Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
1.5. ГИББСОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ 31
найдется такое конечное множество M ⊂ L,чтоαΛMΩM= αΛΩ;1,тогда |ρ(A ◦ α
Единственность ρ вытекает из плотности множества
называть ρ термодинамическим пределом вероятностных мер μ
)| = |ρΛ(A)| = |ρM(A ◦ αΛM)| ||A ◦αΛM|| = ||A ◦αΛ||.
Λ
CΛв C.Мыбудем
Λ
(Λ)
.
2
При доказательстве мы не использовали того факта, что вероятностные
меры μ
— гиббсовские ансамбли. Если же это имеет место, то, как мы
(Λ)
увидим в параграфе 1.6, термодинамический предел ρ обладает специальными свойствами.
1.5. Гиббсовские состояния
Будем называть меру σ ∈ E гиббсовским состоянием (для взаимодействия Φ), если для всякого конечного множества Λ ⊂ L существует такая
вероятностная мера σ
L\Λ
на Ω
равенство
(α
σ){ξΛ} =
Λ
где
μ
{ξΛ} =
(Λ)η
Вэтойформулеξ
,ζ|(L \Λ) = η, и предполагается, что опущены выражения, содержа-
= ξ
Λ
щие ξ
элемент ξ
∨η и ηΛ∨η, если последние не определены3. Другими словами, если
Λ
∨η не определен, мы полагаем exp[−W
Λ
∨ η —элементζ пространства Ω, для которого ζ|Λ=
Λ
того, мы будем считать дробь (1.15) равной нулю, если ее числитель обращается в нуль. Заметим, что в силу предположения о локальной конечности F
множества {η ∈ Ω
: ξΛ∨ η ∈ Ω} и {η ∈ Ω
L\Λ
открыты. С другой стороны, W
есть равномерно сходящаяся сумма непрерывных функций (см. (1.7), (1.8)).
1
В самом деле, поскольку α
множества считаются упорядоченными по включению), найдется такое M,чтоα
= α
щью диагонального процесса. — Прим. ред.
2
Отсюда следует равномерная непрерывность ρ на множестве функций вида A◦αΛ⊂C,где
для любого M⊃ M. Теперь равенство αΛMΩM= αΛΩ доказывается с помо-
ΛMΩM
Λ ⊂ L, |Λ| < ∞ и A ∈C(Ω
то по доказанному |ρ(A
◦α
| = |ρ(A1◦α
Λ
◦ α
− A
3
||. — Прим. ред.
2
Λ
2
Т. е. не принадлежат Ω.—Прим. ред.
Λ1Λ
1
−A2◦α
ΛM
). В самом деле, если Λ1⊂ Λ, Λ2⊂ Λ,A1∈C
Λ
◦ α
) − ρ(A2◦ α
Λ
1
Λ2Λ
,чтопривсехξΛ∈ ΩΛвыполняется
L\Λ
σ
(dη)μ
L\Λ
Ω
L\Λ
−UΛ(ξΛ)−W
e
−UΛ(ηΛ)−W
e
ηΛ∈Ω
Λ
на множестве {η ∈ Ω
Λ,L\Λ
ΩM конечно и не возрастает с увеличением M
Λ
2
)◦α
|||(A1◦α
Λ
Λ,L\Λ
)| = |ρ(A1◦ α
Λ1Λ
{ξΛ}, (1.14)
(Λ)η
(ξΛ∨η)
Λ,L\Λ
Λ,L\Λ
: ξΛ∨ η не определено}
L\Λ
Λ1Λ
−A2◦α
. (1.15)
(ηΛ∨η)
(ξΛ∨η)] = 0. Кроме
: ξΛ∨η ∈ Ω}
L\Λ
Λ
1
) ◦ α
− ρ(A2◦ α
Λ
)◦αΛ||||A1◦α
Λ2Λ
ΛM
,A2∈C
(все
ΩM =
Λ
Λ2Λ
Λ
1
2
)◦
−
,
32 ГЛАВА 1
Поэтому функции η → exp[−W
на Ω
L\Λ
.
(ξΛ∨η)] и η → μ
Λ,L\Λ
{ξΛ} непрерывны
(Λ)η
1.6. Термодинамический предел гиббсовских ансамблей
Докажем теперь, что если ρ — термодинамический предел гиббсовских
ансамблей μ
Из определения (1.11) следует что при Λ ⊂ M
(α
μ
ΛM
(M)
где
Здесь мы придерживаемся соглашений параграфа 1.5, касающихся ξ
В частности, мы считаем выражение (1.17) равным нулю, если числитель
обращается в нуль. Теперь посмотрим, что получится, если заменить M
в (1.16) последовательностью (M
при n →∞.
(a) Заметим, что функция
равномерно сходится к функции η → μ
определяющая W
(b) Применив предложение 1.4 к последовательности α
мы видим, что она имеет термодинамический предел ρ
ется вероятностной мерой на Ω
Из (a), (b) и (1.16) получаем
В силу предложения 1.4 это означает, что ρ — гиббсовское состояние.
1
С учетом непрерывности функции η → μ
ред.
для взаимодействия Φ,тоρ — гиббсовское состояние для Φ.
(Λ)
{ξΛ} =
μ
(Λ,M)η
lim
n→∞
η∈Ω
=
η∈Ω
=
η∈Ω
η → μ
Λ,L\Λ
(α
M\Λ
M\Λ
M\Λ
{ξΛ} =
(ξΛ∨ η).
ΛM
n
(Λ,M
μ
(M
μ
[Z
[(α
(M)
−1
M
n
{ξΛ∨η} =
−U
(η)
M\Λ
e
M\Λ,Mμ(M)
ηΛ∈Ω
n
)(η|M
n
L\Λ
1
){ξΛ} =
)
]exp[−UΛ(ξΛ) −W
){η}]μ
−UΛ(ξΛ)−W
e
−UΛ(ηΛ)−W
e
Λ
(Λ,M)η
Λ,M\Λ
(ξΛ∨η)
Λ,M\Λ
Λ,M\Λ
{ξΛ},
(ηΛ∨η)
. (1.17)
) из предложения 1.4 и перейти к пределу
{ξΛ},η∈ Ω
\Λ)
n
(Λ)η
{ξΛ}, так как сходится сумма,
L\Λ
,
M
n
, который явля-
L\Λ
.
ρ
(dη)μ
L\Λ
Ω
L\Λ
{ξΛ} (см. конец параграфа 1.5). — Прим.
(Λ)η
(Λ)η
{ξΛ}.
\Λ,M
(ξΛ∨η)] =
(1.16)
∨ η.
Λ
μ
(M
n
n
,
)
1.7. Граничные члены
1.7. ГРАНИЧНЫЕ ЧЛЕНЫ 33
=
на ΩΛопределена для каждого конеч-
(Λ)
Λ−1e−UΛ(ξΛ)−BΛ(ξΛ)
−UΛ(ηΛ)−BΛ(ηΛ)
e
ηΛ∈Ω
Λ
), удовлетворяющей условию
n
(Λ)
имеет
,
.
).
Λ
Пусть вероятностная мера μ
ного Λ ⊂ L или для последовательности (Λ
Λ
→ L, или для подходящей сети множеств. Предположим, что μ
n
вид
μ
(Λ)
{ξΛ} = Z
где
Z
Λ
Если граничный член B
ведет себя подходящим образом в термодинами-
Λ
ческом пределе, то результаты параграфа 1.6 можно обобщить на (μ
Вместо (1.16) мы здесь получим
μ
(α
ΛM
(M)
где B
определяется равенством BM(ξΛ∨ η)=B(η)+B(ξΛ,η).
Определим на Ω
η → exp[−U
){ξΛ} =
Λ(ξΛ
η∈Ω
M\Λ
=
η∈Ω
M\Λ
× exp[−U
функцию
L\Λ
) − W
Λ,M\Λ
μ
(M)
M−1e−U
[Z
Λ(ξΛ
(ξΛ∨ (α
{ξΛ∨ η} =
M\Λ
) − W
Λ,M\Λ
M\Λ,L\Λ
(η)−B(η)
]×
(ξΛ∨ η) − B(ξΛ,η)], (1.18)
η)) −B(ξΛ,α
M\Λ,L\Λ
η)]
(1.19)
и по аналогии с пунктом (a) параграфа 1.6 предположим, что она равномерно стремится к функции η → exp[−U
рассуждения параграфа 1.6 переносятся на рассматриваемый случай и, следовательно, термодинамический предел мер (μ
состоянием.
Теперь рассмотрим пример. Пусть для каждого конечного Λ ⊂ L за-
дана конфигурация η
Используя (1.15), положим μ
∗
∈ Ω ипустьη
(Λ)
(Λ)
= μ
(Λ)η
L\Λ
) − W
Λ(ξΛ
) является гиббсовским
(Λ)
— ее ограничение на L \ Λ.
L\Λ
(ξΛ∨ η)]. Тогда
Λ,L\Λ
.Втакомслучае
Если Λ ⊂ M, ξ
B
M(ξΛ
B
∈ ΩΛ,η∈ Ω
Λ
∨η)=W
Λ(ξΛ
M,L\M
)=W
Λ,L\Λ
,товсилу(1.8)
M\Λ
(ξΛ∨ η ∨η
(ξΛ∨ η
L\M
).
L\Λ
)=B(η)+B(ξΛ,η),
34 ГЛАВА 1
где
B
∗
Сумма
берется по всем таким конечным множествам X ⊂ L \ Λ, что
X ∩ (M \ Λ) = ∅ и X ∩ (L \M ) = ∅, асумма
(η)=
∗
X
B
(ξΛ,η)=
Φ(η ∨η
L\M
X
∗∗
|X)=W
M\Λ,L\M
Φ(ξΛ∨η ∨η
(η ∨η
L\M
|X).
L\M
∗∗
—повсемконечным
),
множествам X ⊂ L, для которых X ∩ Λ = ∅ и X ∩(L \M) = ∅. Теперь
необходимо обратить внимание на то, что ξ
∨ η ∨ η
Λ
не обязательно
L\Λ
определено, т. е. может не существовать конфигурации ζ ∈ Ω, ограничения
которой на Ω
ном Λ идостаточнобольшомM это означает, что либо ξ
Λ
, Ω
M\Λ
и Ω
совпадают с ξΛ,ηи η
L\M
. При фиксирован-
L\M
∨η, либо η∨η
Λ
L\M
не определено (мы используем здесь тот факт, что F — локально-конечное
множество). Соглашения, которых мы придерживаемся, требуют положить
−W
e
не определено, и Φ(ξΛ∨η∨η
Λ,M\Λ
(ξΛ∨η)
=0, если ξΛ∨η не определено, e
|X)=0(в B), если ξΛ∨η∨η
L\M
−B(η)
=0, если η ∨η
не опре-
L\M
L\M
делено. После этого легко проверить, что функция, определенная в (1.19),
равномерно сходится к своему пределу η → exp[−U
Как следствие мы получаем, что термодинамический предел мер (μ
1
является гиббсовским состоянием
. Сейчас мы выведем из сказанного один
Λ(ξΛ
)−W
Λ,L\Λ
(ξΛ∨η)].
(Λ)η
L\Λ
важный результат. Начнем с равенства
μ
(M)η
где B
{ξΛ∨ η} =[Z
L\M
равномерно мало при больших M. Согласно определению (1.14)
M−1e−U
гиббсовское состояние σ обладает тем свойством, что α
усереднения по η
L\M
мер μ
(M)η
ную вероятность относительно σ(dξ) того, что ξ|Λ=ξ
(η)−B(η)
M\Λ
− W
. Поэтому мы можем оценить услов-
L\M
]exp[−UΛ(ξΛ)−
(ξΛ∨ η) − B(ξΛ,η)], (1.20)
Λ,M\Λ
σ есть результат
M
, при условии, что
Λ
ξ|(M \ Λ) = η. В силу (1.20) она равна
)
(α
σ){ξΛ∨η}
M
(αMσ){ηΛ∨ η}
ηΛ∈Ω
Λ
−UΛ(ξΛ)−W
e
≈
−UΛ(ηΛ)−W
e
ηΛ∈Ω
Λ
Λ,M\Λ
(ξΛ∨η)
Λ,M\Λ
(ηΛ∨η)
,
причем ошибка равномерно мала при большом M. Отсюда следует, что для
гиббсовского состояния σ условная вероятность того, что ξ|Λ=ξ
условии, что ξ|(L \Λ) = η, равна μ
{ξΛ}. Обратно, если эта условная ве-
(Λ)η
, при
Λ
роятность имеет указанный вид, то, очевидно, выполняется равенство (1.14).
1
Имеется в виду произвольная предельная точка указанного семейства мер. — Прим. ред.
1.8. ТЕОРЕМА 35
1.8. Теорема
Вероятностная мераσнаΩявляется гиббсовским состоянием, если и
только если для каждого конечного
ξ|Λ=ξΛ,
при условии, что
ξ|(L \Λ) = η
Заметим, что тогда в (1.14) можно взять σ
Λ ⊂ L
условная вероятность того, что
,равна
μ
{ξΛ} (см. (1.15)).
(Λ)η
= α
L\Λ
L\Λ
σ. Из теоремы
следует, что слабый предел гиббсовских состояний является гиббсовским
состоянием. Таким образом, множество гиббсовских состояний компактно;
очевидно, оно также выпукло.
1.9. Теорема
ПустьΦ— взаимодействие и
μ
,
μ
(Λ)
— вероятностные меры на
(Λ)η
Ω
(гиббсовский ансамбль и гиббсовский ансамбль с граничным условием),
определенные равенствами
на
L \ Λ
некоторой конфигурации
Термодинамические предел будем понимать так же, как в предложения
(1.11)и(1.15)
η∗∈ Ω
,где
η ∈ Ω
— ограничение
L\Λ
, быть может, зависящей отΛ.
1.4.
Тогда
(a)
Всякий термодинамический предел мер
(μ
)
является гиббсов-
(Λ)
ским состоянием.
(b)
Всякий термодинамический предел мер
совским состоянием.
(c)
Замкнутая выпуклая оболочка гиббсовских состояний, полученных
в (b), совпадает со множеством
(d) KΦ= ∅;
множество
K
всех гиббсовских состояний.
Φ
K
выпукло, компактно и является симплек-
Φ
(μ
(Λ)η
)
является гибб-
L\Λ
сом Шоке.
Утверждения (a) и (b) были доказаны в параграфах 1.6 и 1.7 соответ-
ственно.
Всилу(a)множествоK
непусто и, как мы видели после форму-
Φ
лировки теоремы 1.8, это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества K гиббсовских состояний,
полученных в (b), содержится в K
существуют функция A ∈Cимераσ ∈ K
σ(A) > max
Чтобы убедиться в этом
1
, достаточно применить теорему отделимости
(приложение А.3.3, (c)) к пространству C
. Предположим, что K = KΦ. То гда
Φ
, для которых
Φ
ρ(A). (1.21)
ρ∈K
∗
(которое локально выпукло в
слабой топологии, см. приложение А.3.4), компакту K и произвольной
1
Следующее ниже рассуждение добавлено при переводе. — Прим. ред.
Λ
36 ГЛАВА 1
точке σ ∈ KΦ\ K, воспользовавшись тем, что всякий непрерывный в
указанной топологии линейный функционал l на C
= σ(f
),σ∈C∗,fl∈C(функция fl∈ C определяется равенством fl(x)=
l
= f
нечном Λ. В силу (1.14) μ
),гдеδx— вероятностная мера на X, сосредоточенная в точке x).
l(δx
Мы можем считать, что A = B ◦α
(B ◦αΛM) σ(A) при некотором η ∈ Ω
(M)η
, где B ∈C(ΩΛ) при некотором ко-
Λ
ивсехM ⊃ Λ. Если ρ — термодинамический предел мер (μ
∗
имеет вид l(σ)=
(M)η
L\M
), то
ρ(A) σ(A), что противоречит (1.21). Таким образом, мы доказали утвер-
ждение (c) и первые две части утверждения (d).
Пусть ξ
Λ∈ΩΛ
на Ω обозначим через σ
«положить ξ|Λ=ξ
= ξ
}, а затем берем образ этого ограничения при отображении α
Λ
для некоторого конечного Λ ⊂L.Длялюбоймерыσ(dξ)
(L\Λ)ξ
» (сначала ограничиваем σ на множество {ξ ∈ Ω:ξ|Λ=
Λ
меру на Ω
Λ
, которая получится, если
L\Λ
L\Λ
). Если
σ — гиббсовское состояние, то по теореме 1.8
σ
(L\Λ)ξ
(dη)=μ
Λ
(Λ)η
{ξΛ}σ
(dη), (1.22)
L\Λ
откуда следует, что
−UΛ(ξΛ)−W
e
при всех ξ
Λ,ηΛ
при всех Λ,ξ
следовательно, σ — гиббсовское состояние. Рассмотрим теперь замкнутое
линейное подпространство G пространства C
ных мер σ, для которых справедливо равенство (1.23) при всех Λ,ξ
Ясно, что если σ ∈G, то |σ|∈G.Отсюдаследует,чтомножествоK
(ξΛ∨η)
Λ,L\Λ
σ
(L\Λ)η
(dη)=
Λ
−UΛ(ηΛ)−W
= e
Λ,L\Λ
(ηΛ∨η)
σ
(L\Λ)ξ
(dη) (1.23)
Λ
∈ ΩΛ. Обратно, если σ — вероятностная мера, для которой
выполняется равенство (1.23), то имеет место (1.22) и,
Λ,ηΛ
∗
, состоящее из действитель-
Λ,ηΛ
Φ
симплекс (см. приложение A.5.5).
.
—
1.10. Алгебра в бесконечности
Пусть σ — вероятностная мера на Ω и π(A) — класс функций, эквива-
лентных A в L
B
где замыкание берется в топологии пространства L
женного к L
ющей σ. Мы охарактеризуем меры σ, которые имеют тривиальную алгебру
∞
(Ω,σ).Положим
⎛
=
σ
Λ конечно е ⊂L
1
(Ω,σ). Будем называть Bσалгеброй в бесконечности,отвеча-
замыкание
⎝
M конечное ⊂L\Λ
∞
(Ω,σ) как слабо сопря-
π(CM)
⎞
⎠
, (1.24)
1.11. ТЕОРЕМА (ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ЧИСТЫХ ГИББСОВСКИХ СОСТОЯНИЙ)37
вбесконечности(т.е. алгебру Bσ, состоящую из почти всюду постоянных
функций), следующим кластерным свойством.
(С)
Для любого
A ∈C
существует такое конечное множество
Λ ⊂ L,
что
(B ∈CM,M∩ Λ=∅)=⇒|σ(AB) −σ(A)σ(B)| ||B||.
Предположим сначала, что условие (C) выполнено. Тогда для всех
A ∈Cи B
∞∈Bσ
выполняется неравенство
|σ(AB
) − σ(A)σ(B∞)| ||B∞||.
∞
Заменив A на λA и перейдя к пределу при λ →∞, получим
откуда следует, что B
σ(AB
=constи, значит, алгебра Bσтривиальна.
∞
)=σ(A)σ(B∞),
∞
Предположим теперь, что условие (C) не выполнено. Тогда существует
такая функция A ∈C, что для каждого конечного Λ ⊂ L можно найти
функцию B
, удовлетворяющую условиям
L\Λ
B
∈
L\Λ
M⊂L\Λ
|σ(AB
L\Λ
Пусть B
∞
L
(Ω,σ).ТогдаB∞∈Bσи
— какая-нибудь предельная точка сети (π(B
∞
|σ(AB
Следовательно, функция B
алгебра B
не является тривиальной.
σ
∞
Теперь мы можем охарактеризовать крайние точки множества K
CM, ||B
) − σ(A)σ(B
) − σ(A)σ(B∞)| 1.
∞
L\Λ
L\Λ
|| =1,
)| > 1.
)) в пространстве
L\Λ
не может быть постоянной и, тем самым,
Φ
гибб-
совских состояний (чистые гиббсовские состояния).
1.11. Теорема (характеризация чистых гиббсовских
состояний)
Пусть
σ ∈ KΦ;
(A) σ —
(B)
крайняя точка множества
алгебра на бесконечности
тогда следующие условия эквивалентны
KΦ;
B
,отвечающаяσ,тривиальна
σ
:
;
38 ГЛАВА 1
(C)
при любом
A ∈C
существует такое конечное множество
что
(B ∈CM,M∩ Λ=∅)=⇒|σ(AB) −σ(A)σ(B)| ||B||.
Мы установили эквивалентность условий (B) и (C) в параграфе 1.10.
Докажем теперь, что (A) ⇐⇒ (B).
Свойство меры σ не быть крайней точкой множества K
существованию неотрицательной функции B
константы, для которой мера B
скому состоянию
1
. В силу (1.23) это эквивалентно равенству
σ пропорциональна некоторому гиббсов-
∞
∞
∈ L∞(Ω,σ), отличной от
эквивалентно
Φ
Λ ⊂ L
,
−UΛ(ξΛ)−W
e
при любом конечном Λ илюбыхξ
(почти всюду относительно меры (α
делены. Это эквивалентно тому, что B
ства
M⊂L\Λ
неэкстремальность σ эквивалентна существованию нетривиального элемен-
∞
∈Bσ.
та B
1.12. Операторы M
(ξΛ∨η)
Λ,L\Λ
B∞(ηΛ∨η)σ
−UΛ(ηΛ)−W
= e
B
∨η)=B∞(ηΛ∨ η)
∞(ξΛ
(L\Λ)η
Λ,L\Λ
Λ,ηΛ
L\Λ
(dη)=
Λ
(ηΛ∨η)
B∞(ξΛ∨ η)σ
(L\Λ)ξ
∈ ΩΛ.Нотогда
σ)(dη)),еслиξΛ∨ η и ηΛ∨η опре-
принадлежит замыканию множе-
∞
Λ
(dη)
π(CM) при любом Λ и, тем самым, B∞∈Bσ. Таким образом,
Λ
Для любого конечного Λ ⊂ L определим линейное отображение MΛ:
C→C, положив
(M
A)(ξΛ∨ η)=
Λ
для всех ξ
дется такая функция B на Ω
1
В самом деле, если σ = pσ1+(1− p)σ2,гдеσ1,σ2∈ KΦ,σ1= σ2,p,1 −p ∈ (0, 1),то,
например, мера σ
Прим. ред.
2
В вероятностных терминах,
случайной величины A при условии σ-алгебры, порожденной функциями ξ → ξ
Учет этого обстоятельства может облегчить понимание встречающихся ниже формул. — Прим.
ред.
∨η ∈ Ω с ξΛ∈ ΩΛ,η∈ Ω
Λ
,что(MΛA)(ξΛ∨η)=B(η). Следовательно,
L\Λ
абсолютно непрерывна относительно σ2и плотность не превосходит 1/p.—
1
A — это вариант условного математического ожидания
Λ
μ
{ηΛ}A(ηΛ∨ η) (1.25)
(Λ)η
ηΛ∈Ω
Λ
.2Очевидно, ||MΛA|| ||A|| инай-
L\Λ
с x ∈ L \Λ.
x
1.13. ТЕОРЕМА (ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ГИББСОВСКОГО СОСТОЯНИЯ)39
если σ — гиббсовское состояние, то в силу (1.22)
σ(M
A)=(α
Λ
=
L\Λ
ηΛ∈Ω
Λ
σ)(B)=(α
σ
(L\Λ)η
(dη)A(ηΛ∨ η)=σ(A). (1.26)
Λ
L\Λ
σ)(dη)
ηΛ∈Ω
μ
{ηΛ}A(ηΛ∨η)=
(Λ)η
Λ
(Обратно, если состояние σ таково, что σ(M
A)=σ(A) при всех Λ и A,
Λ
то σ — гиббсовское состояние.)
Предположим, что для каждой функции A ∈Cфункция M
A сходится
Λ
в C при Λ → L к некоторой постоянной c (т.е. для всякого ε>0 найдется
такое конечное множество Δ, что ||M
любых σ, σ
Следовательно, множество K
∈ K
Φ
σ(A) = lim
σ(MΛA) = lim
Λ→L
Φ
состоит из единственной точки.
Предположим теперь, что M
жем считать, что A = B ◦α
довательности (M
), (M
n
lim
n→∞
(M
n
Λ∈CΛ
) и ξn, ξ
M
n
A)(ξn) = lim
A − c|| <ε,если Λ ⊃ Δ). Тогда для
Λ
σ(MΛA)=σ(A).
Λ→L
A не стремится к постоянной1.Мымо-
Λ
при некотором Λ. Тогда найдутся по сле-
∈ Ω такие, что Mn→ L, M
n
(M
A)(ξ
n→∞
M
).
n
n
→ L и
n
Hо это означает, что
ΛM
),
n
где η
= ξn|(L \ Mn),η
n
lim
n→∞
μ
(Mn)η
(B ◦α
n
n
= ξ
) = lim
ΛM
n
|(L \ M
n
μ
n→∞
). Поэтому множество KΦсостоит
n
(M
n
)η
(B ◦α
n
из более чем одной точки.
1.13. Теорема (характеризация единственного
гиббсовского состояния)
Пусть
σ ∈ KΦ;
(A) KΦ= {σ}.
)
Если
(B
(C)
Если
тогда следующие утверждения эквивалентны.
A ∈C,тоMΛA
A ∈C
, то существует такое конечное множество
сходится вCк константе при
Λ →L
Λ ⊂ L,
.
что
(0 B ∈CM,M∩ Λ=∅)=⇒|σ(AB) −σ(A)σ(B)| σ(B).
1
Т. е. существуют функции A, для которых такой сходимости нет. — Прим. ред.
40 ГЛАВА 1
Кроме того,
Заметим, что условие (C
чем условие (C) из параграфа 1.10.
В параграфе 1.12 мы показали, что (A
), то для всякой функции A можно выбрать такое Λ, что
ся (B
Если B ∈C
(C)=⇒ (B),
,M∩ Λ=∅,то
M
σ(AB)=σ(M
если
|M
supp σ =Ω.
) —этоболеесильноекластерное свойство,
) ⇐⇒ (B). Если выполняет-
A − σ(A)| 1.
Λ
(AB)) = σ((MΛA) · B).
Λ
Поэтому при B 0
|σ(AB) − σ(A)σ(B)| = |σ((M
Следовательно, (B
Покажем теперь, что (C
что условие (B
довательности (Λ
)=⇒ (C).
) не выполняется. Тогда существуют функция A ипосле-
), (ξn) такие, что Λn→ L и (M
n
)=⇒ (B), если supp σ =Ω. Предположим,
Изменив, если надо, A, мы можем считать, что c − σ(A)=4. Пользуясь
непрерывностью M
и |(M
A)(η) − (M
Λ
n
A, найдем множество Mn, для которого M
Λ
A)(ξn)| < 1, если η|Mn= ξn|Mn. Пусть Bn—ха-
Λ
n
рактеристическая функция множества {η ∈ Ω:η|M
A − σ(A))B)| σ(B).
Λ
A)(ξn) → c = σ(A).
Λ
n
= ξn|Mn}; тогда при
n
= ∅
Λ
n
n
достаточно больших n
(M
A)(η) >σ(A)+2, если Bn(η) =0.
Λ
n
Отсюда следует, что
σ(AB
)=σ(M
n
(ABn)) = σ((M
Λ
n
A) · Bn) (σ(A)+2)σ(Bn)
Λ
n
и, значит,
|σ(AB
Но это противоречит условию (C
) − σ(A)σ(Bn)| 2σ(Bn).
n
), так как σ(Bn) > 0 в силу нашего
предположения supp σ =Ω.
1.14. Замечание
Предположим, что пространство Ω обладает следующим свойством.
∗
(D
)
конечное
Для любых
M ⊂ Lиζ ∈ Ω
ξ,η ∈ Ω
и любого конечного
такие, что
ζ|Λ=ξ|Λ,ζ|(L \ M )=η|(L \ M)
Λ ⊂ L
существуют
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]