Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
f
f
f
f
f
f
x
f
x
f
f
f
f
f
M
f
f
M
f
f
f
f
2. Тройной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме
тройных интегралов от слагаемых функций:
,, ,,
xyz f xyz dV
12
V
3.
Если область интегрирования
Если в области интегрирования
4.
,,
xyzdV
V
5. Свойство аддитивности
Если область интегрирования V разбита на k частей
,,
xyzdV
V
=
V
1
,,
xyzdV
=
V
xyz
+
1
V
2
,,
xyzdV
1
,,
,,
xyz
V
,,
xyzdV
0
,,
yzdV
, то
+…+
2
+
,,
2
V
V
yz
, то
.
, ,...,
VV V
12
V
k
,,
xyzdV
,,
xyzdV
, то
k
,,
xyzdV
.
.
0
.
k
6. Если в области интегрирования
объём области.
7. Теорема об оценке тройного интеграла
Если m и
,,
функции
8. Теорема о среднем
Если функция
V, то в этой области существует такая точка
где V- объем области интегрирования.
Механический смысл тройного интеграла
xyz
соответственно наименьшее и наибольшее значения
в области V, то
mV f x y z dV MV
,,
xyz
V
непрерывна в замкнутой ограниченной области
V
,,
,,
xyzdV
,,
xyz
,,
xyz
0000
,,
xyzV
=
000
1
, то
.
V
, что
,
dV V
, где V-
,,
Если считать
области объема V, то тройной интеграл равен массе всего вещества,
заключенного в объеме V
xyz
объемной плотностью распределения вещества в
,,
211
xyzdV
.
m=
V
f
f
M
x
f
f
f
Теорема существования тройного интеграла
,,
Теорема
Для всякой функции
xyz
, непрерывной и ограниченной
в замкнутой области, имеющей объем V, существует тройной интеграл, то есть
,,
существует предел интегральной суммы функции
xyz
при
неограниченном увеличении числа разбиений n области Vна частичные
V
i
и
при стягивании каждой из них в точку, не зависящий ни от способа разбиения
,,
области V на части, ни от выбора точек
xyz
iiii
.
11.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
В декартовой системе координат область V удобно разбивать на
элементарные области плоскостями, параллельными координатным
плоскостям; при этом элемент объёма dV=dxdydz.
Считаем область V правильной (то есть такой, что прямые,
параллельные осям координат, пересекают границу области V не более чем в
двух точках). Для правильной области V справедливы неравенства (рисунок
11.9):
axb
,
121 2
yx xyz xy
,, ,
и следующая формула
для тройного интеграла:
xxy
b
22
,, ,, .
x y z dxdydz dx dy f x y z dz
Vaxxy
11
,
,
(11.11)
Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае
простейшей правильной области V вначале интегрируют функцию
xyz
по
,,
одной из переменных (например, z) при условии, что оставшиеся две
переменные принимают любые постоянные значения в области
интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной
(например, у) при любом постоянном значении третьей переменной в V и,
наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, х) в
максимальном диапазоне её изменения в V.
Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное число
правильных областей, и результаты вычисления по этим областям
суммируются. В частности, если область интегрирования – прямоугольный
параллелепипед, задаваемый неравенствами
,,Vaxbcydpzq
то
bd
,, ,, .
x y z dxdydz dx dy f x y z dz
Vacp
q
,
212
z
x
A
B
z
x
x
y
A
x
z
,zxy
2
,zxy
1
0
a
y
D
yx
b
Пример 11.49
Вычислить
является пирамида, ограниченная плоскостями
z
1
C
1
Рисунок 11.9
Решение типовых примеров
1
V
dV
Решение
Областью σ, в которую проектируется
область интегрирования V, является
треугольник АОВ в плоскости хОу,
ограниченный прямыми
yx
2
, если областью интегрирования
0, 0, 0, 1
yzxyz
0, 0, 1
yxy
.
.
Так как
основании формулы
0
1
1
B
1
xy
dzdz
0
0,
z
âõ
zxy
âû õ
1
, то на
(11.11) имеем:
1
dV
V
11
=
1
00 0
=
1
xy
x
dx dy z dz
1
.
213
x
x
x
f
M
Вычисляем последовательно интегралы:
222
11
zxyxy
2222
1
0
xy
1
;
1)
1
xy
1
zdz
0
1
x
x
1
0
0
33
xxx
1
;
2)
1
x
xy xy
0
23
1
dy y x
223 233 623
111 1
3)
1
0
342
xx x x
623 24 4 3 2443 8
111111
dx x
11
00
1
.
0
1
zdV
Итак,
V
1
.
8
11.6 Замена переменных в тройном интеграле
11.6.1 Переход к цилиндрическим координатам
При вычислении тройного интеграла в некоторых случаях удобно
применить метод подстановки, то есть произвести замену переменных по
аналогии с двойным интегралом. В этом случае
,,zzuvw
.
xuvw y yuvw
,, , ,, ,
Переход от одной системы координат к другой осуществляется с помощью
якобиана
,,zzuvw
I
- непрерывные дифференцируемые функции.
xx
uyw
yyy
, в котором
uyw
zzz
uyw
,, , ,, ,
xuvw y yuvw
Получим формулу:
,, ,, , ,, , ,,
xyz dxdydz f xuvw yuvw zuvw I dudvdw
VV
.
Отнесём область V к системе цилиндрических координат. Положение
,,
точки
xyz
в пространстве
0xyz
определяется тремя цилиндрическими
координатами
плоскость
0xy
,,z
, где
,
- полярные координаты её проекции на
и z - её аппликата. Установим связь между декартовыми и
214
цилиндрическими координатами, применяя следующие соотношения
x
f
f
f
y
y
x
x
x
x
cos , sin ,
,, cos, sin,
x y z dxdydz f z d d dz
VV
yzz
.
- формула перехода к
цилиндрическим координатам в тройном интеграле.
Вычисление тройного интеграла сводится к трёхкратному интегралу,
при этом удобно внешний интеграл брать по переменной
, средний – по
переменной
, внутренний – по переменной z.
Получим формулу вычисления тройного интеграла в системе цилиндрических
координат:
,
22
,, cos, sin, .
x y z dxdydz d d f z dz
Vz
11
z
,
(11.12)
Применение цилиндрических координат удобно в случае, когда область
интегрирования V образована цилиндрической поверхностью, а также, если
подынтегральная функция имеет вид
22
x
,
z
.
Решение типовых примеров
11.50 Вычислить интеграл от функции
ограниченной поверхностями
22
9, 0, ,
yyyx
uzx
22
0, 4,zz
по области,
0.
Решение
22
Построим область
0, 4zz
- плоскости.
:9Vx y
- прямой круговой цилиндр
z
0, ,yyx
4
3
3
y
Так как область интегрирования V образована цилиндрической поверхностью,
то удобно перейти к цилиндрическим координатам
22
cos , sin ,
yzz
, где
Определим новые границы интегрирования:
xy
0,03,04
.
z
.
4
215
M
x
f
f
y
4
3
0
0
3
r
Применим формулу (11.12) вычисления тройного интеграла в системе
цилиндрических координат
34 3
22 2
zx ydxdydz d d z dz d d
V
4
87218.
0
3
3
d
3
0
44
00 0 00
4
0
4
2
z
2
0
11.6.2 Переход к сферическим координатам
Другим случаем замены переменных в тройном интеграле является
переход к сферическим координатам.
Отнесём область
к системе сферических координат. Положение
V
,,
точки
xyz
координатами
плоскость,
0xy
в пространстве
,,
, где
и - угол отклонения радиус-вектора точки от оси
0xyz
,
- полярные координаты её проекции на
определяется тремя сферическими
0z
Установим связь между декартовыми и сферическими координатами, применяя
следующие соотношения
cos sin , sin sin , cos
yz
.
Формула перехода к сферическим координатам в тройном интеграле:
,,
f x y z dxdydz
V
V
cos sin , sin sin , cos sin
2
ddd
(11.13)
Применение сферических координат удобно в случае, когда область
интегрирования
если подынтегральная функция имеет вид
- шар с центром в начале координат или его часть, а также,
V
222
x
z
.
.
216
Решение типовых примеров
x
x
f
x
x
x
x
x
1
11.51
ограниченной сферой
Вычислить интеграл от функции
222
4xyz
.
u
5
222
yz
по области,
Решение
Так как областью интегрирования является шар с центром начале
координат и радиусом
применяя соотношения
2222
xyz
Граница области
.
- сфера, уравнение которой имеет вид
V
2R , то удобно перейти к сферическим координатам,
cos sin , sin sin , cos
yz
2
.
Подынтегральная функция в результате замены переменных примет вид:
1
u
5
Определим новые границы интегрирования:
.
02,02,
0
Применяя формулу (11.13), получим:
11
5
V
sin sin 5
000 000
sin 5 25ln 5 25ln 7 8 sin
00 00
25ln 7 8 sin
222
xyz
22 22
dd d dd d
2 2
dd dd
0
dxdydz d d d
2
25 25
55
2
2
2
d
0
sin
000
2 25ln7 8 cos 4 25ln7 8 .
22
2
5
25
2
0
0
, где
.
(, ,)
11.52
Свести тройной интеграл
x y z dxdydz
V
к трехкратному,
если область V лежит в первом октанте и ограничена поверхностями
22
2
yz
222
,
yz
.
()
11.53
плоскостями
Вычислить
0, 1, 0, 1, 0, 1.
xy yz z
V
y z dxdydz
по области V, ограниченной
2
V
dxdydz
по области V, ограниченной плоскостями
217
11.54 Вычислить
0, 2, 0, 0, 1.zzxyxy
11.55 Вычислить
z
x
y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
z
x
x
x
x
неравенствами
dxdydz
V
1
0; 2;01 .
xy x z x y
, где область V определяется
22
2
11.56 Вычислить
0, 1zzxy
.
V
(1 )
xzdxdydz
, где область V:
2
11.57 Вычислить
образованной вращением кривой
плоскостью z = h (h>0).
V
dxdydz
yz
, где V- тело, ограниченное поверхностью,
вокруг оси Oz и
11.58 Вычислить тройной интеграл
поверхностями:
22
,,,0.yx xy zxy z
V
dxdydz
11.59 Вычислить
1, 2 .zz
11.60
Вычислить
()
V
V
yz
22
()
y dxdydz
, где V:
3
, если областью интегрирования
является цилиндр, ограниченный поверхностями
0, 0,
y
yzdxdydz
1, 2, 1, 2,
xyy
22 2
yRz zH
, где V ограничена
,0, .
11.61 Вычислить
параболоидом вращения
11.62 Вычислить
цилиндром
22
2
yx
11.63 Вычислить
полусферой
222
11.64
2222
yzr
Вычислить
.
22
V
22
yz
V
y dxdydz
23
22
x y dxdydz
и плоскостями
222
V
9xyz
,
()
V
y z dxdydz
.
0z
22
y dxdydz
, где область V ограничена
и плоскостью Оху.
, если область V ограничена
0, 0,yzza
.
, если область V ограничена
, если V – верхняя половина шара
218
11.7 Приложения кратных интегралов
f
x
11.7.1 Приложения двойных интегралов
1.
Площадь S плоской области на плоскости Оху вычисляется с
помощью двойного интеграла
Sdxdy
(11.14)
2.
Пусть требуется вычислить объем цилиндрического тела,
.
ограниченного сверху поверхностью
хОу. Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, будем иметь:
Если тело ограничено сверху поверхностью
поверхностью
плоскость хОу является область
объемов 2-х цилиндрических тел:
22
формула (12.16) верна, если
на две части:
области
Тогда
,Vfxyd
Если в области функция
и
1
.
, где
1
таковы, что двойные интегралы по этим областям существуют.
2
,0zfxy
2
,0fxy
12
, причем проекцией обеих поверхностей на
, то объем V этого тела равен разности
,,
xy f xy
; и
,,Vfxyfxyd
12
,zfxy
, где
2
,zfxy
и областью в плоскости
,V f x y dxdy
VVV
меняет знак, то разбиваем область
. (11.15)
12
.
, где
,0fxy
,0zfxy
1
11
, (11.16)
. Будем считать, что
, а снизу -
,Vfxyd
;
12
3. Пусть поверхность задана уравнением
,fxy
функция
непрерывны в области
4.
плотность распределения масс
пластины вычисляется по формуле
Предположим, что плоская пластина имеет поверхностную
, а так же её частные производные первого порядка,
. Тогда её площадь S вычисляется по формуле
S
,,V f xyd f xyd
1
12
2
zz
xy
,fxy
непрерывную в . Тогда масса этой
219
2
dxdy
.
,zfxy
. (11.17)
,
(, )
y
, где
x
y
y
f
y
x
x
f
f
x
5.
Моменты инерции
поверхностной плотностью
начала координат О(0,0) соответственно вычисляются по формулам
2
I xI
0
=1. Тогда
;
Для однородных пластин
обычно считают
I y dxdy
x
6.
Координаты центра тяжести материальной пластины с плотностью
,fxy
вычисляются по формулам
Iyfxydxdy
x
,fxy
2
I
,
I
+
и
,fxy
I
относительно координатных осей Ох, Оу и
,
=
I x dxdy
y
,m f x y dxdy
плоской материальной пластины с
I
0
Ixfxydxdy
;
y
,
xy x y dxdy
,fxy
=const, для простоты в этом случае
2
. (11.18)
2
22
;
Ixydxdy
0
,
.
;
22
.
где
статические моменты пластины
формулам
m- масса пластины,
Тогда координаты центра тяжести плоской фигуры
x
В случае однородной пластины соответственно имеем
11.7.2 Приложения тройных интегралов
1.
Объём пространственного тела вычисляется с помощью тройного
интеграла
Syfxydxdy
x
,
fxydxdy
x y dxdy
,
x
S
xm
относительно осей Ох и Оу соответственно.
;
,
;
dxdy
dxdy
ym
S
,
и
y
y
Sxfxydxdy
y
определяются по
,
yf x y dxdy
xydxdy
,
ydxdy
dxdy
. (11.19)
,
.
-
VdVdxdydz
VV
220
. (11.20)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]