Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

8.10



p





f

p





f









f

p





f



f



8.12

8.14

8.16

Fp



Fp



Fp



Fp



4

.

2

pp



2

1

p



 

pp p p

123

  

520



22

49

pp



p





1

.

2



3

p

.

1

8.11

.

8.13

8.15

8.17

Fp

















pp

12



 

3

p



2

pp p



2

pp

pp p



43



2

1

p



2

1





32

p



11



.

2

.

2

p

8.18

Fp





ppp



53

2

125





.

8.19

Fp





pp



14



8.4 Нахождение оригиналов и изображений с использованием теорем

Решение типовых примеров

1. Теорема подобия

1

Если







tFp

8.20 Зная, что

sin1t

, то







fat F







1

cos1t

и

2

p



,



aa







2



p

где

1

, доказать

.

0a 

справедливость формул 7 и 8 (таблица 8.1).

2. Теорема смещения

Если







, то



tFp

bt

eft Fpb







.

Используя теорему смещения (или затухания), найти изображения оригиналов:

2

t



8.21

te





.

p

2

.

Так как

1,t





1

то

2

t

te







1.

1

 

p

2

Сверить ответ, используя таблицу.

3

t

8.22

te t



cos 4 .

2

t



8.23

te t t





sin 2 cos3 .

Рекомендация Воспользоваться формулой

1

sin cos sin sin .

  



2



101

Найти оригиналы, изображения которых задаются формулой:



f





f

p







f





f





p

2



pp

210

8.24

Fp





7

2

10 41

pp



.

8.25

Fp





3

.

3. Теорема запаздывания

Если







, то



tFp

Используя теорему запаздывания, найти изображения функций:

8.26

   

1

1,t



Так как



то по теореме запаздывания

Согласно свойству линейности имеем:



11 1

  

tta e e

  









8.27



sinft t

. 8.28

4. Теорема о свертке



tFp

Если



  

11

Fp Fp ft f d

   

12 1 2





,

 

22

t



0

Используя теорему о свертке, найти оригиналы изображений:

1

8.29





pF

 



21



tb e Fp



.

0,11  aatttf

11 1

 



apa

pb



pp p



tFp

1







1

pppp



1

2



.

, то

(для

1

ta e





 

.

4

1.ft t

,0tb b

1

).



a

.

p

11

Fp Fp



 

12

По таблице 8.1 находим

,.

12

pp



1

p



1







t

e

и

1

p





2



2

t

e



.

Применяя теорему о свертке, получим:

11

     

pp e e



12

t

2222

  

tttttt

eed ee ee e e

       



0



tt tt

 

 

00 00

2



t



 

eed e de deed

t

0

2

t

ee

22



1.



22

tt

Решить данный пример разложением на элементарные дроби. Ответы сверить.

102

8.30



f









f





f





f



f



f





f

















f







f









pF

1

)(





1



pp

11



p

.

22

1



()

8.31

8.32

Fpp

() .

Fp

5. Теорема дифференцирования изображения

Если

По теореме дифференцирования изображения, найти изображение данных функций:

8.33

В данном примере



t

Тогда

4

te

  



8.34

8.36

p

.

2

1





4

2

pp



tFp



tte





4

1



t

.





1



tte



tte



11

 



p

24t



4



.

2t

.

, то

и

1n 

p





n

tft F p



4

t

e





.

2

4







1

p

4

8.35

8.37

n

1.

n



.

2

tt t

tt t

sin 3

cos





.

6. Теорема о дифференцировании оригинала



tFp









nn n



то

Если

n n



ft pFppf pf f

  



В частности, при n = 1 при n = 2

Пользуясь теоремой дифференцирования оригинала, найти изображе-

ния следующих функций:

sin

8.38

Пусть

tt



sin .tFp



.

 



По теореме дифференцирования оригинала имеем:

при n = 1

при n = 2

sin sin 0 ,tpFp pFp

   

sin sin0 cos0 1.t pFp p pFp

   







22







Учитывая, что

,

1

0

,

00.ft pFp pf f



12

0 0 ... 0

  





tpFpf









2

 

sin cos sin ,ttt

 

 представим последнее

.

соответствие следующим образом:

sin 1.tpFp



 

103

2

Переходя к равенству изображений, имеем:

































y

f









f





















F





f





f



y









Отсюда находим

Fpp



8.39

По теореме дифференцирования оригинала имеем:

Так как сумме функций в качестве изображения соответствует сумма

их изображений, то получим

8.40

8.41



  

tytytyt

  

 



 

te







02f













 



t

 

t



.

 

и





2



1

,

2

то есть

1



, если

22

t

tppYp

45tft ft ft



01.f



sin .

0,yt pYp y pYp

00 .y t pY p py y pY p

 

, если

1.Fp pFp



t





000yy

2

1.

1

2

1

p







tFp





yt Y p

и





,

 

01f



.





,

8.42



02y





оригинала видно, что изображения производной и интеграла получаются из изображения функции – оригинала

алгебраических операций.

(решение дифференциальных и интегральных уравнений и т.п.) свести к выполнению алгебраических действий над изображениями искомых функций.

и

7. Теорема интегрирования оригинала

Если

Замечание. Из теоремы дифференцирования и интегрирования

Это даёт возможность многие операции математического анализа

8.43

если

По теореме дифференцирования и интегрирования оригинала имеем

   



yt Y p



  

pft

 

Найти изображение

01y 



  

 







и

.

,

то

Yp yt















22,tytyt yt yt

Fp

p

t





tyt yd

  

 

.



Решение

если

t







с помощью выполнения над

01,y t pY p y pY p





0

t





0

.

d

,



00,y 



01y

Fp



104







если











f







f





f













f





p

yy

y





t



yd





0

Отсюда находим

t



yt yt y d Yp



   

8.44 Найти изображение

00,y 



Пусть дано дифференциальное уравнение

yt Y p

  

дифференциальных уравнений второго порядка с

постоянными коэффициентами операционным







8.5 Алгоритм решения линейных



0



yt y d

  

.

методом



Yp

 

pp

 

t

260



0



12

.

p

2



p



1



,

,yayayft

(8.4)



1.

где

Требуется найти частное решение

следующему алгоритму.

соответственно:

начальных условий, находим изображения производных

исходного дифференциального уравнения и, приравнивая его изображению

0,yy



и

a

1

- постоянные коэффициенты, а

a

2

yt

, удовлетворяющее начальным условиям





0,yy

0

С помощью

1. Обозначим изображения искомого решения

2. Применяя формулы дифференцирования оригинала и с учётом

3. Используя свойство линейности, находим изображение левой части





то есть для данного уравнения поставлена задача Коши.

0

операционного метода задача решается согласно

yt Y p







 











 

tFp





 

2

t

является оригиналом.



yt

и функции



;



.

0;yt pYp y

00.yt pYp py y

yt

и

yt

t





:



функции

уравнение,

относительно

уравнения (8.5):

t

в правой части, получим вспомогательное (операторное)



которое является всегда линейным алгебраическим уравнением

Yp



4. Разрешая относительно

:



2

Yp p

   





00 1 2

apY p

Yp

105

0.

aY p F p

, находим операторное решение



(8.5)





F

ppyyay

































Yp





papa

010

2



12

.

(8.6)

5. Используя тождественные преобразования в выражении (8.6) и

таблицу 8.1, восстановим оригинал изображения

искомое

частное решение

yt



.

Yp

, то есть получим

Таким образом, операционный метод интегрирования линейных

дифференциальных уравнений характерен тем, что предварительно

yt

определяется не неизвестная функция

, удовлетворяющая данному



дифференциальному уравнению, а соответствующая ей преобразованная, то есть изображение

Yp yt









. При этом отпадает необходимость



определения постоянных интегрирования.

8.6 Решение дифференциальных уравнений операционным методом

Решить дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях.

t

8.45







2





eyyy

, если

00, 01yy



.

Решение

1) Пусть

yt Y p

 

















22







 

, тогда



t

e



0,yt pYp y pYp

00 1yt pYp py y pYp

1

 

.

1

p

и

2) Операторное уравнение имеет вид:

2



pYp pYp Yp

  



12 .

  

1

p

3) После несложных преобразований получим операторное решение:



Yp p p

2

  



2

21

p





pY

 

1



ppppY

p



1



2

14

1

,

2

,

121



ppp

1





pY

p

.

2

1



4) Восстановим оригинал по данному изображению

1

2

p









sh1t

.

106

5) Следовательно, искомое частное решение





































A





() shyt t

.

Продифференцировав y(t), убеждаемся, что оно действительно удовлетворяет данному уравнению.

tt

ee



yt t t



  



sh ch



2

Подставляя в данное уравнение

tttt tt

ee ee ee

 

 

 

,

2



yt t t

,,



  

, получим тождество:



tytyty

ttt

eee



ch sh



tt

ee

.



.

2

22 2

Проверим начальные условия

00

ee

00

y







и

2



01.

y



00

ee





2

Таким образом, уравнение решено верно.

3

8.46

 

23

yyye



t

, если

000.yy



Решение

Обозначим изображение искомого решения

1)

По таблице находим изображение функции

Согласно формулам дифференцирования оригинала и заданным

2)

начальным условиям находим

Составим операторное уравнение:

3)

2

pY p pY p pY p

  

Находим операторное решение:

4)

Yp





2

 

pp p



Разложим эту рациональную дробь на сумму простейших дробей:

1

13 3

pp p

 



yt

:



3

t









 







.



1

.

3

p

,yt pYp

2

.yt pYp

yt Y p

e





1

23 .



p

11

23 3





pp

13



3

.

2

BC



22

31

pp

.



После приведения к общему знаменателю в правой части этого

равенства имеем тождество:

11 31 3.Ap Bp p Cp 



Применяя метод частных значений, получим:

1p 

116 ;

CC

16

107

2

1















































x













x



p



x



3p 

14 ;

1p 

12 4 4 .

AA



AB CB 

1

4

1

16

Следовательно,

Yp

5)

По таблице 8.1 (формулы 5 и 6) находим оригиналы. В результате

частное решение данного дифференциального уравнения





111

2

16 3 16 1

pp

p

43





111

yt te e e







33

tt t

.



41616

.

8.47

8.48

8.49

8.50

8.51

8.52









 

yyye







 

yy ye

 

8.7 Решение систем дифференциальных уравнений

Найти частное решение системы

cos ,yy t

10,yy

32 ,

253,xxx

Решение типовых примеров

если

t

если

2,

t

если

операционным методом

dx

 



dt



dy

 

dt



000.yy

если

01, 00.yy

01, 00.xx

01, 00.yy



xyt



432,

,

yt











удовлетворяющее начальным условиям



tXp

Пусть

1)

12



Тогда

условиям имеем





2)

Согласно формулам дифференцирования оригинала и начальным

,2 .tt

22





p

yt Y p

и















00, 00.xy

Решение



pX p

108





,



.ypYp





.

3) С учетом введённых обозначений изображений искомых функций,

p



X





x



p



p













x



их производных и начальных условий

вспомогательная система имеет вид:

После элементарных преобразований получим

Таким образом, имеем систему двух алгебраических уравнений с

двумя неизвестными

Решение полученной системы находим по формулам Крамера

4)

где

11

p



    

43 2 2



pX p X p Y p

 

 

pY p X p Y p







   

 

 

43.





p

и



Xp



;;.



p



  



  

pXpYp

Xp p Yp

43 .

1,



 

 

Yp

, которую решим по правилу Крамера.

,

11

22

xy

22

1

,

2

p

2

1

2

p

2

y

Yp



11



,

p

34



p

Предварительно вычислим определители 2-го порядка

1341 21 1,pp pp p         



2

121 5

31 32 ,

       

x

pp

 

222 2

pp p

211

14 224 .

     

pp

 

y

222 2

ppp p

Итак, найдём решение вспомогательной системы, которое является

собственно

операторным решением, то есть изображением частного решения

данной системы дифференциальных уравнений:

Xp





pp

5

2





1

Yp

,

2



p

5) Разлагая рациональные дроби на сумму простейших, перейдём к

t

оригиналам

Xp







2

pp p p



yt

и



pABCD

59594

 

.



22 2

11 1

pp p pp p

22



11

 

2

p

23

p



23

p





2

pp

1





.

2

,

109

Yp



x











x















2

pp p p

111





AB C D

11 1 1

222

pp p pp p

22

11



 

14 6 14 8

.

23

p



Используя таблицу 8.1, восстановим оригиналы



ttete





95 9 4 ,

   



yt t e te





14 6 14 8 .

 



tt



Совокупность этих функций и является частным решением (в виде

параметрических уравнений) исходной системы дифференциальных уравнений.

8.53 Решить систему уравнений

250,

xyx

 



yyx





70,



если

001.xy

 

Решение



tXp

Пусть

1)

2)

Тогда

Составим вспомогательную систему

3)

















pX p Y p X p



 

pY p Y p X p

  





yt Y p

и

1,xt pXp

1.yt pYp

12 5 0,

 

17 0.

  



 

.



После преобразований имеем

 

Xp p Yp

 

 





4)

Решение вспомогательной системы находим по формулам Крамера

52

p



   

17



p

71.

2

12 37;

pp

521,

pXpYp





12

  

x

17



p

5;

51



p

  

y

11



6.

p

Следовательно,

5



Xp



 

 

Yp









x







y





p

2

12 37

pp

6

p



2

12 37

pp

,

.

110