Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 211
Спомощьюπ отождествим X с некоторым подмножеством множества'X так, что'f, 'g станут продолжениями f , g и J
='Ji∩ X, i =
i
=1, ..., N.Тогда'Y ='X \X будет объединением некоторого множества
открытых интервалов (U
ром'J
, и для каждого Uαнайдется такое n 0,чтоUα,'fUα, ...,'fnU
i
), каждый из которых содержится в некото-
α
α
будут интервалами из семейства (Uα), причем 'g|'fnUα=0.Каждыйинтервал U
будет отделен от интервалов Uβсверху или снизу некоторой
α
точкой x ∈'X \'Y .
Отображение'Φ →'Φ|X определяет изоморфизм'B
пространств.
→Bбанаховых
\Y
Напомним, что по предположению J
<...<JN,аε(i) равно +1
1
и −1,еслиf соответственно возрастает или убывает на J
Пусть X
i1...i
воначальным порядком, если
k
если
ε(ir)=−1.Приi1= j1, ..., i
r=1
X
i1...i
X
i1...i
и J
i1...iki
k
k
k
— копии множеств X и Ji. Снабдим их пер-
k
ε(ir)=+1, и противоположным порядком,
r=1
= j
, il<jlположим
l−1
l−1
ε(ir)=+1,
r=1
l−1
ε(ir)=−1.
r=1
<X
>X
j1...j
j1...j
, если
k
, если
k
l−1
Таким образом, на дизъюнктном объединении
=
i1...i
k
X
i1...i
k
X
(k)
вводится некоторый порядок. Положим X
Ограничение f на J
определяет отображения Ji→ X и
i
J
i1...iki
=
i1...iki
k+1
→ X
J
k+1
(0)
= X.
i1...i
i1...iki
,
k+1
k+1
.
i
,k 1,
а также отображение
π
(k)
: X
(k)
=J
i1...iki
k+1
→ X
(k+1)
,
212 ГЛАВА 9
(k)
(k)
k+1
(k)
.
которое является сохраняющим порядок гомеоморфизмом множества X
на его образ π
(k)X(k)
Определим отображение 'π
+
(k)
'π
(x)=
min или max J
⊂ X
(k+1)
(k)
π
i1...i
.
(k)
(k+1)
: X
−1
x, если x ∈ π
, если x ∈ X
k+1
→ X
(k)
равенством
(k)
J
i1...i
i1...i
k+1
k+1
\ π
,
(k)
J
i1...i
где выбор максимума или минимума определяется требованием, чтобы 'π
не убывало. В частности, отображение 'π
Определим'X = lim
π
(0)
←−− X
X
ипусть'π :'X → X
(0)
(0)
(k)
X
←
(1)
как обратный предел
←− ... ←− X
= X — соответствующее отображение. Множество'X
(k)π(k)
π
(k)
←−− X
тождественно на X
(k)
(k+1)
←− ...
компактно и упорядочено, его можно рассматривать как компактное подмножество прямой; отображение 'π непрерывно и сохраняет порядок. Опре-
делим также отображение π : X →'X равенством
(0)
πx =(x, π
x, π
(1)π(0)
x, . . . ).
Оно сохраняет порядок, является гомеоморфизмом множества X на его
образ и обладает тем свойством, что 'ππ тождественно на X.
Положим
(0)
J
= Ji,J
i
(k+1)
i
=
i1...i
X
k
ii1...i
k
⊂ X
(k+1)
,k+1 1.
,
Поскольку X
ii1...i
k
и X
i1...i
— копии множества X, существуют есте-
k
ственный монотонный гомеоморфизм множества J
но-монотонное отображение
(k)
(k+1)
: X
f
(k+1)
=
J
i
i
→ X(k).
Легко проверить, что
(k+1)
f
(k)
f
◦ 'π
◦ π
(k+1)
(k+1)
= 'π
= π
(k)
(k)
◦ f
◦ f
(k+1)
(k)
(k+1)
i
,
.
на X
(k)
икусоч-
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 213
Если ξ = {x0,x1, ..., xn, ...}∈'X,положим
'
fξ =f
(0)
x1,f
(1)
x2, ..., f
(n)
x
n+1
,....
Отображение'f на множестве
'
J
= lim←J
i
(k)
i
= 'π−1J
i
есть гомеоморфизм этого множества на'X, сохраняющий порядок, если
ε(i)=+1, и меняющий его на обратный, если ε(i)=−1. Тем самым,'f —
кусочно-монотонное отображение'X →'X,причем
'
f ◦ π = π ◦ f
, ...,'JN) — марковское разбиение для'f.Крометого,'Ji=
и ('J
1
−1
('π ◦π)Ji⊃ πJi.
= 'π
Пусть χ
[min πJ
i
получим функцию ограниченной вариации (так как Var χ
— характеристическая функция объединения N интервалов
1
, max πJi] в'X.Положив
'g(ξ)=χ
(ξ) ◦g('πξ),
1
2N и
1
Var g ◦'π =Varg).
Для любой тройки α =(n, i, ε),гдеn 0, 1 i N и ε = ±1,
положим
Uα = {ξ =(x
где ≷ означает <,еслиε = −1,и>,еслиε =+1.Втакомслучае
='X \πX ='Y .Еслиn>0,тоfU
мейства (U
(k+1)π(k+1)
f
/∈ π
x
1
) (чтобы убедиться в этом, надо воспользоваться равенством
α
= π
(0)
Ji,т.е.χ1(ξ)=0и, значит, 'g(ξ)=0.
Заметим, что интервал U
или снизу от него, точкой π'πU
0,x1
x
k+1
(k)f(k)
,...) ∈'Ji:
(k)
= π
xkдля k =0, ..., n− 1 и x
n+1
≷ π
(n)
xn},
α
есть некоторый элемент Uβсе-
α
). Если n =0, то включение ξ ∈ Uαозначает, что
отделен от интервалов Uβ, лежащих сверху
α
.
α
Uα=
Ограничение'Φ →'Φ ◦ π определяет не увеличивающее норму отобра-
жение'B→B,нодлякаждогоΦ ∈Bможно найти такое'Φ,чтоVa r'Φ=
=VarΦ. Тем самым, отображение'Φ →'Φ ◦ π определяет некоторый изо-
морфизм'B
\Y
→B.
214 ГЛАВА 9
Предложение9.4 (построение образующего разбиения ('J1,...,'JN)1).
По заданному разбиению (J
, ..., ,'JN) и сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отобра-
('J
1
жение π : X →'X,что'f ◦ π = π ◦ f, 'g(ξ)=g(π
, ..., JN) можно выбрать такие ('X,'f, 'g),
1
−1
ξ),еслиcard π−1ξ =1,
и πJi='Jiпри i =1, ..., N. Кроме того, ('J1, ...,'JN) — образующее
разбиение.
Множество'Y = {ξ ∈'X :cardπ
валы U
= π−1ξ с ξ ∈'Y имеют вид
α
такой интервал в другой интервал U
отображение'Φ →'Φ ◦ π определяет изоморфизм банаховых пространств
'
B
→B\Y,гдеY = π
\Y
Если (J
, ..., JN) марковское разбиение, то ('J1, ...,'JN) — образу-
1
−1
'
Y =
α
−1
ξ>1} счетно; замкнутые интер-
f−kJ
k0
из того же семейства: fUα⊂ Uβ;
β
; f отображает каждый
i(k)
Uα.
ющее марковское разбиение. Каждая точка ξ ∈'Y является предельной
для'X \'Y и один из концов каждого интервала U
является предельной
α
точкой для X \Y .
При x, y ∈ X будем писать x ∼ y,еслиf
принадлежат одному и тому же J
.ТаккакJ1, ..., JNпопарно не пе-
i(k)
k
x, fky при всех k 0
ресекаются, мы получаем отношение эквивалентности. Каждый класс эквивалентности [x] — это замкнутый интервал, который мы обозначим U
если он содержит более одной точки. В этом случае diam U
может иметь место лишь для счетного множества интервалов U
π : X →'X стягивает каждый интервал U
вточку.Тогда'X оказывается
α
> 0,что
α
α
α
.Пусть
компактным подмножеством прямой, π сохраняет порядок и вне некоторого
−1
счетного множества'Y выполняется равенство card π
Соотношения'f ◦ π = π ◦f и πJ
разбиение ('J
, ...,'JN). По построению это разбиение является образую-
1
='Jiопределяют'f и связанное с'f
i
x =1.
щим.
В данный момент мы накладываем на 'g лишь условие, что 'g(ξ)=
−1
= g(π
ξ),еслиcard π−1ξ =1; разумеется, оно согласовано с неравенством
Var 'g<∞.
Поскольку ограничение f на U
реводит U
card U
> 1.
β
1
Для случая интервала всм. Балади, Рюэль [2].
2
Дальнейшие условия будут наложены в замечании 9.5(1) и предложении 9.9 (см. ниже).
=
k0
f−kJ
i(k)
α
в
k1
(⊂ Ji) — это гомеоморфизм, f пе-
−k+1
f
α
J
i(k)
=
f−kJ
k0
i(k+1)
= Uβ,где
2
,
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 215
Отображение'B
норму. Но если Ψ ∈B
дется Φ, постоянное на каждом U
→B\Y, переводящее'Φ в'Φ ◦ π, не увеличивает
\Y
, то в классе, которому принадлежит Ψ,най-
\Y
итакое,чтоVa r Φ = Ψ.Поэтому,
α
положив Φ='Φ ◦ π,мыполучимVar'Φ=VarΦ=Ψ.Отсюдаследует,
что'B
→B\Y— изоморфизм.
\Y
Ясно, что если (J
, ..., JN) — марковское разбиение, то ('J1, ...,'JN)
1
тоже марковское разбиение и'X = πX — канторово множество. Так как
'
Y — счетное множество, каждая его точка является предельной для'X \'Y .
Следовательно, каждое U
содержит предельную точку множества X \Y .
α
Замечания 9.5. (1) π определяет инъективное отображение
−
fm→ Fix
Fix
−
идляx ∈ Fix
[Так как'f
−
⊂ Fix
'
f
Тогда ξ ∈ Fix
точки ξ,такчтоm = kp, n = kq,гдеp и q — нечетные числа. Посколь-
kpq
ку f
индуцирует убывающее отображение π−1ξ → π−1ξ,неподвижные
fmможно положить 'g(πx)=g(x).
m
m
◦π = π ◦fm, мы имеем π Fix fm⊂ Fix'fmи π Fix−fm⊂
.Предположим,чтоx ∈ Fix−fm, y ∈ Fix−fnи πx = πy = ξ.
−
k
'
и можно предположить, что k — минимальный период
f
точки x и y совпадают. Следовательно, π
цательной периодической точки для f и отображение Fix
инъективно. Инъективность отображения Fix−fm→ Fix
возможность положить 'g(πx)=g(x) при x ∈ Fix
(2) Если f — кусочно-растягивающее (т. е. f|J
циентом θ
−1
> 1 при i =1, ..., N), то (J1, ..., JN) —образующее
−
m
'
f
,
−1
ξ содержит не более одной отри-
−
−
fm→ Fix
−
m
'
→'X дает
f
fm].
растягивает с коэффи-
i
−
m
'
f
разбиение. Тогда отображение π, построенное в предложении 9.4, — тожде-
ственное.
(3) Конструкции предложений 9.3 и 9.4 можно применять последовательно, причем они почти коммутируют. Независимо от порядка их при-
менения получаются полный сдвиг ('X,'f) и отображение π : X →'X,удовлетворяющее соотношению'f ◦ π = π ◦ f. Но в зависимости от этого
порядка g соответственно переходит в отображения 'g
и 'g2, которые могут
1
быть различны. Если, однако, при построении этих отображений сделан
соответствующий выбор, то на множестве πX они будут совпадать.
Следствие 9.6. Пусть 0=a
0<a1
< ... <aN=1. Предположим,
что отображение f :[0, 1] → [0, 1] непрерывно и строго монотонно на
интервалах [a
1
f и g вточкахa1, ..., a
],аg имеет ограниченную вариацию1. Пусть, далее,
i−1,ai
могут принимать по два значения, см. замечание 9.2(2).
N−1
216 ГЛАВА 9
(#X,#f, #g), (#J1, ...,#JN) и #π1получены в результате применения предложения 9.1 к ([0, 1],f,g), ([a
и #π
— в результате применения предложения 9.4 к (#X,#f, #g), (#J1, ...,#JN).
2
Тогда #π
но положить 'g(#π
определяет биекцию Fix
2
x)=g(x).
2
Каждое множество #π
связно). Если ξ ∈ Fix
довательно, #π
−1
2
Отсюда видно, что #π
−
ξ содержит некоторую неподвижную точку x ∈ Fix
2
], ..., [a
0,a1
−1
ξ есть, по построению, интервал в R (т.е. оно
2
m
'
,то#fmпереводит этот интервал в себя и, сле-
f
отображает Fix
−
m
#
f
N−1,aN
→ Fix
−
]),а('X,'f, 'g), ('J1, ...,'JN)
−
m
'
идляx ∈ Fix
f
на Fix
−
m
'
, и доказываемое
f
m
#
f
−
f
#
m
мож-
−
m
#
f
следствие вытекает из замечания 9.5(1).
Предложение 9.7 (построение функции 'g, непрерывной в перио-
дических точках). Если (J
, ..., JN) — образующее разбиение и S —
1
множество периодических точек, то можно так выбрать ('X,'f, 'g), раз-
биение ('J
отображение 'π :'X → X,что'J
'g(ξ)=g('πξ) при 'πξ /∈ S и 'g непрерывно на множестве 'π
('J
, ...,'JN), вообще говоря, не является образующим. При отображе-
1
, ...,'JN) и сохраняющее порядок сюръективное непрерывное
1
= 'π−1Jiпри i =1, ..., N, 'π ◦'f = f ◦'π,
i
−1
S. Разбиение
нии 'π прообразы точек некоторого счетного множества двухточечны, а
прообразы остальных точек одноточечны. Кроме того, энтропия'h любой
'
f-инвариантной вероятностной меры удовлетворяет соотношению'h =
= h ◦π, вследствие чего'h полунепрерывна сверху.
Существует счетное множество Y ,содержащее{x∈X:card'π
−1
x =
=2}, а также все периодические точки разрыва функции g и такое, что
fY ⊂ Y икаждаяточкаy ∈ Y является предельной точкой множе-
−1
ства X \Y . Соответственно, если'Y = 'π
Y ,то'f'Y ⊂'Y икаждая
точка из'Y является предельной для'X \'Y .
Отображение Φ → Φ ◦ 'π индуцирует изоморфизм B
ховых пространств.
\Y
→'B
\Y
бана-
Если X — канторово множество, то и'X — канторово множество.
Пусть X
, X1, X2состоят из тех точек множества X, которые соот-
0
ветственно изолированы, служат односторонними пределами точек из X
и служат двусторонними пределами точек из X.Точкаx ∈ X
может быть концом интервала J
физм, мы снова получаем fx ∈ X
fX
⊂ X1∪ X2и, разумеется, fX0⊂ X0∪X1∪ X2.
1
Пусть S
= S1, fS2= S2.
fS
1
= S ∩ X0, S1= S ∩ X1, S2= S ∩ X2.ТогдаfS0= S0,
0
и, так как f|Ji— монотонный гомеомор-
i
. Тем самым, fX2⊂ X2.Аналогично,
2
∩ Jiне
2
.
9.2. ПОСТРОЕНИЕ НОВЫХ СИСТЕМ 217
Положим Z0= S2и определим индуктивно Zkравенством
Z
= f−1Z
k
\ ({концы интервалов Ji}∪Z0).
k−1
Чтобы построить'X, заменим каждую точку ξ ∈ Z =
<ξ+.Еслиη = fkξ,гдеξ ∈ Zkи η имеет период l, вставим между
ξ
−
ξ
и ξ+пробел длины εα
−
стягивающее отображение,'J
k+l
(где 0 <α<1/N ). Пусть 'π :'X → X —
= 'π−1Jiи'f — отображение, однозначно
i
определяемое равенством 'π ◦'f = f ◦'π иусловием,что'f|'J
гомеоморфизм множества'J
Положим Y = S
1
Поэтому в Y содержатся периодические точки разрыва g;крометого,Y
содержит {x ∈ X :card'π
выводу, что fY ⊂ Y .Положив'Y = 'π
на некоторый интервал в'X.
i
∪ Z. Функция g непрерывно в точках множества S0.
−1
x =2} = Z,атаккакfZ ⊂ Z,мыприходимк
−1
Y и пользуясь равенством 'π ◦'f =
Zkдвумя точками,
k0
— монотонный
i
= f ◦'π,получим'f'Y ⊂'Y .
Покажем теперь, что каждая точка множества'Y является предельной
−1
для'X \'Y . По предположению, каждая точка ξ ∈ 'π
предел (односторонний) других точек из'X. Индукцией по k это свойство
доказывается и для точек ξ ∈ 'π
тельно, всякая точка ξ ∈'Y = 'π
−1
Zk(вспомним, что Z0= S2). Следова-
−1
(S1∪ Z ) служит пределом других точек
S1∪ 'π−1S2—это
из'X. Отсюда, как и при доказательстве предложения 9.1, вытекает, что ξ —
предельная точка множества'X \'Y (в противном случае нашлась бы такая
окрестность V точки ξ,чтоV ∩'X = V ∩'Y , и можно было бы построить
канторово множество K ⊂'X, для которого ξ ∈ K ⊂ V ,чтоневозможно
в силу счетности'Y ). Отсюда также видно, что каждая точка множества Y
является предельной для X \ Y .
При 'πξ /∈ S
положим 'g(ξ)=g('πξ).Если'πξ ∈ S1∪S2,тоξ явля-
1∪S2
ется односторонним пределом точек η, принадлежащих'X (или даже'X \'Y )
имыположим'g(ξ) = limg('πη) (этот предел существует, поскольку g имеет
ограниченную вариацию). Определенная таким образом функция 'g также
имеет ограниченную вариацию, она, кроме того, непрерывна в точках множества 'π
−1
S и удовлетворяет соотношению 'g(ξ)=g('πξ),если'πξ /∈ S.
Каждая'f-инвариантная вероятностная мера 'ρ представима в виде 'ρ =
= α'ρ
+(1− α)'ρ1,где'ρ0(соответственно, 'ρ1)—атомическая(соответ-
0
ственно, неатомическая) вероятностная мера. Так как энтропия атомической меры равна нулю, а 'π по отношению к неатомическим мерам является
218 ГЛАВА 9
изоморфизмом, справедливы равенства
'
h('ρ)=α'h('ρ
=(1−α)'h('ρ
= αh('π'ρ
)+(1− α)'h('ρ1)=
0
)=(1−α)h('π 'ρ1)=
1
)+(1− α)h('π 'ρ1)=h('π 'ρ).
0
Пользуясь тем, что (J
топологии энтропия h полунепрерывна сверху
, ..., JN) — образующее разбиение и что в слабой
1
1
, а отображение 'π непрерыв-
но, мы приходим к выводу, что и энтропия'h полунепрерывна сверху.
Доказательство того, что Φ → Φ ◦ 'π определяет изоморфизм
B
→'B
\Y
,непредставляеттрудаипосуществуаналогичнодоказатель-
\Y
ству предложения 9.1.
Наконец, в силу того, что конструкция множества'X не приводит к
появлению изолированных точек, мы заключаем, что'X — канторово мно-
жество, если таковым является X.
9.3. Функционал Θ
Для заданного компактного подмножества X ⊂ R и кусочно-монотон-
ного отображения f : X → X определим на множестве функций g ограниченной вариации функционал g → Θ (аналогичный введенному Хофбауером и Келлером для отображений интервала).
Если x — левая или правая предельная точка множества X ,положим
соответственно
g(x, −) = lim
g(x, +) = lim
Пусть также
f(x, −)=(fx, −)(соответственно, (fx, +)),
yx
yx
g(y),
g(y).
если f возрастает (соответственно, убывает) слева от x,и
f(x, +) = (fx, +) (соответственно, (fx, −)),
если f возрастает (соответственно, убывает) справа от x.
1
См. §9.7.
9.3. ФУНКЦИОНАЛ Θ 219
Назовем (x, ±) виртуальной периодической точкой, если fm(x, ±)=
=(x, ±). Периодической точке x (минимального) периода m может соот-
ветствовать либо виртуальная периодическая точка (минимального) периода 2m, либо не более двух виртуальных периодических точек (минимального) периода m.
Если x ∈ Fix f
m
,положим
Θ(x)=
$
m−1
$
$
$
$
k=0
g(fkx)
$
1/m
$
$
$
$
.
Если (x, ±) — виртуальная периодическая точка периода n,положим
Θ(x, ±)=
$
n−1
$
$
gfk(x, ±)
$
$
k=0
$
1/n
$
$
.
$
$
Для f-инвариантной вероятностной меры ρ на X определим Θ(ρ) равенством
Θ(ρ)=expρ(dx)ln|g(x)|.
Предложение 9.8. Пусть
Θ = lim
m→∞
sup
x∈X
$
m−1
$
$
$
$
k=0
g(fkx)
$
1/m
$
$
=expinfmsup
$
$
x∈X
m
m−1
1
ln |g(fkx)|.
k=0
Тогда Θ=max{Θ
точкам, Θ
Θ
=supΘ(ρ) по неатомическим f -эргодическим мерам ρ.
erg
=supΘ(x, ±) по виртуальным периодическим точкам и
vir
per
, Θ
, Θ
vir
},гдеΘ
erg
=supΘ(x) по периодическим
per
Чтобы доказать это, положим
m−1
C(m)=sup
x∈X
ln |g(fkx)|.
k=0
Тогда
C(m + n) C(m)+C(n)
и, следовательно,
lim
n→∞
1
C(m)=inf
m
1
C(m),
m
m
что оправдывает данное выше определение Θ.
220 ГЛАВА 9
Берявкачествеx поочередно периодическую точку, точку, стремящуюся к периодической, и ρ-почти любую точку, получаем Θ Θ
Остается убедиться, что Θ max{Θ
per
, Θ
, Θ
vir
}; при этом достаточно
erg
per
, Θ
, Θ
vir
erg
ограничиться случаем Θ =0.Пустьx(α), m(α) таковы, что m(α) →∞и
m(α)−1
1
m(α)
k=0
$
$
ln
g(fkx(α))
$
$
→ ln Θ.
Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно предполо-
m(α)−1
жить, что ρ(α)=
1
m(α)
ностной мере ρ на X. Эту меру мы представим в виде ρ = ρ
k=0
δ
fkx(α)
слабо сходится к некоторой вероят-
+ ρ1,гдеρ0—
0
атомическая мера (сосредоточенная на множестве периодических орбит), а
— неатомическая.
ρ
1
Выберем теперь ρ
(α) → ρ0, ρ1(α) → ρ1в смысле слабой сходимости. Если Θ
ρ
0
то ρ
=0и мы полагаем ρ0(α)=0. В противном случае возьмем δ>0 и
0
определим ρ
фиксированном α берется по длинным отрезкам значений k, для которых
точка f
(α) равенством ρ0(α)=
0
k
x(α) близка к некоторому конечному множеству периодических
(α), ρ1(α) так, что ρ(α)=ρ0(α)+ρ1(α) и
0
∗
1
m(α)
δ
fkx(α)
,гдесумма
per
=Θ
vir
=0,
∗
при
орбит. В частности, мы можем предположить, что
1
m(α)
$
∗
$
ln
g(f
k
x(α))
$
$
(α)(ln max{Θ
ρ
0
per
, Θ
}+ δ) .
vir
.
Необходимо рассмотреть лишь случай ρ
что ρ
(ln |g|)=−∞. Для заданного N>0 можно подобрать такое ε>0,
1
что если |g|
(x)=max{|g(x)|,ε},тоρ1(ln |g|ε) < −N . Заметим, что ρ
ε
=0. Вначале предположим,
1
1
приписывает нулевую меру множеству точек разрыва функции ln |g|ε,которая ограничена и имеет ограниченную вариацию, откуда следует, что
ρ
(α)(ln|g|ε) → ρ1(ln |g|ε) −N . Следовательно, для всех N 0
1
ln Θ = limρ(α)(ln|g|) ρ
(ln max{Θ
0
per
, Θ
} + δ) −N,
vir
апотомуΘ=0, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, ρ
Поскольку мера ρ
мы имеем ρ
(α)(ln|g|ε) → ρ1(ln |g|ε) и, значит,
1
ln Θ = lim ρ(α)(ln|g|) ρ
(ln |g|) > −∞ и можно подобрать такое ε>0,что
1
(ln |g|ε) ρ1(ln |g|)+ρ1δ.
ρ
1
множества точек разрыва функции ln |g|εравна нулю,
1
(ln max{Θ
0
, Θ
}+ δ)+ρ1(ln Θ(ρ
per
vir
)+δ) ,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]