1, ..., −n, . . . и «нетривиальные нули» в
точках s с Re s =1/2, а также в конечном числе точек интервала (0, 1)
(нетривиальные нули функции Z связаны с собственными значениями оператора Лапласа на M).
Число l(γ) можно интерпретировать как период периодической орбиты
геодезического потока (f
ление дзета-функции потока (f
t
) на M . Этим подсказывается следующее опреде-
t
):
ζ(s)=
γ∈P
1 − e
−sT (γ )
−1
;(8.5)
здесь P — множество периодических орбит и T (γ) — период орбиты γ.Для
геодезического потока на компактной поверхности кривизны −1 мы имеем
ζ(s)=Z(s +1)/Z(s). Смейл [1] предложил определять дзета-функцию по-
тока формулой (8.4), но это определение удовлетворительно лишь в случае,
когда кривизна равна −1 (функция (8.4), вообще говоря, плохо ведет себя
при замене времени).
Как мы видели, рассмотрение арифметических дзета-функций естественным образом приводит к определениям (8.3) и (8.5) дзета-функций,
считающих периодические орбиты динамических систем. Идеи равновесной статистической механикиподсказывают мысль снабдить периодические
орбиты весами, т.е. заменить (8.3) и (8.5) формулами
∞
ζ(s)=exp
m=1
и
(
ζ(s)=
∈ γ. Эти формулы задают динамические дзета-функции.
где x
γ
1 − exp−
γ∈P
z
m
m
x∈Fix f
T (γ)
0
exp
m
s − B(f
m−1
A(fkx)(8.6)
k=0
)
t
xγ)dt
−1
, (8.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]