Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
11.13
f
f
x
x
03 33
(, ) (, ) .
30
x y dxdy f x y dxdy
xx
11.14
22
22
11
yy
22
(, ) (, ) .
00 0
x y dxdy f x y dxdy
y
Построить область интегрирования и изменить порядок
интегрирования:
2
x
x
2
x
3
2
11.15
11.17
11.19
12
x
dx f x y dy
0
1
dy f x y dx
0
122
dx f x y dy dx f x y dy
00 1 0
(, ) .
x
1
y
2
1
y
xx
(, ) (, ) .
(, ) .
11.16
11.18
24
dx f x y dy
20
423
dx f x y dy
0
(, ) .
(, ) .
10 00
11.20
11.21
11.22
dy f x y dx dy f x y dx
21
10 00
dx f x y dy dx f x y dy
2
2
34
3
dy f x y dx dy f x y dx
00 3
(, ) (, ) .
2
yy
(, ) (, ) .
2
2
x
y
(, ) (, ) .
x
1
y
14
y
14
Указание: При вычислении внутренних интегралов уравнения линий,
ограничивающих область
, должны быть решены относительно переменной
, то есть той, по которой вычисляется внешний интеграл. Разрешая уравнение
параболы
14
относительно y, получим
y
41yx
2
.
201
Вычислить интегралы
x
x
x
x
12
x
(1)
11.23
dx x y dy
0
x
.
11.24
11.25
11.26
11.27
11.28
11.29
();:1,2,0,2.x y dxdy x x y y
x
yx
();: ,2,2,0.
3
2
;: , , 2.
dxdy y x y x
2
2
x y dxdy y x y x xy x
1
1
2
cos( ) ; : 0, , .
x y dxdy y x y x
; : 0, 0, 4 .
dxdy x y y x
2
1
;: , , 2.xdxdy y x y x
2
x
11.30
2
x
2
y
;: , , 1.
dxdy y x y x x
1
3
xdxdy
11.31
11.32
22
xy
; : 0, 2, , 3.
; : , 0,0 , 1,0 , 0,1 .xdxdy mpeyгoльнuк ABC A B C
xyxyx
xy
11.33 Вычислить двойной интеграл
xy
3
dxdy
.
Показать, что изменение порядка интегрирования приводит к различным
результатам, и объяснить причину этого. Область
0, 1, 0, 1
xy y
.
- квадрат со сторонами:
202
11.3 Замена переменных в двойном интеграле
f
f
J
y
11.3.1 Общий случай
Пусть переменные х и у связаны с переменными u и v соотношениями
х = f(u, v), y =
(u, v), где f(u, v), (u, v) – непрерывные и дифференцируемые
функции, взаимно однозначно отображающие область
область
сохраняет постоянный знак в
плоскости О1 u v, при этом якобиан
1
uv
JJuv
(,)
uv
. Тогда верна формула замены переменных в
f
vu uv
двойном интеграле
(, ) , ; ,
Fxydydx F fuv uv d
Vv
()
22
dv F f u v u v J du
Vv
11
(где
((,),(,))
()
d J dudv
1
1
).
Таким образом,
интеграле, нужно
чтобы произвести замену переменных в двойном
заменить:
плоскости Оху на
f
1
(11.4)
1. х и у по формулам х = f(u, v); y =
2. dxdy на
3. область интегрирования
dudv
;
на область
(u, v);
.
1
Решение типовых примеров
11.34
Вычислить
у = х+1 , у = х -3,
, если область
17
yx
,
33
ограничена прямыми:
1
yx
5
.
3
xdxdy
Непосредственное вычисление этого двойного интеграла было бы
затруднительным; однако простая замена переменных позволяет свести этот
интеграл к интегралу по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям
координат.
203
Положим
x
y
x
x
x
x
uyx vy x
.
3
1
Тогда прямые
13yx yx
перейдут, соответственно, в прямые
и
1u
прямые же
на плоскости Ouv;
3u
17
yx
yx
,
33
1
3
7
перейдут в прямые
vv
,5
.
3
Следовательно, заданная область преобразуется в прямоугольную
область
. Остается вычислить якобиан преобразования. Для этого выразим х
1
33
и у через и и v. Получим:
uv
44
xx
yv
J
yy
uv
5
,
33
44
13
44
13
yuv
44
93 3
16 16 4
3u
1
1u
5v
7
v
следовательно
,
3
3
J
.
4
Тогда по формуле (12.4)
13 333 3
xdxdy
51
3
dv udu
4
7
3
3
11.35
u v u v dudv ududv
=
1 1
8.
Вычислить
44 444 4
()()
Область σ – квадрат, ограниченный линиями:
1, 1, 3, 1.
yxyxyxy
uv uv
Положим
2, .
xuv x y
22
Тогда якобиан преобразования:
получим
32
yxydxdy
;
yu
.
yv
.
xx
uv
I
yy
11
22
11
1
, то есть.
2
1
I
.
2
-
uv
22
204
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
1xy
1x
3
1, 0
1)
3)
Следовательно,
Так как область
y
1, 2
y
4
1
2
x
3xy
1xy
;
yu
, тогда
, тогда
()() .
также является квадратом, то
1
33
11 1 1 20
23 6 12 3
11
1, 1uv
3, 1uv
32 32
yxydxdy uvdudv
()()
33 3 4
() (11) .
uv du u du u
32 32
yxydxdy uduvdv
. 2)
. 4)
13
11
yv
.
1
2
1
1
2
2, 1
y
, тогда
0, 1
y
, тогда
31
11
3, 1uv
1, 1uv
.
.
v
1
1
1
3
u
1
205
F
F
F
xy
x
J
F
A
F
11.3.2 Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат
Воспользуемся формулой замены переменных:
(, ) ( (,), (,))
x y dxdy F f u v u v J dudv
При этом известно, что
В этом случае Якобиан имеет вид:
xx
1
cos ;
x
sin .
y
.
J
yy
Тогда
Здесь
В обобщённых полярных координатах, для которых
Представление двойных интегралов в виде повторных в правых частях
формул (11.5), (11.6) приводит к разным пределам в зависимости от того, где
находится полюс О полярной системы координат: вне, внутри или на границе
области
σ.
1. Если полюс О полярной системы координат находится вне области
- новая область значений,
1
0, 0 2
, имеем (так как якобиан
,
xydxdy
cos
sin
,
xydxdy
sin
=
cos
cos , sin
1
1
cos , sinab F a b d d
2
,
ab
+
dd
):
cos
22
2
=
sin
. (11.5)
arctg
xa
yb
.
y
.
cos ;
, где
sin
. (11.6)
ограниченной лучами
11.5) (из уравнения соответственно
12
полярных координатах сводится к повторному интегралу по правилу
2.
Если полюс О находится внутри области и уравнение границы
области
(12.7)
в полярной системе координат имеет вид
- функции заданные на отрезке
0, 2 , 0,
,
,
xydxdy
12
и линиями
,,
12
2
206
1
;
), то двойной интеграл в
cos , sindF d
(рисунок 11.6)
,
mB AnB
где
12
, то в формуле
(рисунок
,
. (11.7)
F
x
A
B
x
x
M
x
x
2
,
3. Если полюс О находится на границе области
xydxdy
00
cos , sindF d
. (11.8)
и уравнение её границы
в полярной системе координат имеет вид
12
(рисунок 11.7, 11.8)
0,
, а и
могут принимать различные значения
a
1
m
0
n
2
б
, то в формуле (11.7)
1
0
2
0
0
0
Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных полярных
координат.
207
Решение типовых примеров
x
x
x
11.36
Вычислить
4
22
в начале координат.
Если область
σ – круг или его часть, то многие интегралы проще
вычислять в полярных координатах.
cos ;
xy
Так как
sin ,
то уравнение окружности
22 22
cos sin 4
Согласно формулам (11.5) и (11.8), имеем
22
4 xyd
22 20
dd dtdt
00 02
4
22 22
4cos sindd
22
yd
, где -круг радиуса R=2 и центром
22
, то есть
22
4
22
dtdt
t
dtdt
02
p
4xy
будет иметь вид:
2
.
4
2
4 dd
20
t
22
00
2
dtdt
2
3
t
333
0
816
2
0
2.
11.37 Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
ab
dxdy
В интеграле
, выражающем площадь эллипса в декартовой
системе координат, перейдём к обобщенным полярным координатам.
Уравнение эллипса в обобщенных полярных координатах имеет вид
Следовательно, согласно формуле (11.6), получаем:
21
1
00
.dxdy ab d d ab d d ab
Вычислить
22
xy
22
1
.
1
.
2
ydxdy
11.38
прямыми
yxy xy xy
, где - параллелограмм, ограниченный
1, 2, 2 1, 2 3
.
208
11.39
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
f
x
,3
yy x
dxdy
, где область ограничена линиями
.
Указание: произвести замену переменных
1, 2,
yxy
y
,
yu v
.
x
11.40
12, 52yxyx
11.41
2
9yx
и гиперболами
Указание: произвести замену переменных
11.42
11.43
11.44
11.45
11.46
22
cos 2 ,a
dxdy
, где область ограничена линиями
.
ydxdy
22
ydxdy
22
ydxdy
22
ydxdy
2
sin dd
3
dd
. Кривая
2
,3,yx yx
, где область ограничена параболами
1, 5
yxy
.
2
y
,
yu v
x
222
ya
, если -1-ая четверть круга
22
9
xy
,
,
, если
:
22
xy
22
:2
yx
:; 2sin
25;
9.
.
R
.
, ограничена полярной осью и кривой
22
cos 2a
- лемниската.
2
4,yx
.
.
динатам и расставить пределы интегрирования:
11.47
xydxdy
, если
:
(, )
22
yax
209
- круг.
22
M
I
f
f
M
f
f
f
f
dx f x y dy
,
.
11.48
RRx
00
11.4 Тройной интеграл
Пусть функция
,,ufxyz
непрерывна в замкнутой области
VR
3
ограниченной некоторой замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. С
помощью произвольных гладких поверхностей разобьём область V на n
(1,)
элементарных областей
Vi n
i
, объёмы которых обозначим через
, так,
V
i
что
n
В каждой элементарной области
,,
xyz
iiii
и построим сумму
VV
n
niiii
1
i
.
i
1
i
выберем произвольно точку
V
i
,,
fxyz V
. (11.9)
,
,,
Сумма (11.9) называется n-ой интегральной суммой функции
xyz
в области V.
n
,,
Определение Если
lim
max 0
n
V
i
i
ни от способа разбиения тела V на частичные
них точки
,,
xyz
по области (объёму) V и обозначается
xyz
iiii
, то он называется тройным интегралом функции
,,
V
xyz V
1
iii i
,,
xyzdV
существует и не зависит
, ни от выбора в каждой из
V
i
.
Таким образом, по определению
n
,,
xyzdV
V
=
lim
max 0
n
V
i
i
1
,,
xyz V
iii i
. (11.10)
Свойства тройного интеграла
Тройной интеграл является обобщением двойного интеграла на случай,
когда областью интегрирования является пространственное тело объема V. Он
обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:
,,
kf x y z dV
V
kfxyzdV
=
V
210
,,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]