Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
8.13. НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ СИТУАЦИИ 201
Существует принадлежащий Хайдну [1] трюк, который позволил в
некоторых случаях показать, что Det(1 − zL) — аналитическая функция
переменной z при
|z| < (сущ. спектральный радиус )
−1
.
Кроме того, нули функции z → Det(1 − zL) в указанной области — это
в точности обратные величины по отношению к собственным значениям
оператора L, причем они имеют те же самые кратности (пример рассматривается в следующей главе).
Наконец, в случае, когда весовая функция g положительна, как правило,
существует собственное значение λ
оператора L, равное спектральному
0
радиусу, причем
λ
=expP(ln g),
0
где P — давление, описываемое в следующем параграфе.
Намеченная только что программа была реализована в некотором числе
примеров, которые мы теперь кратко опишем.
Вначале заметим, что теория Фредгольма (для улучшающих аналитичность операторов) применима к аналитическим растягивающим отображениям (Рюэль [8], Фрид [2]) и к широкому классу рациональных отображений римановой сферы (Левин, Содин, Юдицкий [1], [2]). Ее можно также
применить (пользуясь марковскими разбиениями) к гиперболическим отображениям и потокам, у которых устойчивое и неустойчивое слоения аналитичны (Рюэль [7], Фрид [2]). Последнее условие, как заметили Ру [1] и
Фрид, можно ослабить.
При изучении растягивающих и гиперболических динамических систем, являющихся не голоморфными, а только дифференцируемыми или
гельдеровскими, естественно воспользоваться марковскими разбиениями
(введенными Синаем, Ратнер и Боуэном). Тем самым, исследование исходной динамической системы сводится к символической динамике,т.е.к
подсдвигам конечного типа (см. § 8.2). В связи с этим подходом мы отсылаем читателя к монографии Перри и Полликота и, в частности, к имеющимся
там ссылками на работы Рюэля, Полликота, Хайдна и др.
Использование символической динамики имеет, однако, и недостатки:
оно не носит канонического характера и не учитывает унформации, содержащейся в предположениях дифференцируемости. Этот метод последовательно улучшался в статьях Тангермана [1], Рюэля [10, 11] и Фрида [3].
Нетривиальные результаты аналитического характера были получены
также для дзета-функций, связанных с кусочно-монотонными отображениями интервала. Для этих отображений Хофбауэр построил «марковское расширение» (в действительности бесконечное марковское разбиение), а Хофбауэр и Келлер (и многие другие) изучили динамику во всех подробностях и
202 ГЛАВА 8
в различных направлениях. Первый результат, касающийся дзета-функций,
был получен Балади и Келлером [1]. Дальнейшие результаты см. в работах
Келлера и Новицкого [1] и Рюэля [13]. В следующей главе мы докажем
обобщенный вариант теоремы Балади и Келлера.
Другой подход к изучению дзета-функций кусочно-монотонных отображений интервала был предложен Милнором и Т¨ерстном [1] (см. также
Престон [3] и Балади и Рюэль [1]).
8.14. Термодинамический формализм
1
Если ρ — инвариантная вероятностная мера динамической системы (M, f),тоэнтропия (инвариант Колмогорова – Синая) h(ρ)=h
измеряет скорость создания информации преобразованием f относитель-
но ρ (см. Биллингслей [1])
2
.ЕслиM компактно, а f и A: M → R непре-
(ρ)
f
рывны, то интересно рассмотреть величину P (A), называемую давлением
(см. § 8.6, а также Рюэль [4], Уолтерс [1], [2] и Денкер, Грилленбергер,
Зигмунд [1]) и определяемую равенством
P (A)=sup
(h(ρ)+ρ(A)) .
ρ
В различных случаях можно доказать, что энтропия h полунепрерывна сверху (в слабой топологии на пространстве мер) и что верхняя грань в определении P (A) достигается на некоторой мере, которая называется равновесной
мерой (см. гл.3, а также Боуэн [6]).
В § 8.13 мы заметили, что «обычно» при g>0 число λ
=expP(ln g)
0
является собственным значением трансфер-оператора L ичтооноравно
спектральному радиусу. В действительности «обычно» λ
ственное значение и ему отвечает собственный вектор Φ > 0, а сопряжен-
ный оператор L
∗
обладает собственным вектором μ,являющимсяположи-
— простое соб-
0
тельной мерой. Кроме того (при условии нормировки μ(Φ) = 1), произведение Φ ·μ есть единственное равновесное состояние для ln g.
Мы по крайней мере можем проверить, что ρ =Φ· μ является f -инва-
риантной мерой, т. е. ρ(A ◦ f )=ρ(A) для всех непрерывных A: M → R.
1
В этом параграфе автор кратко излагает некоторые результаты из своей книги «Термодинамический формализм», перевод которой составляет первые семь глав настоящего издания.
Ниже, во всех случаях, когда это возможно, мы заменяем ссылки общего характера на эту
книгу указанием конкретных параграфов или глав. — Прим. ред.
2
См. также Мартин, Ингленд [1∗], Каток, Хасселблатт [1∗], Корнфельд, Синай, Фомин [1∗],
∗
Рохлин [2
], [3∗], где можно найти дополнительную информацию об энтропии. — Прим. ред.
Действительно,
8.15. СВЯЗИ С ДРУГИМИ ОБЛАСТЯМИ МАТЕМАТИКИ 203
ρ(A ◦ f)=μ (Φ ·(A ◦ f )) = λ
−1
μ (L(Φ · (A ◦f))) = λ
= λ
0
−1
(L∗)μ (Φ · (A ◦f)) =
0
−1
μ (A ·L(Φ)) = μ(A · Φ) = ρ(A);
0
здесь мы использовали тождество из § 8.8.
Интересен вопрос о скорости убывания корреляций для равновесного
состояния ρ =Φ· μ: верно ли, что корреляционная функция
n
C(n)=ρ (·(B ◦ f
))
экспоненциально убывает при n →∞(для простоты мы предполагаем, что
ρ(A)=ρ(B)=0)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим преобразование
Фурье –Лапласа
enαC(n)=
n0
=
n0
n0
=
enαλ
−n
enαλ
n0
−n
0
(L∗nμ)(ΦA ·(B ◦ fn)) =
0
−n
enαλ
μ (Ln(ΦA · (B ◦fn))) =
0
μ (B ·Ln(ΦA)) = μB1 − eαλ
−1
0
L
−1
(ΦA).
Поскольку в правой части появляется резольвента оператора L, мы видим,
что скорость убывания корреляций связана со спектральными свойствами
трансфер-оператора и, следовательно, с аналитическими свойствами соответствующей динамической дзета-функции.
8.15. Связи с другими областями математики
Дзета-функция Римана была введена для изучения статистических
свойств простых чисел. В предыдущем параграфе мы видели, что динамическая дзета-функция связана с термодинамическим формализмом, а значит, с
эргодической теорией и снова со статистическими свойствами. Это подсказывает вывод о связи динамических дзета-функций с более традиционными
областями математики.
Например, Перри и Полликот [1] изучили дзета-функции, связанные
с геодезическим потоком на многообразии отрицательной кривизны (не
обязательно постоянной) и доказали теорему о распределении замкнутых
орбит, аналогичную теореме о распределении простых чисел.
Другой пример — это исследование Майером [1] дзета-функций, связанных, с одной стороны, с геодезическими на модулярной поверхности,
204 ГЛАВА 8
а с другой — с преобразованием непрерывных дробей (равновесная мера
здесь — это мера Гаусса).
Мы закончим формулировкой задачи, которая до сих пор не решена.
Известно, что геодезический поток на компактной поверхности постоянной
отрицательной кривизны экспоненциально перемешивает (Ратнер). Остается ли это верным для переменной отрицательной кривизны (мы видели, что
для отображений имеется простая связь между скоростью убывания корреляций и спектральными свойствами трансфер-оператора, но для потоков
ситуация кажется гораздо менее ясной)?
1
1
Положительный ответ на этот вопрос был получен Д.И. Долгопятом [1∗]. — Прим. ред.
ГЛАВА 9
КУСОЧНО-МОНОТОННЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
В этой главе мы изучим дзета-функции, связанные с системами
(X, f, g),гдеX — компактное подмножество прямой R, f : X → X —
кусочно-монотонная функция и g: X → C — функция ограниченной вариации.
В связи с обсуждаемыми здесь проблемами см. статьи Хофбауера [1],
Хофбауера и Келлера [1] и Милнора и Т¨ерстона [1]. Имеется также большая
литература по другим аспектам теории отображений интервала.
Основной результат, касающийся дзета-функций, принадлежит Балади
и Келлеру [1]. Здесь мы обобщим его, используя новый метод. Результаты
этой главы основаны на статье Рюэля [16].
9.1. Определения
Пусть X — упорядоченное топологическое пространство, эквивалентное (с учетом порядка и топологии) компактному подмножеству пространства R. Для простоты будем считать, что X — компактное подмножество R.
Важный пример: [0, 1] ⊂R.
Будем говорить, что J — интервал в X ,еслиJ = X ∩ I,гдеI —
интервал в R.ЕслиI замкнут, то J — замкнутый интервал в X,т.е.J = ∅
или
J = {x ∈ X : u x v}
для подходящих u, v ∈ X, u v. Отображение f : J → X строго монотон-
но, если оно строго возрастает (x<y⇒ f(x) <f(y)) или строго убывает
(x<y⇒ f(x) >f(y
нимает все промежуточные значения между f (u) и f(v)), мы говорим, что
f обладает свойством Дарбу; в частности, f непрерывно и, следовательно,
является гомеоморфизмом
1
Строго монотонное отображение со свойством Дарбу — это то же самое, что монотонный
гомеоморфизм интервала на интервал.
)). Если, кроме того, fJ — интервал в X (т.е. f при-
1
.
206 ГЛАВА 9
Назовем отображение f : X → X кусочно-монотонным,еслиX можно
так покрыть замкнутыми интервалами J
но и обладает свойством Дарбу при i =1, ..., n (тем самым, f |J
ся монотонным гомеоморфизмом интервала J
в X). Предположим, что (J
ства X замкнутыми интервалами; это значит, что если (J
гое покрытие и J
(в частности, J
⊂ J1, ..., J
1
∩ Jjсодержит не более одной точки; очевидно, разбие-
i
, ..., JN) — минимальное покрытие множе-
1
N
, ..., Jn,чтоf |Jiстрого монотон-
1
на некоторый подинтервал
i
, ..., J
⊂ JN,то(J
, ..., J
1
1
)=(J1, ..., JN)
N
являет-
i
) —дру-
N
ние является минимальным покрытием). Предположим также, что все J
непусты, J1 J2 ... JNи N>1.
Если J
решаем, возрастает f |J
Пусть {b
При x ∈{b
и ε(x)=±1, выбрав знак «плюс», если f возрастает на интервале J
и знак «минус» — в противном случае. Множество Per f =
содержит следующие подмножества:
Per
Назовем x отрицательной (соответственно положительной) периодической
точкой,еслиx ∈ Per
торого m 1.Если(J
сводится к единственной точке, мы произвольным образом
i
, ..., bs} — множество общих концов интервалов Jiи J
1
, ..., bs} и x/∈{b1, ..., bs} положим соответственно ε(x)=0
1
или убывает (это удобно для дальнейшего).
i
m1
m−1
±
Fix
fm=x ∈ Fix fm:
±
(f, m)={x ∈ Fix±fm: минимальный период x равен m}.
−
(f, m) (соответственно x ∈ Per+(f, m))длянеко-
, ..., JN) — разбиение, то каждая периодическая
1
ε(fkx)=±1,
k=0
x,
i
Fix f
i+1
m
точка либо положительна, либо отрицательна; в общем случае возможно
конечное число исключений.
Назовем (J
дого i образ fJ
, ..., JN) марковским покрытием для f ,еслидлякаж-
1
есть объединение некоторых Jj. Покрытие (J1, ..., JN)
i
называется образующим, если пересечение
∞
f−nJ
n=0
i(n)
i
.
содержит не более одной точки1.
Для функции g: X → C,гдеcard X>1,положим
n
var g =sup
1
По определению, марковское покрытие не обязано быть образующим.
|g(ai) − g(a
1
i−1
)|,
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 207
где sup берется по всем конечным подмножествам точек из X, упорядоченным так, что a
<a1< ... < an. Говорят, что g имеет ограниченную
0
вариацию,еслиvar g<∞. Аналогично можно определить var(g|Λ),где
Λ — произвольный интервал в X (не обязательно замкнутый).
Функции ограниченной вариации Φ: X → C образуют банахово пространство с нормой Va r, определяемой равенством
n
Var Φ = s up|Φ(a
0
)|+
|Φ(ai) − Φ(a
1
)+Φ(an)|,
i−1
где sup берется по всем конечным подмножествам точек a
0<a1
<...<a
множества X. Заметим, что sup в определении величин var и Var можно
заменить пределом по конечным множествам, упорядоченным по включению.
Если X = {a}, мы полагаем var g =0и Va r Φ = 2|Φ(a)|.Изэтих
определений следует, что норма Var эквивалентна норме ·
+var.Дей-
0
ствительно,
Φ
Var Φ,
0
2
1
var Φ Var Φ,
Var Φ 2Φ
+varΦ.
0
Кроме того,
Var( Φ · Ψ) Φ
VarΨ+varΦΨ0 Var Φ ·Var Ψ ,
0
и если функция ψ строго монотонна и обладает свойством Дарбу, то
Var(Φ ◦ ψ)=VarΦ.
При Y ⊂ X обозначим через B
состоящее из функций Φ, равных нулю вне Y ,ичерезB
странство B/B
.
Y
подпространство пространства B,
Y
— фактор-про-
\Y
9.2. Построение новых систем
Пусть система (X, f, g) состоит из компактного множества X ⊂ R,
кусочно-монотонного отображения f , минимального покрытия замкнутыми интервалами (J
вариации g. По этим данным мы различными способами построим новую
систему ('X,'f, 'g) и покрытие ('J
, ..., Jn), связанного с f , и функции ограниченной
1
, ...,'Jn) с улучшенными свойствами: в
1
n
208 ГЛАВА 9
одном случае ('J1, ...,'Jn) будет разбиением, в другом — марковским или
образующим покрытием, а функция 'g будет непрерывна в периодических
точках.
Что касается множества'X, то оно, вообще говоря, не будет интервалом
(не только в R,нодажевX ); этим объясняется тот факт, что мы не хотим
с самого начала ограничиваться отображениями интервалов.
Напомним, что B — это банахово пространство комплекснозначных
функций ограниченной вариации, определенных на X. Обозначим через'B
аналогичное пространство функций на'X,ачерез'B
функций, равных нулю вне множества'Y ⊂'X.Положимтакже'B
='B/'B
.
Y
— подпространство
Y
\Y
=
Предложение 9.1 (конструкция разбиения ('J
Можно так подобрать ('X,'f, 'g), ('J
, ...,'Jn) и сохраняющее порядок
1
, ...,'Jn)1).
1
непрерывное сюръективное отображение 'π :'X → X,что'π ◦'f = f ◦ 'π,
'g = g ◦ 'π и 'π'J
чтобы'J
1
= Jiдля i =1, ..., N. Кроме того, можно сделать так,
i
, ...,'Jnне пересекались, прообразы точек некоторого счетного
множества при отображении 'π были двухточечными, а прообразы всех
остальных точек — одноточечными.
−1
Если Z = {x ∈ X, card 'π
x =2}, Y =
fnZ и'Y = 'π−1Y ,то
n0
каждая точка множества Y есть предел точек из X \Y , а каждая точка
множества'Y — предел точек из'X \'Y .
Отображение Φ → Φ◦'π задает изоморфизм банаховых пространств:
→'B
B
\Y
интервалам J
\Y
Пусть b
.
, ..., bs— точки множества X, принадлежащие двум разным
1
.Предположим,чтоξ ∈ X, fkξ ∈{b1, ..., bs} для некото-
i
рого k 0, и выберем наименьшее из этих k.Еслиk 1,предположим
дополнительно, что ξ не является концом какого-либо из интервалов J
Заменим ξ двумя точками, ξ
k
ны εα
,где0 <α<1/N , так что общая длина вставленных пробелов не
будет превосходить sε(1 − Nα)
<ξ+, и вставим между ними пробел дли-
−
−1
. В результате мы получим компактное
i
множество'X ⊂ R и стягивающее отображение 'π :'X → X, которое сохраняет порядок, на некотором счетном множестве переводит две точки в одну,
а вне этого множества является взаимнооднозначным.
Определив 'g равенством 'g = g ◦'π, убеждаемся, что var 'g =varg<∞.
.
1
Для случая X =[0, 1] см. Хофбауэр и Келлер [1].
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 209
Для каждого интервала Ji= {x ∈ X : αi x βi} определим'Ji=
= {ξ ∈'X : 'α
−1
'π
αi= {αi−,αi+},положим'αi= αi+,аесли'π−1βi= {βi−,βi+},поло-
жим'β
= βi−. Из этого определения видно, что интервалы'Jiне пересека-
i
ются и 'π'J
ξ 'βi} условиями 'π'αi= α, 'π'βi= βi;еслиприэтом
i
= Ji.
i
Отображение'f полностью определяется условием, что оно монотонно
и гомеоморфно отображает каждый интервал'J
, i =1, ..., N,нанекото-
i
рый замкнутый интервал в'X ичто'π ◦'f = f ◦ 'π.
Покажем, что точки множества Y (соответственно множества'Y )являются пределами точек множества X \ Y (соответственно'X \'Y ). Так
как (J
щие двум разным J
множества X. Вспомним, что
, ..., JN) — минимальное покрытие, точки bi, ..., bs, принадлежа-
1
, обязаны быть пределами слева и справа других точек
i
n0
fnZ,
−1
x =2} =
Zk,
k0
Y =
Z = {x ∈ X :card'π
где
Z
= {b1, ..., bs},
0
априk 1
Z
= f−1Z
k
∗
= {концы интервалов Ji}∪Z1∪ ... ∪ Z
Z
k
k−1
\ Z
∗
,
k
.
k−1
Индукцией по k доказывается, что все точки из Z являются предельными
точками (слева и справа) других точек из X. Следовательно, все точки множества Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других
точек множества X .
Предположим теперь, что точка y ∈ Y не является пределом точек
из X \Y , т.е. у нее найдется такая открытая окрестность V ,чтоX ∩V =
= Y ∩ V . Тогда по доказанному каждая точка из Y ∩ V является пределом
других точек из Y ∩V . Пользуясь этим, построим (путем последовательного
удвоения) при каждом n 0 конечные множества Y
, Y
⊂ Y , удовлетво-
n
n
ряющие условиям
card Y
=cardY
n
=2n,Y0= {y},Y
n
Очевидно также существование при каждом n такого ε
парные расстояния между точками множества Y
точки множества Y
яние до которой не превосходит
найдется отличная от нее точка множества Yn, рассто-
n
1
εn. Замыкание объединения
3
∩ Yn= ∅,Y
n
больше εn, а для каждой
n
= Yn∪ Y
n+1
> 0,чтовсепо-
n
Ynбудет
n0
.
n
210 ГЛАВА 9
тогда некоторым канторовым множеством K ⊂ X , пересечение которого
с V несчетно, что противоречит предположению K ∩V ⊂ X∩V = Y ∩V ,так
как последнее множество счетно. Тем самым, доказано, что Y принадлежит
замыканию множества X \ Y .
Чтобы получить соответствующий результат для'Y = 'π
что'Y =
n
'
f
Z,где'Z = 'π
n0
'
−1
Z ивсеточкимножества'Z являются
−1
Y , заметим,
(односторонними) пределами других точек из'X. Следовательно, все точки множества'Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны)
других точек множества'X. Дальнейшие рассуждения аналогичны уже про-
веденным.
Отображение Φ → Φ ◦ 'π переводит B в подпространство простран-
ства'B,состоящееизтех'Φ, для которых'Φ(ξ)='Φ(ξ
Пусть задано'Ψ ∈'B
.Взяв'Φ ∈'B в том классе смежности, которому
\Y
),если'πξ = 'πξ.
принадлежит'Ψ, можно так изменить'Φ вточкахмножества'Y ,чтобыполучилось'Φ
и Va r'Φ
, удовлетворяющее условиям:'Φ(ξ)='Φ(ξ),если'πξ = 'πξ,
Va r'Φ. Следовательно,'Φ=Φ◦ 'π иеслиΨ ∈B\Y— класс
смежности, которому принадлежит Φ,то
'Ψ =infVar'Φ
=infVarΦ◦ 'π =infVarΦ=Ψ.
Отсюда видно, что отображение Ψ →'Ψ порождает изоморфизмB
\Y
→'B
\Y
банаховых пространств.
Замечания 9.2. (1) Всюду, кроме конечного числа периодических орбит, проходящих через b
дом m 1 биекцию Fix'f
(2) Так как конструкция удваивает точки b
, ..., bs, отображение 'π определяет при каж-
1
m
→ Fix fm.
, ..., bs, можно было бы
1
начинать с функций f и g, которые принимают в этих точках по два значения
(«левое» и «правое»). На этом пути можно изучать кусочно-монотонные
отображения f :[0, 1] → [0, 1],имеющиеточкиразрыва.
Предложение9.3 (построение марковского разбиения ('J
Можно так выбрать ('X,'f, 'g), ('J
, ...,'JN) и сохраняющее порядок инъ-
1
, ...,'Jn)1).
1
ективное непрерывное отображение π: X →'X,что'f ◦π = π◦f, 'g ◦π = g
⊂'Ji, i =1, ..., N. При этом разбиение ('J1, ...,'JN) можно сде-
и πJ
i
лать марковским.
1
По поводу случая, когда (J1, ..., Jn) — образующее разбиение, см. приложение к статье
Рюэля [13].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]