Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
5.18. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 111
Действительно, пусть Φ∗удовлетворяет условию (a) и Φ∗(ξ|[k, l]) равно сумме величин Φ(ξ|X) по всем множествам X , для которых k и l являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами. Тогда свойства
(b) и (с) очевидны, а (d) вытекает из (5.1) и (5.2).
С учетом (b), (c) и (d) для целей данной главы было бы достаточно
использовать вместо пространства B
подпространство B∗⊂B,состоящее
1
из взаимодействий, удовлетворяющих условию (a).
5.18. Экспоненциально убывающие взаимодействия
Пусть Bθ= Bθ(Z, Ω0, (ΩΛ)
),где0 <θ<1, — банахово про-
Λ∈F
странство трансляционно-инвариантных взаимодействий Φ, для которых
Φ(ξ|X )=0,еслиX — не интервал, с нормой
||Φ||
=supXθ
θ
− diam X
sup
|Φ(ξ)| < ∞. (5.25)
ξ∈Ω
X
Такие взаимодействия мы будем называть экспоненциально убывающими.
Если разрешить Φ принимать комплексные значения, мы получим вместо B
комплексное банахово пространство B
θ
Заметим, что B
Если θ θ
(
Ω
Λ
,тоBθ⊂B
Если множество M (0) в определении Z-морфизма F :(Z, Ω
)
) → (Z, Ω0, (ΩΛ)
Λ∈F
всегда возможен) и Φ ∈B
но проверить, что ограничение Z на подгруппу N Z заменяет Φ ∈B
Φ
∗∈Bθ
,гдеθ= θN. Поэтому можно применять теоремы 5.2 и 5.3, не по-
⊂B1и
|| · ||
1
θ
и || ·||θ ||·||
Λ∈F
θ
,тоF∗Φ ∈Bθ(Z, Ω
(1 − θ)−2|| · ||θ.
θ
с нормой (5.25).
C
.
θ
) является интервалом (такой выбор M(0)
0
, (Ω
Λ
)
Λ∈F
).Нетруд-
θ
на
кидая области экспоненциального убывающих взаимодействий. Учитывая
это, мы часто будем ограничиваться перемешивающими Z-решетчатыми
системами.
Для последующего заметим, что отображение Φ → F
ремы 5.3 линейно и непрерывно на пространстве B
N
(β)
θ
в B
ния B
(Ω
θ
C
(β)
,t
0
) и продолжается до C-линейного непрерывного отображе-
(Ω0,t) →B
N
(β)
θ
(Ω
C
(β)
,t
0
).
(β)∗Φ∗
θ
(Ω0,t), переводит его
из тео-
θ
,
0
112 ГЛАВА 5
5.19. Пространство Fи связанные с ним пространства
Для A ∈Cи A ∈C(Ω>) положим
var
A =sup{|A(ξ) −A(ξ)|: ξx= ξ
n
и
Обозначим через F
var
A =sup{|A(ξ>) − A(ξ
n
θ
(соответственно, через F
странства C (соответственно, C(Ω
||A||
=sup
θ
n0
)|: ξx= ξ
>
)), состоящее из функций A c
>
−2n−1
(θ
(соответственно, с
||A||
=sup
θ
(θ−nvarnA) < ∞).
n1
Эти величины определяют нормы на фактор-пространствах F
θ
θ
C>
θ
и F
по подпространству постоянных функций, причем F
>
=max(||A||, ||A||θ).
θ
, F
|A|
θ
θ
, F
, состоящие из комплекснозначных функций.
C
C>
странств F
θ
и F
являются банаховыми пространствами относительно этих норм, а F
>
θ
и F
— банаховыми пространствами относительно нормы
>
Аналогичным образом можно определить комплексные банаховы простран-
θ
ства F
, F
C
при |x| n}
x
при 1 x n}.
x
θ
) подпространство про-
>
varnA) < ∞
θ
θ
и F
про-
>
θ
θ
5.20. Предложение
Образом пространства Bθпри отображении Φ → AΦявляется пространство F
Если ξ
где суммирование ведется по всем таким X,что0является«средним»
элементом множества X в лексикографическом порядке (см. § 3.2) и
diam X>2n.Поэтому
и, следовательно, AΦ∈Fθ.
θ
.
= ξ
x
при |x| n,то
x
A
(ξ) − AΦ(ξ)=
Φ
var
nAΦ
∞
k=2n+1
∗
(Φ(ξ|X) − Φ(ξ|X )),
X
2||Φ||θθk=
2||Φ||
1 − θ
θ
2n+1
· θ
5.21. ТЕОРЕМА 113
∞
Обратно, если A ∈Fθ,тоA =
var
Φ(ξ|[−n, n]) = −A
A при n>0.ПоэтомуA = AΦ,гдеΦ ∈Bθвыбрано так, что
n−1
(ξ) и Φ(ξ|X )=0,еслиX не получено сдвигом из
n
An,гдеAn∈C
n=0
[−n, n]
и ||An||
некоторого интервала [−n, n]. Для дальнейшего заметим, что отображение
A → Φ может быть выбрано линейным и, следовательно, имеющим C-ли-
нейное непрерывное продолжение F
θ
C
→B
θ
.
C
5.21. Теорема
Предположим, что система (Ω0,t) транзитивна. Пусть A, A∈F
θ
и ρ, ρ— соответствующие равновесные состояния. Тогда ρ = ρвтом
и только том случае, когда существуют постоянная c ∈ R ифунк-
ция C ∈F
ние 5.20), мы оказываемся в ситуации теоремы 5.7 и должны лишь доказать,
что если Φ, Φ
θ
, для которых
Выбрав такие Φ, Φ
∈Bθи ρ = ρ, то имеет место равенство (5.26) с C ∈Fθ.
− A = c + C ◦τ −C. (5.26)
A
∈Bθ,чтоA = AΦи A= A
(см. предложе-
Φ
Для этой цели воспользуемся конструкцией функции C в доказательстве
теоремы 5.7.
Если (τ
откуда следует, что
Тем самым, C ∈F
j
η)x=(τjξ)xпри |x| r, r 0, то вместо (5.12) имеем
j
|B(τ
η) −B(τjξ)| = |AΨ(τjη) −AΨ(τjξ)|
2
|C(η
∞
ξ∈Ω
s=2r+1
) − C(η)|
θ
.
sup
|Ψ(ξ)| 2||Ψ||
[0,s]
4||Ψ||
1 − θ
θ
∞
r=m
θ
2r+1
∞
θ
θs=
s=2r+1
=
(1 − θ)(1 −θ2)
4||Ψ||
2||Ψ||
1 − θ
θ
θ
θ
2r+1
θ
2m+1
,
.
5.22. Замечания
(a) Если система (Ω0,t) — перемешивающая, то (5.26) эквивалентно
равенству
(см. упражнение 5(c)).
[ρ((A− A) ◦ τx· (A− A)) −(ρ(A− A))2]=0
x∈Z
114 ГЛАВА 5
(b) Отображение δ : C → C ◦τ −C непрерывно на пространстве Fθи
переводит его в некоторое замкнутое подпространство. Из доказательства
теоремы 5.21 видно, что существует непрерывное обратное отображение
−1
δ
: δFθ→ Fθ.
5.23. Лемма
Пусть Φ ∈Bθ(Ω0,t),где(Ω0,t) — перемешивающая система. Тогда
(a) функции ψ
(b) если A ∈F
где c
, c2— постоянные (зависящие от Φ и θ).
1
и (ψ>)−1принадлежат пространству F
>
θ
,то
>
var
SnA c1var
k
Вначале заметим, что если A, A
||A · A
Кроме того, если A ∈F
||θ ||A|| · ||A||θ+ ||A||θ·||A||. (5.27)
θ
и inf |A(ξ>)| > 0,тоA−1∈F
>
−1
||A
||θ ||A−1||2·||A||θ. (5.28)
A + c2θk||A||,
n+k
θ
∈F
,тоA · A∈F
>
θ
>
θ
и
>
θ
и
>
При любом k справедливо неравенство
∞
∞
var
kWZ, Z
Поэтому определение функции ψ
(ξ∨·) 2||Φ||
>
θ
m=0
>
Из (5.20) и (5.28) теперь получаем (ψ
m+n
θ
n=k+1
(см. §5.12) дает включение ψ>∈F
)−1∈F
>
2||Φ||
θ
=
(1 − θ)
θ
, что доказывает (a).
>
k+1
θ
2
Согласно параграфам 5.11 и 5.12
K
1
(dξ)exp[−W
σ
Z, Z
(ξ∨·)]×
>
× [A ◦ α
◦ τ−n(ξ∨·)],
Z
−nLn
λ
(ψ>· A)=
;
. (5.29)
θ
.
>
откуда с помощью (5.29), получим
var
λ−nLn(ψ>· A) ||ψ>||var
k
A + cθk||A||,
n+k
где c — постоянная (зависящая от Φ и θ). Это неравенство вместе с (5.27)
приводит к утверждению (b).
5.24. Предложение
5.24. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 115
Пусть Φ ∈Bθ(Ω0,t),где(Ω0,t) — перемешивающая система. Тогда
оператор S отображает пространство F
ченный оператор S на банаховом пространстве F
фе 5.19, со спектральным радиусом, строго меньшим единицы.
Из леммы 5.23 вытекает, что S отображает пространство F
как S1=1(см. § 5.14), то, перейдя к фактор-пространству по подпространству констант, мы получим отображение S : F
θ
в себя и определяет ограни-
>
θ
, введенном в парагра-
>
θ
>
θ
→ F
. В силу пункта (b)
>
θ
всебя.Так
>
леммы 5.23
var
SnA c1var
k
A + c2θkvar0A. (5.30)
n+k
С другой стороны, так как множество
компактно в C(Ω
{A ∈C(Ω
), из предложения 5.16 следует, что для любого δ>0
>
): |A|θ 1}
>
найдется n, при котором
SnA δ||A||θ. (5.31)
var
0
В силу (5.30) и (5.31)
var
S2nA = c1var
k
c
1(c1
SnA + c2θkvar0SnA
n+k
var
2n+k
A + c2θ
n+k
var0A)+c2θkδ||A||θ
2
θ2n+ c1c2θn+ c2δ)||A||θθ
(c
1
k
и, следовательно,
2n
||S
A||θ (c
Если δ выбрано достаточно малым, а n —достаточнобольшим,тонорма
оператора S
2n
: F
>
θ
→ F
2
θ2n+ c1c2θn+ c2δ)||A||θ.
1
θ
строго меньше единицы. Но тогда и спектраль-
>
ный радиус оператора S меньше единицы.
5.25. Замечание
Из того, что спектральный радиус оператора S меньше единицы, вы-
текает экспоненциальное убывание корреляций (см. упражнение 4(c)).
116 ГЛАВА 5
5.26. Теорема
Предположим, что (Ω0,t) — транзитивная система. Тогда функ-
ция Φ → P
то формула
(LA)(ξ>)=
определяет ограниченный оператор L на пространстве F
ется целой аналитической функцией из пространства B
ограниченных операторов на F
ние пространства B
является C-линейным и непрерывным и, следовательно, аналитическим,
а так как функция exp : F
является и отображение
пространства B
ражения Φ →L.
и предложение 5.24 показывают, что спектр оператора L состоит из {λ} и
множества, содержащегося в круге {z : |z| λ
стандартного рассуждения отсюда выводится, что отображение Φ → λ,
а следовательно, и Φ → P
окрестности множества B
мешивающей системы при помощи теоремы 5.3. Действительно, согласно
следствию 5.6(d)
а отображение Φ → F
до C-линейного, непрерывного и, следовательно, аналитического отображе-
ния пространства B
1
Cм. § 5.11; различные банаховы пространства, используемые здесь, определены в парагра-
фах 5.18 и 5.19.
Φ
на Bθявляется вещественно-аналитической.
Предположим сначала, что система (Ω
1
,t) перемешивает. Если Φ ∈B
0
A(τ−1(ξ0∨ ξ>)) exp[−U
ξ
0
θ
. В самом деле, для любого ξ0отображе-
C>
θ
, задаваемое формулой
C>
→ U
θ
C>
(ξ0)+W
{0}
→F
{0}
Φ →{ξ
Φ →{ξ
θ
в F
C
θ
в F
C
>
→ exp[−U
>
θ
. Отсюда и из (5.27) вытекает аналитичность отоб-
C>
Если Φ вещественно, т. е. Φ ∈B
LA = λ ·ψ
Φ
продолжается до аналитической функции в
θ
θ
⊂B
.
C
θ
C>
(ξ0) − W
θ
>
{0}
{0}, Z
также аналитична, аналитическим
,то
−1
·S(ψ
>
Общий случай транзитивной системы (Ω
(β)
0
F
,t
(β)∗Φ∗
(β)
P
(β)∗Φ∗
θ
(Ω0,t) в B
C
Φ
= N−1P
, как отмечено в параграфе 5.18, продолжается
N
θ
(Ω
C
(ξ0) − W
(ξ0∨ ξ>)},
>
{0}, Z
>
(ξ0∨ ξ>)]}
(ξ0∨ξ>)]
{0}, Z
>
θ
и Φ →Lявля-
C>
θ
в пространство
C
· A)
},гдеλ1<λ.Спомощью
1
,t) сводится к случаю пере-
0
,
).
C
θ
,
5.27. Следствие
5.27. СЛЕДСТВИЕ 117
Предположим, что система (Ω0,t) транзитивна. Тогда функция P на
пространстве F
θ
является вещественно-аналитической.
Представим отображение A → P (A) ввиде
A → Φ → P
где A → Φ продолжается до аналитического отображения F
замечание в конце доказательства предложения 5.20).
Φ
= P(AΦ)=P (A),
θ
C
→B
θ
(см.
C
5.28. Дзета-функции
Для любой Z-решетчатой системы (Ω0,t) и любой функции A ∈C
положим
Z
m
и введем степенной ряд
ζ
По теореме 5.2 каждая τ-периодическая точка содержится в одном из
множеств F
(α)Ω(α)
. Поэтому ζτ(zeA) разлагается на множители, соответ-
ствующие транзитивным Z-решетчатым системам. В случае, когда система
,t) транзитивна, из теоремы 5.3 следует, что Zm(A, τ)=0, если m не
(Ω
0
кратно числу N,и
m
Fix τ
= {ξ ∈ Ω: τmξ = ξ},
(A, τ)=
x∈Fix τ
(zeA)=exp
τ
m=1
∞
m
m−1
exp
k=0
Zm(A, τ)
A(τkx)
m
z
. (5.32)
m
Z
(A, τ )=NZn(A + A ◦ τ + ... + A ◦ τ
nN
ζ
(zeA)=ζ
τ
Величина Z
n
(zNexp(A + A ◦τ + ... + A ◦τ
(β)
τN|Ω
(A, τ ) —этостатистическая сумма с периодическими
N−1|Ω(β),τN|Ω(β)
N−1
)|Ω
(β)
),
).
граничными условиями. Методы главы 3 показывают, что если система
,t) перемешивает, то
(Ω
0
1
lim
m→∞
m
ln Z
(A, τ)=P (A).
m
118 ГЛАВА 5
Следовательно, степенной ряд (5.32) сходится при |z| < exp[−P(A)] кнекоторой голоморфной функции. В силу пунктов (c) и (d) следствия 5.6 это
утверждение остается справедливым даже для случая, когда система (Ω
0
,t)
не является перемешивающей или транзитивной. Нетрудно проверить, что
при z =exp[−P (A)] ряд (5.32) расходится. Таким образом, радиус сходи-
мости ряда (5.32) равен exp[−P (A)] и при |z| < exp[−P (A)] этот ряд
определяет голоморфную функцию, которая называется дзета-функцией
(ассоциированной с функцией A).
Сейчас мы покажем, что если функция A принадлежит простран-
θ
ству F
, то область аналитичности дзета-функции может быть расширена.
5.29. Теорема
1
Пусть (Ω0,t) — перемешивающая система и A ∈Fθ.Тогдасуществует такое R(A) > exp[−P (A)],что
(z)=ζ (zeA)−1=exp(−
d
A
∞
m=1
z
m
m
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
A(τkξ)
k=0
)
продолжается до аналитической функции в круге {z : |z| <R(A)} седин-
ственным нулем; этот нуль находится в точке z =exp[−P (A)] иявляется
простым.
Согласно предложению 5.20 A = A
,
Φ
(n)
(X)=
Φ(X), если diam X n,
0, если diam X>n.
,гдеΦ ∈Bθ.Положим
Φ
Тогда
||A
Φ
− A
Φ(n)
||
||Φ||θθl= ||Φ||
l>n
θ
θ
1 − θ
n+1
.
Для целых m 1, n 0 положим
a(m)=
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
A(τkξ),
k=0
1
Эта теорема анонсирована в работе Рюэля [6]; см. также упражнение 7.
5.29. ТЕОРЕМА 119
b(m, n)=
ξ∈Fix τ
m−1
exp
m
k=0
A
Φ(n)
(τkξ)=
=
ξ∈Fix τ
exp(−
m
Нетрудно проверить, что справедливо неравенство
m−1
k=0
n
Φ(ξ|[k, k + l])).
l=0
$
a(m)
$
$
b(m, n)
− 1
$
$
exp
$
||Φ||
1 − θ
θ
mθ
n+1
− 1.
Пусть α ∈ (0, 1).Еслиn =[αm] (целая часть числа αm), то
$
a(m)
$
$
b(m, [αm])
− 1
$
||Φ||
$
$
θ
1 − θ
mθ
αm
exp
||Φ||
1 − θ
θ
mθ
αm
. (5.33)
Очевидно,
∞
d
(z)=exp(−
A
b(m, [αm])
m=1
m
z
m
Если r — радиус сходимости первого ряда в правой части этого тождества,
то в силу (5.33) второй ряд сходится при |z| <r/θ
)
exp
∞
[−a(m)+b(m, [αm])]
m=1
α
.Поэтомудостаточно
m
z
.
m
доказать теорему для
(z)=exp(−
d
вместо d
A
(z).
Определим на пространстве C(Ω
∞
m=1
[1,n]
(L
B)(ξ1, ..., ξn)=
(n)
b(m, [αm])
) оператор L
m
z
m
)
равенством
(n)
B(ξ0, ..., ξ
=
ξ
0
Определим обычным образом след оператора, действующего на конечномерном пространстве C(Ω
)exp[−U
n−1
(ξ0) − W
{0}
). Нетрудно проверить, что tr L
[1,n]
{0}, {1, ..., n}
(ξ0∨ξ1... ∨ξn)].
m
= b(m, n).
(n)
Следовательно, b(m, n) можно оценить в терминах собственных значений
120 ГЛАВА 5
оператора L
является собственным значением оператора L
ного как оператор L для взаимодействия Φ
теоремы 5.26, что отображение Φ →L— целая аналитическая функция на
пространстве B
при достаточно больших n оператор L
значение, по модулю превосходящее r
положительное и простое; при n →∞оно стремится к λ =expP
. Заметим, что каждое собственное значение оператора L
(n)
(n)
θ
,гдеθ>θ. В частности, существует такое r> 0,что
C
имеет только одно собственное
(n)
−1
. Это собственное значение λ
(n)
: F
θ
C>
→F
θ
, определен-
C>
. Мы знаем из доказательства
(n)
Φ
.Сле-
(n)
довательно, при достаточно больших n
m
|b(m, n) − λ
Представим d
d
(z)=exp−
Радиус сходимости первого ряда равен λ
чем r
/|Ω0|α.Взявα, для которого r/|Ω0|α>λ−1, мы видим, что утвер-
(z) ввиде
∞
1
(λ
m
m=1
([αm])
| < |Ω
(n)
z)m)exp
[1,n]
∞
m=1
−m
|·r
−b(m, [αm]) + λ
−1
.
m
([αm])
, а второго — не меньше,
m
z
m
ждение теоремы достаточно доказать для
d
(z)=exp−
∞
m=1
(λz)
m
m
exp
∞
m=1
m
−λ
([αm])
+ λ
m
z
m
m
.
Первый множитель здесь равен exp ln(1 −λz)=1−λz. Чтобы исследовать
второй множитель, мы воспользуемся неравенством
m
|λ
В силу теоремы 5.26 функция Φ → λ аналитична на пространстве B
Заменив θ на θ
− λm| m · (max(λ, λ
([αm])
,гдеθ<θ< 1,получим
|λ
− λ| C
(n)
||Φ − Φ
(n)
||
θ
([αm])
||Φ − Φ
θ
(θ/θ)
n+1
m−1
))
(n)
||Φ||θ.
·|λ
||
,
θ
([αm])
− λ|.
Поэтому радиус сходимости ряда
∞
не меньше, чем (λ ·(θ/θ
не меньше, чем 1/λθ
α
m
λ
([αm])
m=1
)α)−1
, а так как мы можем устремить θк единице,
. Это завершает доказательство теоремы.
− λ
m
z
m
m
—
.
θ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]