Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в сравнительных испытаниях. Учебное пособие
.pdf
21
характеристики может оказаться подходящим. Уровень m необязательно
2
L
var B
2
L
равняется истинному значению μ.
Когда исследуют расхождения между результатами измерений, полу-
ченными одним и тем же методом, систематическая погрешность метода
не будет оказывать никакого влияния, и ею можно пренебречь. При сопоставлении результатов измерений с истинным значением μ, а не с уровнем
испытания m, либо при сопоставлении результатов, полученных с использованием различных методов измерений, систематическую погрешность
метода необходимо учитывать.
Составляющая B считается постоянной в течение времени выполне-
ния измерений в условиях повторяемости, но она будет отличаться при
измерениях, выполняемых в других условиях. Если результаты измерений
в двух лабораториях постоянно сравнивают, то необходимо определить
относительную систематическую погрешность лабораторий, либо индивидуальные значения систематической погрешности, определенные в ходе
эксперимента по оценке точности, либо выполнить специальные исследование расхождений между лабораториями.
Для того чтобы определить расхождения результатов измерений двух
произвольных лабораторий с неизвестными собственными систематическими погрешностями, необходимо рассматривать общее распределение
лабораторных составляющих систематической погрешности. При этом
предполагается, что распределение лабораторных составляющих систематической погрешности является приблизительно нормальным. На практике основной метод определения повторяемости и воспроизводимости
стандартного метода измерений применяют для большинства распределений при условии, что последние являются унимодальными.
Дисперсию B называют межлабораторной:
где
операторами и на разном оборудовании.
, (1.2)
включает в себя изменчивость результатов, полученных разными
22
Дисперсию B можно рассматривать в качестве суммы как случайных,
2
W
var e
2
W
22
.
rW
var e
;
r
var e
так и систематических составляющих.
Составляющая e представляет собой случайную погрешность, прису-
щую каждому результату измерений. Считается, что распределение этой
составляющей погрешности является приближенно нормальным. На практике процедуры определения прецизионности применимы для большинства распределений при условии, что распределения являются унимодальными.
В пределах одной лаборатории дисперсия в условиях повторяемости
носит название внутрилабораторной дисперсии:
. (1.3)
Внутрилабораторная дисперсия
будет иметь различные значения
в разных лабораториях. Однако подразумевается, что для стандартного
метода измерений такие различия будут невелики и оправдано установление общего значения внутрилабораторной дисперсии для всех лабораторий, использующих данный метод. Это общее значение носит название
дисперсии повторяемости:
(1.4)
Данное среднее арифметическое определяют по оставшимся после
исключения выбросов дисперсиям всех лабораторий, принимающих участие в эксперименте по оценке точности.
В качестве мер прецизионности используют:
– стандартное отклонение повторяемости
(1.5)
23
– стандартное отклонение воспроизводимости
22
.
R L r
(1.6)
Эксперимент по оценке прецизионности и/или правильности стандартного метода измерений должен планировать совет экспертов. При
планировании эксперимента должны быть рассмотрены следующие вопросы.
1. Существует ли для данного метода измерений удовлетворяющий
соответствующим требованиям эталон?
2. Сколько лабораторий должно быть вовлечено в совместный экспе-
римент?
3. Как необходимо отбирать лаборатории и каким требованиям они
должны соответствовать?
4. Каков диапазон уровней испытаний, с которыми придётся столк-
нуться на практике?
5. Сколько уровней испытаний должно быть использовано в экспери-
менте?
6. Какие материалы являются подходящими для представления уров-
ней испытаний и каким образом они должны быть подготовлены?
7. Какое число параллельных определений должно быть назначено?
8. Какие временные рамки должны быть установлены для завершения
всех измерений?
9. Является ли исходная модель (1.1) подходящей или должен быть
рассмотрен видоизмененный вариант?
во всех лабораториях, участвующих в эксперименте?
тории?
10. Каким образом необходимо обеспечить идентичность материалов
11. Существует ли необходимость привлечения референтной лабора-
24
1.1. ПРЕЦИЗИОННОСТЬ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Из-
мере-
ние k
Лаборатории, i
1 2 3 4 5 6 7 8 9
p = 10
1
409,4
408,9
410,0
410,9
410,0
408,4
407,9
408,0
409,7
407,0
2
409,4
408,6
410,1
410,6
410,8
408,4
407,6
408,9
409,6
408,8
3
409,4
408,5
410,4
410,5
410,9
408,4
408,5
408,4
409,5
407,9
4
409,0
408,6
410,2
410,6
410,8
408,6
407,6
408,2
409,6
407,8
2
2
1
,
1
n
i ik
k
Wi
yy
s
n
i
y
1
.
n
ik
k
i
y
y
n
Исходные данные эксперимента по определению прецизионности и
правильности представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Исходные данные
Принятое опорное (условно истинное) значение µ = 409,0.
Величины, представленные символом σ в формулах (1.2)–(1.6), явля-
ются истинными стандартными отклонениями, значение которых неизвестно. Конечная цель эксперимента по оценке прецизионности – оценить
эти значения. Определение оценки s истинного стандартного отклонения
σ можно представить как задачу определения диапазона вокруг σ, в пределах которого ожидается нахождение оценки s.
Внутрилабораторная дисперсия по лаборатории i
(1.7)
где k – индекс измерения в i-й лаборатории;
n – количество измерений в i-й лаборатории;
– среднее значение результатов измерений в i-й лаборатории.
(1.8)
25
Дисперсия повторяемости
22
r Wi
ss
22
2
dr
L
ss
s
n
2
d
s
2
2
1
;
1
p
i
i
d
n y y
s
p
y
1
;
p
i
i
y
y
p
2
L
s
2 2 2
.
R L r
s s s
Межлабораторная дисперсия
. (1.9)
, (1.10)
где
бораториях:
– общее среднее значение результатов измерений во всех лабораториях:
– смешанная дисперсия при одинаковом количестве измерений в ла-
(1.11)
(1.12)
p – количество лабораторий.
= 0.
отклонения повторяемости будет зависеть от количества лабораторий p и
В случае отрицательной межлабораторной дисперсии принимают
Дисперсия воспроизводимости
(1.13)
Для единичного уровня испытания неопределенность стандартного
26
количества результатов измерений в каждой лаборатории n. Неопределён-
.
R
r
s
s
,
s
P A A P
s
1
1,96 .
21
r
A
pn
2
2
42
1 1 1 1
1,96 .
21
R
p n n p
A
n p p
ность стандартного отклонения воспроизводимости будет также зависеть
от дополнительного показателя γ. Отношение стандартного отклонения
воспроизводимости к стандартному отклонению повторяемости
(1.14)
Определение истинного стандартного отклонения σ по его оценке s
основано на соотношении
(1.15)
означающем, что истинное стандартное отклонение находится в пределах
s(1 ± A) с доверительной вероятностью P = 0,95.
Показатель неопределённости для стандартного отклонения повторя-
емости
(1.16)
Показатель неопределённости для стандартного отклонения воспро-
изводимости
(1.17)
Выражение (1.16) позволяет планировать эксперимент с привлечени-
ем необходимого количества лабораторий и получением определённого
количества результатов измерений от каждой лаборатории. Задавая два
27
параметра из трёх (n, p, Ar), можно определить оставшийся третий пара-
2
1,96
,
21
r
p
nA
2
1,96
1.
2
r
npA
Пара-
метр
Значения параметров для лабораторий i
1 2 3 4 5 6 7 8 9
p = 10
i
y
409,30
408,65
410,18
410,65
410,63
408,45
407,90
408,38
409,60
407,88
2
Wi
s
0,04000
0,03000
0,02917
0,03000
0,17583
0,01000
0,18000
0,14917
0,00667
0,54250
Общее среднее значение y
409,16
Дисперсия повторяемости
2
r
s
0,119333
Стандартное отклонение повторяемости sr
0,34545
Смешанная дисперсия
2
d
s
4,546222
Межлабораторная дисперсия
2
L
s
1,106722
Дисперсия воспроизводимости
2
R
s
1,226056
Стандартное отклонение воспроизводимости sR
1,10727
Отношение стандартных отклонений воспроизводимости и повторяемости γ
3,2053
Показатель неопределённости стандартного отклонения повторяемости
Ar
0,2530
Показатель неопределённости стандартного отклонения воспроизводимости AR
0,4287
,
s
P A A P
s
метр:
(1.18)
Результаты статистического расчёта приведены в табл. 1.2.
Результаты статистического расчёта
Таблица 1.2
Формулу (1.15) можно преобразовать следующим образом:
P[–As < – s < +As] = P, P[s(1 – A) < < s (1 + A)] = P.
28
Тогда истинные значения стандартного отклонения повторяемости r
Количество
лаборато-
рий p
Ar
AR
n=2
n=3
n=4
=1
=2
=5
n=2
n=3
n=4
n=2
n=3
n=4
n=2
n=3
n=4
5
0,62
0,44
0,36
0,46
0,37
0,32
0,61
0,58
0,57
0,68
0,67
0,67
10
0,44
0,31
0,25
0,32
0,26
0,22
0,41
0,39
0,38
0,45
0,45
0,45
15
0,36
0,25
0,21
0,26
0,21
0,18
0,33
0,31
0,30
0,36
0,36
0,36
20
0,31
0,22
0,18
0,22
0,18
0,16
0,28
0,27
0,26
0,31
0,31
0,31
25
0,28
0,20
0,16
0,20
0,16
0,14
0,25
0,24
0,23
0,28
0,28
0,27
30
0,25
0,18
0,15
0,18
0,15
0,13
0,23
0,22
0,21
0,25
0,25
0,25
35
0,23
0,17
0,14
0,17
0,14
0,12
0,21
0,20
0,19
0,23
0,23
0,23
40
0,22
0,16
0,13
0,16
0,13
0,11
0,20
0,19
0,18
0,22
0,22
0,22
(1.19)
и стандартного отклонения воспроизводимости R можно определить как
P[sr(1 – Ar) < r < sr(1 + Ar)] = 0,95,
P[sR(1 – AR) < R < sR(1 + AR)] = 0,95.
В некоторых случаях показатели неопределённости не рассчитыва-
ют, а используют для их нахождения таблицу (табл. 1.3) или графики
(рис. 1.1 и 1.2).
Таблица 1.3
Показатели неопределенности
стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости
В соответствии с ближайшими значениями количества лаборато-
рий (5), количества измерений (4) и показателя гамма γ = 3,2053 (2) по
табл. 1.3 определяют показатели неопределенности Ar и AR. Значение показателя неопределенности для стандартного отклонения повторяемости Ar = 0,36, для стандартного отклонения воспроизводимости AR = 0,57.
При определении показателей неопределённости графическим методом на рис. 1.1 необходимо восстановить перпендикуляр от точки абсциссы p = 10 до пересечения с выбранной кривой (n = 4) и от точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат. Полученное на оси ординат
29
значение будет являться значением показателя неопределённости Ar (%),
Ar = 0,26.
На графике рис. 1.2 необходимо восстановить перпендикуляр от точки абсциссы p = 10 до пересечения с выбранной кривой с ближайшими n и
γ (n = 3, γ = 2), от точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат. Полученное на оси ординат значение будет являться значением показателя AR (%), AR = 0,38.
Рис. 1.1. Нахождение показателя неопределённости Ar графическим методом
Рис. 1.2. Нахождение показателя неопределённости AR графическим методом
30
Расхождение в результатах, полученных с помощью различных мето-
Метод получения
показателей
неопределённости
Неопределённость оценок стандартных отклонений
повторяемости
воспроизводимости
Расчётный
P[0,25804 < sr < 0,43286] = 0,95
P[0,63264 < sR < 1,58191] = 0,95
Табличный
P[0,22109 < sr < 0,46981] = 0,95
P[0,47613 < sR < 1,73842] = 0,95
Графический
P[0,25563 < sr < 0,43526] = 0,95
P[0,68651 < sR < 1,52804] = 0,95
,y
2
2
11
1,96 ,
n
A
pn
дов, объясняется прежде всего отличием расчётного значения γ и дискретных значений γ в таблице и на графике. Кроме того, на рис. 1.2 изображено недостаточное количество графиков для получения точного результата.
Выбор метода расчёта зависит от решения эксперта по статистике, выполняющего статистический анализ.
Результаты расчёта неопределённости оценок стандартных отклоне-
ний (1.19) приведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Неопределённость оценок стандартных отклонений
1.2. ПРАВИЛЬНОСТЬ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Систематическая погрешность метода измерений
(1.20)
где – принятое опорное значение.
Показатель неопределенности систематической погрешности метода
измерений
(1.21)
A = 0,5971.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]