Статистические методы в сравнительных испытаниях. Учебное пособие

111

По выражениям (4.4) и (4.5) были определены максимально возмож-

Лаборатория i

Значимость систематической погрешности на уровне j

1 2 3 4 q = 5

1

нет

2

нет

3

нет

4

нет

5

нет

6

нет

7

нет

8

нет

9

нет

10

нет

11

нет

12

нет

13

нет

14

нет

15

нет

16

нет

17

нет

18

нет

ные значения систематических погрешностей метода измерений mj и систематических погрешностей лабораторий Δ

, которые можно обнару-

mij

жить в результатах эксперимента с вероятностью 0,95. Результаты приведены в табл. 4.15.

Можно сделать вывод, что условия (4.4) и (4.5) могут быть выполнены для систематических погрешностей метода измерений на всех уровнях

при mj = 0,013, для систематических погрешностей лабораторий на всех уровнях при Δ

= 0,049.

mij

Результаты уточнённых характеристик значимости систематических погрешностей приведены в табл. 4.17.

Таблица 4.17

Значимость систематических погрешностей

112

Окончание табл. 4.17

Лаборатория i

Значимость систематической погрешности на уровне j

1 2 3 4 q = 5

19

нет

20

нет

Значимость

j

ˆ



нет

значима

нет

0,012

0,018

0,024

0,03

2 8 14 20

Уровень испытания

Стандартное отклонение

sr

sR

sr=a+bm

sR=a+bm

Можно сделать вывод, что систематические погрешности лаборато-

рий незначимы, а значима систематическая погрешность метода измерений на 2-м уровне измерения. С учётом предыдущих результатов статистического анализа можно предположить, что именно на этом уровне опорное значение не является условно истинным и его необходимо пересмотреть.

По данным табл. 4.11 были рассчитаны функциональные зависимости

стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости от уровня измерения. Результаты расчёта приведены в табл. 4.18 и представлены в виде графиков линейных зависимостей sr = 0,010532 + 0,000871m, sR = 0,010221 + 0,000919m, изображённых на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Функциональная зависимость s = a + bm

113

Таблица 4.18

Стандартное отклонение повторяемости sr

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

3,858

7,729

11,581

15,450

19,307

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,01388

0,01761

0,01976

0,02489

0,02716

W1

W2

W3

W4

W5

5193,6

3224,9

2562,3

1613,6

1355,9

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

13950,3

125748,7

1504269,5

256,5

2634,796

а

0,010532

b

0,000871

Итерация 2

sr1

sr2

sr3

sr4

sr5

0,01389

0,01727

0,02062

0,02399

0,02735

W1

W2

W3

W4

W5

5181,109

3354,768

2351,754

1737,357

1336,748

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

13961,7

125808,1

1506000,1

256,6

2636,929

а

0,010532

b

0,000871

Стандартное отклонение воспроизводимости sR

Итерация 1

m

ˆ

1

m

ˆ

2

m

ˆ

3

m

ˆ

4

m

ˆ

5

3,858

7,729

11,581

15,450

19,307

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,01388

0,01761

0,01976

0,02489

0,02849

W1

W2

W3

W4

W5

5193,6

3224,9

2562,3

1613,6

1232,4

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

13826,8

123364,0

1458227,5

254,7

2601,642

а

0,010221

b

0,000919

Итерация 2

sR1

sR2

sR3

sR4

sR5

0,01377

0,01733

0,02087

0,02443

0,02797

W1

W2

W3

W4

W5

5274,977

3330,575

2296,097

1676,016

1278,039

Т

1

Т

2

Т

3

Т

4

Т

5

13855,7

123257,4

1461959,7

254,9

2603,984

а

0,010221

b

0,000919

Определение коэффициентов функциональной зависимости s = a + bm

114

По итогам уточнённых данных правильности и прецизионности эксперт по статистике должен представить отчёт о проведённых исследованиях экспертному совету. В докладе должна быть изложена следующая информация:

а) полный перечень наблюдений;

б) полный перечень лабораторий, которые были исключены как вы- падающие лаборатории, с указанием причин их исключения;

в) полный перечень квазивыбросов и/или выбросов, которые были обнаружены, с пояснениями, были ли они объяснены и исправлены или исключены;

г) конечные результаты соответствующих средних значений и пока- зателей прецизионности (в виде таблицы);

д) выводы о значимости систематической погрешности стандартного метода измерений по отношению к используемому принятому опорному значению.

Совет экспертов должен принять решения по следующим вопросам.

1. Являются ли несогласующиеся результаты измерений следствием

недостатков в описании метода измерений?

2. Какие меры нужно принять в отношении выпадающих лаборато-

рий?

3. Указывают ли результаты выпадающих лабораторий на необходи-

мость усовершенствования стандартного метода измерений?

4. Подтверждают ли результаты эксперимента по оценке точности

приемлемость метода измерений для его признания в качестве стандартного?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Объясните термин «правильность».

2. Какие показатели описаны как показатели правильности в данной

главе?

3. С помощью каких действий можно оценить показатели правильно-

сти?

115

4. Когда невозможно определить правильность метода и результатов

измерений?

5. Если к действительному значению измеряемой величины приба-

вить систематическую погрешность метода измерений, то какую величину мы получим?

6. Если к систематической погрешности метода измерений прибавить

лабораторную составляющую систематической погрешность, то что мы получим?

7. Какой величиной является лабораторная составляющая системати-

ческой погрешности – случайной или систематической?

8. Как Вы понимаете фразу «максимальная систематическая погреш-

ность, которая с определенной вероятностью оставалась бы необнаруженной»?

9. Каким показателем характеризуется различие между аттестован-

ным и истинным значением характеристик стандартного образца?

10. Каковы требования к условиям проведения межлабораторных

сравнительных испытаний?

11. Какими показателями выражается «надежная оценка системати-

ческой погрешности»? В чём её смысл?

12. В чём заключается особенность применения критерия Кохрена в

данной главе?

13. Почему рассматривают вариацию систематической погрешности

метода измерений? Что представляет этот показатель?

14. Когда систематическую погрешность метода измерений можно

считать незначимой?

15. Какую возможность дают диаграммы на рис. 4.5 для эксперта по

статистике?

16. Какую возможность дают диаграммы на рис. 4.1–4.4 для эксперта

по статистике?

17. Какую информацию должен содержать отчёт эксперта по стати-

стике?

116

5. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРЕЦИЗИОННОСТИ СТАНДАРТНОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

В ГОСТ Р ИСО 5725-5 представлены альтернативы основному методу определения стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений, именуемые моделью эксперимента с разделенными уровнями и моделью эксперимента для гетерогенных материалов, а также описано использование робастного метода для анализа результатов экспериментов по оценке прецизионности без применения проверок наличия выбросов с целью их исключения из расчетов.

ГОСТ Р ИСО 5725-5 дополняет ГОСТ Р ИСО 5725-2, описывая альтернативные методы, которые могут быть в отдельных случаях предпочтительнее основного метода, и предусматривая робастный метод анализа, который дает оценки стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости, в меньшей мере зависимые от решений, принимаемых эксперта по статистике.

5.1. ЭКСПЕРИМЕНТ С РАЗДЕЛЕННЫМИ УРОВНЯМИ

При пользовании основного метода существует риск, что результат предыдущего измерения повлияет на результат последующего измерения, вызывая систематическую погрешность в оценке стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости. Когда этот риск считают значительным, модель с разделенными уровнями может быть предпочтительнее как снижающая этот риск.

В эксперименте с разделенными уровнями каждую лабораториюучастницу эксперимента снабжают двумя идентичными пробами материала (проба a и проба b) для каждого уровня эксперимента. Операторам сообщают, что пробы не идентичны, но не информируют о степени их различия. Тем самым обеспечивают возможность определения показателей прецизионности способом, снижающим риск влияния результата измерения одной пробы на результат измерения другой пробы. При этом показатели прецизионности не будут искажены – оценки стандартного отклоне-

117

ния повторяемости r не будут уменьшены, а оценки межлабораторного стандартного отклонения L не возрастут.

Пробы а и b распределяют среди участников случайным образом,

причем процедуры рандомизации для а и b должны быть независимы. Эксперты по статистике должны иметь точные значения характеристик материалов (объектов) а и b на каждом уровне эксперимента, но для участников эксперимента эти данные должны быть скрыты.

Основная статистическая модель оценивания точности (правильности

и прецизионности) метода измерений представляет каждый результат измерения как сумму трех составляющих:

y

= mj + Bij + e

ijk

, (5.1)

ijk

где mj – общее среднее значение для уровня j = 1, …, q;

Bij – лабораторная составляющая систематической погрешности в

условиях повторяемости в лаборатории i = 1, …, p на уровне j = 1, …, q;

e

– случайная погрешность результата измерений k = 1, …, n, полу-

ijk

ченная в лаборатории i на уровне j в условиях повторяемости.

Для эксперимента с разделенными уровнями эта модель принимает

вид

y

= mjk + Bij + e

ijk

. (5.2)

ijk

В отличие от (5.1) присутствие индекса k в mjk означает, что общее среднее значение может теперь зависеть от материала a или b (k = a, b) на уровне j.

Отсутствие индекса k в Bij означает допущение, что систематическая ошибка лаборатории i не зависит от материала a или b на уровне j.

Исходные данные представлены в табл. 5.1.

Комбинация лаборатории и уровня дает базовый элемент, содержащий два результата y

и y

ija

. В базовом элементе (ячейке) определяют

ijb

среднее значение:

yij = (y

ija

+ y

)/2. (5.3)

ijb

118

В базовом элементе определяют внутриэлементное расхождение:

j

p

i

ij

j

p

y

j



1

Лабора-

тория i

Результаты измерений на уровнях j в пробах a и b

1 2 3 4 5

a b a b a b a b a b 1

6,670

6,691

8,033

8,003

10,020

9,980

14,000

14,020

17,710

17,700

2

6,671

6,692

8,014

7,984

10,010

9,990

14,030

14,000

17,730

17,710

3

6,642

6,673

8,015

7,995

10,020

9,960

14,100

14,030

17,770

17,730

4

6,673

6,694

8,026

8,006

10,030

10,040

14,070

13,990

17,830

17,710

5

6,674

6,665

8,007

8,047

10,000

10,020

14,020

13,990

17,710

17,720

6

6,655

6,676

8,028

8,008

10,010

10,020

13,990

14,000

17,730

17,710

7

6,666

6,677

8,029

8,019

9,980

10,010

14,040

14,000

17,710

17,730

8

6,657

6,678

8,030

8,010

9,990

10,020

14,040

14,100

17,710

17,770

9

6,658

6,679

8,021

7,981

10,000

10,040

14,020

13,990

17,700

17,720

10

6,659

6,670

7,972

7,992

10,010

10,020

14,020

13,990

17,700

17,710

11

6,690

6,651

8,003

8,023

9,980

10,010

14,020

13,990

17,700

17,730

12

6,691

6,662

7,984

8,024

9,990

9,980

14,030

14,000

17,740

17,710

13

6,652

6,673

7,995

8,015

9,960

9,990

14,040

14,000

17,730

17,710

14

6,693

6,674

8,006

8,026

10,040

10,000

13,990

14,020

17,710

17,700

15

6,674

6,695

8,017

7,987

10,010

9,990

14,040

14,000

17,730

17,710

16

6,675

6,656

8,018

7,998

10,020

9,960

14,100

14,000

17,770

17,730

17

6,676

6,697

8,039

8,009

10,030

10,040

14,100

13,990

17,800

17,710

18

6,677

6,668

8,000

8,040

10,000

10,020

14,020

13,990

17,710

17,720

19

6,658

6,679

8,021

8,001

10,010

10,020

13,990

14,000

17,730

17,710

20

6,669

6,670

8,022

8,012

9,980

10,010

14,040

14,010

17,710

17,730

j

y

6,669

6,676

8,014

8,009

10,004

10,006

14,035

14,006

17,732

17,719

Dij = y

ija

– y

. (5.4)

ijb

Для каждого уровня j рассчитывают среднее значение (4.12):

.

Исходные данные

Таблица 5.1

119

Стандартное отклонение syj средних значений

 

1

2









j

p

i

jij

yj

p

yy

s

j

Лаборатория i

Уровень 1

Уровень 2

Уровень 3

Уровень 4

Уровень 5

1

6,681

8,018

10,000

14,010

17,705

2

6,682

7,999

10,000

14,015

17,720

3

6,658

8,005

9,990

14,065

17,750

4

6,684

8,016

10,035

14,030

17,770

5

6,670

8,027

10,010

14,005

17,715

6

6,666

8,018

10,015

13,995

17,720

7

6,672

8,024

9,995

14,020

17,720

8

6,668

8,020

10,005

14,070

17,740

9

6,669

8,001

10,020

14,005

17,710

10

6,665

7,982

10,015

14,005

17,705

11

6,671

8,013

9,995

14,005

17,715

12

6,677

8,004

9,985

14,015

17,725

13

6,663

8,005

9,975

14,020

17,720

14

6,684

8,016

10,020

14,005

17,705

15

6,685

8,002

10,000

14,020

17,720

16

6,666

8,008

9,990

14,050

17,750

17

6,687

8,024

10,035

14,045

17,755

18

6,673

8,020

10,010

14,005

17,715

19

6,669

8,011

10,015

13,995

17,720

20

6,670

8,017

9,995

14,025

17,720

j

y

6,6725

8,0115

10,0053

14,0203

17,7250

syj

0,008303

0,010846

0,015768

0,021672

0,018209

. (5.5)

Средние значения в лабораториях представлены в табл. 5.2. Внутриэлементные расхождения с сохранением знака разности (a – b) представлены в табл. 5.3.

Если базовый элемент в табл. 5.1 не содержит двух результатов измерений, то соответствующие элементы в табл. 5.2 и 5.3 оставляют пустыми.

Таблица 5.2

Средние значения и стандартные отклонения средних значений

120

Cреднее значение и стандартное отклонение внутриэлементных рас-

p

D

p

i

ij

j



1

 

1

2









p

DD

s

p

i

jij

Dj

2

Rj

s

2

Dj

rj

s

s 

2

222

/sss

rjyjRj



Лаборатория i

Уровень 1

Уровень 2

Уровень 3

Уровень 4

Уровень 5

1

-0,021

0,030

0,040

-0,020

0,010

2

-0,021

0,030

0,020

0,030

0,020

3

-0,031

0,020

0,060

0,070

0,040

4

-0,021

0,020

-0,010

0,080

0,120

5

0,009

-0,040

-0,020

0,030

-0,010

6

-0,021

0,020

-0,010

0,020

7

-0,011

0,010

-0,030

0,040

-0,020

8

-0,021

0,020

-0,030

-0,060

9

-0,021

0,040

-0,040

0,030

-0,020

10

-0,011

-0,020

-0,010

0,030

-0,010

11

0,039

-0,020

-0,030

0,030

-0,030

12

0,029

-0,040

0,010

0,030

хождений

, (5.6)

. (5.7)

Стандартные отклонения повторяемости srj и дисперсии воспроизво-

димости

внутриэлементных расхождений на уровне измерения j

, (5.8)

. (5.9)

Стандартные отклонения и дисперсии приведены в табл. 5.3.

Внутриэлементные расхождения, стандартные отклонения и дисперсии

Таблица 5.3