Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Кривую
A
L
x
M
I
A
L
P
A
L
L
L
L
L
L
L
L
L
разобьём в направлении от А к В на n элементарных дуг
B
l
i
и построим векторы
l
векторов
на оси координат. Начала этих векторов совпадают с началами
i
элементарных дуг
элементарной части
lxiyjzk
ii i i
, а концы – с их концами (рисунок 11.10). На каждой
l
i
выберем произвольную точку
l
i
интегральную сумму
n
,, ,, ,,
Pxyz x Qx yz y Rx yz z
n i ii i i ii i i ii i
1
i
Предел суммы (11.25), найденный при условии, что все
называется
криволинейным интегралом второго рода или криволинейным
интегралом по координатам
обозначается
,, ,, ,, ,,
a x y z dl P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
LL
AB AB
, где
n
,, .
axyz l
i
iii i
1
от вектор-функции
n
lim , ,
l
i
axyz l
0
i
iii i
1
,,
yz
iii
,,
xyz
iiii
l
i
,,axyz
по кривой
- проекции
и составим
(11.25)
0
,
и
B
(11.26)
Если функции
гладкой кривой
xyz Qxyz Rxyz
, то предел суммы (11.25) существует, то есть существует
B
непрерывны в точках
,, , ,, , ,,
криволинейный интеграл второго рода (11.26).
Криволинейные интегралы второго рода обладают основными
свойствами определённых интегралов (линейность, аддитивность).
Непосредственно из определения криволинейного интеграла второго рода
следует, например, что он не зависит от направления интегрирования вдоль
кривой, то есть меняет знак при изменении ориентации кривой:
Если кривая интегрирования
второго рода обозначаются
adl adl
LL
AB AB
adl
L
.
замкнута, криволинейные интегралы
. В этом случае через кривую L проводится
ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по
принимается такое направление, при котором область поверхности,
ограниченная кривой
, находится слева, если двигаться вдоль
по
выбранной стороне указанной поверхности (то есть обход контура
совершается против хода часовой стрелки).
Если плоскую область
D , ограниченную кривой
имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми
, то
2
, разбить на части, не
и
1
231
adl adl adl
L
L
L
A
L
x
x
P
y
A
L
P
A
L
f
P
I
A
L
I
A
L
LLL
где направления обхода по контурам
либо отрицательные.
Если гладкая кривая
xt
yyt
,
,
zzt
, где
B
tytzt
,
12
,
и
1
задана параметрическими уравнениями
,,
- всюду либо положительные,
2
- непрерывно дифференцируе-
мые функции,
начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для
вычисления криволинейного интеграла второго рода:
L
Если кривая
,, 0, 0Rxyz zt
,,
Pxydx Qxydy
L
AB
Если кривая
x
производная
Pxydx Qxydy
L
AB
11.88
параболы
yx
непрерывна на отрезке
,,
Вычислить
2
, расположенными между точками
,,Ax y z
,, ,, ,,
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
AB
,, ,,
xt yt zt x t Qxt yt zt y t
лежит в плоскости
B
и формула (11.27) упрощается:
лежит в плоскости
B
Решение типовых примеров
xt yt x t Qxt yt y t dt
и
,, .Rxt
tztztdt
,,.
b
a
xydx x y dy
L
AB
,, .
xf x Qxf x f x dx
,,Bx y z
0xy
0xy
;ab
2
(11.27)
,
и задана уравнением
,
, если линия
0,0A
- соответственно
,,a Pxyi Q xy j
,,a Pxyi Q xy j
и
2, 4B
(11.28)
yfx
(11.29)
B
.
- дуга
, то
,
, то
Решение
2
Так как в данном случае
формуле (11.29), получаем:
22
Ixxxxxdxxdxx
11.89 Вычислить
где
- отрезок прямой, соединяющей точки
B
222 3 4
00
ydx x z dy x y dz
L
AB
2 5 20.
232
,2,0;2fx x f x x x
2
5
4
0
,
1, 1,1A
и
, то согласно
2,3, 4B
.
Решение
x
A
L
x
L
L
x
x
x
Запишем параметрические уравнения прямой
:AB
,
1
t
14yt
,
13zt
. На отрезке
B
параметр
01t
. Поэтому, согласно формуле
(11.27),
11
1 4 2 4 4 2 3 3 13 11 18,5.Itttdttdt
00
11.90 Вычислить
пересечения цилиндра
Iydxxdyxydz
L
22
4xy
с плоскостью
2
, если
yz
- кривая
0
, «пробегаемая» в
положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной
плоскости.
Решение
Найдём параметрические уравнения кривой
кривой
на плоскость
записать, что
2cos 2sinztt
xt dx tdt
yt dy tdt
zttt
0xy
есть окружность
2cos , 2sin
ty t
. Тогда из уравнения плоскости находим, что
22
. Таким образом,
2cos 2sin ,
2sin 2cos ,
2cos sin , 0;2 ,
dz t t dt
2sin cos .
. Так как проекция
4xy
,
, то можно
0z
Отсюда по формуле (11.27) имеем:
2
0
2
2 2cos 2 8cos 8sin cos 4 cos 2 4 .tt tt tdt
0
11.8.3 Приложения криволинейных интегралов
23 22
4sin 8cos 4 cos sinIttttdt
2
С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычислять
длину дуги кривой, массу материальной дуги, её центр масс, площади
цилиндрических поверхностей и другие величины.
11.91
23
tt
,, ,02
23
14
22
Вычислить массу m дуги кривой L, заданной уравнениями
yt z t
y
.
, если плотность в каждой её точке
Решение
Искомую массу можно определить по формуле
233
,, ,
f
A
L
x
x
A
L
x
x
A
L
x
x
x
x
x
R
x
где
,, ,,
xyz xyz
mxyzdl
L
AB
- линейная плотность материальной дуги
(механический смысл криволинейного интеграла первого рода).
mxydlttttdtttdt
14 1 1 1
L
2 2 422 4 24
22
00
11.92 Вычислить координаты центра масс однородной дуги окружности
22 2
yR
,,
III
0
, расположенной в первом квадранте, и моменты инерции
.
y
B
116
15
.
Координаты центра масс материальной дуги
плотность
,,
yz
, определяются по формулам:
, имеющей линейную
B
111
CCC
где
m - масса дуги
xxyzdl y yxyzdl z zxyzdl
,, , ,, , ,, ,
mmm
LLL
AB AB AB
.
B
Решение
Так как прямая
. Для нахождения
y
CC
поскольку
const
. Интеграл
является осью симметрии дуги окружности, то
yx
используем первую из формул
C
dl xdl
LL
x
C
dl dl
LL
,
1
dl R
L
2
определяет длину четверти рассматриваемой окружности. Вычислим
dl
,
L
где
xR t yR t t
cos ; sin ; 0
;
2
22
dl x t y t dt Rdt
.
Следовательно,
2
dl R tRdt R t R
L
cos sin
0
22
2
0
.
Окончательно имеем:
2
2
xy
CC
,,
При вычислении
III
0
воспользуемся формулами
y
234
R
2
R
.
222
I
I
x
A
L
x
f
A
L
x
A
L
x
A
0
22 22 2 2
xyz
y z dl I x z dl I x y dl
LLL
AB AB AB
I z dl I y dl I x dl
xy xz yz
222
LL L
AB AB AB
,,,
,,.
xyzdl
L
AB
,
[Моменты инерции связаны следующими соотношениями:
2,
IIII II I I
00
y z xy xz xz
.
Если дуга
,,
III
0
,, ,,
где
xyz xyz
лежит в плоскости
B
(при условии, что
y
- линейная плотность материальной дуги
формулой (11.22) для случая плоской дуги (
Ixydl RRdtR
0
Iydl RtRdt tR
x
222 3
L
22 2 3
L
22
sin 1 cos 2 4.
00
Криволинейный интеграл второго рода (11.25) в случае, когда
0xy
, то рассматриваются только моменты
)],
0z
) и учтём, что
0z
2
2,
0
3
R
II
:
y
2
aF
сила, под действием которой перемещается тело, определяет работу силы
пути
. В этом заключается физический смысл криволинейного интеграла
B
второго рода.
11.93 Вычислить работу А силы
прямой ВС, если
1,1, 1B
и
2,3,4C
.
Fyzixzjxyk
вдоль отрезка
, и
B
-
F на
Решение
1, 12
Запишем параметрические уравнения прямой
13zt
, где
01t
. Тогда работа А силы F на пути
BC
:
вычисляется по
BC
ty t
формуле
yzdx xzdy xydz
L
BC
1
1213 1132 1123ttdtttdtttdt
0
1
2
18 22 6 23.ttdt
0
Теорема (Грина) Если функции
,Pxy
и
,Qxy
непрерывны и
имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области
0xy
D, лежащей в плоскости
и ограниченной кусочно-гладкой кривой L, то
,
235
LD
P
x
L
x
QP
Pdx Qdy dxdy
LD
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном направлении.
Формула (11.30) называется формулой Грина.
Если в некоторой области D выполнены условия теоремы Грина, то
равносильны приведённые ниже утверждения.
xy
(11.30)
,
1.
расположенный в области D.
2. Интеграл
соединяющего точки А и В, где
3.
,uxy
вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
.
4. Во всех точках области D справедливо равенство
Из формулы Грина следует, что площадь
Pdx Qdy
L
dx Qdy du x y
0
, если L – любой замкнутый контур L,
L
AB
Pdx Qdy
,
не зависит от пути интегрирования,
AB
, где
.
,du x y
- полный дифференциал функции
QP
.
y
(11.31)
области D можно также
S
1
Sydxxdy
где интегрирование по контуру
11.94 Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой
322
0xxy
.
D
2
L
производится в положительном направлении.
y
,
1
23
0
236
Из уравнения кривой получим, что
x
x
x
x
x
x
P
1yxx
, то есть кривая
симметрична относительно оси
функции
1yxx
определены при
и пересекает её в точках
0
y
, а
1
при
к параметрическим уравнениям данной кривой, положив
yxt
в уравнение
где для петли
322
11t
0xxy
, получим
.
3222
xxt
,
Следовательно, искомая площадь
11
18
Stttttdtttdt
215
322 42
10
2131 21.
11.95 Вычислить
22
Iyxdx yxdy
где контур L – окружность
11,
L
22
4xy
, «пробегаемая» в положительном
направлении обхода.
Решение
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина (11.30):
22 22
I y x dxdy x y dxdy
где D – круг, определяемый неравенством
11
DD
22
4xy
. Имеем:
и
0
; обе
1
. Перейдём
yxt
. Подставив
23
1, 1xt yt
,
,
sin , ,
xdxdydd
Ixydxdy
22
D
33
dd d d
D
sin , 0 2 , 0 2
y
22
8.
00
С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно
решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение
,,
xydx Qxydy
функции
,uxy
. Требуется найти эту функцию.
, которое является полным дифференциалом некоторой
Решение данной задачи определяется формулой
x
,, ,
uxy Pxy dx Qxydy C
xy
00
0
y
(11.32)
или
y
0
, (11.33)
,Pxy
,
где точки
,Mxy
000
x
,, ,
uxy Pxydx Qx ydy C
и
xy
00
,Mxy
принадлежат области D, в которой
,Qxy
и их частные производные являются непрерывными функциями; С –
произвольная постоянная.
237
11.96 Показать, что дифференциальное выражение
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dy y dx
yxx
является полным дифференциалом некоторой функции
11
2
1
ln
,uxy
, и найти эту
функцию.
Решение
Так как
11
,ln,,,
2
1
xy
0xy
, исключая точки,
то
1P
yy
и
Pxy y Qxy
1Q
. Значит, во всех точках плоскости
y
лежащие на осях координат, данное дифференциальное выражение в силу
равенства (11.30) является полным дифференциалом некоторой функции
,uxy
взять
. Теперь воспользуемся общей формулой (11.32) или (11.33), где можно
1,1M
.
0
По формуле (11.32) имеем:
x
11
,
uxy dx dy C
arctg ln ln arctg ln ln
xxyC xxxyC
11
x
1
2
1
xx y
y
1
y
x
,
где С – произвольная постоянная.
11.97 Вычислить
AB
лежащей в первой четверти.
2
ydS
, где (АВ) – часть окружности
22 2
yR
11.98
Z
dS
22
xy
, Z – отрезок прямой ОА: О(0,0), А(1,2).
4
,
22
11.99 Вычислить
22
а)
sin ;
б)
cos
yt
yxdS
L
, где L – контур окружности
0xyaxa
;
t
по дуге окружности (I четверть).
11.100 Вычислить
L
заключенный между точками
dl
, если L - отрезок прямой
y
0, 2A
и
4,0B
.
1
yx
2
,
2
238
11.101 Вычислить
x
L
y
L
x
x
x
x
x
L
ydl
, если
- контур прямоугольника с
вершинами в точках
11.102 Вычислить
sin , 1 cos 0xat t ya t a
11.103 Вычислить
1, 0 ,1A
треугольника с вершинами в точках А(1,1) В(2,2) С(1,3), пробегаемый против
часовой стрелки
пробегаемая от А(-1;1) до В(1;1).
Ixyyydxxxyxdy
вания. Вычислить этот интеграл по прямой ОА, где А(2;3).
взятый по замкнутому контуру равен нулю.
и
11.104
а) по прямой АВ;
б) по контуру треугольника АВО;
в) по дуге параболы
г) по дуге эллипса
11.105 Вычислить
а) по ломанной со звеньями АВ, ВС, СА;
б) по формуле Грина.
11.106
11.107 Выяснить, будет ли криволинейный интеграл
(6 4 5 ) (3 8 5 )
AB
2, 2, 3B
Вычислить
()
L
22
11.108 Будет ли криволинейный интеграл
0,0, 4,0, 4,2, 0,2ABCD
2
dl
L
yzdl
L
.
(1)
ydxxydy
L
44xy
22
(2)(2)
yx dx y xy dy
2
cos 2sin
ty t
2( ) ( )
()
C
, если
.
, если L - отрезок прямой между точками
2
;
.
22 2
ydx x ydy
зависеть от формы пути интегриро-
- первая арка циклоиды
от точки
, L – дуга параболы
L
.
1, 0A
до точки
, если С- контур
13 2
()
24 3
xx x
2
yy
dx dy
0, 2B
yx
,
2
,
239
11.109 Вычислить
y
za
x
A
L
x
x
x
x
x
zdx zxdy xydz
L
, где L - длина винтовой линии
cos , sin , 2xR t yR t zat
её пересечения с плоскостью
0z
ydx y x dy
L
AB
точки
11.110
0,0A
и
а)
yx
yx
б)
2
yx
в)
yx
г)
Вычислить
1,1B
, задана уравнением
;
2
3
.
11.111 Найти длину дуги кривой
пересечения ее с осями координат.
от точки пересечения линии с плоскостью
.
, если линия
2;
x
6
t
y
6
, соединяющая
B
4
t
4
между точками
11.112 Найти массу дуги ОА: О(0,0) А(4,16/3) кривой
32yxx
в каждой ее точке линейная плотность равна абсциссе точки, то есть
11.113 Найти массу четверти эллипса
расположенной в первом квадранте плоскости
массы
.
z
, если линейная плотность
0xz
cos , sin
11.114 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
2
y
81
y
,
(площадь, примыкающая к началу координат).
sinyb t
11.115
.
Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом
11.116 Найти работу силы
Fxyi xyj
при перемещении точки
массы m из начала координат в точку А(1,1)
а) по прямой
б) по прямой
yx
;
2
yx
.
, если
.
tz t
yx
at
2
,
cos ,
,
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]