Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
Ставропольский государственный аграрный университет
А.Ф. Долгополова, Т.А. Колодяжная
Руководство к решению задач
по математическому анализу
Часть 1
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому
и техническому образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Ставрополь
2012
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
Д64
Долгополова, А. Ф.
Д64 Руководство к решению задач по математическому анализу
учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А. Ф. Долгополова, Т. А. Колодяжная. −Ставрополь : Сервисшкола, 2012. – 168 с.
Настоящее руководство является составной частью комплекса
учебных пособий по курсу математического анализа, направленных на
развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Пособие
написано в соответствии с учебной программой по высшей математике
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 110.800.62
«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140.400.62
«Электроэнергетика и электротехника», 190.600.62 «Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов
использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для
самостоятельного изучения курса математического анализа.
». Может быть
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
:
Предисловие
Предлагаемое пособие по решению задач охватывает первую часть
традиционного курса высшей математики технического ВУЗа. Книга написана
в полном соответствии с программой по математическому анализу для
студентов, обучающихся по инженерным специальностям, и подготовлена
преподавателями, имеющими многолетний опыт работы со студентами.
Опираясь на этот опыт, авторы попытались создать задачник, пригодный как
для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на
практических занятиях. Этим объясняется структура книги.
Часть 1 включает четыре главы, список литературы и приложения.
Каждая глава руководства начинается с необходимого теоретического
минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем
идёт блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала
подробно разбираются
несколько типовых задач с полным анализом решения,
после чего предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных
задач и тест для закрепления приобретённого навыка.
Ещё одна особенность этой книги – наличие самостоятельных работ
по каждой теме курса в приведённых приложениях. Их могут использовать как
студенты при подготовке к контрольным работам или экзаменам, так
и
преподаватели при проведении практических занятий.
Авторы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного
количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для
успешного хода учебного процесса. Тем не менее, в пособии довольно много
более сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему
большинству задач руководства приведены ответы, а к
наиболее трудным из
них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту
широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его
время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед каждым
практическим занятием выучить относящийся к нему раздел теории,
внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые
задачи, и только после этого
приступить к решению задач, предложенных для
самостоятельного решения.
«Руководство к решению задач по математическому анализу»
полностью подготовлено к изданию на кафедре «Математика»
Ставропольского государственного аграрного университета.
3
Глава 1 Понятие функции и ее пределы.
f
x
f
x
f
х
f
x
f
Непрерывность функции
1.1 Функция и область ее определения
Переменной называется величина, принимающая различные числовые
значения.
Областью изменения переменной величины называется совокупность
всех принимаемых ею числовых значений.
Определение Переменная у называется функцией переменной х ,
если каждому значению х из области ее изменения по определенному
или закону ставится в соответствие определенное единственное значение у .
Символически записывают
Переменная х называется независимой переменной или аргументом.
Переменная у называется зависимой переменной или функцией.
Символ
Областью определения функции называется совокупность всех тех
значений аргумента х, при которых переменная у имеет определенное
действительное значение.
Область определения функции
обозначает закон соответствия переменных х и у.
x
yfx
yfx
.
обозначается
fD
или
правилу
.
yD
Область значений функции
Если нужно указать значение
записывают
при
;xfx
аргумента и принадлежат
значениям функции
области определения функции
области определения функции
yfx
00
x .
0
Графиком функции
на плоскости
Функция
Записывают
График четной функции симметричен относительно оси 0у.
Функция
Записывают
.
0xy
:
x
yfx
yfx
x
0
, абсциссы «х» которых являются значениями
yfx
называется четной, если для любого х
называется нечетной, если для любого х
yfx
обозначает частное значение функции
yfx
, а ординаты «у» равны соответствующим
fD
fD
называется совокупность точек вида
,
выполняется условие
обозначается
y , соответствующее значению
0
.
fDx
fDxxfxf ,
.
Ef
или
xfx
Ey
yfx
.
0
выполняется условие
fD
fDxxfxf ,
.
xfx
.
.
, то
из
из
График нечетной функции симметричен относительно точки 0(0;0).
4
Функция
f
f
x
x
x
f
x
x
f
любого х из области определения функции
yfx
называется периодической с периодом Т, если для
fD
выполняется условие
xT fx
Наименьшее число Т, обладающее указанным свойством называется
основным периодом функции.
Пусть
Определение Если каждому значению
соответствие единственное значение
переменная х называется обратной функцией по отношению к функции
yfx
переменной
функцию
которая называется функцией от функции или сложной функцией.
значений переменной х, которые принадлежат области определения функции
и обозначается
Если
y
Область определения сложной функции
и для которых значения
.
yfx
y
является функцией от u, а u в свою очередь зависит от
, то y также зависит от х. Пусть
от х
,
,
fDx
yEf
или
y
yf x
принадлежат области определения
.
1
fy
,
yEf
такое, что
fDx
.
yfu
и
ставится в
xy
ux
состоит из тех
x
. Получаем
, то
функции
или табличным.
действия и в какой последовательности надо произвести над аргументом х,
чтобы получить значение зависимой переменной у, называется аналитическим
заданием:
графиком. Преимущество этого способа – его наглядность. Недостаток
заключается в ограниченной точности определяемых по значению аргумента х
значений функции у.
переменной х и соответствующие значения функции, полученные в результате
наблюдений, располагаются в два параллельных ряда
.
Функция может быть задана аналитическим способом, графическим
Задание функции при помощи формулы, указывающей, какие
21x
Графический способ задания функции – это задание функции ее
Табличный способ состоит в том, что значения независимой
Элементарные функции
Основными элементарными функциями являются:
1) степенная функция
2) показательная функция
y
yx
2
x
a
;
x
yaa a
.
, то есть в виде таблицы.
0, 1
;
3) логарифмическая функция
log 0, 1
yxaa
5
a
;
4) тригонометрические функции
y
xx
x
x
x
x
x
x
f
f
x
x
sin , cos , tg ,yxyxyx
5) обратные тригонометрические функции
ctg , cosec , sec
xy xy x
arcsin , arccos , arc tg , arcctgyxyxyxyx
;
.
Функция
аналитического выражения
функций с помощью применения конечного числа четырех арифметических
действий и взятия функции от функции.
Все остальные функции называются неэлементарными.
1.1
Найти область определения функции
Решение
Область определения этой функции состоит из тех значений х, при
которых оба слагаемых принимают действительные значения. Поэтому
Решая квадратное неравенство
Таким образом, область определения данной функции состоит из
совокупности трех промежутков:
.
4
yfx
называется элементарной, если правая часть
yfx
Решение типовых задач и примеров
составлена из основных элементарных
2
yx x
712
23
x
2
7120
xx
x
50.
2
;
3
7120
;
4
(рисунок 1.1).
5
, получим
или
3
x
.
5
3 5
Рисунок 1.1
Следовательно,
1.2 Установить четность или нечетность функции
Решение
33
xx x fx x x x x
Следовательно,
и при
cos2 , cos2 cos2
1.3 Вычислить частные значения функции
.
2
a
;yD
xfx
,
;55;43; yD
3
, то есть данная функция нечетная.
4
6
.
.
3
cos 2yx x
2
45yx x
.
при
3
Решение
x
x
x
x
x
33435164; 34ff
2
.
224259; 29fa a a a fa a
2
22
1.
1.4 Найти область определения функций:
32
3572yx x x
.
2.
yx
1
.
72
2
54
xx
y
2
xx
1
y
3
8
x
y
x
sin 2 3yx
sin 5 8yarc x
.
1
.
1
.
1
3.
5.
7.
9.
11.
y
2
xx
yx
4yx
2ytgx
1
x
712
.
4.
5
. 6.
4
3
2
.
3ylqx
.
.
8.
10.
12.
.
.
.
1
13.
15.
2
xx
53yxx
2
.
ylqx
1
.
sin
17.
y
2
lq x
.
4
1
yx
19.
21.
1
lq x
x
yarc lq x
sin 4
3
2
.
.
2
1.5
Какие из указанных ниже функций чётны, какие нечётны, какие
не являются ни чётными, ни нечётными:
а)
22
; б)
2yx x
14.
yxlqx
16.
18.
ylq
2
2
21
2
xx
xx
yx
20.
22.
yxx
3arcsin
arccos
y
2
1yloqx x
2
56
2
x
;
.
1
4
.
.
1
3
x
32
5
.
.
25
в)
;
cosyx
г)
yx
x
;
6 120
7
д)
x
xyx
x
ж)
sin cosyxx
yx
32
функции:
а)
2
4
x
е)
;
y
;
2
2
x
; з)
2
sin
.
1.6 Построить график и указать интервалы возрастания и убывания
2
;
1yx
б)
;
1yx
в)
2
361yxx
;
г)
2
1.7 По известному графику функции
следующих функций:
а)
2
;
3yx
б)
yx
1
2
в)
2
1yx
;
г)
1
yx
2
д)
2
22yx x
; е)
2
4812yx x
1.8
Зная график функции
3
yx
, построить графики следующих
функций:
а)
3
2yx
;
б)
3
;
1yx
1.9
Построить графики следующих функций:
45yx x
yx
2
;
1
.
2
построить графики
2
;
в)
.
212yx
3
.
а)
y
в)
y
д)
yx
;
2
,2
x если x
5, 2
если x
,2
xx
3, 2 2
2
,2
xx
;
;
1.10
а)
3sin 2 4yx
Построить графики функций:
;
2, 0
б)
y
г)
yx x
е)
б)
8
xx x
y
0, 1
2cos3yx
для x
2, 0
для x
22, 1
xx
2
1, 1 1
22, 1
xx
2
24, 1
.
;
x
;
.
1.2 Множества и операции над ними
x
В
А
А
A
A
математики, которое не определяется формально – логически. Его можно лишь
описать с помощью синонимов.
объединенных некоторым общим свойством.
малыми буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z. Множества обозначают
большими буквами: А,В,С,…,Х,У
конечным, а множество, содержащее бесконечное число элементов называется
бесконечным.
Понятие множества является базисным первоначальным понятием
Под множеством понимают совокупность объектов любой природы,
Объекты множества называют элементами множества и обозначают
,Z.
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают
Множество, содержащее конечное число элементов, называется
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
.
X
пустым
и обозначается
Два множества А и В называются
и тех же элементов.
Множество В называется
если каждый элемент множества В принадлежит и множеству А. Записывают
А .
Два множества А и В называются
между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то
есть каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и
только один элемент множества В так, что каждый элемент из множества В при
этом окажется соответствующим одному и только одному элементу из
множества А.
Объединением множества А и В называется множество, состоящее из
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.
Обозначение:
Пересечением двух множеств А и В называется множество,
содержащее те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам
А и В.
Обозначение:
ø.
. (Рисунок 1.2)
В
. (Рисунок 1.3)
В
равными, если они состоят из одних
подмножеством или частью множества А,
эквивалентными (А~В), если
B
AB
Рисунок 1.2 Рисунок 1.3
9
B
AB
В
B
B
А
А
А
А
В
В
В
А
А
Разностью
множества А, которые не принадлежат множеству В.
Обозначение:
Если
множестве А.
\АВ
множеств А и В называется множество тех элементов
. (Рисунок 1.4)
А , то
называется дополнением множества В в
\АВ
A
A
\AB
Рисунок 1.4
Решение типовых примеров
1.11
Найти
какие из них являются подмножествами.
1; 2 ; 3АВ
1; 2;3;4;6АС
1.12
утверждений:
а)
XYZ XY XZ
Даны множества:
6;4;3;1;1;2A
;
В
В
2;1;1; 3; 4 ; 6 1; 2; 3; 5; 7 2;1;1; 3; 4 ; 5; 6 ; 7АВ
;
;
С помощью диаграмм показать справедливость следующих
;
С
2;1;1; 3; 4; 6 1; 2; 3; 4; 6 2;1;1; 3; 4; 6АС
7;5;3;2;1B
;
;
С
6;4;3;1;1;2A
.;;2;1 BDCADA
DA
Решение
б)
\AB
6;4;3;2;1C
DA
;
. Указать равные множества и
;
DA
\\ \AC
АВ СВ
;
5;2;1D
6;5;4;3;1;1;25;2;16;4;3;1;1;2
;
в)
с помощью следующих характеристических свойств:
а)
в)
Найти
\\\A
САСВ
1.13
1.14 Даны множества:
Задать перечислением всех элементов множества, определенные
5АхNx
2C х Zx
;
В
;
В
г)
б)
г)
A
\АВ
;
.
\ВА
10
\\ \\A
5;4;3;2
САСВ
,
0ВхNx
2
6;5;4;3B
0;013
xxxZxD
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]