Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в сравнительных испытаниях. Учебное пособие
.pdf
131
Пятый уровень измерения
1
23456789101112
13141516171819
20
17,69
17,71
17,73
17,75
17,77
17,68 17,71 17,74 17,77 17,80 17,83
Проба а
Проба b
д
Рис. 5.5. Диаграммы Юдена для пар проб a и b (окончание)
На рис. 5.5, в, лаборатория 13 дает точку в нижнем левом углу рисун-
ка, а лаборатории 4 и 17 – в верхнем правом углу. Это означает, что лаборатория 13 имеет согласованную отрицательную систематическую погрешность по пробам а и b, данные лабораторий 4 и 17 имеют согласованную положительную систематическую погрешность. Рисунок также показывает, что результаты лабораторий 3 и 16 необычны, так как они далеко
отстоят от линии равенства (баланса) проб. Оставшиеся лаборатории формируют группу результатов в середине графика. Этот рисунок, таким образом, указывает, что целесообразно исследовать источники систематических погрешностей в пяти лабораториях.
Для идентификации результатов, значительно несоответствующих
остальным данным эксперимента и существенно искажающих выборочные показатели прецизионности, используют критерий Граббса для одного и двух выбросов.
132
При тестировании средних значений в базовых элементах с помощью
yjijjyj
s/yyG
minmin
yjjijyj
s/yyG
maxmax
DjijjDj
s/DDG
minmin
DjjijDj
s/DDG
maxmax
Уровень
Статистика Граббса для определённого количества выбросов
Один наименьший
Два наименьших
Два наибольших
Один наибольший
1
1,8065
0,7254**
0,7118**
1,6860
2
2,7199*
0,4969**
0,8031**
1,4291
3
1,9185
0,6895**
0,5836**
1,8868
4
1,1651
0,8412**
0,4426**
2,2956
5
1,0983
0,8589**
0,8589**
2,4713
Уро-
вень
Статистика Граббса для определённого количества выбросов
Один наименьший
Два наименьших
Два наибольших
Один наибольший
1
1,1785
0,8918**
0,5196**
2,2588
2
1,6758
0,6715**
0,8504**
1,3034
3
1,2287
0,8636**
0,5495**
1,9627
4
2,1445
0,6137**
0,6157**
1,9288
5
1,7951
0,7478**
0,3871*
2,6312
критерия Граббса с поиском одиночного выброса используют выражение (2.8)
,
.
При тестировании расхождений в базовых элементах с помощью кри-
терия Граббса с поиском одиночного выброса используют выражение
,
. (5.13)
Статистики Граббса для одного выброса средних значений в базовых
элементах на каждом уровне измерения приведена в табл. 5.8, статистики
Граббса для одного выброса расхождений в базовых элементах приведена
в табл. 5.9.
Таблица 5.8
Статистика Граббса для средних значений в базовых элементах
Таблица 5.9
Статистика Граббса для расхождений в базовых элементах
133
Критические значения статистики Граббса: в случае одного выброса
22
, 1, 0
max
/,
yj y p p y j
G s s
22
, 1, 0
max
/,
Dj D p p D j
G s s
2
2
0
1
,
p
j
y j ij j
i
s y y
2
2
0
1
,
p
j
D j ij j
i
s D D
2
2
2
, 1, 1,
1
,
p
j
y p p ij p p
i
s y y
2
2
2
, 1, 1,
1
,
p
j
D p p ij p p
i
s D D
2
1,
1
1
,
2
p
j
p p ij
j
i
yy
p
2
1,
1
1
,
2
p
j
p p ij
j
i
DD
p
2
, 1,
,
у p p
s
2
, 1,D p p
s
1,
,
pp
y
1,pp
D
при 1 %-м уровне значимости – 3,001, при 5 %-м уровне значимости –
2,709; в случае двух выбросов при 1 %-м уровне значимости – 0,4391, при
5 %-м уровне значимости – 0,3585 (табл. П.4 прил.). При рассмотрении
одиночного минимального среднего значения выявлен квазивыброс на
уровне 2 (лаборатория 10).
Поскольку статистика Граббса не выявила выбросов, как для средних
значений, так и для расхождений в базовых элементах, то необходимо
применять статистику Граббса для двух выбросов.
Для поиска двух наибольших выбросов средних значений и расхож-
дений в базовых элементах на каждом уровне измерения используют
формулы
где
– суммы квадратов отклонений средних значений
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
в лабораториях от средних значений по уровню без двух наибольших результатов;
– средние арифметические значения результатов на
уровне измерения за исключением двух наибольших результатов.
134
Соответственно, чтобы проверить два наименьших результата наблю-
22
1,2 0
min
/,
yj y y j
G s s
22
1,2 0
min
/,
Dj D D j
G s s
2
2
1,2 1,2
3
,
p
j
y ij j
i
s y y
2
2
1,2 1,2
3
,
p
j
D ij j
i
s D D
1,2
3
1
,
2
p
j
j ij
j
i
yy
p
1,2
3
1
,
2
p
j
j ij
j
i
DD
p
2
1,2
,
y
s
2
1,2D
s
1,2,j
y
1,2,j
D
1,96 1/ 2 1 ,
rj j
Ap
дений, вычисляют статистики Граббса.
где
– суммы квадратов отклонений средних значений в лабо-
(5.18)
(5.19)
(5.20)
раториях от средних значений по уровню за исключением двух наименьших результатов;
– средние арифметические значения результатов на
уровне измерения за исключением двух наименьших результатов.
В результате (табл. 5.8 и 5.9) на каждом уровне измерений обнаружены два выброса сверху и два выброса снизу (в табл. 5.9 – один квазивыброс). В случае удаления всех выбросов по средним значениям и расхождениям в базовых элементах в соответствии с данным критерием придётся
удалить 35 результатов измерений (третья часть всех результатов)
(см. табл. 5.2 и 5.3). Подобное удаление значительно изменяет первоначальную выборку и, как следствие, достоверность статистических показателей. Поэтому в данном примере результаты, полученные при помощи
критерия Граббса с двумя выбросами, не были учтены.
Для аналитического выражения неопределенности оценок стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости используют следующие равенства: показатель неопределённости стандартного отклонения
повторяемости
(5.21)
135
показатель неопределённости стандартного отклонения воспроизводи-
181121961
4
2
2
jj
jRj
p,A
мости
, (5.22)
где = sRj/srj.
Окончательные статистические показатели необходимо рассчитывать
после удаления выбросов по h-статистике Манделя средних значений в
лаборатории 10 на уровне 2 и в лаборатории 4 на уровне 5.
5.2. ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ГЕТЕРОГЕННОГО МАТЕРИАЛА
Основной метод требует подготовки идентичных проб материала
(объектов) для использования в эксперименте. С гетерогенными материалами (объектами) это может быть невозможно. Поэтому применение основного метода в этом случае даёт оценки стандартного отклонения воспроизводимости, которые искажены различием между пробами. Предлагаемый метод даёт информацию о неоднородности проб, которая не выявляется основным методом. Эта информация позволяет исключить разницу
между пробами из расчетов оценки воспроизводимости.
Примером неоднородного (гетерогенного) материала является кожа,
свойства которой существенно меняются в пределах одной шкуры. Также
примером гетерогенного материала также является гравий, распределение
различных фракций которого в объёме весьма разнообразно. Если эксперимент проводят по модели с однородными уровнями и в каждую лабораторию посылают по одной пробе для каждого уровня, то различия между
пробами будут увеличивать стандартное отклонение воспроизводимости
метода измерений. Если в лаборатории посылают по две пробы для каждого уровня, то при расчете стандартного отклонения воспроизводимости
различия между пробами могут быть исключены.
Метод применим к экспериментам, включающим иерархию трёх фак-
торов: «лаборатории» как наивысший уровень, «пробы внутри лабораторий» как следующий уровень и «результаты испытаний в пределах проб»
136
как самый низкий уровень в иерархии. Возможна другая иерархия трёх
3
факторов: «лаборатории» как наивысший уровень, «результаты испытаний в пределах лабораторий» как следующий уровень и «результаты параллельных определений в результатах испытаний» как самый низкий
уровень иерархии. Этот случай может возникнуть, если лабораториямучастницам эксперимента посылают по одной пробе гомогенного материала с просьбой о выполнении двух (или более) испытаний на каждой пробе и если каждое испытание включает в себя некоторое число определений, а результаты испытаний рассчитывают как средние значения этих
определений.
В ходе эксперимента каждую из рj лабораторий, участвующих в эксперименте на каждом уровне измерения, обеспечивают g пробами (g = 2)
на каждом из q уровней и получают два результата измерений по каждой
пробе (n = 2). Таким образом, каждый базовый элемент (ячейка) в эксперименте содержит четыре результата измерений (по два результата измерений для каждой из двух проб). Эту модель можно использовать для
большего количества проб g и большего количества результатов измерений n в каждой пробе.
В эксперименте на гетерогенном материале требования соблюдения
условий повторяемости относят к группе g п испытаний в элементе, то
есть ко всем испытаниям в одной лаборатории на одном уровне. Число
проб, которое должно быть приготовлено для каждого уровня, равно рj g3
(то есть 2рj в случае, когда g = 2). Пробы размещают по лабораториям-
участницам случайным образом.
Статистическая модель эксперимента с гетерогенным материалом
y
= mj + Bij + H
ijtk
ijt
+e
, (5.23)
ijtk
где m – общее среднее значение (математическое ожидание);
B – лабораторная составляющая систематической погрешности в ус-
ловиях повторяемости;
В ГОСТ Р ИСО 5725-1 p используют как число лабораторий и как индекс в таблицах
критических значений для статистики Кохрена. Для модели эксперимента с однородными
уровнями это одно и то же число. В модели эксперимента с гетерогенным материалом индекс p для критерия Кохрена может быть кратен числу лабораторий pj.
137
e – случайная составляющая погрешности каждого результата изме-
Лаборатория i
Проба t
Уровень j
1 2 3
4
q = 5
Номер n результата измерений
1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
1
1
3,90
3,82
7,72
7,71
11,57
11,56
15,43
15,42
19,29
19,27
2
3,86
3,84
7,74
7,75
11,60
11,57
15,45
15,48
19,30
19,32
2
1
3,88
3,86
7,70
7,72
11,59
11,58
15,42
15,44
19,31
19,30
2
3,87
3,85
7,75
7,74
11,57
11,55
15,48
15,45
19,26
19,29
3
1
3,85
3,87
7,70
7,74
11,56
11,61
15,44
15,48
19,26
19,30
2
3,86
3,85
7,75
7,72
11,60
11,57
15,45
15,42
19,32
19,31
4
1
3,85
3,86
7,70
7,72
11,55
11,58
15,40
15,44
19,25
19,30
2
3,87
3,86
7,75
7,71
11,56
11,59
15,48
15,45
19,29
19,27
рений в условиях повторяемости;
H – различие между пробами (неоднородность проб);
i – номер лаборатории (i = 1, 2, ..., pj);
j – уровень измерения (j = 1, 2, ..., q);
t – номер пробы (t = 1, 2, ..., g);
k – номер результата измерения (k = 1, 2, ..., n).
В примере g = 2 и n = 2.
В выражении (5.23) H
характеризует различие между пробами (не-
ijt
однородность проб), являющееся случайной величиной, не зависящей от
лаборатории. Н
имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию
ijt
Var (H
) =
ijt
2
. (5.24)
Hj
В табл. 5.10 представлены исходные данные эксперимента с гетеро-
генными материалами. Если базовые элементы в таблице содержат менее
четырех результатов измерений, тогда:
а) либо используют формулы для общего случая, приведенные ниже;
б) либо игнорируют все данные в элементе.
Альтернатива а) является более предпочтительной.
Таблица 5.10
Исходные данные
138
Окончание табл. 5.10
Лаборатория i
Проба t
Уровень j
1 2 3 4 q = 5
Номер n результата измерений
1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
5
1
3,86
3,87
7,71
7,74
11,57
11,61
15,43
15,48
19,28
19,32
2
3,88
3,85
7,72
7,75
11,58
11,57
15,44
15,46
19,33
19,35
6
1
3,87
3,86
7,73
7,72
11,60
11,57
15,46
15,43
19,33
19,29
2
3,86
3,84
7,72
7,75
11,58
11,59
15,44
15,46
19,30
19,32
7
1
3,87
3,86
7,74
7,72
11,60
11,55
15,47
15,44
19,34
19,33
2
3,86
3,84
7,75
7,73
11,58
11,59
15,48
15,46
19,30
19,32
8
1
3,86
3,85
7,72
7,70
11,59
11,56
15,45
15,41
19,31
19,27
2
3,87
3,86
7,74
7,73
11,61
11,59
15,48
15,47
19,35
19,32
9
1
3,84
3,86
7,73
7,76
11,59
11,60
15,46
15,48
19,32
19,31
2
3,88
3,87
7,72
7,74
11,58
11,54
15,44
15,47
19,30
19,34
10
1
3,87
3,85
7,71
7,74
11,61
11,57
15,48
15,46
19,35
19,26
2
3,85
3,86
7,75
7,73
11,56
11,60
15,42
15,44
19,27
19,33
11
1
3,85
3,87
7,75
7,73
11,56
11,60
15,42
15,46
19,27
19,33
2
3,86
3,85
7,71
7,74
11,61
11,58
15,48
15,47
19,35
19,26
12
1
3,86
3,87
7,75
7,74
11,58
11,57
15,44
15,47
19,30
19,34
2
3,84
3,85
7,73
7,72
11,59
11,60
15,46
15,43
19,32
19,33
13
1
3,87
3,86
7,74
7,72
11,61
11,57
15,48
15,46
19,35
19,33
2
3,88
3,85
7,73
7,70
11,59
11,56
15,45
15,42
19,31
19,36
14
1
3,86
3,83
7,75
7,73
11,58
11,59
15,44
15,46
19,30
19,32
2
3,87
3,85
7,74
7,72
11,60
11,57
15,47
15,48
19,34
19,33
15
1
3,85
3,87
7,74
7,71
11,57
11,61
15,44
15,48
19,30
19,35
2
3,83
3,86
7,73
7,72
11,60
11,58
15,46
15,43
19,33
19,29
16
1
3,86
3,85
7,72
7,74
11,58
11,57
15,44
15,46
19,33
19,35
2
3,84
3,87
7,71
7,75
11,59
11,61
15,42
15,48
19,28
19,32
17
1
3,88
3,86
7,72
7,71
11,56
11,58
15,48
15,45
19,29
19,27
2
3,85
3,83
7,70
7,74
11,55
11,59
15,40
15,44
19,25
19,30
18
1
3,87
3,81
7,75
7,72
11,60
11,56
15,44
15,42
19,32
19,30
2
3,81
3,78
7,70
7,74
11,58
11,61
15,41
15,48
19,26
19,29
19
1
3,87
3,85
7,72
7,74
11,59
11,55
15,48
15,44
19,26
19,35
2
3,88
3,84
7,73
7,75
11,60
11,57
15,47
15,43
19,29
19,33
р
j
=20
1
3,86
3,84
7,74
7,72
11,60
11,57
15,43
15,48
19,30
19,32
2
3,87
3,85
7,75
7,71
11,59
11,56
15,46
15,42
19,29
19,27
139
221/y y y
ijtijtijt
21 ijtijtijt
yyw
2
21 itijij
y y y
21 ijijij
yyw
Лаборато-
рия i
Проба t
Среднее значение для пробы
ijt
y
в лаборатории i на уровне j
Среднее значение
ij
y
в лаборатории i на уровне j
1 2 3 4 5 1 2 3 4
5
1
1
3,860
7,715
11,565
15,425
19,280
3,858
7,730
11,575
15,445
19,295
2
3,850
7,745
11,585
15,465
19,310
2
1
3,870
7,710
11,585
15,430
19,305
3,865
7,728
11,573
15,448
19,290
2
3,860
7,745
11,560
15,465
19,275
3
1
3,860
7,720
11,585
15,460
19,280
3,858
7,728
11,585
15,448
19,298
2
3,855
7,735
11,585
15,435
19,315
4
1
3,855
7,710
11,565
15,420
19,275
3,860
7,720
11,570
15,443
19,278
2
3,865
7,730
11,575
15,465
19,280
5
1
3,865
7,725
11,590
15,455
19,300
3,865
7,730
11,583
15,453
19,320
2
3,865
7,735
11,575
15,450
19,340
6
1
3,865
7,725
11,585
15,445
19,310
3,858
7,730
11,585
15,448
19,310
2
3,850
7,735
11,585
15,450
19,310
7
1
3,865
7,730
11,575
15,455
19,335
3,858
7,735
11,580
15,463
19,323
2
3,850
7,740
11,585
15,470
19,310
В случае с двумя пробами для лаборатории и двумя результатами из-
мерений в каждой пробе (g = n = 2) среднее значение для пробы и расхождения между результатами испытаний в пробе t (t = 1 или 2) для лаборатории i на уровне j будут следующие:
, (5.25)
. (5.26)
Среднее для проб и различие между пробами для лаборатории i
и уровня j:
, (5.27)
. (5.28)
Результаты вычислений средних значений и расхождений приведены
в табл. 5.11 и табл. 5.12.
Таблица 5.11
Средние значения
140
Окончание табл. 5.11
Лаборато-
рия i
Проба t
Среднее значение для пробы
ijt
y
в лаборатории i на уровне j
Среднее значение
ij
y
в лаборатории i на уровне j
1 2 3 4 5 1 2 3 4
5
8
1
3,855
7,710
11,575
15,430
19,290
3,860
7,723
11,588
15,453
19,313
2
3,865
7,735
11,600
15,475
19,335
9
1
3,850
7,745
11,595
15,470
19,315
3,863
7,738
11,578
15,463
19,318
2
3,875
7,730
11,560
15,455
19,320
10
1
3,860
7,725
11,590
15,470
19,305
3,858
7,733
11,585
15,450
19,303
2
3,855
7,740
11,580
15,430
19,300
11
1
3,860
7,740
11,580
15,440
19,300
3,858
7,733
11,588
15,458
19,303
2
3,855
7,725
11,595
15,475
19,305
12
1
3,865
7,745
11,575
15,455
19,320
3,855
7,735
11,585
15,450
19,323
2
3,845
7,725
11,595
15,445
19,325
13
1
3,865
7,730
11,590
15,470
19,340
3,865
7,723
11,583
15,453
19,338
2
3,865
7,715
11,575
15,435
19,335
14
1
3,845
7,740
11,585
15,450
19,310
3,853
7,735
11,585
15,463
19,323
2
3,860
7,730
11,585
15,475
19,335
15
1
3,860
7,725
11,590
15,460
19,325
3,853
7,725
11,590
15,453
19,318
2
3,845
7,725
11,590
15,445
19,310
16
1
3,855
7,730
11,575
15,450
19,340
3,855
7,730
11,588
15,450
19,320
2
3,855
7,730
11,600
15,450
19,300
17
1
3,870
7,715
11,570
15,465
19,280
3,855
7,718
11,570
15,443
19,278
2
3,840
7,720
11,570
15,420
19,275
18
1
3,840
7,735
11,580
15,430
19,310
3,853
7,728
11,588
15,438
19,293
2
3,795
7,720
11,595
15,445
19,275
19
1
3,860
7,730
11,570
15,460
19,305
3,860
7,735
11,578
15,455
19,308
2
3,860
7,740
11,585
15,450
19,310
20
1
3,850
7,730
11,585
15,455
19,310
3,855
7,730
11,580
15,448
19,295
2
3,860
7,730
11,575
15,440
19,280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]