Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие

16.







x



x



x



x



fx

x





x





x

cos sin ; cos sinuuu xx

 



  



.



u



tg ; tg

ux

17.

 

18.

19.

20.

21.

22.

ctg ; ctg

 

arcsin ; arcsin

 

arccos ; arc cos

 

arc tg ; arc tg

 

arcctg ; arcctg

 





ux

2.1

22

cos cos

ux



 

ux

u

22

sin sin

ux









Найти производную функции

u



 

22

11

ux



u

22

11

ux



u

22

11



ux



 

u

22

11

ux

Решение типовых примеров

1

.

1

.

1

.



1

.

1

.



1

y

по определению.

Решение

Дадим аргументу

1.

функции в этой точке

   

yyfxx

2.

Найдём приращение функции в точке

yfxfxxfx

     

3.

Найдём отношение приращения функции

аргумента

приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю



в этой точке

Вычислим предел отношения приращения функции в точке

4.

   



y

 



lim lim lim .

xx x

  

y



00 0

 



приращение



11





fx



xxxx

fx

xxxxx

1



 





и вычислим значение

1

.

x



:



xxxx x

.

11



к приращению



2

.

к

41

Таким образом,

x

































x



x

Производной второго порядка (второй производной) от функции

yfx

называется производная от её производной





11

 





.

2

x

2.2 Производные высших порядков

 

yfx







yfx

, то есть

Производной

производная от её

Обозначения



п-го порядка от функции

-ой производной

1n 

  



yfx

2

dy dy



y

,

2

dx dx

n



;;

y

Механический смысл второй производной

Вторая производная функции

мгновенной скорости

vt f t







материальной точки в момент времени t, то

есть ускорение в этот момент времени

at S f t







Решение типовых примеров

2.2

Найти производную третьего порядка функции

1nn





n

Sft

или



at

yfx



.



называется



есть скорость изменения

2

dS

dt

.

2





ln 2yx x

.

Продифференцируем эту функцию трижды

ln 2

Итак,

Найти

xx





y

:

2.3 4325





Решение

2



ln 2 ln 2 1

yxx x



2

x

21



ln 2 1



yx





2



11





y

 



2

x

;

x

.

1

.

2

23

 xxxy

.

2.4

42

3

2

3

xy 

.

2

2.5

xyx

x



x



х









х









х



x



x

3

cos yx x

.

2.6



arc tg

3

.

2.7

2.9

2.11

2.13

2.15

2.17

3

x

 

yxx

2

245

.

3

2

ctg yx x

.

cos

yx

1sin



55

3

logyx x

10arc tg 7

yxe  

.

3yx

.

2

.

2.8

2.10

2.12

2.14

2.16

2.18

86

y



4

2

y



2

x

32

yx x x



.

3

x

.

1

24

5

12

y

 

2

3

4

х

x

22

 

3sin1y хх

7

3

11y хх хх

.

2.19

2.21

2.23

2.25

2.27

2.29

2

31yx x

3

ln( 7 2)yxx

arcsin

ye

.

2

1arcsinyx x

x

sin cos

y 

22

3

(4 3 )yx .

2

.

2.20

2.22

2.24

2.26

2.28

ln arc tgy

sinyx

sin 6yx

(1 5 )yx

57y хх

3

.

8

.

4

.

1

2.30

y



(1 )



25

.

2.31

2sin2yx x

33

.

2.32

43

sin cosyx x

.

2.33

xyx



xyx

x



x





xyx

х







х





х

x

х



4

1cosyx

2

.

2.34

sin



.

cos

2.35

2.37

2.39

2.41

2.43

2.45

2

ln( 2 )yxx

22

ax



y



ln

22



ax

cos

yx

ye e e

2

sin 2

1arcsin

.

x

ln tg

2

xx

.

arccos 1 2 2 4yxxx

23

x



5

y



x

.

1



ln(1 cos )yx

2.36

2.38

2.40

2.42

2

.

2.44

2.46



y

ye



yxe x



12



ln

12



x

e

ln

2

x

arc tg ln

(1)( 2)(3)yx x x

32

 

2

x

sin 2

.

1

2

x

1

e

2

x



2

e

.

x

1



.

2.47

2.49

2.51

2.53

2.55

53 2

(1 3 ) (1 2 )yx x x

(2) 2

xx

y

yx

yх

y х

 



x



sin

.

cos

tg



2

.

2.48

2.50

2.52

2.54

2.56

Найти производную 2-го порядка от функции

2

2.57

sinyx

.

2.58

y

x

1arcsin





1arcsin



12

хх

y



3

ln

yх

y



ye aconst



.

1cos



x



a

,

.



2

.

3



2

х



1



26

7

х

5

.

(1)

xx

3



.

2.59



y

1



12

.

44

2.60

ye

2

.

2

х





















x



x











x



x



1

x

2.61





y

.



1

x

2.62

2

1yx

.

Найти производные n-го порядка от функции

2.63

Ste





.

2.64

уа

.

t

2.3 Производная неявно заданной функции

Функция

yfx

задана неявно уравнением



подстановке её в это уравнение, она обращает его в тождество

,0Fxy

, если при

Если функция

нахождения производной уравнения, учитывая, что уравнение относительно

Чтобы найти

y

yfx







y

нужно продифференцировать по x обе части этого

есть функция от x, а затем разрешить полученное

y



y

.

неявно заданной функции, надо уравнение

дважды продифференцировать по

Решение типовых примеров

Найти производную неявно заданной функции

2

yy

2



2





2

 

22

sin

yy

2 sin 1

yy

20xy y 

ctg

2



sin



.

sin

y



y



2

y



;

2

y

;

.

2.66

2.65



xy xyy

2

y xyy

22 2

sin 2 sin 1yyyxyy





y

22

,0Fxf x

.

задана неявно уравнением

и т.д.

Решение

;

22

2.67

xy

49

.

1





,0Fxy

, то для

,0Fxy



2.68

2.70

cosyxy



3322

yxy

.

2.69

2.71

arc tgxxy

y

ln 0

y



.



.

x

2.72

eee

yxy





.

2.73

45

22



.

6xxyy

2.74















x









x





x

2.76

yx

ee xy

exy





22

xy

0

.

Найти

xy

sin cos 0

2.75

.

0y



2.77

eye x

32



540xy xy





.

2.78

2.80

2.82

2.84

2.86

arc tg 0yyx

32

2

x ух

xy

exy

у

ееху

540x у xy

у

arc tg 0

cos 0

22



.

2.79

2.81

2.83

2.85

22

3223

33

22

x у

2.4 Производная параметрически заданной функции

Если зависимость функции y от независимой переменной x задана с помощью вспомогательной переменной (параметра)

xxt



 

yyt t







,;,





.



35340x ухyyх

yxy 

0xyxy



sin 2

у

ln 7



.

х

t

:

.



то

или

Решение типовых примеров

Найти y и



2.87

 

ya t







:

y

2

3

cos

at



3

sin .



Найдём

Тогда

y

2

x

.



x



x



y

tt



yy



x



y

2

x

,

tt

 

yx yx

22

tt



2



x

Решение







t



yat a tt





t



yt

 

x

32

cos 3 cos sin

at att

sin 3 sin cos



yatt

t



xatt

t



32

t

3sin cos



2

3cos sin

2

tg

;

.

46

tg .





x







x





x



x

х



х



х



Найдём

yt



x

yt



x



 



t

tg



t

1

Тогда

Найти



y



x



y

 

2

x



:

y

t



t



3 cos sin 3 sin cos

2

t

cos

24

attatt

1

.

2

t

cos

1

,



y



2

x

3sincos

1

.

at t

4

2.88

2.90

2.92

2.94

2.96

ln

t



 



yt

sin 2





x





t

 

y





t





et



 

ye t







at t







1



t



t

cos

t

sin



.

1

.

1

.

sin



ya t





 

yt



1cos





2cos



t

.

sin





2.89

 







2.91

 



 

2.93

.

2.95

 





  





2.97

 

t



.

3

yt

sin cos

attt



.

ya tt t

xt

ytt

cos sin





2



1

.

3



3

2

t

e

.

3

ye

t

cos

at



.

yb t

sin



2.98

2.100

2.102

2.104

  

 

  

2

х t



3

t

yt



.

3

ln

t



.

yt

sin 2



sin

tt



.

yt

1cos



21

х t



.

yt

14



2

47

2.99

2.101

2.103

2



 

ye







 

yt t







 

yt





t

e

.

3

t

3

tt



2



2

sin

cos

t

2



1

.

2.5 Дифференциал функции















f



x











x



f





f



f



f







f





























Если функция

yfx

дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой



точке конечную производную

lim 0

где

относительно приращения аргумента функции и обозначается

x



0

.

Главная часть

df x f x x

Положив

yx



yfx

 



xx





, получим

приращения функции

или dy y x

dy

df x f x d x







, отсюда



y



.

dx

Из определения следует, что при достаточно малом приращении аргумента

Так как

dx

xdfx



xfx xfx



или

, то

dx x

,yfxx x

y

, линейная

, называется дифференциалом

 .

и поэтому dy y d x

ydy



.

,



 или

то

x x fx fx fx dfx    



Итак,

xxfxfxx

   



Последняя формула применяется в приближенных вычислениях для вычисления значения функции, близкого к значению

Дифференциал сложной функции



Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.

22

dy ddy ydx



или

отсюда

Дифференциал

или

отсюда

n – го порядка имеет вид

22

dfx f xdx

y

nn

dy f xdx

nn

dy y dx

n



y









2

dy

dx

n



n

dy

n

dx

2

yfux

.



.



,

.

x

имеет вид



.dy df u du df u u x dx

48

Решение типовых примеров









x





x

y

x



x



x





x



x



Найти дифференциал функции

2.105

1tgyx

3

.

Решение

dy y dx







yx xx x

    

1 tg 3 1 tg 1 tg 3 1 tg





32 2



cos

1

.

2

Таким образом,

2

dx

.

2

x

dy

31 tg





cos

0,01

2.106

arc tg

при

x

и

1



.

Решение

11 1



Итак,

ydyxdy

 

0,005.dy 

22

xx

11 2



; 0,01 0,005.

1

x



x



0,01

2.107 Найти приращение

2

при

1yx x



3

,



y

и дифференциал

0,01

. Какова абсолютная и относительная

dy

функции

погрешности, которые получаются при замене приращения функции её дифференциалом.

Решение

         

yfxxfxxx xx xx



2

11

2



22 2 2

     

21 12

xxxx xxxx xxxx

y

Вычислим



dy

этой функции при

3

x



0,01

x









dy

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

ydy





2 3 0,01 0,01 0,0001 0,0501.

0,01



3

x



x



,

3

2



23 1 0,01 0,05.

 



0,01

121dy f x x x x x x x

0,0501 0,05 0,0001.ydy   

.





0,0001



y

0,0501

0,002 0, 2%.

49

;

2.108 Найти приближенное значение



f





f

x



f





x

Решение

xxfxfxx

   



В данном случае



3

; 27; 0,81.fx x x x

3

26,19

.

Найдём



x



:

Вычислим

Таким образом,

3

  

Итак,

3

27 2,97.

3

26,19 27 27 0,81 3 2,97.

2.109 Вычислить

cos61



Имеем

fx x x x



cos ; 60 ; 1 0,0174





fx x f

  



sin ; 60 sin 60



fx x





f



3





11

27



3

327



1

.

2

3

2

.

27

0,81



f

 

27

0

.

Решение

xxfxfxx

   

00

.

3

00



3

2

Итак,

2.110

2.111

2.112

2.113

000

cos61 cos 60 sin 60 0,0174 0,0174 0,4849.



13

22

cos61 0,485.

0

Определить приращение и дифференциал функции значения

х от х = 2 к значению х = 2,01.

yx

3

при переходе

Доказать, что если ∆х – бесконечно малая величина, то с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство

sin

x

. (∆х выражается в радианах).

При вытекании жидкости из малого отверстия в сосуде, скорость частиц жидкости определяется по закону Торричелли

, где Н -

gHV 2

высота поверхности жидкости над отверстием. На какую величину изменится скорость, если

Период колебания маятника

см. Как нужно изменить длину маятника

Н изменится на dH.

l

T 

2



980

с, где l – длина маятника в

l =20 см, чтобы период

колебания уменьшился на 0,1 сек.

50