Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
6.13. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 141
6.13. Равновесные состояния
В предположении, что P (A) < +∞, введем для A ∈Cмножество
равновесных состояний
I
= {σ ∈ I : h(σ)+σ(A)=P (A)}.
A
Это множество может быть пустым (см., например, Гуревич [1]). В частности, оно не обязано совпадать с множеством
I
= {σ ∈C∗: P (A + B) P (A)+σ(B) при всех B ∈C}. (6.17)
A
Особый интерес представляет случай, когда h
— полунепрерывная сверху
τ
функция на I (см. следующую теорему). Это имеет место, если τ разделяет
точки (см. предложение 6.5(b)).
6.14. Теорема
Пусть энтропия hτконечна и полунепрерывна сверху на I .Тогда
(a) I
симплексом Шоке и, кроме того, гранью множества I .
(b) Множество
массивно в C.
(c) Для всякого σ ∈ I
Как и при доказательстве теоремы 3.7, устанавливается, что множе-
ство I
выпукло, компактно и содержится в I ,амножество
A
массивно в C.
Из полунепрерывности сверху энтропии h
доказательство утверждения (c) совпадает с доказательством соответствующего утверждения теоремы 3.12. Из доказательства теоремы 3.12 видно,
что I
= I
A
что доказывает утверждение (b).
Наконец, доказательство того, что I
жества I , совпадает с доказательством следствия 3.14.
= I
A
A
= ∅; множество IAявляется выпуклым компактным
A
D = {A ∈C:cardI
h(σ)= inf
= {A ∈C:cardI
D
[P (A) − σ(A)].
A∈C
=1}
A
=1}
A
следует, что IA= ∅,и
τ
. Следовательно, множество D = Dявляется массивным в C,
— симплекс Шоке и грань мно-
A
142 ГЛАВА 6
6.15. Замечание
Предположим, что P (0) < +∞ ичтодлявсякогоσ ∈ I
h(σ)= inf
[P (A) − σ(A)]. (6.18)
A∈C
Тогда энтропия h, будучи точной нижней гранью непрерывных функций, полунепрерывна сверху. Таким образом, в силу теоремы 6.14(c) условие (6.18)
эквивалентно полунепрерывности сверху функции h.
К рассматриваемому случаю применима теорема Израэля (приложение A.3.6), позволяющая аппроксимировать инвариантные состояния равновесными состояниями. В частности, справедливы следующие аналоги
теоремы 3.16 и следствия 3.17.
Пусть энтропия h
бых A ∈C, σ ∈ I и ε>0 существуют такие A
конечна и полунепрерывна сверху. Тогда для лю-
τ
||σ
− σ|| ε
∈Cи σ∈ I
A
,что
и
||A
− A||
Объединение множеств I
1
[P (A) − σ(A) − h
ε
по всем A ∈C,т.е.множествовсехравновес-
A
(σ)].
τ
ных состояний, всюду плотно в I относительно топологии, порожденной
нормой.
Если ρ
ция A ∈C, для которой ρ
, ..., ρn— эргодические состояния, то существует функ-
1
, ..., ρn∈ IA.
1
6.16. Коммутирующие непрерывные отображения
Если вместо Zν-действия τ на Ω, порожденного ν коммутирующими
гомеоморфизмами, даны ν коммутирующих непрерывных отображений, то
мы можем обобщить на эту ситуацию большинство предыдущих результатов данной главы (это отмечено в параграфе 6.18). Для простоты мы
опускаем здесь рассмотрение свойства разделимости точек.
x
Заметим, что отображение τ
ν
= {x ∈ Z
: x1, ..., xν 0} и, таким образом, τxявляется Z
Сейчас мы покажем, как связать его с некоторым Z
теперь определено только при x ∈ Z
ν
-действием.
ν
-действием.
ν
=
6.17. ОБОБЩЕНИЕ НА
6.17. Обобщение на Z-действия
ν
-ДЕЙСТВИЯ 143
Вначале положим
Ограничим Z
при каждом x ∈ Z
ν
-действие τ на Ω. Очевидно, отображение τx: Ω→ Ω
ν
является эпиморфизмом. Мы построим компактное
метризуемое пространство Ω
ние π : Ω
и πτa= τaπ при a ∈ Z
→ Ω, для которых
ν
.
Ω
=
τxΩ. (6.19)
ν
x∈Z
с Zν-действием τ и непрерывное отображе-
= Ω
πΩ
Положим
Ω
= {(ξx) ∈ (Ω)
Множество Ω
ν
Z
: τaξ
= ξx, если a ∈ Z
x−a
компактно и метризуемо, как замкнутое подмножество счет-
ν
и x ∈ Z
ν
}.
ного произведения компактных метризуемых множеств. Положим также
a−b
(ξx)=(ηx), где ηx= τaξ
τ
Корректность этого определения легко проверить, и мы получаем, таким
образом, Z
ν
-действие гомеоморфизмами τxпространства Ω. Наконец, по-
,a,b∈ Z
x−b
ν
.
ложим
π(ξ
)=ξ0.
x
Ясно, что πτ
a
= τaπ при a ∈ Z
ν
. Кроме того, нетрудно проверить, что
πΩ
= Ω.
Если σ — τ-инвариантная вероятностная мера на Ω,тоsupp σ ⊂ Ω
В силу теорем Хана– Банаха и Маркова – Какутани
ятностная мера σ
x
σ = σ при x ∈ Zν(так как τx— гомеоморфизмы пространства Ω). Такая
τ
мера σ
и x ∈ Z
ние π : σ
на Ω
единственна, так как множество функций A ◦ π ◦ τx,гдеA ∈C
ν
, всюду плотно в пространстве C(Ω). Следовательно, отображе-
→ σ является биекцией множества τ -инвариантных состояний
на множество τ -инвариантных состояний на Ω (это отображение —
на Ω,чтоπσ = σ и τxσ = σ при всех x ∈ Z
1
существует такая веро-
ν
.Тогда
аффинный гомеоморфизм).
1
Cм. приложения A.3.2 и A.3.4.
.
144 ГЛАВА 6
6.18. Результаты для Z
Как уже говорилось, мы не будем касаться разделимости точек для
ν
Z
-действий. Все остальные определения и результаты параграфов 6.1, 6.3,
-действий
6.4 и 6.5 переносятся на рассматриваемый случай, но со следующими уточнениями.
(a) Мы определяем и рассматриваем A
(b) Если σ ∈ I и состояние σ
Λ
только при Λ ⊂ Z
получено при помощи конструкции
ν
.
параграфа 6.17, то
H(σ, A
Λ
)=H(σ, π−1AΛ)=H(σ, (π−1A)Λ)
и из существования предела (6.3) следует, что
h(σ, A)=h(σ
В силу (6.4) для любого конечного Λ ⊂ Z
, π−1A).
ν
h(σ, π−1A)=h(σ, (π−1A)Λ).
Так как величина diam(π
−1A)Λ
произвольно мала при достаточно малом
diam A идостаточнобольшомΛ, справедливо предложение 6.5(a) и, следо-
вательно,
h(σ)=h(σ
Относительно определения давления в параграфе 6.6, заметим, что ра-
венство (6.6) не обязано выполняться для Z
и x ∈ Z
так как τ
ν
справедливо неравенство
(A, A) ZΛ(A, A),
Z
Λ+x
x
Ω ⊂ Ω. Поэтому функция a → ln Z
). (6.20)
ν
-действий, однако при Λ ⊂ Z
(A, A) остается субадди-
Λ(a)
тивной и и сохраняются соотношения (6.8) и (6.10). Кроме того,
Z
Λ+x
∗
(A, A),
Λ(a)
(A, A).
P (A, A) = lim
где
Обозначим через Z
ничений A и A на Ω
|Λ(a)|−1ln Z
a→∞
∗
(A, A) = lim
Z
Λ
(A, A) статистическую сумму, вычисленную для огра-
Λ
(см. (6.19)). Тогда
(A, A)=ZΛ(A ◦ π, π−1A)
Z
Λ
x→∞
ν
6.19. ЗАМЕЧАНИЕ 145
и
где δ — максимум колебаний функции A на множествах A
diam(π
−1A)Λ
Z
(A, A) Z
Λ
∗
(A, A) Z
Λ
(A, A)e
Λ
|Λ|δ
,
i
.Поскольку
произвольно мал, если diam A достаточно мал, а Λ достаточ-
но велико (см. §6.6), можно утверждать, что
lim
diam A→0
P (A ◦ π, π−1A)=P (A ◦ π).
Поэтому выполняются равенства (6.11) и
P (A)=P(A ◦ π). (6.21)
Содержание параграфов 6.7, 6.8 и 6.9 переносится на Z
каких-либо затруднений. Леммы 6.10 и 6.11 нам не понадобятся (хотя они
и верны). Теорема 6.12 остается справедливой, так как случай Z
ствия сводится к случаю Z
определения множеств I
ν
-действия при помощи (6.20) и (6.21). Наконец,
и I
A
, данные в параграфе 6.13, теорема 6.14 и
A
ν
-действия без
ν
-дей-
замечание 6.15 также сохраняются.
6.19. Замечание
Если τ∗— Zν-действие на пространстве Ω,аτ — Z
ченное при помощи ограничения τ
состояний совпадает с множеством τ
τ
∗
= P
и отображение π : Ω → Ω, введенное в параграфе 6.17, является
τ
P
ν
∗
на Z
,томножествоτ-инвариантных
∗
-инвариантных состояний, hτ= h
гомеоморфизмом.
ν
-действие, полу-
τ
∗
,
6.20. Топологическая энтропия
Λ(a)
ν
-действия τ .
/
.
Величина Pτ(0) называется топологической энтропией Z
Из различных определений параграфов 6.6 и 6.7 видно, что топологическая энтропия служит мерой того, насколько перемешивающим является τ .
В частности,
.
наименьшая мощность подпо-
P (0) = sup
infa|Λ(a)|−1ln
A
крытия покрытия A
Вариационный принцип в этом случае принимает вид
P (0) = sup
h(σ).
σ∈I
146 ГЛАВА 6
Если ν>1 и Pτ(0) > 0, то, как нетрудно проверить, топологическая эн-
тропия Z
-действия, порожденного каждой образующей Z
ν
-действия τ ,
равна +∞.
6.21. Относительное давление
Пусть Ω и Ω— метризуемые компактные множества с Z
ми τ и τ
, каждое из которых порождено ν непрерывными отображениями.
Предположим, что диаграмма
τ
Ω
−−−−→ Ω
⏐
⏐
π
1
τ
Ω
−−−−→ Ω
коммутативна, а π — непрерывное сюръективное отображение. Обозначим
через I (соответственно, через I
ных мер на Ω (соответственно, τ
Пусть A
∈C(Ω), ξ ∈ Ω и Λ — конечное подмножество множества Z
)множествоτ-инвариантных вероятност-
-инвариантных вероятностных мер на Ω).
⏐
⏐
π
1
Для любого конечного открытого покрытия пространства Ω
Z
(A, ξ, A)=min
Λ
(B
) − подсемейство покрытия AΛ, которое покрывает π−1ξ
j
(
exp
j
sup
ξ∈Bj∩π−1ξ
A(τxξ)):
x∈Λ
ν
-действия-
положим
ν
.
и аналогичным образом определим Z
При ε>0 положим
(2)
Z
(A, ξ,ε)=sup
Λ
1
Возможны и другие определения; например, в Z
ленным множествам S ⊂ π
ство S ⊂ π
−1
,авZ
1
exp
ξ∈S
−1
(3)
вместо S ⊂ Ω —взятьмножествоS ⊂ π−1ξξξ.
x∈Λ
−1
S ⊂ π
можно взять одно максимальное (Λ,ε)-разделенное множе-
(1)
, заменив sup
Λ
ξ
на inf
ξ
.
A(τxξ):
ξ и S является (Λ,ε)-разделенным,
(2)
вместо sup по всем (Λ,ε)-разде-
6.22. ТЕОРЕМА 147
(3)
Z
(A, ξ,ε)=inf
Λ
ξ∈S
exp
A(τxξ):
x∈Λ
S ⊂ Ω и S является (Λ,ε)-плотным для π
Теперь мы можем сформулировать следующий результат.
−1
ξ.
6.22. Теорема
1
(a) Предположим, что σ ∈ I . Тогда для почти всех ξ ∈ Ω относи-
тельно меры σ существует следующий предел:
1
1
1
|Λ(a)|
1
|Λ(a)|
ln Z
ln Z
ln Z
Λ(a)
(1)
ln Z
Λ(a)
(2)
(A, ξ,ε)=
Λ(a)
(3)
(A, ξ,ε),
Λ(a)
(A, ξ, A)=
(A, ξ, A)=
, ξ) = lim
P (A
diam A→0
= lim
diam A→0
= lim
ε→0
= lim
ε→0
lim sup
lim sup
lim sup
a→∞
lim sup
a→∞
a→∞
a→∞
|Λ(a)|
|Λ(a)|
который определяет измеримую τ-инвариантную функцию P (A
странстве Ω.
(b) Имеет место следующий вариационный принцип:
P (A
, ξ)σ(dξ)= sup
где относительная энтропия h
h
(πσ) < +∞.
τ
Очевидно, если мера σ является эргодической, то можно считать, что
P (A
, ξ) не зависит от ξ, и писать P (A, σ) вместо P(A, ξ).
σ∈I: πσ=σ
(σ|π) равна h
τ
(h
(σ|π)+σ(A)), (6.22)
τ
(σ) − hτ(πσ) при
τ
, ·) на про-
6.23. Следствие
2
Пусть ν =1, F — конечное множество и M : Ω → R
функция со значениями в множестве F ×F -матриц с элементами M
1
См. Ледрапье и Уолтерс [1].
F
— непрерывная
jk
> 0.
148 ГЛАВА 6
Тогда при σ-почти всех ξ существует предел
Если Ω
= P(A
n→∞
A
1
ln ||M(ξ)M (τξ) ...M(τ
n
(ξ, (ξx)
)=lnM (ξ)
x∈Z
P
= lim
ξ
= Ω × FZи π : Ω→ Ω — каноническая проекция, то Pξ=
, ξ),где
ξ0ξ
n−1
ξ)||. (6.23)
,
1
и справедлива формула (6.22).
(По поводу существования предела (6.23) см. Фюрстенберг, Кестен [1]
иОселедец[1].)
Комментарии
Понятие энтропии было введено Колмогоровым и Синаем. Теперь оно
является классическим для ν =1(см. Биллингслей [1]). Случай ν>1 был
рассмотрен Конзом [1].
Многое из остального содержания этой главы можно найти в работе
Уолтерса [1]. Он определил топологическое давление и доказал вариационный принцип (теорему 6.12) при ν =1(фактически — для непрерывных
отображений). Обобщение на случай ν>1 было получено Эльсануси [1].
Вариационный принцип Уолтерса явился обобщением вариационного
принципа для решетчатых систем (теорема 3.12). Его появлению частично
способствовало промежуточное обобщение, сделанное Рюэлем в [4] (где
было определено давление) и более ранние работы по топологической энтропии (см. § 6.20). Определение топологической энтропии принадлежит
Адлеру, Конхейму и Мак-Эндрю [1]; в дальнейшем эквивалентные определения были предложены Боуэном [3]. Гудвин доказал для всех σ ∈ I
неравенство P (0) h(σ). Совпадение P (0) с точной верхней гранью энтропии h(·) доказано Динабургом [1] для случая конечномерного Ω,азатем
Гудменом [1] для любого Ω. С технической точки зрения, существенную
роль играет лемма 6.10, доказанная Гудвином.
В этой главе мы следовали в основном изложению Боуэна [6], за исключением простого доказательства второй половины теоремы 6.12, найденного
Денкером [1]. Другое очень простое доказательство всей теоремы принадлежит Мисюревичу [1]. Теорема 6.14 в данном контексте, по-видимому,
является новой. За остальными подробностями рекомендую обратиться к
работе Боуэна [6].
Упражнения
1. (См. Боуэн [6], леммы 2.2 и 2.3.)
УПРАЖНЕНИЯ 149
(a) Пусть A, A, B — борелевские покрытия пространства Ω.Тогда
H(σ, A
∨ A∨ B) −H(σ, A∨ B) −H(σ, A∨B)+H(σ, B) 0
(новая форма сильной субаддитивности энтропии, см. (3.22)). Это неравенство можно переписать в виде
H(σ, A
∨ A∨B) −H(σ, B)
H(σ, A
∨ B) −H(σ, B)+H(σ, A∨B) −H(σ, B).
Следовательно, если A, B — борелевские покрытия, то
H(σ, A
Λ
) − H(σ, BΛ) H(σ, AΛ∨BΛ) − H(σ, BΛ)
[H(σ, (τ−xA) ∨ BΛ) − H(σ, BΛ)]
x∈Λ
[H(σ, (τ−xA) ∨ (τ−xB)) − H(σ,τ−xB)] =
x∈Λ
= |Λ|[(H(σ, A ∨ B) −H(σ, B))].
Отсюда вытекает неравенство (6.5).
(b) Пусть заданы A, σ и ε>0. Тогда можно выбрать δ, для которого
H(σ, A ∨ B) − H(σ, B) <ε,
если diam B <δ.
[Обозначим через симметрическую разность множеств: A B =
=(A ∪ B) \ (A ∩ B). Найдется такое α>0,чтоеслиA
— разбиение,
элементам которого отвечает то же множество индексов, что и элементам A,
и
σ(A
A
) <αпри всех i, (∗)
i
i
то
H(σ, A ∨ A
) − H(σ, A)=−
σ(Ai∩A
i, k
Если δ достаточно мало и diam B <δ, то существует разбиение A
щееся укрупнением разбиения B (т.е. элементы A
σ(A
)ln
k
— объединения элемен-
i
σ(A
∩ A
k
k
)
)
<ε.
,являю-
тов B), для которого имеет место (∗).Втакомслучае
H(σ, A ∨ B) − H(σ, B)=H(σ, A ∨ A
H(σ, A ∨ A
∨ B) −H(σ, A∨ B)
) − H(σ, A) <ε).]
150 ГЛАВА 6
2. В параграфах 6.6 и 6.7 мы определили соответственно величины Z
(i)
и Z
, i =1,2,3.Положим
Λ
(2)
Z
(A, ε)=
Λ
ξ∈S
exp
A(τxξ),
x∈Λ
где S — произвольное максимальное (Λ,ε)-разделенное множество.
Докажите, что
(3)
(a) Z
(b) Z
(c) Z
Λ
Λ
(1)
Λ
(2)
жество является (Λ,ε)-плотным).
Z
(2)
Λ
Z
(2)
(всякое максимальное (Λ,ε)-разделенное мно-
Λ
(A, diam A) ZΛ(A, A).
(A, A) Z
(3)
(A, δ/2),еслиδ —числоЛебегадляA.
Λ
(d) Справедливы утверждения параграфа 6.7.
(2)
(e) Можно определить P в терминах Z
3. Пусть Ω, Ω
ями τ и τ
∗
соответственно и f : Ω∗→ Ω — непрерывное отображение, для
которого f ◦ τ
(a) Если σ
h
(fσ∗). В случае, когда f инъективно, выполняется равенство.
τ
∗
— метризуемые компактные множества с Z
∗x
= τx◦ f .
∗
— τ∗-инвариантная вероятностная мера на Ω∗,тоh
.
Λ
ν
-действи-
∗
(σ∗)
τ
(b) Если A — непрерывная действительная функция на Ω и отображе-
ние f сюръективно, то
P
(A) P
τ
∗
(A ◦ f).
τ
(c) Если A — непрерывная действительная функция на Ω и отображе-
ние f инъективно, то
(A) P
P
τ
∗
(A ◦ f ) — это давление, отвечающее ограничению функции A на мно-
(P
τ
жество f Ω
жится в f Ω
∗
). В случае, когда носитель любой τ -инвариантной меры содер-
∗
, справедливо равенство.
4. Предположим, что Ω =
τ-устойчиво (т.е. τ
(α)
x
Ω
⊂ Ω
(α)
точная верхняя грань по α давления функции A, ограниченной на Ω
∗
(A ◦ f)
τ
(α)
Ω
,гдемножествоΩ
α
при всех x ∈ Z
(α)
замкнуто и
ν
). Тогда Pτ(A) есть
(α)
(Выберем такое σ ∈ I ,чтоP (A) <h(σ)+σ(A)+ε,иразложимσ на меры
с подходящими носителями; см. Уолтерс [1], следствие 4.12(i).)
5. Пусть Ω
ипустьτx= τ
, ξ2)=A(ξ1)+A(ξ2),тоPτ(A)=P
A(ξ
1
, Ω2—метризуемыекомпактысZ
1
x
x
× τ
1
на Ω1× Ω2.ЕслиA1∈C(Ω1), A2∈C(Ω2) и
2
(A1)+P
τ
1
ν
-действиями τ1, τ
(A2). (Ср. Уолтерс [1],
τ
2
Λ
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]