Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
меняется с минуса на плюс, то функция в критической точке имеет минимум
x
x
0
f
x
0
f
x
0
f
x
0
f
x
xx
(рисунок 3.9).
y
0
0
Правило 1 исследования функции на экстремум
1.
Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти критические точки.
4. Разбить область определения функции критическими точками на
интервалы.
5. Определить знак производной на каждом интервале.
6. Установить вид экстремума.
7. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Решение типовых примеров
Исследовать функцию на экстремум
3.127
32
691yx x x
.
Решение
1.
Найдём область определения функции
;Dy
Найдём производную
2.
Найдём критические точки
3.
031290yxx
xx x
12 1
xx x
12 2
4.
Разобьём область определения функции критическими точками на
2
41
33
2
3129yx x
или
- критические точки
.
.
2
430
интервалы
71
1
x
Исследуем знак производной и установим вид экстремума с помощью
5.
таблицы
31 3yx x
3
x
y
y
5 1
6. Вычислим значения функции в точках экстремума
Построим график функции в окрестности точек экстремума (рисунок
7.
3.10)
1
0
max
max min
15; 31yf yf
;1
1; 3
3
0
min
3;
y
5
3.128
1.
2.
y
,
3. 0
y
3
12yx
;Dy
1
3
32
x
.
.
1
0
1
2
3
2
.
Решение
72
x
x
x
x
y
x
y
не существует, если
точка.
4.
5.
3
20x
, откуда
и
20
- критическая
2
;2
y
y
1
6.
max
7. Построим график функции в окрестности точек экстремума (рисунок 3.11)
21yf
.
Не существует
-2
max
2;
2
Признак 2 Если функция
точке
если
1. Найти область определения функции
2.
3.
4.
, а вторая производная в этой точке существует и отлична от нуля, то
0
, то функция в критической точке имеет минимум, а если
0fx
0
Правило 2 исследования на экстремум
Найти производную
Найти критические точки
Найти вторую производную
0fx
0
, то – максимум.
1
0
yfx
дифференцируема в критической
x
73
5. Определить знак второй производной в критических точках
Определить вид экстремума
6.
7.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Решение типовых примеров
Исследовать функцию на экстремум
3.129
.
Решение
1.
2.
2sin , 0;2yx x x
0; 2Dy
12cosyx
.
.
0, 1 2 cos 0, cos ,
yxx
3.
2
1
4.
5.
6. Так как
минимум, так как
7.
2sinyx
f
332
53
f
32
f
33 33
.
2sin 2 3 0
230
f
3
2sin 3 0,68
xx
;.
12
33
3
.
0
, то функция
5
f
3
, то функция в точке
0
5
,
2sinyx x
x
.
имеет в точке
5
имеет максимум.
3
x
3
55 55
f
Ответ
yf
max
yf
min
обращается в нуль или не существует, второе правило исследования функции
на экстремум не применимо.
33 33
55
33
33
В тех случаях, когда в критической точке вторая производная
2sin 3 6,96.
36,96
3 0, 68.
,
74
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция
yfx
непрерывна на отрезке
, тогда эта
,ab
функция достигает на этом отрезке своего наибольшего или наименьшего
значений либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
наименьшее значения функция достигает внутри отрезка, то это значение
является максимумом или минимумом функции.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
1. Найти производную функции
Найти все критические точки функции на
2.
Вычислить значения функции в критических точках и на концах
3.
,ab
отрезка.
Из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и
4.
наименьшее.
Решение типовых примеров
3.130
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
3
3yx x
на
1, 5; 2 , 5
.
Решение
1.
2.
3.
4.
yf
наиб
yf
наим
2
33yx
0, 3 3 0, 1 0, 1, 1.yx x xx
11312f
1131 2f
1,5 1,5 3 1,5 1,125f
2,5 2,5 3 2,5 8,125f
.
22
3
3
3
2,5 8,125
12
12
,
,
3
,
.
,
.
Исследовать функции на экстремум
4
x
yx
4
2
3.131
3.133
1
yxxx
32
3
.
3
2
3
1yx
.
3.132
3.134
3
.
12yxx
2
.
75
3.135
x
x
x
y
2
xx
y
22
1
x
.
3.136
yx
.
2
8
4
3.137
3.139
3.141
3.143
3.145
3.147
2sin2 sin 4yxx
lnyxx
.
e
.
y
.
3.138
3.140
yxe
3.142
ln 1yx x
2
.
arc tg
xx
.
.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
32
3, 1;4yx x
.
x
yx
2
217,1;4yx
,0;3
3
32
2
.
x
3.144
3.146
ln , 0,1; 1yxx
32
x
y
.
3.148
x
e
915,2;3yx x x
1
,1;1
.
.
.
3.149
3.151
y
2
2sin2 3cos2 , 0;
yxx
,2;0
2
x
.
x
21
Исследовать функцию на экстремум и определить её наименьшее и
наибольшее значения на отрезке
123
3.152
yx x x
432
432
32
3.153
3.154
3.155
Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр
332,2;5yx x x
43 2
816,3;1yx x x
2р, наибольшую площадь имеет квадрат.
.
4
2, 2; 4
.
.
3.150
.
yx
1
,2;0,5
4
.
x
2
76
3.4 Исследование функций на выпуклость и вогнутость,
точки перегиба
График функции
(рисунок 3.12) (вверх (рисунок 3.13)), если он расположен не ниже (не выше)
любой касательной к графику функции на
yfx
на
имеет выпуклость, направленную вниз
,ab
.
,ab
y
выпуклость вниз
0
Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая)
кривая на
y
выпуклость вверх
a
b
x
вогнутая кривая
Необходимое условие выпуклости (вогнутости) графика функции
, то вторая производная на этом интервале отрицательная
,ab
0
a
b
x
выпуклая кривая
(положительная).
Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции
Если функция
yfx
yfx
3.14), так как с одной стороны от этой точки график функции расположен над
касательной, а с другой стороны – под касательной.
00fx fx
на этом интервале выпуклая (вогнутая) кривая.
Точка
от вогнутой, называется точкой перегиба кривой
В точке перегиба касательная пересекает график функции (рисунок
во всех точках этого интервала, то график функции
00 0
yfx
,Mxfx
, отделяющая выпуклую часть графика функции
дважды дифференцируема на
yfx
77
.
,ab
и
y
M
0
0
a
Необходимое условие точки перегиба
Если график функции
вторая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых вторая производная функции
не существует, называются возможными точками перегиба графика функции или
критическими точками второго рода.
Достаточный признак точки перегиба
Если при переходе через критическую точку второго рода слева направо
вторая производная функции меняет знак, то в этой точке график функции имеет
перегиб.
Правило исследования функции на выпуклость и вогнутость, точки
1.
Найти область определения функции
2. Найти первую и вторую производные
3. Найти критические точки 2-го рода
4. Разбить область определения функции найденными точками на
интервалы
5. Определить знак второй производной на каждом интервале и
определить направление выпуклости графика функции на каждом
интервале.
6. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Решение типовых примеров
Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость, точки
перегиба
3.156
43 2
10 36 31 37yx x x x
yfx
x
0
имеет перегиб в точке
перегиба
.
b
x
yfx
,Mxfx
00 0
равна нулю или
, то
1.
Найдём
Dy
;Dy
Решение
.
78
x
x
2. Найдём y
3.
12
4.
Разобьём
5.
32
4307231yx x x
22
12 60 72 12 5 6yxx xx
.
05602;3
yxx xx
12 2 3
yxx
2; 3xx - критические точки.
и
y
2
Dy
,
,
критическими точками на интервалы
12
,
2
3
6.
Исследуем знак
y в каждом интервале с помощью таблицы
y
y
2
0
т.п. т.п.
;2
2;3
3
0
-19 5
7.
yf
ТП
..
yf
ТП
..
2 2 10 2 36 2 31 2 37 19
2 3 10 3 36 3 31 3 37 5
43 2
43 2
,
.
Изобразим график функции вблизи точек перегиба (рисунок 3.15)
y
3;
5
1
0
1
19
3
2
x
79
x
x
x
x
x
y
3.157
2
3
758 yx xxx.
Решение
1.
41
728
2.
33
yx x
;Dy
.
,
5
33
12
28 28 28 1
yxx
33
99 9
3.
Находим критические точки 2-го рода
yxx
00010,1
28 1 1
9
y
не существует, если
1, 0 xx
12
4.
5.
xx
22
33
xx
.
2
3
2
3
00xx
,
- критические точки второго рода.
0
;1
1
-1
1; 0
0
,
0;
y
y
0
т.п.
не
существует
нет т.п.
3
6.
..
ТП
yf
117115183
2
3
.
Изобразим график функции вблизи точек перегиба (рисунок 3.16)
3
1
0
1
Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
графика функции
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]