Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
написать
m
L
LΦ=
Φ=
M
j=1
M
j=1
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 231
λ
Sjα· (Lj)αβσjβ(Φ) + PLΦ,
j
α, β
m
λ
Sjα· (L
j
α, β
m
)αβσjβ(Φ) + PLmΦ,
j
где Θ < |λ
собственных подпространствах операторов L и L
ному значению λ
жордановой нормальной форме (L
— кратность λj,т.е.mj=trLj.
m
j
При фиксированном m>0 обозначим через Σ
| R и (Sjα), (σjα) — сопряженные базисы в обобщенных
j
. При этом матрицы Ljможно считать приведенными к
j
m
—этоm-я степень матрицы Lj). Пусть
j
∗
, отвечающих собствен-
суммирование по всем
η
словам η длины m, т. е. по элементам множества {1, ..., N}
1
∨ — операцию сцепления двух слов
периодическое продолжение слова η и χ
ξ начинается со слова η,иχ
(L
(ξ)=0в противном случае. Тогда
η
m
χη)(ξ)=
Заметим, что для некоторой константы C
.Пустьη∗= η ∨ η ∨ ... ∈ Λ+—
∈Bтаково, что χη(ξ)=1,если
η
m−1
gτk(η ∨ξ).
k=0
1
Lmχη0 C1Θm,
вследствие чего
m−1
2
Θ
1
.
Немного изменив
m
Var L
χη m Var g ·C
Θ, мы можем игнорировать множитель m иполучить
m
,ичерез
m
Var L
1
Сцепление слова η длины m со словом ηдлины mприводит к слову η ∨ ηдлины
.
m + m
χη C2Θm.
232 ГЛАВА 9
Далее,
ζ
=
m
=
=
= ζ
где
Поскольку
η
η
M
j=1
(0)
m
ζ
m−1
k=0
(
λ
(1)
m
M
j=1
m
j
+ ζ
gτkη
λ
α, β
(1)
m
=
exp(−
m
j
M
j=1
α, β
(L
+ ζ
∗
=
Sjα(η∗) · (L
m
)αβσ
j
(2)
,
m
m
λ
j
α, β
(2)
ζ
m
∞
m=1
jβ
ζ
L
=
1
m
m−1
η
k=0
m
j
Sjα(η∗)χ
η
M
(0)
=
m
j=1
m
j
αβ
(PLmχη)(η∗).
η
(0)
m
ζ
z
m
gτk(η ∨η∗)=
(Lmχη)(η∗)=
η
)αβσjβ(χη)+(PLmχη)(η∗))=
(PLmχη)(η∗)=
+
η
η
m
mjλ
,
j
σ
jβ
)
Sjα(η∗)χη− S
η
M
=
(1 − λjz)
j=1
m
,
jα
j
,
доказываемое утверждение вытекает из нижеследующих лемм 9.16 и 9.17.
Лемма 9.16. Найдется такая константа C,что
(1)
|ζ
| CΘm.
m
Воспользуемся формулой
L
∗m
σjα= λ
m
j
β
m
L
σjβ.
j
αβ
Тогда
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 233
где K
M
(1)
ζ
m
= −
j=1
= −
j=1
= −
j=1
= −
j=1
— оператор конечного ранга, определенный равенствами
m
m
λ
j
α, β
M
m
L
j
(L∗mσjα)Sjα−
α
M
M
m
L
σ
jα
α
σjα(LmSjα− KmSjα) ,
α
K
m
σ
jβ
αβ
S
−
jα
= LmEm,
S
η
jα
η
−
Sjα(η∗)χ
η
Sjα(η∗)χ
Sjα(η∗)χ
η
η
Если Ψ
Φ)(ξ)=
(E
m
= χη· (1 −Em)Φ = χη· (Φ −Φ(η∗)),то
η
Φ(η∗)χη(ξ).
η
Var Ψη 3VarΦ,
η
=
η
=
=
так что
m
Var(L
Φ − KmΦ) = Var(Lm(1 − Em)Φ) = Var
и, следовательно, L
что и утверждалось.
Var Lmχη· Va r Ψη 3C2ΘmVar Φ
η
m
− Km 3C2Θm. Окончательно получаем
(1)
|ζ
| CΘm,
m
η
LmΨη
234 ГЛАВА 9
Лемма 9.17. Найдется такая константа C,что
(2)
|ζ
| CΘm.
m
Зафиксируем #η ∈ Λ
Y
η
где τη
— слово длины k −1, полученное из ηkсдвигом, и χ
k
,
=
k
и для каждого слова ηkдлины k положим
+
k
L
χ
− g(ηk∨ #η) ·L
η
k
Lχ
, если k =1,
η
k
k−1
χ
, если k 2,
τη
k
стическая функция множества последовательностей из Λ
с η
.Приk 2 мы получим
k
3
Var g ·C
2
k−1
χ
τη
k
Θ
2
Var Y
=Var%(g(ηk∨·) − g(ηk∨ #η)) ·L
η
k
3
Var g ·Var L
2
k−1
χ
τη
k
Через мгновение мы воспользуемся этим неравенством.
Положив η
= η, получаем
m
m−1
m
L
χη=
k=0
g(η ∨ #η) ...gτ
k−1
η ∨ #ηY
Следовательно,
(2)
ζ
=
m
(PLmχη)(η∗)=
η
m−1
=
η
k=0
g(η ∨ #η) ...gτ
k−1
η ∨ #η·PY
τkη
— характери-
η
k
, начинающихся
+
(·)&
k−1
= C3Θk.
.
τkη
∗
(η
)=a + b,
где
a =
m−1
k=0
g(η ∨ #η) ...gτ
η
m−1
b =
k=0
k−1
g(η ∨ #η) ...gτ
η
η ∨ #η
%
PY
k−1
η ∨ #η·PY
τkη
(η
∗
) −PY
(η ∨ #η).
τkη
τkη
(η ∨ #η)&,
При этом
m−1
$
$
|a|
= mPC
k=0
m−1
k=0
g(η ∨ #η) ...gτ
η
k
C1Θ
η
m−k
Θm,
1C2
а b представляется в виде
m−1
b =
k=0
откуда вытекает, что
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 235
$
Var PY
η
m−k
η ∨ #η
η
m−k
$
· varPY
m−1
C1ΘkP · C3Θ
k=0
(η
m−k
∨ #η),
τkη
|η ∨ Λ
k−1
η
m−k
k
L
PY
m−k
+
=
m−1
|b|
η
k=0
m−k
Немного изменив
PLkVar Y
η
m−k
Θ, можно избавиться от множителя m впоследнемвыра-
m−1
k=0
C4Θk· C3Θ
m−k
= mC3C4Θm.
жении и в результате получить
(2)
|ζ
| |a| + |b| CΘm,
m
что и требовалось.
Репрезентативное множество периодических точек
Начав с динамической системы (X, f) и минимального покрытия
(J
, ..., JN) и последовательно применив предложения 9.1 и 9.4, мы перей-
1
дем сначала к системе (#X,#f), а затем — к системе ('X,'f).Точкипространства'X — это последовательности (ξ
(символов), а'f — сдвиг. Если орбитаf
ки b
, ..., bs, общие концы интервалов Ji, J
1
точки x корректно определен включениями f
элементов множества {1, ..., N}
k)k0
k
x
i+1
не проходит через точ-
k0
,тообразαx =(ξk)
k
x ∈ J
. В частности, если
ξ
k
k0
∈'X
Per f иPer'f — множества периодических точек преобразований f и'f,то
существуют конечные множества P
α(Per f \P
,'P∗, для которых
∗
)=Per'f \'P∗.
∗
236 ГЛАВА 9
Назовем f -инвариантное множество S ⊂ Per f репрезентативным
множеством периодических точек,еслиα индуцирует такую биекцию
β : S \конечное множество → Per'f \ конечное множество,
что'f-период точки βx равен f-периоду точки x.
Пусть, как и в параграфе 9.1, Per
Per f \ P
, которые являются соответственно положительными (+) иот-
∗
±
(f, m) —множествоточекиз
рицательными (−) периодическими точками с минимальным периодом m.
Аналогичным образом, пусть Per
±
('f, m) —множествоточекизPer'f,ко-
торые положительны или отрицательны и имеют минимальный период m.
Заметим, что отображение α сохраняет период m точки x втомитолько
том случае, когда оно сохраняет ее знак (+ или −), но что возможны случаи,
когда x ∈ Per
ской точки ξ ∈ Per
+
(f, 2n) и αx ∈ Per−('f, n). Для положительной периодиче-
+
('f, m) \'P∗всегда найдется x ∈ α−1ξ ∩ Per+(f, m).
Если X — интервал в R, то в силу следствия 9.6 для отрицательной периодической точки ξ ∈ Per
−
('f, m) \'P∗найдется точка x ∈ α−1ξ ∩Per−(f, m),
которая к тому же единственна. Следовательно, в случае интервала всегда
существует репрезентативное множество периодических точек. Этот факт
входит в качестве пункта (a) в следующее предложение.
Предложение 9.18. Пусть f — кусочно-монотонное преобразование
компактного подмножества X прямой R и (J
1
минимальное покрытие
.Тогда
, ..., JN) — связанное с ним
1
(a) если X — интервал, то всегда существует репрезентативное мно-
жество S периодических точек;
(b) в следующих случаях само множество Per f является репрезента-
тивным множеством периодических точек:
)(J1, ..., JN) — образующее разбиение;
(b
1
(b
) X —интервалвR,аf — кусочно-аффинное отображение с
2
наклонами σ
, ..., mNнеотрицательны и Σmi> 0;
m
1
(b
3
производной Шварца
, ..., σN, удовлетворяющими условиюσ
1
) X —интервал,аf — отображение класса C3с отрицательной
2
:
Sf =
f
−
f
5
4
2
f
3
2
< 0.
f
m
i
=1,еслицелые
i
1
Как уже сказано в замечании 9.2(2), мы можем позволить f принимать по два значения в
общихконцевыхточкахb
2
Это условие можно ослабить. Будем считать, как всегда, что функция f непрерывна и
строго монотонна на интервалах J
дифференцируема на (a
справедливости пункта (b
, ..., bsсоседних интервалов Jiи J
1
=[a
i
),а|f|
i−1,ai
) (см. Престон [3]).
3
−1/2
].Предположимтакже,чтоf непрерывно
i−1,ai
строго выпукла. Эти условия достаточны для
i+1
.
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 237
Пункт (a) уже доказан.
В условиях пункта (b
) процедура, описанная в предложении 9.1, из-
1
меняет лишь конечное число периодических точек, а процедура из предложения 9.4 вообще не меняет их. Поэтому α индуцирует биекцию множеств
периодических точек по модулю конечного множества и сохраняет период.
Пусть выполнены условия пункта (b
m
Тогда f
тервале и имеет наклон =1. Поэтому существует единственная непо-
движная точка x ∈ Per
Per f \P
отображает α−1ξ в α−1ξ, является аффинным на этом ин-
±
(f, m). Тем самым, α индуцирует биекцию
→ Per'f \'P∗, сохраняющую период.
∗
Прежде чем переходить к пункту (b
)ипустьξ ∈ Per±('f, m) \'P∗.
2
), необходимо напомнить некото-
3
рые сведения, касающиеся производных Шварца. Важность условия Sf < 0
в рассматриваемом контексте впервые была отмечена Д. Зингером. Отображения интервала, удовлетворяющие этому условию, рассматривались в
работах Престона [3], де Мело [1], Мартенса [1]
состоит в том, что если Sf
< 0, Sf2< 0,тоS(f1◦ f2) < 0 и, значит,
1
1
.Фундаментальныйфакт
условие отрицательности производной Шварца сохраняется при итерациях.
Предположим, что Sf < 0 и f строго возрастает на [a, b].Тогда,как
можно проверить, f
в таком случае у f может быть на (a, b) не более одной отталкивающей
неподвижной точки (т. е. такой точки x,чтоfx = x и f
не может иметь локальных минимумов на (a, b),а
(x) > 1). Если
x — произвольная неподвижная точка отображения f,толибоfu > u для
всех u ∈ (a, x),либоfu < u для всех u ∈ (x, b),либоx —отталкивающая точка. Применим этот результат к ограничению f
m−1
f−kJ
k=0
мере одну неподвижную точку отображения f
ющей неподвижной точки отображения f
точки имеют вид lim
одной из точек деления a
,гдеξ(k) ∈ Per±('f, m). Этот интервал содержит по крайней
ξ(k)
m
инеболееоднойотталкива-
2m
. Остальные f2m-неподвижные
n→∞
2mn
f
u,где0 k<2m и fku произвольно близко к
, ..., aN.Отсюдаследует,чтомножествоперио-
0
2m
на интервал
дических орбит отображения f, не являющихся отталкивающими, конечно.
Но тогда α индуцирует биекцию
Per f \ конечное множество → Per'f \ конечное множество,
сохраняющую период.
Теорема 9.19. Пусть X — компактное подмножество прямой R,
f : X → X — кусочно-монотонное отображение, g : X → C — функция
1
См. также де Мело и ван Стрин [1*]. — Прим. ред.
238 ГЛАВА 9
ограниченной вариации и (J1, ..., JN) — минимальное покрытие, связанное
с f .
Если S — репрезентативное множество периодических точек, определим дзета-функцию ζ
равенством
S
(z)=exp
ζ
S
∞
m=1
m
z
m
x∈S∩Fix f
m
m−1
k=0
gfkx.
Если само Per f — репрезентативное множество периодических точек,
положим
ζ(z)=exp
Тогда функции 1/ζ
области имеют вид λ
ра L, причем кратности нулей и соответствующих собственных значений
одинаковы
1
.
Вслучае(b
(z), 1/ζ(z) аналитичны при |z| < Θ−1иихнуливэтой
S
−1
) предложения 9.18, когда покрытие (J1, ..., JN) —обра-
1
зующее, мы получаем теорему Балади– Келлера. В случаях (b
∞
m=1
z
m
m
x∈Fix f
m
m−1
k=0
gfkx.
,гдеλ — собственные значения трансфер-операто-
)и(b3), от-
2
носящихся к кусочно-аффинным отображениям и к отображениям с неотрицательной производной Шварца соответственно, мы можем иметь дело как
с притягивающими, так и с отталкивающими периодическими орбитами.
Для доказательства теоремы 9.19 мы последовательно применим предложения 9.1, 9.4, 9.3 и посмотрим, как при этом будут изменяться дзета-функция ζ
, параметр Θ и трансфер-оператор L.
S
Если мы изменим S на одну периодическую орбиту периода p,прохо-
дящую через точку x
∞
np
n=1
z
np
exp(−
,то1/ζS(z) изменится на
p
· p
p−1
k=0
gfkx
n
p
)
=exp(−
=1−z
p
∞
n=1
p−1
k=0
1
z
n
gfkx
p−1
p
gfkx
k=0
)
n
=
p
.
p
Последнее выражение представляет собой голоморфную функцию, не имеющую нулей при |z| < Θ
1
Кратность собственного значения λ оператора L — это размерность обобщенного соб-
ственного пространства.
−1
. Значит, при доказательстве теоремы можно
9.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 239
изменять множество S на конечное число периодических орбит. Посколь-
ку S — репрезентативное множество периодических орбит, мы можем с
помощью предложений 9.1 и 9.4 заменить ζ
функцией ζ,отвечающей
S
системе с образующим разбиением (мы определяем 'g на втором шаге в
соответствии с доказательством предложения 9.9, так что 'g(αx)=g(x),
если x ∈ S \ конечное множество). Применение же предложения 9.3 не
изменяет ζ.
Заметим, что применение предложений 9.1, 9.4, и 9.3 может лишь
уменьшить Θ (см. предложение 9.9).
Наконец, согласно предложению 9.12, все трансфер-операторы, полученные в результате последовательного применения предложений 9.1, 9.4,
и9.3,Θ-эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые собственные
значения с |λ| > Θ, кратности которых также совпадают.
Таким образом, мы пришли к ситуации, которая охватывается предложением 9.15. Этим завершается доказательство теоремы 9.19.
Следствие 9.20.
вал прямой R и J
ε: X →{−1, 0, +1} условиями: ε(a
при x ∈ (a
i,ai+1
го, возрастает f на (a
1
Пусть в условиях теоремы 9.19 X —интер-
=[ai,a
i
], i =1, ..., N. Определим функцию
i+1
)= ... = ε(aN)=0, ε(x)=±1
0
),гдезнаки+ и − выбираются в зависимости от то-
) или убывает. Определим отрицательную
i,ai+1
дзета-функцию равенством
−
ζ
(z)=exp(2
где Fix
мероморфна при |z| < Θ
где n(λ) и n
L = L
−
fm= {x ∈ Fix fm:
ε
(λ) — кратности λ как собственного значения операторов
и Lε= Lεgсоответственно.
g
∞
m
z
m
m=1
−1
и ее порядок2вточкеλ−1равен nε(λ) − n(λ),
x∈Fix−f
m−1
ε(fkx)=−1}. Тогда функция ζ−(z)
k=0
m
m−1
k=0
gfkx
)
,
Так как X — интервал, существует репрезентативное множество S периодических точек (см. предложение 9.18(a)). В соответствии с параграфом 9.5 (и следствием 9.6) S с точностью до конечного множества содержит
множество
Per−(f, m)=
m
1
Это специальный случай гипотезы из статьи Рюэля [12], частично доказанной Балади и
Рюэлем [2].
2
Мы определяем порядок мероморфной функции ζ вточкеz0как единственное n ∈,для
которого (z − z
)−nζ(z) голоморфна и не равна нулю при z = z0.
0
Fix−(f, m)
m
240 ГЛАВА 9
отрицательных периодических точек. Говоря об аналитических свойствах ζ
откуда получаем
где ζ
−
, мы можем игнорировать это конечное множество и написать
m−1
2
x∈Fix−f
m
gfkx=
k=0
x∈S∩Fix−f
=
x∈S∩Fix f
−
ζ
(z)=ζS(z)/ζ
ε
вычисляется по εg так же, как ζS—поg. Отсюда моментально
S
m−1
gfkx=
m
k=0
m−1
g(fkx) −
m
k=0
ε
(z),
S
m−1
ε(fkx)g(fkx),
k=0
следует доказываемое утверждение.
9.6. Термодинамический формализм
Теорема 9.21. Пусть X — компактное подмножество прямой R,
f : X → X — кусочно-монотонное отображение, g — неотрицательная
функция ограниченной вариации на X и (J
крытие, связанное с f .
Обозначим через I множество f -инвариантных вероятностных мер
на X,черезh(ρ) — энтропию меры ρ ∈I. Пусть R
радиус оператора L, действующего на B.Тогда
R
=max(Θ, exp P(ln g)) ,
B
, ..., JN) — минимальное по-
1
— спектральный
B
где
P (ln g)=sup
(h(ρ)+ρ(ln g)) .
ρ∈I
Из теоремы 9.10 мы знаем, что
= R = lim
R
B
m→∞
(Lm10)
1/m
Θ.
Поэтому остается доказать, что если max (R, exp P (ln g)) > Θ,тоR =
=expP (ln g). При этом можно предположить, что Θ > 0,таккакприΘ=0
мы имеем R =expP (ln g)=0.
Начнем с нескольких частных случаев, а затем перейдем к общей ситуации.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]