Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
3.16. ТЕОРЕМА 71
Пусть ρ — равновесное состояние для A.ПосколькумножествоIA—
симплекс, ρ имеет единственное разложение по крайним точкам этого множества, а так как I
—граньсимплексаI, упомянутое разложение совпадает
A
с эргодическим разложением ρ (см. §3.6). С физической точки зрения его
можно интерпретировать как разложение равновесного состояния на чистые
термодинамические фазы.
Массивное множество D ⊂C(или ϕ
−1
D ⊂ X,гдеX и ϕ введены в
теореме 3.7) можно рассматривать как «большое» множество. Следовательно, в «общем случае» существует только одна чистая термодинамическая
фаза, связанная с A ∈C(или с Φ ∈ X). Этот факт является слабой формой
гиббсовского правила фаз.
3.16. Теорема
Для любых A ∈C(соответственно, Φ ∈A),σ∈ I и ε>0 существу-
ют такие A
∈C(соответственно, Φ∈A) и σ∈ I
||σ
− σ|| ε
A
,что
и
||A
− A||
(соответственно,
1
[P (A) − σ(A) − s(σ)]
ε
1
Φ
Φ− Φ
[P
ε
− σ(AΦ) − s(σ)]).
Это утверждение есть в точности теорема Бишопа и Фелпса (см. приложение A.3.6) c V = C (соответственно, V = A; заметим, что для этого случая
касательные функционалы описаны в теореме 3.7 (с), и чтобы получить
неравенство ||σ
− σ|| ε, надо использовать (3.4)).
3.17. Следствие
(a) Объединение множеств IAпо всем A ∈C,т.е.множествовсех
равновесных состояний, всюду плотно в I относительно топологии, порожденной нормой в C
(b) Если ρ
модействие Φ ∈A, для которого все они являются равновесными состоя-
ниями.
Утверждение (a) очевидно. В частности, для любых эргодических
ρ
, ..., ρnсуществует такое равновесное состояние ρ, отвечающее взаи-
1
модействию Φ ∈A,что||ρ − (1/n)(ρ
порождает эргодическое разложение этого ρ.Тогда
∗
.
, ..., ρn— эргодические состояния, то существует взаи-
1
+ ... + ρn)|| < 1/n.Пустьm
1
*
*
*
m
1
(δ
−
ρ
n
+ ... + δ
ρ
1
*
1
)
<
*
ρ
n
n
ρ
72 ГЛАВА 3
(см. приложение A.5.5) и, следовательно, mρ({ρ1}) > 0, ..., mρ({ρn}) > 0.
Но в таком случае в силу следствия 3.14 ρ
, ..., ρnявляются равновесными
1
состояниями для взаимодействия Φ.
3.18. Аппроксимация инвариантных состояний
равновесными состояниями
Мы только что установили, что каждое инвариантное состояние σ мож-
но приблизить по норме равновесным состоянием σ
для некоторого взаимодействия из A. Однако с физической точки зрения этот интересный
результат следует считать патологией, так как не все взаимодействия из A
являются физически приемлемыми. В действительности, чтобы иметь возможность определить гиббсовские состояния, мы введем в следующей главе
некоторое более узкое пространство взаимодействий B. Затем будет пока-
зано (см. предложение 4.7 (b)), что если взаимодействия Φ, Φ
∈Bимеют
общее равновесное состояние, то они в некотором смысле эквивалентны и
все их равновесные состояния одинаковы (это совершенно не похоже на
ситуацию следствия 3.17 (b)).
Физически значимые результаты могут быть получены при помощи
аппроксимации инвариантных состояний равновесными, если использовать
общую теорему о выпуклых функциях, принадлежащую Израэлю (см. приложение A.3.6). Из этой теоремы следует, что в некотором подпространстве
или конусе пространства A можно найти взаимодействие, которое обладает
равновесным состоянием, удовлетворяющим определенным неравенствам.
Если эти неравенства выражают отсутствие некоторого кластерного свойства, то отсюда можно вывести физические следствия. Доказываемая ниже
теорема 3.20 содержит пример взаимодействия, у которого имеется несколько различных равновесных состояний (другие примеры см. в упражнении 1
главы 4).
3.19. Лемма
Пусть A1, A2∈Cи S ⊂ Zν. Определим выпуклое множество
L
=a1A1+ a2A2+
S
a
1,a2,bx
∈ R,bx 0,bx=0, если x/∈ S,
Предположим, что A
для любых σ
∈ I, B0∈Cи ε>0 существуют такие B ∈ B0+ L
0
1
2
, A2∈CΔдля некоторого конечного Δ ⊂ Zν.Тогда
1
x∈Z
b
· (A2◦ τx)+b−x(A1◦ τx) · A
xA1
ν
x∈S
:
2
bx< ∞.
S
и σ ∈ IB,что
3.19. ЛЕММА 73
||B −B
0
||
1
[P (B
ε
) − σ(B0) − s(σ0)] (3.38)
0
и
σA
· (A2◦ τx)− σ(A1)σ(A2)
1
σ
· (A2◦ τx)) − σ0(A1)σ0(A2) − 3ε||A1|| · ||A2|| (3.39)
0(A1
при всех x ∈ S.
Можно считать, что 0 — «средний» элемент множества Δ в лексикографическом порядке. Для a
b
=0при x/∈ S иbx< ∞, определим взаимодействие Φ ∈A,положив
x
−Φ(ξ|Δ) = a
−Φξ|Δ ∪(Δ + x)= b
, a2, bx∈ R, удовлетворяющих условиям bx 0,
1
(ξ)+a2A2(ξ)+b0A1(ξ) ·A2(ξ),
1A1
(ξ) ·A2(τxξ)+b−xA1(τxξ) ·A2(ξ),
xA1
если x =0,и
Φ(ξ|X )=0,
если X нельзя получить из Δ или Δ ∪ (Δ + x) с помощью сдвига.
Используя выражение (3.2) для нормы, убеждаемся, что такие Φ обра-
зуют замкнутый выпуклый конус R⊂A.
Пусть Ψ
(см. приложение A.3.6) и описанием касательных плоскостей к отображению Φ → P
такие Ψ ∈ Ψ
∈Aтаково, что A
0
Φ
, данным в теореме 3.7 (c). В силу этих результатов существуют
+ R и σ ∈ I
0
Ψ − Ψ
0
A
Ψ
= B0. Воспользуемся теоремой Израэля
Ψ
0
,что
1
Ψ
0
[P
− σ0(A
ε
) − s(σ0)] (3.40)
Ψ
0
идлявсехΦ ∈R
σ(A
) σ0(AΦ) − ε|Φ|. (3.41)
Φ
Из (3.41) вытекает, что
|σ(A
) − σ0(A1)| ε||A1||, |σ(A2) − σ0(A2)| ε||A2|| (3.42)
1
идлявсехx ∈ S
· (A2◦ τx) σ
σA
1
A
· (A2◦ τx)− ε||A1||·||A2||. (3.43)
0
1
Из (3.42) получаем неравенство
|σ(A
)σ(A2) − σ0(A1)σ0(A2)| 2ε||A1|| · ||A2||,
1
которое вместе с (3.43) доказывает (3.39).
74 ГЛАВА 3
Пусть C —элементLS, образованный при помощи тех же самых a1,
a
, bx, которые определяют Ψ − Ψ0в R.ПоложимB = B0+ C.Тогда
2
B ∈ B
+ LSи в силу (3.40)
0
||B −B
|| = ||C|| |Ψ −Ψ0|
0
1
[P (B
ε
) − σ0(B0) − s(σ0)].
0
Отсюда вытекает (3.38). Далее, ρ(C)=ρ(A
I
= I
B
σ, что завершает доказательство.
A
Ψ
) для всех ρ ∈ I.Поэтому
Ψ−Ψ
0
3.20. Теорема
Пусть A ∈CΔдля некоторого Δ ⊂ Zν. Определим выпуклый конус
L =aA +
(a) Пусть σ
го C ∈Cнайдутся B ∈ C + L и равновесные состояния σ
которых σ
σ
(A) = σ
0
C
∈Cи ||C− C|| <δ,тосуществуютB ∈ C+ L с ||B − C|| <εи
(A) = σ(A).
(b) Пусть σ
(A). Тогда для любого ε>0 найдется такое δ>0,чтоесли
0
равновесные состояния σ
Положим σ
следует, что
m
bxA · (A ◦ τx): a, bx∈ R,bx 0,
ν
x∈Z
, σ
∈ I таковы, что σ
0
0
, σ
∈ I — равновесные состояния для C ∈C, для которых
0
0
, σ∈ IBс σ(A) = σ(A).
1
=
0
2
('A2) = lim
σ
0
(σ
+ σ
0
Λ∞
). Тогда из предположения σ
0
(
σ
0
|Λ|
−1
x∈Λ
(A) = σ
0
A ◦ τ
x
)2
(см. § 3.6). Выбираем такое ε>0,что
lim
Λ∞
(
σ
0
|Λ|
−1
x∈Λ
A ◦ τ
x
)2
(A)2+4ε||A||2.
σ
0
bx< ∞.
(A). Тогда для любо-
0
>σ
0
(A)
, σ∈ IB,для
(A) = σ
0
2
0
(A)
Применив лемму 3.19 при A
найдем такие B ∈ B
+ L и σ ∈ IB,что
0
||B −B
0
||
= A2= A и S = Zν(B0мы выберем позже),
1
1
[P (B
) − σ0(B0) − s(σ0)]
0
ε
3.21. СОСУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗ 75
и
σ(|Λ|
−1
x∈Λ
A◦τ
x
)2
−σ(A)
2
Тогда
m
('A2) = lim
σ
Отсюда следует, что найдутся σ
для которых σ
Предположим теперь, что σ
при C
(A) = σ(A).ВзявB0= C, приходим к утверждению (a).
∈Cи ||C− C|| <δвыполнялось неравенство
Λ∞
σ(|Λ|
) − σ0(C) − s(σ0) <ε2.
P (C
(
σ
0
−1
x∈Λ
, σ, принадлежащие носителю меры mσ,
, σ
0
−1
|Λ|
x∈Λ
)2
x
A ◦ τ
∈ IC. Выберем δ>0 так, чтобы
0
x
A◦τ
σ(A)
)2
2
−σ
(A)2−3ε||A||2.
0
+ ε||A||2.
Положив B
неравенству ||B −C
= C, получаем B ∈ C+ L и с помощью (3.38) приходим к
0
|| <ε, что завершает доказательство утверждения (b).
3.21. Сосуществование фаз
В приведенных выше лемме и теореме мы ограничились рассмотрением взаимодействий Φ, для которых Φ(ξ|X )=0при |X | > 2|Δ|. Такие взаи-
модействия принадлежат пространству B, которое будет введено в главе 4;
они является «физически допустимым». В теореме 3.20 рассматривается
ситуация, когда существуют по крайней мере два различных равновесных
состояния. С физической точки зрения это соответствует сосуществованию
по крайней мере двух фаз. Утверждение (b) теоремы 3.20 показывает, что
взаимодействие Ψ
фаз, не может быть изолированным: оно принадлежит «бесконечномерному
многообразию» таких взаимодействий. Следует проверить, что не все они
«физически эквивалентны» (см. § 4.7). В связи с этим см. упражнение 2.
Сосуществование по меньшей мере n +1 фаз можно исследовать аналогичным образом. Пусть A
Выберем σ
(0)
0
(или функция C), для которого существует несколько
0
, ..., An∈CΔи
1
, σ
(1)
, ..., σ
0
(0)
σ
0
n
A =
(A)=σ
aiAi, где
i=1
(n)
∈ I так, чтобы равенство
0
(1)
(A)= ... = σ
0
n
i=1
2
a
=1.
i
(n)
(A)
0
76 ГЛАВА 3
не выполнялось ни при каких a1, ..., an.Положив
n
i=0
(i)
σ
,
0
σ
1
=
0
n +1
получим неравенство
m
('A2) − σ0(A)2 4ε||A||
σ
0
2
при некотором ε>0, не зависящем от a1, ..., an.ПустьB0∈Cи L —
линейное пространство, порожденное функциями A
существуют такое B ∈ B
||B −B
итакоеσ ∈ I
|σA · (A ◦ τ
,что
B
x
)− σ(A)2−%σ0(A · (A ◦ τx)− σ0(A)
+ L,что
0
||
0
1
[P (B
ε
) − σ0(B0) − s(σ0)],
0
и Ai·(Aj◦τx).Тогда
i
&
2
| 3ε||A||
2
при всех a1, ..., anивсехx ∈ Zν. Следовательно, справедливо неравенство
('A2) − σ(A)2 ε||A||2,
m
σ
доказывающее, что размерность I
не меньше, чем n, и, значит, существует
B
по крайней мере n +1 фаз. И так же, как раньше, взаимодействие, для
которого все это имеет место, не может быть изолированным.
Комментарии
Статистическая механика в условиях трансляционной инвариантности,
изложенная в этой главе, была в основном развита физиками раньше, чем
теория гиббсовских состояний из глав 1 и 2. Существование термодинамического предела для давления было доказано в разных формах разными
людьми, после чего постепенно возникло понятие равновесного состояния.
Галавотти и Миракль [1] обнаружили важный факт (теорема 3.7 (b)), состоящий в том, что для массивного множества взаимодействий существует
только одно равновесное состояние. Обсуждение понятия энтропии (параграфы 3.8 – 3.10) см. у Робинсона и Рюэля [1]; по поводу вариационного
принципа (теорема 3.12) см. Рюэль [1]. Параграфы 3.16– 3.21 основаны на
работе Израэля [1], которая недавно пролила некоторый свет на природу
фазовых переходов.
УПРАЖНЕНИЯ 77
Упражнения
1. Для x ∈ Zνположим |x| =maxi|xi|. Пусть 0 <λ<1.Еслиξ, η ∈ Ω,
положим
d(ξ, η)=λ
(a) Проверить, что d — метрика, совместимая с топологией пространства Ω.
(b) Пусть 0 <α<1. Функция A :Ω→ R, для которой |A(ξ) −A(η)|
α
cd(ξ, η)
при c 0, называется гельдеровской функцией с показателем α.
Такие функции образуют банахово пространство C
k
, где k =inf{|x|: ξx= ηx}.
α
(Ω) снормой
||A||
=maxmaxξ|A(ξ)|, sup
α
Положим diam X =max{|y − x|: x, y ∈ X} ипустьθ = λ
что если A ∈C
(Указание к п. (b): положим Λ
A
∈C
n
Λ
α
(Ω),тоA = AΦ,причем
− diam X
sup
θ
X
и ||An|| ||A||α(λn)α; теперь можно действовать аналогично
n
sup
ξ∈Ω
= {x ∈ Zν: |x| n} и A =
n
|A(ξ) −A(η)|
d(ξ,η)
ξ=η
|Φ(ξ|X )| < ∞.
.
α
α/2
. Доказать,
∞
An,где
n=0
параграфу 3.2.)
2. Рассмотрим систему («решетчатый газ») с Ω
ν
Z
= {0, 1}
. Определим функцию A ∈C
{0}
равенством A(ξ)=ξ0(тем
= {0, 1} и Ω=
0
самым, A принимает значения 0 и 1). Будем рассматривать «парные» взаимодействия Φ, для которых Φ(ξ|X)=0,если|X| > 2,и
Φ(ξ|{0})=−μA(ξ),
Φ(ξ|{0,x})=ϕ(x)A(ξ)A(τ
x
ξ) при x =0.
Здесь μ ∈ R и ϕ(x)=ϕ(−x) ∈ R определено для любого x =0. Заметим,
что
(a) Пусть 0 ∈ M ⊂ Z
Φ = |μ|+
ν
, M конечно и M = −M.Предположим,что
1
|ϕ(x)|.
2
x=0
дана функция #ϕ: M \{0} → R, для которой #ϕ(x)= #ϕ(−x). Докажите, что
78 ГЛАВА 3
#ϕ можно так продолжить до функции ϕ : Zν\{0}→R, удовлетворяющей
неравенству
|ϕ(x)| < ∞,
x=0
что при подходящем μ у взаимодействия Φ существуют два равновесных
состояния σ
(b) Пусть μ
жим, что σ
Тогда для всякого ε>0 найдется такое δ>0, что имеет место следующее.
Пусть 0 ∈ M ⊂ Z
и σc σ(A) = σ(A).
и ϕ0определяют парное взаимодействие Φ0. Предполо-
0
и σ
0
— равновесные состояния для Φ0ичтоσ
0
ν
, M конечно и M = −M .Предположим,что
(A) = σ
0
0
(A).
функция #ϕ: M \{0}→R удовлетворяет условиям #ϕ(x)= #ϕ(−x) и
1
2
x∈M\{0}
Тогда функцию #ϕ можно продолжить до ϕ: Z
что ϕ(x)=ϕ(−x), ϕ(x) ϕ
|μ − μ
0
и для взаимодействия Φ существуют два равновесных состояния σ
c σ(A) = σ(A). (Повторите доказательство теоремы 3.20, используя лемму 3.19 с S = Z
m
ν
\ M . Заметим, что
('A2) = lim
ρ
Λ∞
ρ|Λ|
|#ϕ(x) − ϕ0(x)| <δ.
(x) при x/∈ M,
0
1
| +
|ϕ(x) − ϕ0(x)| <ε
2
x/∈M
−2
x, y∈Λ,x−y/∈M
ν
\{0}→R инайтитакоеμ,
(A ◦ τx) · (A ◦ τy).
и σ
Замечание: Можно показать (см. упражнение 2 к главе 4), что Φ и Φ
физически эквивалентны только при μ = μ0и ϕ = ϕ0.)
0
ГЛАВА 4
СВЯЗЬ МЕЖДУ ГИББСОВСКИМИ И
РАВНОВЕСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
В этой главе устанавливается связь между гиббсовскими состояниями
и равновесными состояниями, введенными в предыдущих главах.
4.1. Основные предположения
Мы будем использовать общие предположения глав 1 и 3. Будем считать, таким образом, что задано семейство (
тельно сдвигов, и что для любого S ⊂ Z
ΩΛ)
ν
определено множество
Ω
=ξ ∈
S
Ωx:(∀Λ ∈F:Λ⊂ S) ξ|Λ ∈ Ω
x∈S
Введем банахово пространство B трансляционно-инвариантных взаимодействий с нормой
Φ →||Φ|| =
X0
sup
ξ∈Ω
X
|Φ(ξ)| < ∞.
, инвариантное относи-
Λ∈F
.
Λ
Очевидно, A
ϕΦ=A
Φ
⊂B⊂A. Определим отображение ϕ: B→C,положив
o
.МножествоϕB плотно в C и отображение ϕ непрерывно:
||Φ||
Φ ||AΦ||.
Поэтому утверждения (с) и (d) теоремы 3.7 справедливы при X = B.
Если Φ ∈B,тодляΦ определены множество K
состояний и множество I
I
⊂ KΦ∩ I. Обратного включения IϕΦ⊃ KΦ∩ I, вообще говоря, нет,
ϕΦ
равновесных состояний. Мы увидим, что
ϕΦ
гиббсовских
Φ
но оно справедливо, если пространство Ω удовлетворяет следующему условию:
80 ГЛАВА 4
(D) Существуют такие последовательности множеств (Λn) и (Mn),
что Λ
найдется ζ
∞, Λn⊂ Mn, |Λn|/|Mn|→1 и для любых ξ, η ∈ Ω и n
n
∈ Ω, для которого
n
= ξ|Λn,ζn|(Zν\ Mn)=η|(Zν\ Mn).
ζ
n|Λn
Заметим, что это условие сильнее, чем условие (D
∗
) из замечания 1.14.
При ν =1оба они сводятся к условию «перемешивания» (см. главу 5).
4.2. Теорема
Если Φ ∈B,тоI
влетворяет условию (D),тоI
⊂ KΦ∩I . Если, кроме того, пространство Ω удо-
A
Φ
= KΦ∩ I , т. е. инвариантное состояние
A
Φ
является равновесным тогда и только тогда, когда оно — гиббсовское.
Если Φ ∈A
, то гиббсовский ансамбль μ
0
с граничным условием η
(Λ)η
зависит только от η|(M\Λ),гдеM =Λ+Δ— некоторое конечное множество
(множество Δ зависит от Φ и семейства F). Пользуясь определением (3.33)
из доказательства теоремы 3.12, можно проверить, что
ρ
{ξ} =
Λ
η∈Ω
Отсюда следует, что состояние ρ
ρ
= αΛρΦ, является гиббсовским состоянием. С другой стороны, из дока-
Λ
зательства теоремы 3.12 видно, что ρ
в случае, когда Φ ∈Ao.
Пусть теперь Φ ∈ ϕ
−1
D, Φ = lim
ная точка последовательности мер ρ
атакжевK
. Тем самым, при Φ ∈ ϕ−1D существует ρΦ∈ IϕΦ∩ KΦ.
Φ
Для произвольного Φ ∈Bиз теоремы 3.7 (d) следует, что I
падает с замкнутой выпуклой оболочкой состояний ρ ∈ K
I
⊂ KΦ∩ I.
ϕΦ
μ
{ξ}ρ
(Λ)η
M\Λ
Φ
, определенное при помощи равенства
Φ
∈ IϕΦ. Таким образом, ρΦ∈ IϕΦ∩K
Φn, Φn∈Ao. Тогда любая предель-
n→∞
Φ
n
, n →∞,содержитсявIϕΦ= {ρΦ},
M\Λ
{η}.
ϕΦ
∩ I.Значит,
Φ
сов-
Предположим теперь, что пространство Ω удовлетворяет условию (D).
Нужно доказать, что если σ ∈ K
более общее утверждение, а именно, что если σ ∈ K
lim inf
|Mn|−1[S(α
n→∞
∩ I ,тоσ ∈ IϕΦ. Мы докажем несколько
Φ
M
n
σ) −(α
M
σ)(U
n
Φ
Φ
)] PΦ.
M
n
,то
По определению гиббсовского состояния
(α
σ){ξ} =
M
n
Ω
Zν\M
σ
n
Zν\M
(dη)μ
n
(Mn)η
{ξ},
Φ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]