Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
f
f
f
x
z
x
y
y
x
f
y
x
x
x
f
f
f
2.
Вычисление массы пространственной области V с объемной
,,
плотностью
3.
Статические моменты тела объёма V , плотность которого в любой
точке является функцией координат этой точки
координатных плоскостей Оху, Оxz и Oyz вычисляются по формулам
4.
Момент инерции тела объёма V, плотность которого в любой точке
xyz
сводится к вычислению тройного интеграла
,,
,,
,,
,,
xyzdV
;
;
.
m=
V
S
=
y
=
S
z
S
=
z
fxyzdV
V
fxyzdV
V
fxyzdV
V
.
,,
xyz
относительно
есть заданная функция координат этой точки, т.е.
осей координат вычисляется по формулам
22
x
V
y
V
z
V
5.
Координаты центра тяжести тела объёма V определяются формулами
S
yz
x
m
S
xz V
y
m
zfxyzdV
22
zfxyzdV
22
yfxyzdV
V
V
yf x y z dV
V
,,
,,
,,
,,
fxyzdV
xyzdV
,,
,,
xyzdV
,,
,,
xyz
;
;
.
;
;
относительно
,,
zf x y z dV
xy
m
V
V
,, 1fxyz
221
xyzdV
и эти формулы упрощаются.
S
z
Для однородного тела
.
,,
x
x
x
x
Решение типовых примеров
прямой
Пример11.65
2y
и параболой
Вычислить площадь плоской области , ограниченной
2
1yx
.
Решение
Изобразим область
и найдём абсциссы
точек пересечения прямой и параболы:
2
12
,
2
,
3
.
3x
Тогда, по формуле (11.14)
Sdxdy
=
32 3
dx dy x dx åä
2
3
x
1
23 43
0
получим
22
Пример 11.66
2zy
,
0z
и цилиндром
Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями
2
yx
.
y
2
1yx
2
2y
.
3
0
1
3
z
2
0
2
Данное тело сверху ограничено плоскостью
формуле (11.15), имеем
2V y dxdy
Область Д- параболический сегмент в плоскости хОу, ограниченный параболой
2
yx
и прямой
2y
.
.
y
2zy
, поэтому по
222
y
2
y
x
x
y
22
x
f
y
2
2
V y dxdy dx y dy
22 2
00
22
00
2
0
2
x
4.
xx
22
D
22 2
dx y dy dx
2
x
2
224
244
xdx xxdx
4322
2
0
3515
2
3
0
2
5
x
0
2
2
x
2
2
2
y
2
2
x
Пример 11.67 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
0, 0, 1; 0
yxyzz
.
z
1
Применяя формулу (11.16), получим
V x y dxdy x y dxdy x y dx
1
0
1
y
1
x
1 способ
,1
xy x y
0z
111
1
11
1.
xdx
26
0
;
11 1
x
00 0
2
1
V куб ед
6
,0fxy
2
..
y
2
1
x
2
0
223
2 способ
x
x
x
z
x
y
2
y
x
xy
x
Воспользуемся формулой (11.20), тогда
1
xy
1
xy
11 1 1 11
V dxdydz dx dy dz dx z dy dx x y dy
V
111
1111
xy x x x
000
2226
00 0 0 0 00
xy
1 1
2223
0 0
xxx
dx dx dx
0
0
1
11
0.
66
1
V куб ед
..
6
Пример 11.68 Вычислить площадь плоскости
yz
4
вырезанную
плоскостями
0
0
,
0y
yz
2
2
2x
Пример 11.69
Определить массу круглой пластины радиуса R если
поверхностная плотность
равна расстоянию точки
,
,
2
4
,fxy
,xy
материала пластины в каждой точке
от центра круга, то есть если
2y
.
Построим данные плоскости и найдём
частные производные функции
4zxy
:
z
,
z
1
x
1
y
.
По формуле (12.17)
2
dxdy
,
S=
zz
1
xy
2
получим
22
33 43Sdxdydxdy
00
,fxy
=
22
.
,Mxy
.
По формуле (12.18) имеем:
22
.
y
mxydxdy
Переходя в двойном интеграле к полярным
координатам
cos ;
x
sin ;
yR
02.
mxydxdydd R
224
22 3
, получим
2
R
00
2
3
Пример 11.70 Найти координаты центра тяжести однородной пластины,
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
x
ограниченной параболой
2
y
и прямой
.
4
В силу симметрии фигуры относительно оси Ох имеем
yx
0
2
y
Следовательно
11.71
2, 1yyx
Вычислить площадь плоской области σ, ограниченной линиями
2
.
0y
.
Для нахождения х центра тяжести найдем
Применяя формулы (12.18)
444
S xdxdy xdx dy xy dx x dx
y
222
00 0 0
x
и (12.19), получим
x
0
m и
3
2
I
128 3
25 .
55
=8.
S
4
x
m f x y dxdy dx dy
,2
00
32
3
S
xm
12
=
,
5
ym
S
3
=
.
8
.
11.72 Найти площадь области, ограниченной линиями
3
yx
.
11.73
а)
б)
в)
11.74 Найти площадь области, ограниченной линиями
а)
б)
в)
г)
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
2
x
y
1
,
2
y
;
4
1
yyyxy
0, 4, ,
;
2
3
yyeyy
,4,3,4
x
.
x
cos , cos , 0;abba
0, , 2 ;zzxxzx
22
2, 2, 2, ;yyxyyx
1,0, ;yaxa a xya
2
2
222
0, 1,yx
д)
2, ,
.
43
11.75 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
225
а)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
б)
в)
г)
0, 2, ;zyzyx
0, 0, 0, 4, 4
yzxy
2
,1, 4,0;yx y xyz z
2
4,2 4, 0, 0, 0;zxxy x y z
2
и
22
1zx y
(параболоид);
д)
е) цилиндрами
ж) шара
з) цилиндрами
16 2 , 2 , 0, 2yxyxzxz
22
4, 2zyzy
222 2
yzR
22
;
2, 4
yz y
и) параболическим цилиндром
0, 0
z
.
и плоскостями
и плоскостями
2zy
2
;
и плоскостями
1, 2
x
;
0, 0
z
;
2312,
y
11.76 Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а, если
22
плотность материала пластинки
y
.
2
2
a
11.77 Найти центр тяжести фигуры, ограниченной двумя параболами:
2
= x и x2 = y (ρ = 1 поверхностная плотность массы).
y
11.78 Определить момент инерции фигуры, ограниченной линиями:
2
x=1, y=0, y=x
относительно центра О, оси Ох , ρ =1 – поверхностная
плотность массы.
11.79 Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,
2
ограниченной параболой ax=y
и прямой х=2 (а>0).
11.80 Найти статический момент однородного прямоугольника со
сторонами 5 и 7 относительно меньшей стороны, считая, что прямоугольник
лежит в плоскости Oху.
11.81
Найти массу тела с плотностью
yz
, ограниченного
0, 1, 0, 1, 0, 1
плоскостями
xy yz z
.
11.82 Определить момент инерции однородной пирамиды (ρ = 1)
относительно координатной плоскости Оху, если пирамида ограничена
плоскостями
yz x y z
1, 0, 0, 0
.
11.83
ограниченного плоскостями
Найти координаты центра тяжести призматического тела,
0, 0, 1, 3,
zyx 3,y
z
.
23
(Плотность ρ = 1).
226
11.8 Криволинейные интегралы
f
f
f
f
f
f
f
f
f
11.8.1 Криволинейные интегралы первого рода
Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой
(, ,)
определена произвольная функция
xyz
.
Разобьем кривую на конечное число отрезков и на каждой из
полученных частей выберем произвольно точку М
(xi, yi, zi). Рассмотрим
i
произведение значения функции в каждой произвольной точке на длину
соответствующего отрезка.
(, ,)
xyz s
iii i
.
Сложив все полученные таким образом произведения, получим так
называемую интегральную
сумму функции f(x, y, z)
n
(, ,)
i
xyz s
iii i
1
.
Определение Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на
n
частичные отрезки существует предел интегральных сумм
этот предел называется
длине дуги АВ
или криволинейным интегралом первого рода
криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по
(, ,)
1
i
xyz s
iii i
, то
(, ,)
xyzds
AB
.
Свойства криволинейного интеграла первого рода
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от
направления кривой АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного
интеграла.
3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуги АС и СВ, то
(, ,) (, ,) (,,)
xyzds f xyzds f xyzds
AB AC CB
.
5) Если в точках кривой АВ
(, ,) (,,)
xyz f xyz
12
,
то
(, ,) (,,)
xyzds f xyzds
12
AB AB
.
6) Справедливо неравенство:
(, ,) (, ,
xyzds f xyzds
AB AB
.
7) Если f(x, y, z) = 1, то
227
n
f
x
f
x
f
f
f
f
f
À
Â
lim ;
ds s S
AB
0
i
1
i
S – длина дуги кривой, - наибольшая из всех частичных дуг, на которые
разбивается дуга АВ.
8) Теорема о среднем.
(, ,)
Если функция
xyz
непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой
существует точка
(, ,)
yz
111
такая, что
(, ,) ( , , )
xyzds f x y z S
AB
111
.
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо
определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями
zzt
,
функции параметра t, причем точке А соответствует
соответствует
t
, где функции
t
. Функция
,,xyz
(, ,)
xyz
– непрерывно дифференцируемые
t
– непрерывна на всей кривой АВ.
Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по
формуле:
( , , ) ( (), (), ()) () () ()
xyzds f xt yt zt x t y t z tdt
AB
222
В случае плоской кривой формула (11.21) упрощается
( , ) ( (), ()) () ()
xyds f xt yt x t y tdt
AB
22
. (11.22)
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной
xt
,
yyt
, а точке В
. (11.21)
,
уравнением непрерывной и непрерывно дифференцируемой на
(), ,yxaxb
Если уравнение плоской кривой
то получаем
b
(, ) (, ())1 ()
x y ds f x x x dx
AB a
()
2
. (11.23)
задано в полярных координатах
,ab
функцией
d
функция
,,
()
и её производная
непрерывны, то имеет место
d
частный случай формулы (11.22), где в качестве параметра t взят полярный
угол
(
и
- значения , определяющие на кривой точки А и В).
Â
(, ) ( cos , sin )
xyds f d
AB
À
22
. (11.24)
228
x
x
x
y
x
L
x
x
линии
Решение типовых примеров
11.84 Вычислить интеграл
AB
cos ; sin ; ; 0 2 .
ty tzt t
()
yzds
по одному витку винтовой
222
Решение
Применяя формулу (11.21), получим
2
222 2 2 2 2 2
()(cossin)(sin)cos1
AB
yzds t tt t tdt
0
2
2(1 ) 22 1 .
0
2
tdt
2
4
3
dS
11.85 Вычислить
I
25
xy
S
, где S - отрезок прямой
22yx
,
заключенный между точками
Находим
Следовательно, по формуле (12.23) будет
11
Ix
xx x
00
555
dx dx
22 2 5 5 1 5 5
где
11.86
- окружность
Вычислить криволинейный интеграл
22
Введём полярные координаты
222
xy
cosa
, уравнение окружности примет вид
, а дифференциал дуги
22 22 22
0, 2 , 1,0AB
.
Решение
2
1145.dS
dx dx dx
5ln51ln6.
L
0xyaxa
22
.
,
ydl
Решение
cos , sin
cos sindl d a a d ad
y
2
cosa
1
0
. Тогда, поскольку
, то есть
,
при этом
,
22
. Следовательно, по формуле (11.24) получим
22 2
ydl a a d a
L
2
cos 2 .
2
229
11.87 Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с
z
L
x
R
A
L
z
x
y
B
x
z
M
тремя переменными
где
- дуга кривой, заданной параметрически
52 ,
L
22
xydl
cos , sin
ttytt
,
,0zt t
.
Перейдём в подынтегральном выражении к переменной
подынтегральной функции:
52 52 cos sin 3.zxytt t tt
Теперь выразим через
222 2 2
dl x y z dt t t t t t t dt
222222
cos 2 sin cos sin sin 2 sin cos cos 1
ttttt t ttttt t dt
2222 2 2
cos sin sin cos 1 2 .
ttttt tdt
Таким образом, по формуле (11.21) имеем
52 32 2 2
zxydlttdt tdt
L
11.8.2 Криволинейные интегралы второго рода
Криволинейные интегралы второго рода (по координатам).
пространстве
t
дифференциал dl:
22 2 2 2
3
задан вектор
22 2 2 2
cos sin sin cos 1
00
3
22
2222.t
2
0
3
2
3
,, ,, ,,aPxyzi QxyzjRxyzk
t
. Имеем для
Пусть в
,
координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной
кривой
.
B
N
1n
i
y
i
A
i
N
0
N
N
2
i
N
1
N
i
l
i
1i
3
Рисунок 11.10
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]