Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
4.3. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 81
а вследствие вогнутости энтропии
S(α
×(W
σ) −(α
M
n
Mn, Zν\M
M
Ω
Zν\M
=
(ξ ∨η)+ln
n
σ)(U
n
n
Ω
σ
Zν\M
Zν\M
Φ
)
M
n
n
σ
Zν\M
n
ζ∈Ω
Поэтому
lim inf
n→∞
|Mn|−1[S(α
lim inf
M
n
n→∞
σ) −(α
|Mn|
× ln
В силу условия (D) (при η = η
ζ∈Ω
M
где lim
n→∞
lim inf
n→∞
exp[−U
n
|Rn|/|Mn| =0. Отсюда получаем
Φ
(ζ) −W
M
n
|Mn|−1[S(α
σ) −(α
M
n
lim
n→∞
Mn, Zν\M
(dη)[S(μ
(Mn)η
) − μ
(Mn)η
(U
Φ
)] =
M
n
(dη)
n
exp[−U
M
n
σ)(U
M
n
−1
Ω
Zν\M
exp[−U
ζ∈Ω
M
n
∗
|(Zν\ Mn) для некоторого η∗∈ Ω)
ξ∈Ω
Φ
M
n
n
M
Φ
M
)]
σ
μ
(Mn)η
n
(ζ) −W
n
Zν\M
Φ
(ζ) −W
M
n
(dη)×
n
{ξ}×
Mn, Zν\M
Mn, Zν\M
(ζ ∨η)]
n
σ)(U
M
n
|Mn|−1ln
Φ
M
ξ∈Ω
)]
n
exp[−U
∗
Λ
n
ξ∈Ω
exp[−U
∗
Λ
n
Φ
(ξ)+Rn)=PΦ.
Λ
n
(ζ ∨η)]).
n
(ζ ∨η)].
n
Φ
(ξ)+Rn],
Λ
n
4.3. Физическая интерпретация
В случае, когда чистая термодинамическая фаза для взаимодействия Φ ∈Bдопускает нетривиальное разложение на чистые гиббсовские
состояния, мы будем говорить, что имеет место нарушение симметрии или,
точнее, что нарушается трансляционная инвариантность теории.
82 ГЛАВА 4
4.4. Предложение
Предположим, что выполнено условие (D) и Φ ∈B, σ ∈ KΦ, C ∈C.
Тогда
lim
n→∞
1
|Λn|
ln σexp
x∈Λ
n
C ◦τ
x
= P(A
+ C) − P (AΦ).
Φ
В силу плотности множества {A
ной непрерывности (см. (3.8)) достаточно рассмотреть случай C = A
Ψ ∈A
. В этом случае
0
1
lim
n→∞
|Λn|
ln σexp
x∈Λ
C ◦τ
n
:Ψ∈Ao} в C и свойства равномер-
Ψ
x
= lim
n→∞
1
|Λn|
ln(α
σ)exp(−U
Λ
n
,где
Ψ
Ψ
).
Λ
n
Из условия (D) следует, что для любых ξ, η ∈ Ω
Φ
Λ
n
Φ
Λ
n
(ξ|Λn)
(η|Λn)
R
n
, (4.1)
e
/|Λn|→0 при n →∞.
где R
n
Всамомделе
[(α
σ){ξ|Λn}]expU
Λ
n
[(α
σ){η|Λn}]expU
Λ
n
1
, по определению гиббсовского состояния (см. (1.14),
(1.15))
(α
σ){ξ|Λn} =
Λ
n
ξ∈Ω
=
L\M
σ
n
ξ∈Ω
n
L\M
n
Λn,Mn\Λ
n
Ω
=
Ω
L\M
Φ
−U
где Z
интеграла, вычисляется в соответствии с принятым ранее соглашением
(ξ) −W
M
n\Λn
(ζ) — нормирующая постоянная, а сумма, стоящая под знаком
M
n
(см. § 1.5): если ξ|Λ
1
Доказательство неравенства 4.1 добавлено при переводе. — Прим. ред.
(α
σ){(ξ|Λn) ∨ ξ} =
M
n
Mn\Λ
n
σ
Mn\Λ
(dζ)
ξ∈Ω
n
n
(ξ|Λ
L\M
Mn\Λ
n
(dζ)μ
n
[Z
n
) ∨ξ
M
{(ξ|Λn) ∨ ξ} =
(Mn)ζ
(ζ)]−1exp%−U
n
−W
Mn,L\M
Φ
(ξ|Λn)−
Λ
n
((ξ|Λn) ∨ξ∨ζ)&,
n
∨ ξ∨ ζ ∈ Ω,тоотвечающееэтомуξслагаемое
4.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 83
считается равным нулю. Из определения множества Mnследует, что в
этой сумме обязательно есть ненулевое слагаемое. Аналогично записывается (α
σ){η|Λn}. Таким образом, левая часть (4.1) есть отношение двух
Λ
n
интегралов, в каждом из которых подынтегральная функция положительна при всех ζ ∈ Ω
превосходит числа
. Отношение этих подынтегральных функций не
L\M
n
%
r
n
= |Ω
Mn\Λ
+sup
ζ∈Ω
|expsup
n
ξ∈Ω
%
−W
Mn,L\M
Mn\Λ
− W
Λn,Mn\Λ
(ξ|Λ
n
Φ
−U
M
) ∨ ξ
n
n\Λn
ξ∈Ω
n
(ζ)&− inf
n
(ξ)−W
Mn\Λ
&
− inf
ζ∈Ω
%
−U
n
%
−W
Λn,Mn\Λ
Mn\Λ
n
(ξ)−
n
Mn,L\M
(ξ|Λ
n
(ζ)
)∨ξ
n
&
, (4.2)
&
которое мы сейчас оценим.
Зафиксировав произвольное ε>0 и пользуясь конечностью нормы ||Φ||, подберем конечное множество Δ
, для которого
ε
sup
|Φ(ξX)| ε
ξX∈Ω
X⊂L :0∈X⊂Δ
X
ε
(здесь и ниже множество X предполагается конечным). Тогда для любо-
го ζ ∈ Ω
(
|W
Mn,L\M
ε|Λ
(ζ)|
n
x∈Λ
n
+
x∈Mn\Λ
| + ||Φ|||Mn\ Λn| + |{x ∈ Λn:(Δε+ x) ∩(L \Mn) = ∅}|
n
|Φ(ζ|X )|+
X⊂L : x∈X⊂Δε+x
X⊂L : x∈X
n
|Φ(ζ|X )|
X⊂L : x∈X⊂Δε+x,
X∩(L\Mn)=∅
|Φ(ζ|X )|)+
ε|Λ
| + ||Φ|||Mn\ Λn| +
n
ε|Λ
| + ||Φ|||Mn\ Λn| +
n
|((Λn+ y) \ Λn) − y|
y∈Δ
ε
y∈Δ
ε
|(Λn+ y) \ Λn|.
+
Ясно также, что
$
Φ
$
U
M
n\Λn
(ξ)+W
Λn,Mn\Λ
) ∨ ξ
$
$
|M
\ Λn|·||Φ||
n
(ξ|Λ
n
n
84 ГЛАВА 4
при всех ξ∈ Ω
. Отсюда, пользуясь условием (D) и тем, что Λn∞
Mn\Λ
n
в смысле Ван Хова (см. § 3.9), получаем
(ξ)
$
$
=0. (4.3)
lim
n→∞
|Λn|
−1
sup
ζ∈Ω
$
$
W
Тем самым (см. (4.2)), r
$
$
+sup
Mn,L\M
n
(ζ)
n
ξ∈Ω
=expRn,гдеRn/|Λn|→∞при n →∞,имы
Mn\Λ
$
Φ
$
U
M
n\Λn
n
приходим к (4.1).
Поменяв ролями ξ и η, убеждаемся, что дробь в левой части (4.1)
оценивается снизу величиной e
преобразуем так, чтобы в средней части осталось (α
просуммируем по η|Λ
. Пользуясь тем, что σ — вероятностная мера, полу-
n
−R
n
. Полученную двустороннюю оценку
σ)(η|Λn),азатем
Λ
n
чаем (см. (1.11))
e
−R
n
μ
{ξ
(Λn)
Λ
n
} (α
Λ
n
σ){ξ
Λ
} e
n
R
n
μ
{ξ
},
Λ
(Λn)
n
откуда следует, что
Φ+Ψ
−R
n
e
Z
/Z
Λ
n
Предложение доказано
Φ
(α
Λ
n
1
.
σ)(exp(−U
Λ
n
Ψ
Λ
n
)) e
Φ+Ψ
R
n
Z
Λ
Φ
/Z
.
Λ
n
n
4.5. Замечание
Пусть заданы представление τ группы Zνгомеоморфизмами компактного метризуемого пространства Ω, τ -инвариантная вероятностная мера σ
и непрерывная действительная функция A на Ω. Для любого конечного Λ ⊂ Z
Синай [4] предложил (для ν =1) называть гиббсовским состоянием любой
предел при Λ → Z
С этим определением связан следующий результат.
ν
положим
Z
ν
семейства мер
∗−1
Z
Λ
Пусть Φ, Ψ ∈Bи σ ∈ K
Z
Λ
1
См. соотношение, предшествующее неравенству (4.1). — Прим. ред.
∗
= σ
Λ
(
exp
.ДляконечногоΛ ⊂ Zνположим
Φ
∗
= σexp
exp
0
a∈Λ
A(τaξ))σ0(dξ).
a∈Λ
a∈Λ
AΨ◦ τ
A ◦ τ
a
.
a
.
0
4.6. СТРОГАЯ ВЫПУКЛОСТЬ ДАВЛЕНИЯ 85
Тогда любой предел при Λ → Zνмер
(
∗−1
exp
Z
Λ
a∈Λ
AΨ◦ τ
)
a
σ
принадлежит множеству K
Φ+Ψ
.
Это утверждение легко доказать при помощи методов главы 1; см.
также упражнение 4 из этой главы.
4.6. Строгая выпуклость давления
Из теоремы 3.4 мы знаем, что функция Φ → PΦ= P(AΦ) непрерывна
ивыпукланаB. Предположим, что ее график содержит прямолинейный
интервал, т. е. существуют такие функции Φ, Ψ ∈B, Ψ =0,что
Φ+tΨ
P
Из теоремы 3.7 следует, что если ρ — равновесное состояние для Φ,тооно
служит также равновесным состоянием для Φ+tΨ при |t| 1.Нотогда
ρ — гиббсовское состояние для Φ+tΨ при |t| 1. Так как выражение
вещественно-аналитично по t и постоянно при |t| 1, оно постоянно при
всех действительных t.Отсюдаследует,чтоρ — гиббсовское состояние
для Φ+tΨ при всех действительных t. Если выполнено условие (D), то по
теореме 4.2 ρ — равновесное состояние и, значит,
max
[s(σ)+σ(AΦ)+tσ(AΨ)] = s(ρ)+ρ(A
σ∈I
при всех t ∈ R. Это означает, что σ(A
− c)=0для всех трансляционно-инвариантных мер σ на пространстве Ω.
Поэтому A
− c принадлежит замкнутому подпространству I⊂C, поро-
Ψ
жденному элементами A ◦τ
к следующему утверждению.
1
Действительно, предположив, что AΨ− c ⊂I, определим на подпространстве IΨ,натя-
нутом на I и A
.БудучиравнымнулюнаI, этот функционал трансляционно-инвариантен. По теореме
γ ∈
Хана – Банаха (см. приложение A.3.2) l = L|I
+
L = σ
и σ
− σ−,гдеσ+, σ−— конечные положительные меры на Ω.Приэтомσ+/σ+(Ω) ∈ I
+
(AΨ− c) =0, что противоречит доказанному выше. — Прим. ред.
− c, линейный функционал l по формуле l(B + γ(AΨ− c)) = γ, B ∈I,
Ψ
= PΦ+ ct при t ∈ [−1, 1].
ρ
L\Λ
Ω
L\Λ
a
−A,гдеA ∈C, a ∈ Zν.1В итоге мы приходим
Φ+tΨ
(dη)μ
Ψ
Ψ
{ξΛ}
(Λ)η
)=PΦ+ ct
Φ+tΨ
)=c при любом σ ∈ I,т.е.σ(AΨ−
,гдеL ∈C∗. По теореме Рисса – Маркова
86 ГЛАВА 4
4.7. Предложение
Пусть отображение ϕ : B→Cопределено равенством ϕΦ=AΦи
пусть I — замкнутое подпространство в C, порожденное элементами
a
A ◦ τ
− A,гдеA ∈C, a ∈ Zν. Обозначим через [Φ] образ элемента Φ ∈B
в ϕB/(ϕB∩I).Тогда
(a) функция [Φ] → P (A
) корректно определена на ϕB/(ϕB∩I),иесли
Φ
выполнено условие (D), то эта функция строго выпукла на подмножестве
{[Φ] ∈ ϕB/(ϕB∩I): σ(A
)=0},гдеσ — произвольно выбранный элемент
Φ
множества I .
(b) Если выполняется (D) и взаимодействия Φ, Φ
новесное состояние ρ,тоA
Будем говорить, что взаимодействия Φ, Φ
ны, если существуют такие c ∈ R и B ∈I,чтоA
других обозначениях, [Φ
− AΦ∈I+ R.
Φ
]=[Φ]+c, c ∈ R). Два физически эквивалентных
∈Bфизически эквивалент-
имеют общее рав-
= B + c (или, в
Φ−Φ
взаимодействия из B имеют одинаковые равновесные состояния. Обратно,
если два взаимодействия из B имеют общее равновесное состояние, то они
физически эквивалентны. Ограничение функции P на класс эквивалентно-
сти {Φ
∈B: A
∈I+R} аффинно, и классы эквивалентности являются
Φ−Φ
максимальными аффинными множествами, на которых функция P аффинна.
4.8. Z-решетчатые системы и Z-морфизмы
В параграфе 2.1 мы ввели объектыL, (Ωx)
x∈L
, ΩΛ)
Λ∈F
,назвавих
решетчатыми системами. В настоящей главе предполагается, что L = Z
=Ω0исистема(ΩΛ)
Ω
x
ν
. Такую решетчатую систему с дополнительной структурой, обуслов-
ки Z
ленной сдвигами, мы будем называть Z
чатьZ
ν
, Ω0, (ΩΛ)
F :Z
ν
является Z
-морфизмом, если существует семейство (Fx)
. Будем говорить, что отображение
Λ∈F
ν
, Ω
0
инвариантна относительно сдвигов решет-
Λ∈F
ν
-решетчатой системой иобозна-
, (Ω
)
Λ∈F
→
ν
Z
, Ω0, (ΩΛ)
Λ
Λ∈F
x∈Z
ν
со свойства-
ми (M1) –(M4) из параграфа 2.1 и если, кроме того,
(M5) F
Такое отображение F является морфизмом. Если это изоморфизм, то будем
называть его Z
τa= Fx.
x−a
ν
-изоморфизмом.
ν
,
4.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 87
4.9. Предложение
Отображение F :Ω→ Ω является Zν-морфизмом тогда и только
тогда, когда выполняются следующие условия:
(a) F непрерывно;
(b) F эквивариантно, т. е. τ
(c) ограниченное F на множество
является биекцией на множество
(здесь d, d
— метрики, совместимые с топологиями на Ω, Ωсоответ-
ственно).
Очевидно, из (M1) – (M5) вытекают свойства (a) – (c). Предположим теперь (a) –(c) выполненными. Так как отображение F непрерывно, существует такое конечное множество M ⊂ Z
Положим M
= M ∪{M +Λ: 0 ∈ Λ ∈F}. В силу компактности можно
выбрать такое конечное множество M
существует η∗∈ Ω, удовлетворяющее условию
Положим M (x)=M
+ x и определим отображение Fx:Ω
равенством
Ясно, что мы получим (M1), (M2), (M4) и (M5). При Λ ∈F, Λ ⊂ X,
ξ
∈ Ω
∪{M(x): x∈X}
ствует такое η
ли x ∈ Λ,тоη
возьмем x0∈ Λ ипустьη= τ
∗
∈ Ω,чтоη∗|M= η|M= τ
∗
|M +(x −x0)=τ
Заметим теперь, что
F
(ξ|M(x)) = F
x
= F
τ
x
−xτx−x
−xτx−x
τ
x
0
(η∗|M+(x − x0))=(Fτ
откуда вытекает (M3).
a
F = Fτa;
Fξ
ν
,что(Fξ)0зависит только от ξ|M.
∗|M
η
= η|M.
(τ−xη)=(Fη∗)0.
F
x
x
0
ξ|M +(x −x0) в силу определения M.
x
0
0
(τ
ξ|M+(x − x0))=
={η∈Ω: lim
ξ
={η∈Ω: lim
x→∞
d(τxη,τxξ)=0}
x→∞
d(τxη, τxFξ)=0}
⊃ M,чтодлялюбогоη∈ Ω
→ Ω
M(x)
x
0
x
0
ξ|M.Тогдасуще-
ξ|M. Следовательно, ес-
x−x
0
η∗)0=(Fη∗)
x−x
M
,
0
x
4.10. Следствие
(a) Всякий эквивариантный гомеоморфизм F :Ω→ Ω является
ν
Z
-изоморфизмом.
(b) Для любой Z
ν
-изоморфизм
ет Z
F :Z
ν
-решетчатой системыZν, Ω0, (ΩΛ)
0
, (Ω
Λ
ν
, Ω
)
Λ∈F
→
ν
Z
, Ω0, (ΩΛ)
Λ∈F
Λ∈F
,
существу-
88 ГЛАВА 4
где Fсостоит из двухточечных множеств {x, y}, в которых x и y —
ближайшие соседи, т. е.
ν
|xi− yi| =1.
i=1
Утверждение (a) непосредственно вытекает из предложения 4.9.
ν
Чтобы доказать (b), положим M (x)={y ∈ Z
l 0 выбрано так, что если x ∈Λ ∈F,тоΛ ⊂ M (x).ПустьΩ
:maxi|xi−yi| l},где
=Ω
M(x)
x
пусть, в соответствии с приведенной выше формулировкой,
= {{x, y}: x и y — ближайшие соседи}.
F
Для {x, y}∈F
Ω
= {(ξ, η) ∈ Ω
{x, y}
Отображение F :Ω
антным гомеоморфизмом, а потому, в силу (а), — Z
положим
× Ω
M(x)
→ Ω, для которого (Fξ)x=(ξ
: ξ|M (x) ∩ M (y)=η|M (x) ∩ M(y)}.
M(y)
)
x
x
ν
-изоморфизм.
4.11. Замечание
К Zν-морфизмам и трансляционно-инвариантным взаимодействиям
можно непосредственно применить результаты главы 2. В частности, ес-
ли Φ ∈BZ
ν
∈BZ
, Ω
, (Ω
0
ν
, Ω0, (ΩΛ)
)
Λ∈F
Λ
и F является Z
Λ∈F
, как следует из оценки нормы в параграфе 2.3.
ν
-морфизмом, то F∗Φ ∈
и
4.12. Предложение
Пусть F :Zν, Ω
ν
-морфизмом. Тогда
Z
(a) Если σ
) s(Fσ) и
s(σ
(b) Если F является Z
Так как S(σ
— произвольное τ -инвариантное состояние на Ω,то
∪{M(x): x∈Λ}
, (Ω
Λ
0
σ
(A
ν
-изоморфизмом, то P
)
Λ∈F
)=(Fσ)(AΦ).
F∗Φ
) S(Fσ)
→Z
ν
, Ω0, (ΩΛ)
F∗Φ
, мы получаем s(σ
Λ
= PΦ.
Λ∈F
) s(Fσ).
является
4.13. ОГРАНИЧЕНИЕ
ν
НА ПОДГРУППУ G 89
Далее,
σ
(A
F∗Φ
)=−
X0
= −
X0
= −
X : ∪{M(x): x∈X}0
= −
X0
1
∗
σ
(F
|X|
Φ) ◦ α
X : ∪{M(x): x∈X}=X
|∪{M(x): x ∈ X }|
1
)(Φ ◦ αX)=(Fσ)(AΦ).
(Fσ
|X|
)=
X
1
(Φ ◦ αX◦ F )=
σ
|X|
1
(Fσ
)(Φ ◦ αX)=
Это доказывает утверждение (a); (b) следует из (a) и вариационного принципа для P (теорема 3.12).
4.13. Ограничение Zна подгруппу G
Пусть G — подгруппа конечного индекса в Zν(в этом случае G изоморфна Z
ν
) иZν, Ω
множество M(0) ⊂ Z
каждого смежного класса Z
СемействоM(x)
x∈G
, (Ω
Λ
0
ν
так, чтобы оно содержало по одному элементу из
ν
является разбиением множества Zν, и конструкция
)
Λ∈F
ν
-решетчатая система. Выберем
— Z
mod G,иположимM(x)=M (0)+x, x ∈ G.
примера 2.2 приводит к изоморфизму
F :Z
ν
, Ω
0
, (Ω
Λ
(Заметим, что этот изоморфизм не является Z
)
Λ∈F
→
G, Ω
M(0)
ν
-морфизмом, если G = Zν.)
Будем говорить, что G-решетчатая системаG, Ω
изZ
ν
, Ω
, (Ω
0
Λ
)
Λ∈F
ограничением на подгруппу G.Этотобъектопре-
, (ΩΛ)
M(0)
, (ΩΛ)
Λ∈F
Λ∈F
.
получена
делен однозначно с точностью до G-изоморфизма вследствие произвола в
выборе множества M(0).
4.14. Предложение
)
) и
Λ∈F
∗
и Φ
=(F−1)∗Φ
→ Ω
M(a)
при
x
Предположим, что Φ∈BZν, Ω
, (Ω
0
Λ
(мы определяем (F−1)xкак отображение ограничения Ω
x ∈ M (a)). Тогда Φ
∗
∈BG, Ω
M(0)
, (ΩΛ)
Λ∈F
90 ГЛАВА 4
(a) если σ —любоеτG-инвариантное состояние на Ω,то
∗
σ(A
Φ
(b) давление для взаимодействия Φ
муле
P
◦F )=
∗
Φ
= |M(0)|P
τxσ(A
x∈M(0)
∗
и группы G вычисляется по фор-
);
Φ
Φ
;
аналогично, если A — непрерывная действительная функция на Ω
A ◦ τx◦ F
x∈M(0)
Включение Φ
P
∗
∈Bследует из оценки нормы в параграфе 2.3 и G-ин-
вариантности взаимодействия Φ
∗
−1
= |M(0)|P (A).
.
По определению
X⊂G
∗
(F
∗
A
Φ
(Fξ)=−
Для каждого конечного множества Y
вой части этого равенства присутствует в точности один сдвиг X
ства Y
+ x на элемент группы G. Поэтому справедливо (a).
−1)∗Φ
= −
(Fξ|X)=
∗
X⊂G
X: {a∈G : X∩M(a)=∅}=X
⊂ Zνикаждогоx ∈ M(0) впра-
Φ(ξ|X).
Утверждение (b) вытекает из вариационного принципа для P (теоре-
ма 3.12), утверждения (a) и следующих легко проверяемых фактов:
(i) энтропия меры σ относительно G равна энтропии меры τ
следовательно, энтропии меры σ
(ii) энтропия меры σ
меры относительно Z
ν
, умноженной на |M (0)|.
= |M(0)|
относительно группы G равна энтропии этой
−1
x∈M(0)
τxσ относительно G;
,то
множе-
x
σ и,
4.15. Неразрешимость и непериодичность
Приведем некоторые любопытные факты, касающиеся Zν-решетчатых
систем (подробное изложение утверждений (a) – (c) см. в статье Робинсона [1]).
(a) Обозначим через F
ν
шетки Z
, состоящих из ближайших соседей (см. следствие 4.10(b)).
множество двухточечных подмножеств ре-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]