Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
КОММЕНТАРИИ 41
(
другими словами, при любом
∃
конечное множество
но в
Ω).
M,
η ∈ Ω
для которого
множество
Ση= {ζ ∈ Ω:
ζ|(L\M )=η|(L\M )}
всюду плот-
Тогда supp σ =Ωдля каждого гиббсовского состояния σ (это прямо следует из определения (1.14) гиббсовского состояния). В этом случае
условия (A
), (B), (C) теоремы 1.13 эквивалентны.
Комментарии
Важное понятие гиббсовского состояния было введено Добрушиным
[1,2,3] (и переоткрыто Лэнфордом и Рюэлем [1]). Гиббсовские состояния —
это вероятностные меры, для которых условные вероятности, отвечающие
определенным условиям, имеют предписанный вид (см. теорему 1.8). Эквивалентным образом, это вероятностные меры, удовлетворяющие некоторой
системе уравнений (см. (1.14)), иногда называемых уравнениями ДЛР
1
.
В этой главе мы во многом следовали Добрушину, но слегка обобщили рассматриваемую ситуацию и сделали некоторые дополнения: симплекс
гиббсовских состояний, алгебра в бесконечности (Лэнфорд и Рюэль [1]),
операторы M
(Ледрапье [1]).
Λ
Упражнения
1. Если Ω=
то существует единственное гиббсовское состояние σ =
2. Показать, что множество термодинамических пределов мер
(μ
(Λ)η
) — см. теорему 1.9(b) — замкнуто и содержит все крайние точ-
L\Λ
ки множества K
легко выводится из теоремы Мильмана: см. приложение A.3.5).
3. Любые два различных чистых гиббсовских состояния являются вза-
имно сингулярными мерами на Ω (см. приложение A.5.5).
4. Пусть Φ, Ψ — два взаимодействия и σ ∈ K
(a) Для каждого конечного Λ ⊂ L икаждогоξ ∈ Ω
Доказать, что любой термодинамический предел мер (μ
множеству K
1
Уравнениями Добрушина – Лэнфорда – Рюэля. Это действительно система уравнений, поскольку (1.14) должно выполняться для любого конечного Λ ⊂ L. Обычно в правой части (1.14)
вкачествеσ
L\Λ
Ωx(множество F пусто) и Φ|ΩΛ=0при |Λ| > 1,
x∈L
(второе утверждение, впервые доказанное Георги [2],
Φ
μ
Φ+Ψ
берут α
∗
(Λ)
.
L\Λ
{ξ} = Z
∗−1
exp[−U
∗
Z
=(αΛσ)(exp[−U
σ, что возможно в силу теоремы 1.8. — Прим. ред.
Ψ
(ξ)] ·(αΛσ){ξ},
Λ
Ψ
]).
Λ
Φ
.
x∈L
положим
Λ
∗
) принадлежит
(Λ)
σ
({x})
.
42 ГЛАВА 1
(b) Используя (a), показать, что при Λ → L любой предел мер
∗−1
Z
принадлежит множеству K
exp[−U
Φ+Ψ
Ψ
(ζ|Λ)] ·σ(dζ)
Λ
.
(c) Найти аналоги утверждений (a) и (b) в случае, когда вместо U
берется UΛ+ W
. (Предостережение: знаменатель Z∗должен быть от-
Λ,L\Λ
личен от нуля.)
Λ
ГЛАВА 2
ГИББСОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ:
ДОПОЛНЕНИЯ
В этой главе мы изучим, как преобразуются взаимодействия и гибб-
совские состояния под действием различных отображений.
2.1. Морфизмы решетчатых систем
Будем называть решетчатой системой тройкуL, (Ωx)
введенную в главе 1. Каждой решетчатой системе мы поставили в соответствие конфигурационное пространство Ω, определенное в параграфе 1.1.
Обозначим через Ω
шетчатой системеL
семейство (F
(M1) F
x
жество
L;
конфигурационное пространство, соответствующее ре-
, (Ω
со следующими свойствами:
x)x∈L
— отображение
)
x∈L
x
Ω
M(x)
, (Ω
)
Λ
→ Ω
.Предположим,чтозадано
Λ∈F
,где
M(x)
x
— конечное подмно-
x∈L
, (ΩΛ)
Λ∈F
,
(M2) (M(x))
{x : x∈ M (x)}
(M3)
если
ξ∈ Ω
некоторый элемент
Условие (M3) достаточно проверить только для X ∈F.
Определим непрерывное отображение F :Ω
Пусть множество
всех x ∈ L за исключением конечного числа точек. Аналогичным образом определим множество
—
x∈L
конечно при любом
локально-конечное семейство(т. е. множе ство
x∈ L);
∪{M(x):x∈X}
FXξ
пространства
(Fξ
⊂ Ω состоит из тех η, для которых ηx= ξxпри
ξ
и
X ⊂ L
,то
(Fx(ξ|M(x)))
ΩX.
→ Ω равенством
)x= Fx(ξ|M(x)).
⊂ Ω.ТогдаF отображает
ξ
есть
x∈X
в
ξ
Fξ
.
44 ГЛАВА 2
Мы будем называть F морфизмом изL, (Ω
вL, (Ω
(M4)
на
Fξ
, (ΩΛ)
x)x∈L
для всякого
.
, если выполняется условие
Λ∈F
ξ∈ Ω
ограничение
F |
x
)
, (Ω
x∈L
является биекцией
ξ
∈F
)
Λ
Λ
Заметим, что различные семейства (F
могут определять одно
x)x∈L
и то же отображение F и, следовательно, один и тот же морфизм. Легко проверить, что тождественное преобразование пространства Ω являет-
ся морфизмом (тождественным морфизмом) и что композиция двух морфизмов дает снова морфизм (см. упражнение 1). Предположим, что F
морфизм изL, (Ω
FF
и FF — тождественные преобразования Ω и Ωсоответственно. В этом
x)x∈L
, (ΩΛ)
Λ∈F
вL
, (Ω
x
)
∈ L, (Ω
x
)
Λ∈F
Λ
ичто
случае будем называть F изоморфизмом.
2.2. Пример
, (Ω
Λ
)
x∈L
x
∈F,
)
Λ∈F
Предположим, что задана решетчатая система (L, (Ω
Ω
(
Λ
подмножества. Положим Ω
F
x
нечных Λ ⊂ L, для каждого из которых существует такое Λ
что Λ
жить
(F
x)x∈L
вL, (Ω
)
).Пусть(M (x))
Λ∈F
:Ω
→ Ωxтождественным. Определим F как совокупность ко-
M(x)
∩ M (x) = ∅ при всех x ∈ Λ. Для таких Λ можно поло-
ΩΛ=(ξ|M(x))
определяет некоторый морфизм F изL, (Ω
x)x∈L
, (ΩΛ)
, в действительности являющийся изоморфизмом.
Λ∈F
— разбиение множества Lна конечные
x∈L
x
x∈Λ
=Ω
: ξ∈ Ω
и будем считать отображение
M(x)
∪{M(x):x∈Λ}
.Очевидно,семейство
)
x∈L
x
2.3. Взаимодействие FΦ
—
,
Пусть Φ — морфизм, определенный семейством (Fx)
граф 2.1). По заданному взаимодействию Φ дляL, (Ω
определим взаимодействие F
∗
Φ дляL, (Ω
)
, (Ω
x∈L
x
ством
∗
(F
Φ)(ξ)=
X:∪{M (x):x∈X}=X
Φ(FXξ), если ξ∈ Ω
x∈L
x)x∈L
)
Λ∈F
Λ
(см. пара-
, (ΩΛ)
равен-
.
X
Λ∈F
2.4. ЛЕММА 45
В силу условия (M2) эта сумма конечна. С помощью (M3) получаем
∗
||F
Φ||
Заметим, что F
=
x
Xx
ξ∈Ω
sup
|(F∗Φ)(ξ)|
X
Xx,
X:∪{M (x):x∈X}=X
=
X:∪{M (x):x∈X}x
ξ∈Ω
ξ∈Ω
sup
X:X ∩{x:x∈M(x)}=∅
∗
Φ зависит от семейства (Fx)
sup
X
|Φ(FXξ)|
X
sup
ξ∈Ω
X
|Φ(FXξ)| =
|Φ(ξ)|
x:x∈M(x)
, анетолькоотморфизмаF .
x∈L
||Φ||x.
2.4. Лемма
η
Λ
μ
(Fx)
exp[−U
∈Ω
Λ
F∗Φ
(Λ
)ξ
x∈L
exp[−U
Условные вероятности
и не зависят от семейства
μ
F∗Φ
(Λ
)ξ
L\Λ
{ξ
} =
Λ
где U, W отвечают взаимодействию F
exp[−U
=exp
=exp
(η
) − W
Λ
Λ
⎡
⎣
−
X:X∩Λ=∅
⎡
⎣
−
X:∪{M (x):x∈X}∩Λ=∅
Λ,L\Λ
(η
Λ
X:∪{M (x):x∈X}=X
=
X:∪{M (x):x∈X}∩Λ=∅
Другой выбор семейства (F
exp[−Φ(F (η
x)x∈L
{ξ
}
зависят только от морфизма
L\Λ
Λ
. По определению
Λ
∨ ξ
(ξ
Λ
Λ
∗
Φ.Тогда
\Λ
L
) − W
(η
Λ
)] =
Φ(FX((η
Λ,L\Λ
) − W
(ξ
Λ,L\Λ
Λ
Λ
∨ ξ
∨ ξ
\Λ
L
(η
∨ ξ
Λ
)|X))
\Λ
L
⎤
Φ(F (η
∨ξ
\Λ
Λ
L
∨ξ
\Λ
Λ
L
⎦
)|X)
=
)|X)]. (2.2)
дал бы то же самое выражение, если
F
)]
,
)]
\Λ
L
(2.1)
⎤
⎦
=
не считать изменений в множествах M (x). Однако выражение (2.1) осталось
бы неизменным благодаря сокращениям в числителе и знаменателе.
46 ГЛАВА 2
2.5. Предложение
Если
Fσ
— гиббсовское состояние наΩдля взаимодействия
Пусть ξ
множеств L и L
σ
— гиббсовское состояние на
∈ Ω,ξ= Fξ∈ Ω ипустьΛ, Λ— конечные подмножества
соответственно. Положим
ξ
= ξ|Λ,ξ
Λ
= ξ|(L \ Λ),ξ
L\Λ
Ω
для взаимодействия
Φ.
= ξ|(L\ Λ).
\Λ
L
В силу (M4) для любого Λ и любого достаточно большого Λ
такая биекция f множества
A = {η
∈ ΩΛ: ηΛ∨ ξ
Λ
определено}
L\Λ
на множество
{η
∈ Ω
Λ
: η
Λ
∨ ξ
Λ
определено и F(η
\Λ
L
∨ ξ
Λ
)|(L \ Λ) = ξ
\Λ
L
что
F ((fη
Обозначим через P отвечающую мере σ
события (Fη
= ξ
L\Λ
)|Λ=ξΛпри условии, что η|(L\Λ)=ξ
. Так как σ— гиббсовское состояние, мы имеем
F∗Φ
μ
(Λ
)ξ
μ
exp[−U
exp[−U
L\Λ
F∗Φ
(Λ
)ξ
L\Λ
Λ
P =
ηΛ∈A
=
ηΛ∈A
) ∨ ξ
L
\Λ
Λ
{fξΛ}
{fηΛ}
(fξΛ) − W
(fηΛ) − W
Λ
)=ηΛ∨ ξ
=
Λ,L\Λ
Λ,L\Λ
. (2.3)
L\Λ
(dη) условную вероятность
и (Fη)|(L\Λ) =
\Λ
L
((fξΛ) ∨ ξ
((fηΛ) ∨ ξ
L
\Λ
L
)]
\Λ
F∗Φ,
существует
L\Λ
.
)]
то
},
Используя (2.2) и (2.3), получим
X:∪{M (x):x∈X}∩Λ=∅
P =
ηΛ∈A
X:∪{M (x):x∈X}∩Λ=∅
exp[−Φ(ξΛ∨ ξ
exp[−Φ(ηΛ∨ ξ
L\Λ
|X)]
L\Λ
|X)]
.
2.6. ЗАМЕЧАНИЯ 47
Множители с X ∩Λ=∅ в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому
exp−
X:X ∩Λ=∅
Φ(ξΛ∨ ξ
P =
exp−
ηΛ∈Ω
Λ
Это выражение не зависит от ξ
ре σ
(dη) условная вероятность того, что (Fη)|Λ=ξΛ, при условии
)|(L \ Λ) = ξ
(Fη
L\Λ
X:X ∩Λ=∅
Φ(ηΛ∨ ξ
\Λ
L
также равна μ
с условной вероятностью того, что η|Λ=ξ
отвечающей мере (Fσ
)(dη). Таким образом, Fσ— гиббсовское состояние
|X)
L\Λ
Φ
L\Λ
= μ
|X)
(Λ)ξ
L\Λ
{ξΛ}.
; следовательно, отвечающая ме-
Φ
(Λ)ξ
L\Λ
. Но тогда она совпадает
{ξΛ}
, при условии η|(L \Λ) = ξ
Λ
L\Λ
для взаимодействия Φ.
2.6. Замечания
,
Если F ◦ F— морфизм, полученный при помощи композиции двух
морфизмов, F и F
если F ◦ F
В случае, когда I — тождественный морфизм системы (L, (Ω
(
ΩΛ)
) и Φ — взаимодействие, из леммы 2.4 вытекает, что Φ и I∗Φ
Λ∈F
, то, как нетрудно проверить (см. упражнение 1),
)∗
(F ◦ F
= F∗F∗, (2.4)
определяется подходящим семейством (˜Fx)
x∈L
.
x)x∈L
определяют одни и те же условные вероятности
I∗Φ
μ
а потому имеют одинаковые гиббсовские состояния.
Всякий изоморфизм F :Ω
совских состояний на Ω
{ξΛ} = μ
(Λ)ξ
L\Λ
→ Ω порождает биекциею множества гибб-
,отвечающихF∗Φ, на множество гиббсовских
Φ
{ξΛ}, (2.5)
(Λ)ξ
L\Λ
состояний на Ω,отвечающихΦ. Это вытекает из предложения 2.5 и соотношений (2.4), (2.5).
2.7. Системы условных вероятностей
Для каждого конечного Λ ⊂ L положим
∗
= {ξ :(∃ξ∗∈ Ω) ξ = ξ∗|(L \ Λ)}.
Ω
L\Λ
,
48 ГЛАВА 2
Это множество замкнуто в Ω
сти μ
||Φ||
x
условиям.
(a)
ηΛ∈Ω
ко том случае, когда
(b)
множестве
(c)
∨ξ
L\M
μ
(Λ)ξ
{ξΛ} для всех допустимых взаимодействий Φ (т. е. таких, что
(Λ)ξ
L\Λ
< ∞ при всех x — см. параграф 1.2) удовлетворяет следующими
Если
μ
(Λ)ξ
Λ
Если
∗
Ω
L\Λ
Пусть
∈ Ω.
Тогда
M\Λ∨ξL\M
ξ
L\Λ
{ηΛ} =1.
L\Λ
ξΛ∈ Ω
является непрерывной.
Λ ⊂ M,ξΛ∈ Ω
{ξΛ}×
∗
∈ Ω
L\Λ
ξΛ∨ ξ
L\Λ
, то действительная функция
Λ
μ
η∈Ω
Λ
(см. параграф 1.5). Условные вероятно-
L\Λ
и
ξΛ∈ ΩΛ,
Кроме того,
μ
(Λ)ξ
то
{ξΛ} > 0
L\Λ
μ
(Λ)ξ
{ξΛ} 0
L\Λ
втомитоль-
∈ Ω.
ξ
→ μ
L\Λ
,
ξ
Λ
(M)ξ
M\Λ
L\M
∈ Ω
{η ∨ξ
M\Λ
M\Λ
,
ξ
L\M
} = μ
∈ Ω
(M)ξ
L\M
L\M
{ξΛ∨ξ
и
(Λ)ξ
ξΛ∨ξ
L\Λ
M\Λ
M\Λ
на
}.
Утверждения (a) и (b) вытекают из параграфа 1.5, а утверждение (c) согласуется с интерпретацией чисел μ
{ξΛ} как условных вероятностей и
(Λ)ξ
L\Λ
может быть проверено прямым вычислением.
Семейство (μ
), удовлетворяющее условиям (a),(b),(c), будем на-
(Λ)ξ
L\Λ
зывать системой условных вероятностей. Основная часть развитой выше
теории, имеющей дело с взаимодействиями, приложима (с тривиальными
изменениями) и к системам условных вероятностей.
Определение гиббсовского состояния (см. параграф 1.5) не меняется. Покажем, что любой термодинамический предел мер μ
(с ξ
L\Λ
Отвечающая мере α
при условии η|(M \ Λ) = ξ
∈ Ω
∗
) является гиббсовским состоянием. Пусть Λ ⊂ M ⊂ N ⊂ L.
L\Λ
P =
=
MN
ηΛ∈Ω
ηΛ∈Ω
α
η
N\ M
μ
(N)ξ
MN
αMNμ
Λ
η
Λ
N\ M
условная вероятность того, что η|Λ=ξΛ,
L\N
равна
M\Λ
μ
μ
(N)ξ
(N)ξ
μ
L\N
(N)ξ
L\N
(N)ξ
{ξΛ∨ ξ
{ηΛ∨ ξ
L\N
{ξΛ∨ ξ
{ηΛ∨ξ
L\N
M\Λ
M\Λ
}
M\Λ
∨ η
M\Λ
}
N\M
∨ η
=
}
N\M
.
}
(Λ)ξ
L\Λ
Если это выражение не имеет смысла, то мы можем определить P произвольным образом. Используя условие (c), получим
=
P =
η
N\ M
μ
((N\M)∪Λ)ξ
η
N\ M
μ
(Λ)ξ
M\Λ∨ηN\ M∨ξL\N
M\Λ∨ξL\N
{ξΛ}
{ξΛ∨ η
μ
((N\M)∪Λ)ξ
η
Λ
N\M
} =
M\Λ∨ξL\N
{ηΛ∨η
N\M
}.
и
∨
2.8. СВОЙСТВА ГИББСОВСКИХ СОСТОЯНИЙ 49
Условие (a) показывает, что P получается из
μ
(Λ)ξ
M\Λ∨ηN\ M∨ξL\N
усереднением по η
с некоторыми весами. В силу условия непрерывно-
N\M
сти (b) колебание этой величины как функции от η
{ξΛ}
N\M∨ξL\N
равномерно
стремится к нулю при M →∞.
Отсюда следует, что термодинамический предел мер (μ
(Λ)η
L\Λ
) явля-
ется гиббсовским состоянием.
2.8. Свойства гиббсовских состояний
Доказательства утверждений главы 1, начиная с теоремы 1.8, применимы с очевидными изменениями и в рассматриваемой ситуации. Точнее
говоря,
систем условных вероятностей. Характеризация чистых гиббсовских состояний
и замечание
система условных вероятностей дляL, (Ω
системуF
M(x) ∩ Λ
ξ
L\Λ
Положим
дляL
то в силу (2.1) и (2.2)
Нетрудно видеть, что предложение 2.5 и замечание 2.6 применимы и к
системам условных вероятностей (если вместо F
теорема
(
теорема
Пусть морфизм F определен так же, как в параграфе 2.1, и (μ
Для конечного Λ
∗
∈ Ω
L\Λ
F
СемействоF
, (Ω
1.8
и утверждения
1.11)
и единственного гиббсовского состояния(теорема
1.14)
также сохраняются.
(b), (c), (d)
теоремы
1.9
верны и для
, (ΩΛ)
x
L
(Λ)ξ
Λ
)
x∈L
\Λ
Λ
L\Λ
μ
= μ
(Λ)ξ
F∗Φ
(Λ
x)x∈L
, (Ω
∈ Ω
∨ξ
L
{FΛ(ξ
L\Λ
)ξ
)
Λ∈F
Λ
∗
положим Λ={x ∈ L :
\Λ
L
) ∨ ξ
\Λ
∨ ξ
Λ
{FΛ(η
Λ
.
L\Λ
∗
Φ взять (F∗μ
F (η
L\Λ
L\Λ
⊂ Lидляξ
Λ
∨ ξ
Λ
{ξ
Λ
∗
μ
(Λ)ξ
, (Ω
Λ
F
дляL
∨ξ
L
\Λ
L
} =
L\Λ
)
Λ∈F
∗μΦ
(Λ
, (Ω
∈ Ω, то
\Λ
)=FΛ(η
μ
η
∈Ω
Λ
служит системой условных вероятностей
. Заметим, что если Φ — взаимодействие,
)ξ
L\Λ
∗
μ
(Λ)ξ
= ∅}. Тогда в силу свойств морфизма найдется такое
,чтоеслиη
∗
μ
(Λ)ξ
)
x∈L
x
. Введем теперь
Λ∈F
.
.
L\Λ
)}
\Λ
L
∨ ξ
\Λ
L
)}
(Λ)ξ
.
(Λ)ξ
L\Λ
L\Λ
1.13
) —
)).
50 ГЛАВА 2
2.9. Замечание
Преимущество систем условных вероятностей перед взаимодействиями состоит, с одной стороны, в том, что это объекты априори более общей
природы, а также в том, что они лучше ведут себя под действием морфизмов. В самом деле, если F — морфизм, то отображение F
∗
определено
однозначно на системах условных вероятностей, но не на взаимодействиях. Кроме того, на системах условных вероятностей морфизмы действуют
функториально в том смысле, что (F ◦F
)∗
= F∗F∗и I∗— тождественное
преобразование, если I — тождественный морфизм.
Однако в некоторых случаях системы условных вероятностей не явля-
ются естественным объектом исследования
1
, поэтому всегда полезно иметь
в своем распоряжении взаимодействия.
Комментарии
Эта глава носит до некоторой степени формальный характер и пред-
ставляет собой попытку устранить произвол в выборе L, (Ω
и взаимодействий Φ, описанных в главе 1. Это достигается с помощью поня-
тия изоморфизмамежду «решетчатыми системами»L, (Ω
и сопоставления каждому взаимодействию «системы условных вероятностей». Можно определить не только изоморфизм решетчатых систем, но,
что более интересно, и морфизм. Морфизмы действуют на системы условных вероятностей контравариантно, а на гиббсовские состояния — ковариантно. С их помощью можно формализовать некоторые процедуры, обычно
применяемые в статистической механике
2
.
Определение системы условных вероятностей см. в работе Салливана [1]. Остальные результаты этой главы в значительной степени оригинальны.
x)x∈L
x)x∈L
, (ΩΛ)
, (ΩΛ)
Λ∈F
Λ∈F
Упражнения
1. Пусть F, F— морфизмы,
F :L
F
:L, (Ω
1
Из-за того, что для них нельзя определить давление P , когда имеется инвариантность
относительно сдвигов (см. главы 3,4).
2
См. свед´ение к транзитивным и перемешивающим системам в теоремах 5.2, 5.3. Другой
пример — использование «контуров» при изучении модели Изинга с нулевым магнитным
полем.
, (Ω
)
x∈L
x
)
x∈L
x
, (Ω
Λ
, (Ω
)
Λ∈F
Λ
)
Λ∈F
→L, (Ω
→
x)x∈L
L
, (Ω
, (ΩΛ)
)
x∈L
x
Λ∈F
, (Ω
,
)
Λ∈F
,
Λ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]