Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
производная п-го порядка есть частная производная от производной (п-1)-го
f
x
x
x
x
x
порядка.
Дифференциал от дифференциала
дифференциалом второго порядка в этой точке и обозначается
() ( , , )
ddz d f xydx f xydy
,2, ,
,
xy dx f xydxdy f xy dy
22
xy
ddz dx dxdy dy
xy
22
xy
222
zzz
22
22
xxyy
2
в точке М(х,у) называется
dz
2
dz.
.
Дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка называется
1nn
дифференциалом п-го порядка функции
Выражение для
символически можно записать в виде:
dz
n
dz dx dy f xy
xy
(, ):zfxy
n
dz dd z
,
.
.
При п = 3
3
33 3 3
ff f f
xxy xy y
32 23
dx dx dy dxdy dy
32 2 3
33
xy
3
,dz dx dy f xy
.
10.81
функции
2
z
yx x
zx xyy
10.82
Решение типовых примеров
Найти все частные производные первого и второго порядков от
32 3
.
Решение
zz
22
32;
yx
Найти
dz
xy
2
z
2
xx
xy y
2
, если
222
32; 3
2
z
2
z
2
yy
xy x y
2
32 62;
xy x y
.
2
32 2;
xy x
22
36.
yy
y
arctg .
zx
181
Решение
z
x
z
x
y
x
x
y
x
x
Находим первый дифференциал:
zz y x
dz dx dy dx dy
x y xy xy
Находим вторые производные:
2
zyxy
222
xxxy
22 22
2
;
22
xy
2
.
222
xy y x y
2
zx xy
222
yyxy
yyx
22
22
xy
2
22
xy
;
2
.
2
Второй дифференциал:
222 2
y dx y x dxdy xydy
22
xy
2
.
2
dz
2
Найти частные производные второго порядка:
10.83
43 22 34
34 5 .zx xy xy xy y
10.84
ln .zyx
3
.
10.86
ze
2
y
.
10.85
1
22
xy
3
Найти дифференциалы второго порядка:
10.87
10.89
22
.zxy
10.88
y
z
.
10.90
cos 2 .zx
22
ln .zx
2
y
y
10.91
z
.
10.92
sin sin .zxy
y
10.93
22
7.zxyxy
10.94
3sin .zx y
Найти полный дифференциал функции z(х,у) заданной уравнением
33
10.95
10.96
3.zxyza
32 22
320.zxyxzyzyx
182
10.6 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
P
P
P
P
P
P
x
F
Пусть
;;
xyz
0000
- фиксированная точка поверхности, заданной
функцией
(, )zfxy
поверхности в точке
или уравнением
называется плоскость t, проходящая через точку
0
,, 0Fxyz
. Касательной плоскостью к
такая, что угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку
и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка Р стремится к
Нормалью называется прямая n, проходящая через
перпендикулярно
0
касательной плоскости.
Нормальный вектор касательной плоскости
t
и направляющий вектор
прямой n совпадают.
Если уравнение поверхности задано функцией
(, )zfxy
, то уравнение
касательной плоскости:
''
zz zxy xx zxy yy
0000 00 0
,,;
x
y
уравнение нормали:
xyyzz
000
''
zxy zxy
x
00 00
,,1
y
Если поверхность задана уравнением
,, 0Fxyz
.
, то уравнение
касательной плоскости:
''
Fxyz x x Fxyz y y
,, ,,
xy
000 0 000 0
'
Fxyz z z
,, 0;
z
000 0
уравнение нормали:
xx yy zz
000
'''
xyzFxyzFxyz
,, ,, ,,
xz
000 000 000
y
.
0
и
0
0
.
Решение типовых примеров
22
10.97
Дана поверхность
22.zx xyy x y
Составить уравнение
касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке М(1,1,1).
Решение
Найдем частные производные
zz
221; 222
xy xy
xy
и их значения в точке М(1,1,1):
zz
xy
M
1; 2 .
M
Уравнение касательной плоскости:
183
x
Уравнение нормали:
y
f
f
M
f
f
f
A
A
Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к
поверхности
10.98
10.99
10.100
(, )zfxy
1121,zx y
11
xy
12 1
в точке М:
22
3zx y
; М(1,1,4).
22
1zxy
22
lnzx
; М(1,1,3).
; М(1,0,0).
или
z
20.
yz
1
.
10.101
10.102
10.103
Рассмотрим функцию двух переменных
непрерывную в некоторой области D.
Функция
точке М(х
место во всех точках
экстремум, то в этой точке обе частные производные первого порядка равны
нулю, то есть
0;у0
Необходимые условия экстремума:
Если дифференцируемая функция
222
zxyM
222
10.7 Экстремум функции двух переменных
), если неравенство
sin cos ; ; ; .
3415;2;3;2.xyz M
(, )
xy
имеет строгий локальный максимум (минимум) в
(, ) .
xy M
1;xyz
М(2,2,3).
442
0
1
(, ) (,) (, ) (,)
xy fxy fxy fxy
00 00
(, )zfxy
;zfxy
, определенную и
имеет в точке
имеет
;Ìxy
000
;0
Точка
(, ) 0.df x y
00
222
xy fxy fxy
ABC
xxyy
Достаточные условия экстремума:
Если
Если
00
Пусть
,,,
00 00 00
22
,,.
fxy
00
x
;xy
называется стационарной точкой функции
;xy
00
2
0,AC B
и
2
0,AC B
и
,
- стационарная точка функции
0,
то
0,
то
00
184
;0.
fxy
00
y
;xy
00
;xy
- точка минимума.
(, )
xy
- точка максимума.
(, ),
xy
, обозначим
если
Если
f
A
f
Если
0,AC B
то
2
0,AC B
то точка
00
;xy
- не является точкой экстремума.
;xy
00
может как быть, так и не быть
2
точкой экстремума, требуется дополнительное исследование.
Решение типовых примеров
10.104
Исследовать на экстремум функцию
( , ) 4 24 32 6.fxy xy xy y y
22
Решение
Область определения функции D(f) - плоскость Оху,
дифференцируема в каждой точке
;().Ìxy Df
Определим стационарные точки:
f
8240,
xy y
x
f
y
2
4242320
xxy
2
0; 6 8 0 4, 2,
yxx x x
xy
3, 2.
yx
212 160.
12
30,
2
xxy
(, )
xy
-
Получили три стационарные точки: М
(-4,0), М2(-2,0), М3(-3,2).
1
Эти точки исследуем на достаточность условий экстремума:
22 2
ff f
8, 8 24, 2.
yx
22
xxy y
Для каждой точки вычислим соответствующие А, В, С.
111 1
есть
есть
0
3; 2 10f
4;0M
1
222 2
2;0M
2
3333
. Вывод:
4;0 : 0, 32 24 8, 2MAB C
не является точкой экстремума.
2;0 : 0, 16 24 8, 2MAB C
не является точкой экстремума.
3; 2 : 16, 0, 2MABC
3; 2M
3
точка локального минимума функции
,
33 3
.
,
11 1
,
22 2
2
32 0AC B
2
64 0AC B
2
64 0AC B
при этом
(, )
xy
, то
, то
,
185
1 Областью определения функции
z
z
y
z
x
z
x
z
y
z
x
z
x
x
yy
yy
yy
yy
Тест 10
(, )
fxy
называется :
1: множество значений х, при которых функция определена; 2:
множество пар
(х,у) значений х и у, при которых функция определена ; 3: множество
значений у, при которых функция определена.
2 Дополнить формулировку:
Частной производной по х функции
fxy
называется
(, )
1:
lim
x
; 2:
0
lim
y
y
; 3:
y
0
lim
x
z
x
.
0
3 Дополнить формулировку:
(, )
Частной производной по у функции
fxy
называется
1:
lim
x
; 2:
0
lim
y
y
; 3:
y
0
lim
x
z
x
.
0
4 Если
ln 3 2uxyz
23
, то значение
5; 2: 3; 3:
1:
zx
cos
5 Производная
функции
zy
1:
6 Полный дифференциал функции
dz dx dy
1:
; 2:
2
dz dz
dx dy
xx
sin
cos
; 2:
xx
; 3:
2
dz f dx f dy
xy
в точке М(1,0,1) равно
u
1
; 4:
5
x
равна
xx
sin
; 4:
2
,zfxy
; 3:
имеет вид:
dz x y
6
.
5
1
x
sin
dz dz
dx dy
.
; 4: верный
ответ отсутствует.
186
M
z
x
y
y
y
y
x
x
z
F
F
x
z
F
F
z
x
F
F
7
ztgx y M
32, ;
24
Найти
1: верный ответ отсутствует; 2: -3; 3: 3; 4: -.
8
Производная
zy
функции
2x
z
равна:
1:
2x
; 2: верный ответ отсутствует; 3:
2
2
; 4:
2x
.
22
9 Найти экстремум функции
3zxy
:
1: (0;0;3) – точка максимума; 2: (3;0;0) – точка максимума; 3: (0;0;3) – точка
минимума.
10 Чему равна
, если функция задана неявно
z
,, 0Fxyz
:
1:
; 2:
; 3:
; 4: верный ответ отсутствует.
187
Ответы к главе 10
D
D
D
х
D
x
x
D
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ху
ху
- полуплоскости
0.
Пересечение множеств:
10.4
10.5
10.7
10.8
z
- кольцо
z
- полуплоскость, в которой
z
- вся плоскость, исключая прямую х + у =0.
22
ху
22
ху
22
ху
22
ху
1
. 10.6
9
0
и
2
z
10.9 D(u) - внутренняя часть ветви гиперболы
10.10
z
- круг радиуса R = 1. 10.11
Oz параллелепипед.
U
10.13
U
4cos 3 5 4
z
3cos 3 5 4
x
yz
10.12
yz
. 10.14
U
õ
,
23
y
U
y
UUx
xy y y
z
- бесконечный в направлении оси
U
,
5cos 3 5 4 ,
38
y
1
yy
ee
1
,
2
1
.
2
1
y
, у которой
y
.
yz
0
ху
или
0
0
х
0
у
0, 0
y
.
.
x
.
2
10.15
10.16
10.18
10.19
10.20
xy
zyz x
Ux Uy Uz
xyz
U
U
x
U
y
U
z
1zzy
22 2222
y xxyxy
zz
22 22
xyy xy
4 cos 2 cos sin sin 2UUU
xzx yz
xy y zx
,
222 222 222
yz xyz xyz
32 4 4
yz xyz
23
,,.
23
20
. 10.17
110
xy z
110
xy z
110
xy z
xy
,
,
.
,ln
.
1
yy
yx x x
.
10.21
10.22
UU
zz
xy
611,4 2
xy
22 22
()2 3 ()3 2
xy x y xy x y
exyy exxy
22 22
32 12 32 12
xyxy xyxy
ye e y xe e
2
x
x
2
y
1
3, 3
188
.
1
y
zz
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ydy
y
10.23
xy
uy u U y
10.24
xy z
zy zx
10.25
z
10.26
x
z
y
32
2sin2 2sin cos
u
10.27
x
u
y
yzzxy
ln ln ,
2 3 2( ) 3 2( )
xx ye yx ye
6,4.
,26,
13 1 3 1 1
34 3 4 3 22
yx xy yy x xy
2cos2 2 sin2 cos ,
xy yx xy y x y
xy y x y y x y
11
yzz xy
yx y zx yz z
1
xxzy xz z
322 322
xy xy
xyz
3
,
36
22
ln ,
u
z
2
2
3
z
.
z
ln
y xy xyz
2
.
1
y
.
10.28
10.32
10.33
10.35
10.37
10.38
10.39
10.41
'43' 52
5sin , 3sin cos.
ut zut zz
tz
1
dz dx dy
22
xy
dz
dz
dz
dy ydx
22
22
baxdyydx
2( )
dy ydx
2
sin
x
.
10.34
y
by ax
2
y
xxyxy
10.36
2
.
10.29
y
22 22
sin cos cos sin .dz y y x dx x y x dy
dz
zz
xy
2
xy
dz e x y y x x dx
( cos sin 1 sin ) )
dz
du
(( 1 cos sin cos )
yyy xdy
22cos
dx ydy
22
4sin 4
xy
dx xydy xzdz
22 3
yz
.
10.40
.
10.42
22
yz
.
du e yzdx xzdy xydz
xyz
dz dx dy
''
.
y
,.
22 2
xx
yy
cos cos
dx ydy
22
xy
.
1
x
.
22
yx
xy xy
22
.
2cos.dz xdx
10.43
10.45
10.48 (0,97)
0, 25 .dz е
2,02
≈ 0,94. 10.49
10.46
22
x
3,001
1, 03 11, 09.
ln 0,9 0,99
10.44
0,08.dz
10.47
33
189
≈0,535 10.50 (1,04)
6,03 8,04 10,05.
22
2,03
≈ 1,08.
10.51
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
10.53
22
1, 04 3,01 3,185.
1, 002 2,003 3,004 108,972.
23
10.52 sin 280cos 610≈0,227.
10.54 sin 290sin460≈0,345
10.55
10.60
10.62
10.64
10.66
10.68
10.69
10.70
10.71
10.74
1, 02 1,97 2,95.
dU e e
dt t t
dU x e
33
tt
2cos.
t
2ln
32
x
x
ex
ln .
10.59
10.61
10.63
dx x
dz
0
. 10.65
dt
zz
0, 1.
xy
zx y zxu yu
uvv
dz ye x xydu ye x u xydv
22 22 22 22
xy xy xy xy
vv
12 1 1
dz udv
xy
2
2
y
y
2
3
yx y
22
xy
dz x u
1cos .
yv txxvuv yve y
dt t t
zz
10.67
uvvv
v
1
vu v u
23 3 2
3,3
uv u v
v
sin ln sin .
u
du
sin 2 cos sin
vvv
22
y
.
10.72
y
y
22
10.75
.
3
y
dz
dt
dU
345
456.
ttt
3
xx
ee x x x
3 sin cos sin 2 .
dx
x
22
yx
1z
dz
,
dx x
1
13
34
v
1
1
.
2
t
2
1
.
ln , ln .
.
xy
sin sin
eye x
xy
cos cos
eye x
y
1
2
.
10.76
y
.
10.73
22
cx cy
zz
xy
;.
22
az âz
1
y
1.y
2
10.77
10.80
10.83
10.84
10.85
10.86
e
y
ln 2
yy x y
y
222
zzz
22
xxyy
2222
zy z z z
22 2
22222222
zxy zx y z z xy
22
xyxyyx
22 2
zz z
22
xxy y
22
22
xyx
222 22 2
12 18 8 ; 9 16 15 ; 8 30 12 .
;0;
xy xyyxx
22
22 22 22
22 2
xy xy xy
422
y e ye xy xe xy
;21;212.
.
10.78
2
y
xe
2ln
.
2ln
xy y x xy y x xy y
;; .
yxy xy
26 18
y
exe
190
e
.
10.79
2
9
y
y
y
.
1
y
2
y
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]