Статистические методы в сравнительных испытаниях. Учебное пособие

171

Для каждой лаборатории i = 1, 2, ..., pj рассчитывают

i

*

i

ψ, если w ψ,

w в остальных случаях.

i

w













*

S

w





2

*

1

.

p

i

S

w

p







Лабо-

рато-

рия i

si

*

i

s

(1)

*

i

s

(2)

*

i

s

(3)

wi

*

i

w

(1)

*

i

w

(2)

*

i

w

(3)

1

0,0252

0,0500

2

0,0503

0,1000

3

0,1000

0,0764

0,2000

0,1481

4

0,0866

0,0764

0,1500

0,1481

5

0,0289

0,0500

6

0,0577

0,1000

7

0,0577

0,1000

8

0,0808

0,0764

0,1400

9

0,0058

0,0100

10

0,0173

0,0300

11

0,0346

0,0600

12

0,0577

0,1000

13

0,0346

0,0600

14

0,0520

0,0900

15

0,0404

0,0700

16

0,1484

0,0764

0,2900

0,1481

17

0,0346

0,0600

18

0,0462

0,0800

(5.71)

Новое значение

:

(5.72)

Таблица 5.31

Робастный анализ. Алгоритм S

172

Окончание табл. 5.31

Лабо-

рато-

рия i

si

*

i

s

(1)

*

i

s

(2)

*

i

s

(3)

wi

*

i

w

(1)

*

i

w

(2)

*

i

w

(3)

19

0,0000

20

0,0577

0,1000

21

0,1102

0,0764

0,2200

0,1481

22

0,0346

0,0600

23

0,0115

0,0200

24

0,0520

0,0900

25

0,1102

0,0764

0,2200

0,1481

*

S

s

0,05033

0,05446



0,07635

0,08262

*

S

w

0,09000

0,10465



0,14805

0,17214

*

S

w

*

S

w

*

,

rj Sj

ss

*

2.

rj Sj

ss

*

.

dj Aj

ss

Робастная оценка

получена c помощью трижды повторенного итеративного цикла. В первом цикле расчёт проводят по (5.69), в последующих циклах – по (5.72). Итоговое значение

= 0,10465. Результаты

приведены в табл. 5.31.

Для эксперимента по модели с однородными уровнями робастная

оценка стандартного отклонения повторяемости

(5.73)

в случае двух измерений в каждой лаборатории

(5.74)

Робастная оценка смешанного стандартного отклонения

(5.75)

173

Межлабораторное стандартное отклонение

22

/,

Lj dj rj ij

s s s n

22

.

Rj Lj rj

s s s

*

2.

rj Sj

ss

*

.

yj Aj

ss

*

Sijt

w





2

*

2.

r j Sijt

SS p w

(5.76)

где n – число результатов измерений в элементе.

Если выражение под корнем отрицательное, тогда принимают sL = 0. Стандартное отклонение воспроизводимости

(5.77)

Для эксперимента 1 sr = 0,05446, sd = 0,03355, sL = 0, sR = 0,05446. Применительно к модели с разделенными уровнями робастная оценка

стандартного отклонения повторяемости

(5.78)

Робастная оценка стандартного отклонения средних значений

(5.79)

Для оценки стандартного отклонения воспроизводимости на опреде-

ленном уровне модели можно использовать формулы (5.8) и (5.9).

В модели для гетерогенного материала для двух проб с двумя ре-

зультатами испытаний на каждой пробе в каждой из рj лабораторий на каждом уровне измерения робастные оценки показателей прецизионности могут быть получены следующим образом.

1. Применяют алгоритм S к расхождениям между результатами испы-

таний (5.26), чтобы получить робастное значение

, и определяют

(5.80)

174

2. Применяют алгоритм S к расхождениям между пробами (5.28), что-

*

Sij

w

 

2

*

SijjH

wpSS 

*

Aj

s

*

.

yj Aj

ss

   

*

1,5 .

j Aj Uj Lj Aj j Uj Lj

y y u u s p u u



    





   

     

2

*

22

1

,

1 1,134 1,5 4

j Uj Lj Aj

Aj

j j Uj j Lj Uj Lj j Uj Lj

p u u s

s

p p u p u u u p u u



   



     

ij

y

ij

y

*

j

y

ij

y

ij

y

*

j

y

бы получить робастное значение

, и определяют

. (5.81)

3. Применяют алгоритм А к средним значениям в элементах, чтобы

получить робастное значение

из уравнения (5.64), и находят

(5.82)

Затем для расчётов оценок стандартных отклонений повторяемости,

воспроизводимости и расхождений между пробами могут быть использованы формулы (5.36)–(5.38).

Рассмотрим данные эксперимента 2. Результаты эксперимента по мо-

дели с однородными уровнями, использующего алгоритм А, представлены в табл. 5.32.

Результаты эксперимента по модели с однородными уровнями, ис-

пользующего алгоритм S, представлены в табл. 5.33.

Результаты расчета на каждом уровне измерения стандартных откло-

нений и дисперсий приведены в табл. 5.34.

Альтернативный метод без итерации легко применим для расчетов

вручную с использованием уравнений (5.59), (5.60), которые можно представить в виде

(5.83)

(5.84)

где uUj – число значений элементов

uLj – число значений элементов

, для которых

>

<

+ ; – ;

175

Aj

y



и

Aj

s



ij

y

*

jij

yy 

№

ij

y

* ij

y

(1)

* ij

y

(2)

* ij

y

(3)

*

A

s

*

A

s

*

A

s

sd =

*

A

s

*

j

y

*

j

y

(1)

*

j

y

(2)

*

j

y

(3)

1

9,758

0,01582

0,01986

0,01986 2

9,807

9,780

3

9,757

9,7567

9,7549

4

9,746

5

9,723

9,733

1

7,730

0,06328

0,04583

0,04583 2

7,830

3

7,785

7,7807

7,7728

4

7,738

5

7,781

1

6,472

0,00692

0,00833

0,00833 2

6,536

6,482

3

6,468

6,4717

6,4742

4

6,503

6,482

5

6,467

1

5,649

5,574

0,02027

0,02260

0,02260 2

5,544

3

5,533

5,5440

5,5467

4

5,524

5

5,558

1

4,902

4,876

0,00396

0,00507

0,00507 2

4,867

3

4,872

4,8700

4,8698

4

4,870

5

4,838

4,864

– средние значения и стандартные отклонения (рj – uUj – uLj)

значений элементов

, для которых

 .

Таблица 5.32

Результаты эксперимента по модели с однородными уровнями (алгоритм А)

Еще одна возможность нахождения робастных оценок состоит в том,

чтобы использовать итеративный метод для нахождения приближенного решения, а затем нахождения точного решения с помощью уравнений (5.83) и (5.84).

176

Таблица 5.33

Лаборатория i

sij

* ij

s

(1)

* ij

s

(2)

* ij

s

(3)

*

Sj

s

*

Sj

s

(1)

*

Sj

s

(2)

sr =

*

Sj

s

1

0,01893

0,01442

0,01601

2

0,01102

3

0,00577

4

0,01442

5

0,02082

1

0,01000

0,010000

0,01000

0,01241

2

0,01732

0,01517

3

0,02082

0,01517

4

0,01000

0,010000

5

0,00577

0,005774

1

0,00808

0,00781

0,00808

0,00879

2

0,00577

3

0,00808

0,00781

4

0,00577

5

0,02000

0,01226

1

0,01058

0,01000

0,01013

2

0,01000

3

0,00404

4

0,01000

5

0,01155

1

0,02082

0,01671

0,01102

0,01218

2

0,01102

3

0,00577

4

0,00000

5

0,01528

















2 2 2

* 2 * *

1

/ η,

pu

j Uj

Sj j ij Uj Sj

i

w p w u w





 

   

 



Результаты эксперимента по модели с однородными уровнями (алгоритм S)

Альтернативный метод без использования итерации можно приме-

нять для расчетов вручную.

Уравнение (5.72) может быть представлено в виде

(5.85)

177

где

 







Ujj

up

i

* ij

w

1

2

* ij

w

* ij

w

№

sr

2

r

s

sd

2

d

s

sL

2

L

s

sR

2

R

s

1

0,01601

0,000256

0,01986

0,000394

0,01852

0,000343

0,02448

0,000599

2

0,01241

0,000154

0,04583

0,002101

0,04549

0,002070

0,04716

0,002224

3

0,00879

0,000077

0,00833

0,000069

0,00735

0,000054

0,01145

0,000131

4

0,01013

0,000103

0,02260

0,000511

0,02214

0,000490

0,02435

0,000593

5

0,01218

0,000148

0,00507

0,000026

0,00000

0,000000

0,01218

0,000148

*

S

w

– суммирование

Стандартные отклонения и дисперсии

< ψ; иUj – количество

> ψ.

Таблица 5.34

Альтернативные методы без итерации (5.83)–(5.85) можно использо-

вать для нахождения действительного количества значений wij, превышающих η

, с помощью подстановки и подбора числа значений иUj, начи-

ная с иUj = 0, иUj = 1 и так далее.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем главное различие основного метода повторяемости и вос-

производимости стандартного метода измерений и алгоритмов робастного метода?

2. Опишите процедуру выполнения расчета в соответствии с алго-

ритмом A робастного метода анализа.

3. Опишите процедуру выполнения расчета в соответствии с алго-

ритмом S робастного метода анализа.

4. Какие из рассмотренных методов определения оценок показателей

прецизионности являются наименее субъективными?

5. Каким образом робастные методы анализа влияют на результаты

измерений в лабораториях с плохой повторяемостью?

6. Каким образом принимается решение об использовании робастных

методов анализа?

178

7. Какие виды тестовых статистик могут быть использованы совмест-

но с алгоритмами робастного метода?

8. К каким статистическим моделям стандартов ГОСТ Р ИСО 5725

могут быть применены робастные методы анализа?

9. С какой целью наряду с основным методом определения правиль-

ности и прецизионности разработаны и используются альтернативные методы?

10. Какие требования предъявляют к образцам в эксперименте с раз-

делёнными уровнями?

11. Каким образом определяют число лабораторий, привлекаемых к

эксперименту с разделёнными уровнями?

12. Чем отличается статистическая модель эксперимента с разделён-

ными уровнями от основной статистической модели, применяемой стандартами ГОСТ Р ИСО 5725?

13. Каким образом определяют зависимость стандартных отклонений

повторяемости и воспроизводимости от средних значений результатов измерений?

14. Каким образом с помощью графического изображения h-статис-

тики Манделя можно судить о наличии систематических погрешностей в лаборатории?

15. Каким образом с помощью графического изображения h-статис-

тики Манделя можно судить о повторяемости результатов измерений в лаборатории?

16. Каким образом определяют выброс и квазивыброс с помощью

статистики Граббса?

17. Каким образом определяют выброс и квазивыброс с помощью

статистики Манделя h?

18. Какая из статистик Манделя (h или k) является внутрилабора-

торной?

19. Какие преимущества даёт метод для гетерогенного материала по

сравнению с основным методом оценки прецизионности?

20. Приведите пример гетерогенного материала.

179

21. Какие трехфакторные иерархии можно использовать в качестве

статистических моделей гетерогенного эксперимента?

22. Какой план эксперимента для гетерогенного материала представ-

лен в примере?

23. В каких условиях проводят несколько измерений в различных

пробах?

24. В каких условиях проводят испытания проб?

25. Объясните статистическую модель эксперимента для гетероген-

ного материала.

26. Как Вы будете действовать в случае непараллельного экспери-

мента для гетерогенного материала?

27. Как изменяется показатель неопределенности повторяемости и

воспроизводимости для каждого уровня измерений?

28. В каком случае можно считать, что расхождения между пробами

незначительны?

29. В каком случае применимы общие формулы расчёта результатов

эксперимента для гетерогенного материала?

30. Какие результаты измерений необходимо отбросить в случае

наличия выбросов в h-статистике Манделя средних значений?

31. Какие результаты измерений необходимо отбросить в случае

наличия выбросов в k-статистике Манделя для расхождений между пробами?

32. Какие результаты измерений необходимо отбросить в случае

наличия выбросов в k-статистике Манделя для расхождений между измерениями?

180

6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТОЧНОСТИ НА ПРАКТИКЕ

n

nf 

Практическое применение методов сравнительных испытаний рас-

смотрено в ГОСТ Р ИСО 5725-6-2002.

Цель стандарта – предоставление способов использования данных о

точности в различных практических ситуациях, а именно, при определении:

а) пределов повторяемости и воспроизводимости, используемых при

реализации стандартного метода измерений;

б) приемлемости результатов измерений, полученных в условиях по-

вторяемости или воспроизводимости;

в) способа оценки стабильности результатов, получаемых в пределах

одной лаборатории за определенный период времени;

г) подходов к оценке способности данной лаборатории правильно

применять стандартный метод измерений;

д) способов сопоставления альтернативных методов измерений.

6.1. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Обычная лабораторная практика наиболее часто требует рассмотрения различий между результатами измерений в соответствии с определённой мерой, близкой скорее к критическому различию, чем к стандартному отклонению.

Эта мера, основанная на n независимых случайных величинах, характеризуемых стандартным отклонением , будет иметь стандартное откло-

нение

. Предел воспроизводимости R и предел повторяемости r – рас-

хождения между двумя случайными величинами со стандартным отклонением

.

Для рассмотрения различия между двумя случайными величинами используют выражение

. Величина коэффициента критического

диапазона f зависит от доверительного уровня вероятности и закона распределения случайной величины.

Ниже дан ряд примеров по определению пределов повторяемости и воспроизводимости. Исходные данные приведены в табл. 6.1.