Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

Тест 5

x



x



x









f

x



x

xC

x

1 Чему равно значение интеграла

ln(1 )xC

1:

2

; 2:

1

2

2 Первообразная функции

ln(1 )

2

() 4sinyx x



dx



1

2

1

C

; 3:

:

равна:

arctgx C

.

1:

4cos

1

c



; 2:

4cos

1

c



; 3:

4cos

1

c



2

.

3 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b),

если в любой точке интервала (a, b) функция F(x) дифференцируема и:



() ()Fx fx

1:



2:

() 0Fx

; 3:

() ()Fx fx

.

4 Отметить правильный ответ. Формула интегрирования по частям:

udv uv vdu

1:



; 2:

udv uv udv



; 3:

udv v vdu

2

.



5 Отметить правильный ответ. Отыскание неопределенного интеграла

называется

1: дифференцированием; 2: интегрированием; 3: логарифмированием.

6 Отметить правильный ответ. Неопределенным интегралом от функции f(x)

называется :

1: совокупность всех

первообразных; 2: сумма функций

() ()

xfx

2

;

3: производная функции f(x); 4: выражение

.

()

xdx

dx

7 Чему равен интеграл

22



:

a



1:

ln



xa



xa



c

; 2:

2

1

xa

ln

axa



c

ln ln

; 3:

axac



; 4:

22

ln

aC.

8

Чему равен интеграл

xdx

:



3

x

C

1:

; 2:

2

; 3:

C

3

31

5

2

; 4:

3 2

.

C

5

9 Дополнить формулировку:

x



x



x



x

У всякой непрерывной на данной интервале функции существует ...

1: точка разрыва; 2: неопределенный интеграл; 3:вертикальная асимптота графика функции.

10 Дополнить формулировку:

Неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен …

1: подынтегральному выражению; 2: самой функции; 3: производной

функции; 4: натуральному логарифму функции.

11 Универсальная тригонометрическая подстановка:

ttg

1:

Чему равен интеграл

12

; 2: costx ; 3:

2

t 



1:

(7 1)x 

23

; 2:

(7 1)xC

13 Чему равен интеграл

23



1

1:

3

3cos( 1)xC

5:

3

cos( 1)

x

3

; 2:

.

14 Чему равен интеграл 2

1

cos( 1)

3



3

1:

2

C

; 2:

2

; 3:

x

C

9

cos

; 4:

2

71



23

; 3:

23

sin 1



3

C



dx

:

; 4:

sin

t 

dx

2

:

(7 1)

xC

168

xdx

2

C

cos( 1)xC

; 5:

; 3:

2

; 5: ostarcc x.

24

; 4:

:

3

2

; 4:

C

;

(7 1)

24

x 

168

3cos( 1)xC

.

3

;

15 Дополнить формулировку:

С точки зрения геометрической, неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем перемещения кривой

()yFx

…

1: параллельно самой себе вдоль оси ОУ; 2: параллельно самой себе вдоль оси

ОХ; 3: симметрично относительно начала координат.

32

5.5

x



x



x



x



x



x



x



x



x

xc

x



x



x



x



x









x

xc

5.7

5.9

5.11

5.13

5.15

5.17

5.19

5.21

5.27

5.29

8

515 1

x



88

8

32

x

8

5

2

3

x

3

c

.

c

.

82 ln2

1

  

7

xc

.

x

2



24

ctg tg

3

x

4

c

.

xc

xc

.

1

5

11

 

xx

3

4

3

2

3

c

.

xc

4

2

ln 1

c

.

1

sin3

c

.

3

568x





4



c

.

Ответы к главе 5

5.6

5.8

5.10

5.12

5.14

5.16

5.18

5.20

5.22

5.28

5.30

x

18 1

3cos arctg

 

ln18 3 3

1

2

ln 2 3

xc



.

2

3

x

2

ln

xc



.

3

23

xxxc

3



.

34 2

36 ln

xx x xc



3

x

arctg



xc

.

3

x

3

2

ln 5 7

1



2

c

x

xc



.

1

ln sin

.

2

xx

22

eec



 .

x

6arctg

c

.

3

x

c

.

5.31

5.33

5.35

5.43

5.47

5.50

5.52

2ln 5

xc

.

1

ln sin 3 2



c

.

3

2

11 3

x



3

ex c

 

ln 3 2

x

.

33 2ln3

3

ln 1 ln

2

xc



c

. 5.44

3

1



. 5.48

sin3x

3

12x



c

.

2

3



3



xc

8



.

4

3

4

23ln1 3



xc   

.

11

5.32

sin 6

.

xc



212

5.34

4

xx

22

 

28ln 4arctg

xc



1

.

422

32

x



e

 

xc

.

5.36

11

cos7 tg4

724

2

5.45

cos x

ec

 . 5.46

1

x



ec



.

2

3

5.49

c

5.51

1

2cos

21ln

2



c

x

3

. 5.50

c

.

xc



4

8

.

4

3

12

2

.



5.53

1

5

53



24

33

5.54

x



x



x



x



x





x



x



x



x





x







x





x



x



x



x





x

5.56

5.58

5.65

5.67

5.69

5.71

5.73

2

9

x

c





.

9

2441

7

44

xxc



8

1cos



2

c 

.

8

arctg ln 1

xxc

1

2

.

2

sin 2 cos 2sin

xxx xc.

1

x

sin cos

ex xc



.

2

22

xx

ln 1 ln 1

   

222

2

x



ex c







1

 

5

.

xc

5.55

72arcsin 144

xx

2

.

c

12 2

2

c



.

5.57

22 1

xxx

 

ln

x

5.64

5.66

5.68

lnxxxc

ctg ln sin

xxc

32

xxxx



exexeec

.

.





.

366

1

5.70

cos ln sin ln



xxc

 

.

2

.

5.72

5.74

tg ln cos

xxc

2

ln 2 ln 2

xxxxc



.

.

5.75

5.77

5.79

5.81

5.89

5.91

5.93

xx

 

sin 2

2sin 1 4cos 1

11

eec

ln tg

x

xx

 

 

 

22

 

51 51

xx





c

.

c

.

525

2

x

242

  

ln 3 ln 3 .



x

2



3



9

xc

5.76

5.78

5.80

5.88

2

xx

arcsin 1 arcsin .

244

11

cos 2 1 sin 2 1

24

33

xx

22

xx

3ln 2

arctg 2xc

.

ln 1 1 2



143

arcsin

2

51

2

ln 2 10 arctg

 

xc 

.

5.90

x



c

.

5.92

5

x

xc

.

5.94

23

arcsin

x





ln

x

12

arctg

44

1

2

xxc

 

xxc

 

 

c



.

3ln2



x

2



.

1



c

.

2

3

1

c



.

2



x

.

c



31721

5.95

2

5.97

5.98

5.100

3

 

2ln 4 3 4

2

ln 1 arctg

xc

 

33

22

6185ln 3 618

xxxxc  

8 5 2 3arcsin

2

xc

22

xxc 

x

.

5.96

1117

2

ln 8 7 ln

xc

 

261

x



.

x



.

x

1

. 5.99

6

413 1 1

xx

2

21054 3

xx



arctg



c

.

34

5.101

x





x







x



x



.

x



x



x





x



x





x



5.106

5.108

22

224ln 22

xxxxc  

3

x

2

48ln 2

xc 

.

5.107

3

cx xx

ln

3

1





.

5.109

1

ln

2

xc 

x



c

 .

ln 2 ln 3 ln

12

xx

.

5.110

5.112

5.114

5.116

5.122

5.124

5.125

5.126

5.128

1

ln

4

 

x

2



4

x

1



ln

.

c

2



1

c

.

xx

2

25

xx





ln arctg .

122

x



x

11 1

2

x

21



2



3

34

x







24

3

12 1

3

34





3

11



ln 1 ln 1

xc 

x

2





.

33

34ln34

x



2

xc

c

32

xx

5.111

32

5.113

1



1

xx

111

5.115

arctg ln

241

5.117

5.123

xc

ln

3

27



8

.

2

xx

 

4ln

xx

 



x



13



ln

x



x



2

4

x



c



.

x

4

.

c

5

2





2

c



c

3



c

.

32



6ln1

 

44



4ln1

  

6ln

3

xx

 

66

xc

.

32

53

xx x x

     

44

xc

543 2

6

x

6

x



c



.

5.129

1

. 5.127

arcsin c



x

1

1521

xxx

  

2

ln

x



c

.

5.130

5.132

2

ln 3 4

c

3

212

913

412

xc

.

5.131

5.133

61212

55 5

6

12 12

xxc

ln 1 .



55 5

3

3141

xc



.

913

85

33

xc 

.

5.135

5.134

11

33

11

 

85

35

sin sin

5.142

xx

c

.

5.143

35

22

42

xx



3

1

cos

x

c



c



.

5.144

x



x



x



x





x



x



x



x



x









11





26



sin 6



xc

.

5.145

11

sin 4

832

xc



.

5.146

5.148

5.150

5.152

5.154

5.156

5.158

5.160

5.162

11 1



sin 2 sin8



22 8





xc

.

x

ln tg

.

c

2

1

cx

.

tg 2



2

11 1

sin 4 sin 2

xxc 

3

.

16 64 48

x

2tg

ln

2tg



2

c

.

x



1

4

2

11 13

cos cos

xx

c

.

11 13

1

ln tg



2sin

c

2

.

x

2



c

.

x

1tg



2

1

32cos3

.

c

2

5.147

5.149

5.151

5.153

5.155

5.157

5.159

5.161

5.163

1

cos6 sin 4



.

xc

12

11

222

121



arctg tg

 

579

sin sin sin

x

c



.

xxc



579

11

cos 7 cos3



xc

.

14 6

13tg

arctg

x

c

.

15 5

31 1

sin 6 sin12

xxc



82 96

5

3

33

cos 3cos

1



xc



.

5

tg

x

2 arctg

 





2

c

.

x

tg 2

1

ln

3



2

x

2tg 1



c



.

2

.

1

5.164

5.166

5.168

5.170



2 arcsin sin 2 arcsin

 

57

sin 2 sin 2

xx



c

.

22 2

xx

c

.

5.165

5.167

10 14

1sin12

x

c

.

5.169

896

cos 1 3 cos 1 3



xx



3



c

.

5.171

39

11

arctg sin 2arctg

xc

24

11

sin 2 sin16

xc



432

sin 2 1 sin 12 1

xx



 

424

1sin2



2sin2 2

x

c

.



.



c

.

36

Глава 6 Определённый интеграл









x





f



x





f





x









f



f





f













f







xa

xb



x







xa

xb

6.1 Определение определённого интеграла

Пусть функция

;ab

отрезок



на n произвольных отрезков точками

каждом элементарном отрезке

и составим сумму:



i

  

суммой

xx i n

iii

функции

,1,2,,

1



yfx

. Сумма такого вида называется интегральной

x

на отрезке

определена на отрезке



;

x



ii



разбиения выберем произвольную точку

1



;ab

xf x f x

11 2 2 nn

. Обозначим через

Определение Если существует конечный предел интегральной суммы

при

элементарные отрезки и от выбора точек

, который не зависит от способа разбиения отрезка

0

в каждом из них, то этот предел

i

называется определённым интегралом от функции

b

Обозначается



a



подынтегральной функцией на

При этом число

- верхним пределом, x - переменной интегрирования.

b

, а сама функция называется интегрируемой

xdx

;ab

, то есть

b

xdx f x





a

lim



0

n





i

1





ii

a называется нижним пределом интегрирования,

Теорема существования определённого интеграла

;ab

и

axxx x b

x

,,, ,

012

max



in

1

на отрезке

. Разобьём

ab

n



.

i



;ab



. На



, где

;ab

на

.

(6.1)

Если функция

yfx

непрерывна на



;ab

, то она интегрируема на

этом отрезке.

Геометрический смысл определённого интеграла

b

Если

0fx



на

;ab



, то определённый интеграл



a



xdx

геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями

y

0

yfx

,

Sfxdx

yfx

S

0y

b



a

,



(6.2)

0y

,

(рисунок 6.1).

37

1) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного

A

f











f









f



x





f







f



f





f

интеграла, т.е.

2) Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме

интегралов

3) Свойство аддитивности.

6.2 Основные свойства определенного интеграла

bb

fxdx Afxdx

 



aa

bbb

x f x dx f xdx f xdx

 



12 1 2



aaa

 

;

;ab

Если отрезок

4) Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не

меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция.





5) Если на интервале

неравенству

6)

Теорема об оценке интеграла

Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения

непрерывной на отрезке

С геометрической точки зрения теорема говорит о том, что площадь

криволинейной трапеции заключена между площадями двух прямоугольников, имеющих то же основание, что и трапеция, а высоты соответственно m и М.

7)

Теорема о среднем

разбит на две части

bcb

xdx f xdx f xdx

  



aac

a

fxdx



a

xx



;ab



mb a f xdx M b a  

функции

  

ba

;

0

;ab

, то

b

xdx f xdx

 



ab

две функции

bb

xdx xdx

 



aa

x



a

;ac

, то справедливо неравенство:

и

;cb

, то

;

x

и

.

удовлетворяют



;

x

Если функция

найдется хотя бы одна точка с, что будет выполняться равенство:

непрерывна на отрезке



b

xdx b a f c

   



a

38

.

;ab

, то внутри его

6.3 Правила вычисления определённого интеграла



f









f







f





f









f



f

x



f





6.3.1 Формула Ньютона-Лейбница

Если функция

Fx

от функции

отрезке, то есть

Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага:

интеграла, находят некоторую первообразную

и

Fx , то есть

- некоторая первообразная для



x

на



Нахождение определённых интегралов с использованием формулы

на первом шаге, используя технику нахождения неопределённого

на втором подсчитывают разность значений первообразной в точках

a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом

b



a

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона-



x

непрерывна на отрезке



x

на

;ab

равен приращению первообразной

b

xdx Fb Fa

  



a

b

xdx F x Fb Fa

   



a

b

a

;ab

, то определённый интеграл

. (6.3)

Fx

для

. (6.4)

;ab



x

и функция

Fx

,

на этом



b

Лейбница можно использовать любую первообразную

x

подынтегральной функции

.

0c 

Решение типовых примеров

Пример 6.1

6.3.2 Замена переменной (интегрирование подстановкой)

Пусть выполняются следующие условия

Вычислить интеграл



4

dx



cos 4 6 3



6

2

x

, например, имеющую более простой вид при





4

dx

.

2



cos



6

Решение



4

tg tg tg 1 .

x





6



3

Fx



для

функция

1)

x

непрерывна на отрезке



39

;ab

;

2) функция



x









f

x









на отрезке

t

непрерывна вместе со своей производной



t 

;

t

3)

функция

4)

,ab   

 



;

определена и непрерывна на отрезке

t

b

xdx f t tdt

   



a















. (6.5)

Решение типовых примеров

e

2

Пример 6.2

Вычислить интеграл

ln



x

1

dx

.

Решение

обозначим

xx



ln

e

23

xdx t

ln 1 1



10

dx dt t dt

xx



если x то t



1, 0

1

2

1

10 .

33 3



0

;

, тогда

на

если xeто t



,1

6.3.3 Интегрирование по частям

Пусть

;ab



, тогда справедливо следующее равенство:

;uux VVx

bb

udV uV Vdu



aa

- непрерывно дифференцируемые функции

b a

. (6.6)

Решение типовых примеров

2



Пример 6.3

Вычислить интеграл

cos 2xxdx



0

.

Решение

ux dudx

;

2



xxdx

cos 2



0

11 11

xx xdxxx x

sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

 

22 24



dV xdx V x

cos 2 ; sin 2



1

2

222



2



000

0



111111

2sin4 0sin0 cos4 cos0 1 1 0.

    

224444

40