Статистические методы в сравнительных испытаниях. Учебное пособие

51

Результаты расчета представлены для каждого уровня j в табл. 2.15.

Уровень j

j

y

2

rj

s

rj

s

2

dj

s

2

Lj

s

2

Rj

s

Rj

s

1

10,011

0,001310

0,03619

0,001921

0,000102

0,001412

0,03757

2

19,123

0,003489

0,05907

0,010083

0,001099

0,004588

0,06773

3

36,460

0,003786

0,06153

0,015063

0,001880

0,005666

0,07527

4

69,956

0,021275

0,14586

0,077199

0,009321

0,030596

0,17492

5

0,017356

0,13174

0,012034

0,017356

0,13174

jj

m

ˆ

y 

2

1/ ,

j Nj

Ws

Nj

s

Таблица 2.15

Расчет показателей прецизионности

2.3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ

МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ И СТАНДАРТНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ

Существует регулярная связь стандартного отклонения повторяемости и стандартного отклонения воспроизводимости со среднеарифметическим значением для уровня

, которую представляют через регрес-

сионные зависимости:

Метод 1. s = bm (прямая линия, проходящая через начало координат);

Метод 2. s = a + bm (прямая линия, проходящая выше начала координат);

Метод 3. lg s = c + d lgm (или s = Cmd); d  1 (экспоненциальная зависимость).

Оценка параметров линии регрессии требует использования весовых коэффициентов 1/(ŝj)2, где ŝj представляет собой прогнозируемое стандартное отклонение повторяемости или воспроизводимости для уровня j.

Для нахождения регрессионной зависимости с наименьшими взвешенными среднеквадратичными отклонениями рассчитывают весовые коэффициенты

(2.29)

где

– оценочное стандартное отклонение повторяемости или воспро-

изводимости для последовательных итераций N = 0, 1, 2 ....

52

Для определения коэффициентов уравнений прямой рассчитывают

1

q

j

TW





2

1

ˆ

q

jj

j

T W m





2

3

1

ˆ

q

jj

j

T W m





4

1

q

jj

j

T W s





5

1

ˆ

q

j j j

j

T W m s





js0

 

2

00

1jjs/W 

jj

m

ˆ

bs11

 

2

11

1jjs/W 

jj

m

ˆ

bs22

 

1

ˆ

/

,

q

jj

j

sm

b

q





jj

mˆbsˆ

вспомогательные функции

,

. (2.30)

Начальные значения

определяют веса

являются исходными значениями sj. По ним

(j = 1, 2, …, q), вспомогательные функции и

коэффициент b1 для вычисления

для получения

и т. д.

1. Расчётные формулы для зависимости s = bm:

,

, далее рассчитывают

b = T5/T3. (2.31)

Возможен также расчет коэффициента b без итераций:

(2.32)

где q – количество уровней измеряемой характеристики.

Результаты расчёта зависимостей

методом итераций

( , ) и упрощенным методом ( , ) представлены на рис. 2.3 и приведены в табл. 2.16.

53

Стандартное отклонение повторяемости и

воспроизводимости (метод 1)

0,01

0,1

0,19

0,28

5 25 45 65 85 105

Среднее арифметическое

Стандартное отклонение

sr=bm Метод 1 sR=bm Метод 1 sr=bm sR=bm

sr исходное sR исходное

 

m

ˆ

fsˆ

 

m

ˆ

fsˆ

Стандартное отклонение повторяемости sr

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

10,011

19,123

36,460

69,956

99,938

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,03619

0,05907

0,06153

0,14586

0,13174

W1

W2

W3

W4

W5

763,636

286,611

264,118

47,003

57,618

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

–

1337916,5

–

2431,1

b

0,001817

Итерация 2

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,01819

0,03475

0,06625

0,12712

0,18160

W1

W2

W3

W4

W5

3022,019

828,234

227,835

61,887

30,324

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

– –

1514321,4

–

2751,7

b

0,001817

Рис. 2.3. Графики зависимостей

для метода 1

Таблица 2.16

Метод 1 аппроксимации

прямой линией

54

Окончание табл. 2.16

Стандартное отклонение воспроизводимости sR

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

10,011

19,123

36,460

69,956

99,938

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,03757

0,06773

0,07527

0,17492

0,13174

W1

W2

W3

W4

W5

708,462

217,962

176,499

32,684

57,618

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

–

1120737,6

–

2191,7

b

0,001956

Итерация 2

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,01958

0,03740

0,07130

0,13680

0,19544

W1

W2

W3

W4

W5

2609,160

715,083

196,709

53,432

26,181

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

– –

1307439,0

–

2556,8

b

0,001956

m

ˆ

,s

ˆ

r

 0018170

m

ˆ

,s

ˆ

R

 0019560

3 4 2 5

2

1 3 2

T T T T

a

T T T















1 5 2 4

2

1 3 2

T T T T

b

T T T















jj

mˆbas

ˆ



Таким образом

,

.

2. Расчётные формулы для зависимости s = a + bm:

, (2.33)

. (2.34)

Результаты определения зависимостей

методом итераций

приведены в табл. 2.17. Графики зависимостей представлены на рис. 2.4.

55

Стандартное отклонение повторяемости и

воспроизводимости (метод 2)

0,03

0,08

0,13

0,18

5 25 45 65 85 105

Среднее арифметическое

Стандартное отклонение

sr=a+bm Метод 2

sR=a+bm

Метод 2

sr исходное

sR исходное

 

m

ˆ

fsˆ

 

m

ˆ

fsˆ

Стандартное отклонение повторяемости sr

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

10,011

19,123

36,460

69,956

99,938

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,03619

0,05907

0,06153

0,14586

0,13174

W1

W2

W3

W4

W5

763,636

286,611

264,118

47,003

57,618

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

1419,0

31801,5

1337916,5

75,3

2431,1

а

0,026355

b

0,001191

Итерация 2

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,03827

0,04912

0,06977

0,10965

0,14535

W1

W2

W3

W4

W5

682,618

414,404

205,455

83,177

47,337

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

1433,0

32798,4

1372893,2

76,8

2499,0

а

0,026355

b

0,001191

Рис. 2.4. Графики зависимостей

Метод 2 аппроксимации

для метода 2

Таблица 2.17

прямой линией

56

Окончание табл. 2.17

Стандартное отклонение воспроизводимости sR

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

10,011

19,123

36,460

69,956

99,938

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,03757

0,06773

0,07527

0,17492

0,13174

W1

W2

W3

W4

W5

708,462

217,962

176,499

32,684

57,618

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

1193,2

25740,1

1120737,6

68,0

2191,7

а

0,029294

b

0,001283

Итерация 2

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,04214

0,05382

0,07606

0,11903

0,15749

W1

W2

W3

W4

W5

563,235

345,178

172,840

70,580

40,317

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

1192,2

27507,6

1160499,5

70,2

2294,5

а

0,029294

b

0,001283

m

ˆ

,,s

ˆ

r

 00119100263550

m

ˆ

,,s

ˆ

R

 00128300292940

1

ˆ

lg

q

j

Tm





 

2

1

ˆ

lg

q

j

Tm





3

1

lg

q

j

Ts





  

4

1

ˆ

lg lg

q

jj

j

T m s





2 3 1 4

2

21

T T T T

c

qT T















4 1 3

2

21

qT T T

d

qT T















j

s

ˆ

0

jj

mdсs lglg

111



m

ˆ

Таким образом,

,

3. Расчётные формулы для экспоненциальной зависимости lgs = c +

+ d lgm:

,

, (2.36)

. (2.37)

Аналогично методам 1 и 2 начальными значениями

являются ис-

.

, (2.35)

ходные значения sj. Их используют для вычисления c1 и d1, а также для определения

Результаты определения зависимостей s = f(

представлены в табл. 2.18. Графики зависимостей приведены на рис. 2.5.

и последующих итеративных значений.

) методом итераций

57

Стандартное отклонение повторяемости и

воспроизводимости (метод 3)

-1,5

-1,3

-1,1

-0,9

-0,7

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

lg m

lg s

lg(s r)=c+d*lg m

lg(s R)=c+d*lg m

lg(sr) исходное

lg(sR) исходное

 

m

ˆ

fsˆ

 

m

ˆ

fsˆ

Стандартное отклонение повторяемости sr

Итерация 1

lgm1

lgm2

lgm3

lgm4

lgm5

1,0005

1,2815

1,5618

1,8448

1,9997

lgsr1

lgsr2

lgsr3

lgsr4

lgsr5

–1,44144

–1,22865

–1,21090

–0,83606

–0,88028

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

–

7,6884

12,4849

–5,5973

–8,2106 – c

–2,039118

d

0,598078

Итерация 2

lgm1

lgm2

lgm3

lgm4

lgm5

1,0005

1,2815

1,5618

1,8448

1,9997

lgsr1

lgsr2

lgsr3

lgsr4

lgsr5

–1,44076

–1,27265

–1,10503

–0,93577

–0,84312

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

–

7,6884

12,4849

–5,5973

–8,2106

–

c

–2,039118

d

0,598078

Рис. 2.5. Графики зависимостей

Метод 3 аппроксимации

для метода 3

Таблица 2.18

экспонентой

58

Окончание табл. 2.18

Стандартное отклонение воспроизводимости sR

Итерация 1

lgm1

lgm2

lgm3

lgm4

lgm5

1,0005

1,2815

1,5618

1,8448

1,9997

lgsR1

lgsR2

lgsR3

lgsR4

lgsR5

–1,42516

–1,16919

–1,12337

–0,75717

–0,88028

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

–

7,6884

12,4849

–5,3552

–7,8359

–

c

–1,996180

d

0,601652

Итерация 2

lgm1

lgm2

lgm3

lgm4

lgm5

1,0005

1,2815

1,5618

1,8448

1,9997

lgsR1

lgsR2

lgsR3

lgsR4

lgsR5

–1,39345

–1,22523

–1,05750

–0,88812

–0,79541

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

–

7,6884

12,4849

–5,35972

–7,8450

–

c

–1,996180

d

0,601652

m

ˆ

,,s

ˆ

r

lg598080039122lg 

ˆ

lg 1,99618

R

s   

ˆ

0,60165 lg .m

m

ˆ

r

s

ˆ

R

s

ˆ

Таким образом,

,

Завершив статистический анализ, эксперт по статистике предоставля-

ет отчёт в экспертный совет. В нём должна содержаться следующая информация:

а) результаты измерений во всех лабораториях; б) перечень исключённых лабораторий и основания для их исключе-

ния;

в) перечень обнаруженных квазивыбросов и/или выбросов с поясне-

ниями, были ли они объяснены и исправлены или исключены;

г) окончательныe результаты для

,

и выводы о функциях,

связывающих эти параметры, и методах их аппроксимации;

д) итоговые формы А, В и С.

бросы следствием недостатков метода измерений?

Экспертный совет принимает решения по следующим вопросам.

1. Являются ли несогласованные результаты, квазивыбросы или вы-

59

2. Какие меры должны быть приняты по отношению к исключенным

r

s

ˆ

R

s

ˆ

выпадающим лабораториям?

3. Свидетельствуют ли результаты выпадающих лабораторий о необ-

ходимости совершенствования стандарта на метод измерений и какого именно?

4. Могут ли результаты эксперимента быть основой для установления

значений

и

? Если да, то какова сфера применения этих данных?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определяют статистику Кохрена?

2. Как определяют статистику Граббса?

3. Чем отличаются статистики внутрилабораторной и межлаборатор-

ной совместимости Манделя?

4. Как строят индикаторные линии на графиках статистик Манделя?

5. Чем отличается сбалансированный эксперимент от несбалансиро-

ванного?

6. Как определяют выбросы и квaзивыбpocы?

7. Объясните понятие уровня испытаний.

8. Напишите формулу стандартного отклонения для непараллельных

измерений.

9. Какие решения возможны по результатам расчета статистик Ман-

деля?

10. На какие типы измеряемых величин распространяется стандарт

ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002?

11. Как проводят проверку на два выброса в одной лаборатории?

12. Как проводят проверку на два выброса в нескольких лабора-

ториях?

13. В каких случаях применяют критерий Граббса для двух выбросов?

14. Когда основной метод повторяемости и воспроизводимости стан-

дартного метода измерений используют для оценки прецизионности метода измерений?

60

15. Опишите статистическую модель, используемую в основном ме-

m

ˆ

тоде повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений.

16. Каким образом можно определить межлабораторную дисперсию

для каждого уровня измерений несбалансированного эксперимента?

17. Что является базовым элементом эксперимента по оценке преци-

зионности?

18. В каких случаях лаборатория может рассматриваться как выброс?

19. Каким образом рассчитывается среднее значение для уровня из-

мерения в несбалансированном эксперименте?

20. Назовите методы аппроксимации зависимости s = f(

).

21. Какие значения стандартных отклонений можно считать исход-

ными при использовании метода итераций?

22. В каком случае межлабораторную дисперсию приравнивают

нулю?