Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие

2.114





x











x









Вычислить приращение площади квадрата ∆S со стороной a = 10 см при увеличении длины стороны квадрата на ∆ а) точно б) приближенно. Результаты сравнить.

Найти дифференциал функций:

a = 0,01 см

2.115

2.117

2.119

2.121

2.123

2.125

2.127

1cosyu

tgyx

arc tgу x



2

1ух

.

2

.

arcsin arc tgу xx



.

3

lnyx x

tgyxxx

.

2.116

2.118



2.120

2

.

2.122

2.124

2.126

y

yxe

ye

y

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

0,1 1

x



2.128

fx e





для х = 1,05.

2.129

2,037 3



2

.

sinyt

1ухх





ln tg



24



2

.

3

.

2

x

.

2

1

2

3

2

.

2.130

2.132

2.134

2.136

2.138

2.140

0

sin 31

tg 44

ln1,02

3

26 .

sin 29

.

0

.

0

.

arc tg1, 05

2.131

2.133

2.135

2.137

2.139

.

3

28 .

62 .

24 .

1, 0 2

0,99

5

.

4

.

51

Тест 2

y





y





x





x









1.

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется

y

1:

3:

lim

x



lim

xx









0





xx



yy

0





0



x

; 2:



; 4:

lim

x



lim

xx





0



y



;

0

x



y

.

x

2. Дифференцированием функции называется процесс нахождения:

1: первообразной; 2:

производной; 3: предела; 4: непрерывности.

3. С физический точки зрения первая производная - это:

1: сила; 2: энергия; 3: мощность; 4: скорость.

4. Дифференциал функции в данной точке это:

1

: dy cy dx



 ; 2: ()dy f x dx



 ; 3:

()dy f x dx

; 4:

dy dx

.

5.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с

абсциссой

x0 равен

1: Пределу функции в точке 3: производной функции

()fx

2: первообразной функции

;

0

в точке

.

0

()fx

;

arctgx

xy

6. Если

xarctgx



1:



121x





2

7. Если

, то )( xy

2

1)(x



; 2:



3arcsin)( xxy 



равно

xarctgx





11x



2

, то )( xy

2

; 3:

2

равно

xarctgx

21



1

x



2

; 4:

arctgx





11x



.

2

3arcsin6

1:

x

; 2:

2

91

x



91



8. Угол, под которым кривая

1:

arctg

1

; 2:

25

arctg





 

x

3arcsin3

y

25

x

2



1

; 3:

x

2

x



; 3:

 

6arcsin

1



; 4:

2

arcsinxx

2

пересекает ось абсцисс равен

1



1

arctg

; 4:

arctg

24

.

2

91



1

 





23

.

 



9. Если

22

11)(

 xxxxxy

, то )1(y

равно

1: 6; 2: -6; 3: 5; 4: -3.

52



x



x



x



x







x



10. . Если

,1 ttytx 

32

, то

y

x

1:

2



t

13

; 2:

t

2

13



t

; 3:

t

11. Вторая производная функции

1:

cos 2

; 2:

2cos2

; 3:

12. Производная неявной функции

1:

2





y

e



; 2:

y

e





y

2

e



; 3:

y

e

13. Дифференциал функции

cosyx

1:

8cos sindy x x x dx

32 2

; 2:

равно

2

1



t

2

sinyx

2sin2

y

ex





y

42

равен

4sin2dy x dx

; 4:

равна

; 4:

2

1

равна

y

2

e

; 4:

y

e

2

; 3:

sin 2





y

8cosdy x x dx

2

13



t

.

t

.

2

.

y

e

32

1

14. Второй дифференциал функции

1:

dx

2

; 2:

2

2dx

2

3

; 3:

dx

; 4:

2

y



dx

равен

2

.

2

15. Угловой коэффициент касательной к кривой

3

равен

1: 2; 2: 0; 3:-2; 4: 3.

16. Угол, образованный касательной к графику функции

в точках ее пересечения с осью

, равен :

Ox

1:

; 2:

4

; 3:

6

; 4: 0.

2

1

17. Уравнение касательной к графику функции

yx



x

имеет вид

10

1:

y

; 2:

10

y

; 3:

10y



; 4:

20y



в точке

3yx

2

yx x

в точке



1; 2



.

1x 

0

18. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе

2

в начале координат?

xy 

53

1: 1; 2: 0; 3: -1; 4: 0,5 .

tts



19. Если

23

, то )2(S

1)(

 tttS



равно

1: 7; 2: 8 ; 3: 6 ; 4: 9.

20. Тело массой 3кг движется прямолинейно по закону

1

2

;

s выражено в сантиметрах, t – в секундах. Какова кинетическая

2

энергия

mv

тела через 5с после начала движения

2

1: 0,02915Дж; 2: 0,01815Дж; 3: 0,0195Дж; 4: 0,0815Дж.

54

2.3

y

xx

x



x

х



х





x





x

xyx



x







xyx

х

2.6

2.9

'15 4 3

'

y



'2ctg

yxx



2

xx

3(1 ) arc tg



xx

42

(1 )

xx



sin

2.4

2

2.7

2.10

Ответы к главе 2

26

'

y

3



2

3

2

'44yx x



2

y



'

x

(1)

22

2.11



2.5

3

2.8

'

y

23

'3cos sinyx xxx

21 1



'y

x

1





1sin

 

3



4

x

2.12

2.15

2.18

2.21

2.24

2.27

2.30

2.33

2.36

2.40

'3 0,4 2yx x 

yx х

'3log

2



2





2



4

'1,25yх



y

'

3

xx

'3sin cosyxx

37

2.19

2

x





72

2

1

y

(cos sin )

2.13

1

ln 2

'

y

2.22

2.25

x

2.28

22 2



y

y

10



(1 )



2.31

26

sin 2



x



4



4(1cos)

tg

2.37

23

2.34

y

2

x



2

x

2.41

1







y

(1)

yх

5

2.16

23

x

2

231

xx





y



(1 ) arc tg

2.14

4

5

'4 2yx

3



1

2

arcsin

'1



y

1



  

2sin







2 sin 2





2

4 ax







44

ax



212

ye x

  

2.38



x

y

2.17



2.20

x

2



20 (1 5 )yx

2

x

sin (1 sec )yx x

2.42

1

'

'7

  

3

хх

4

2

х

10

26

ye

 

'7

'8( 5 7)(2 5)yxx x

2.23

27

ye



'

2

x



1

 

arcsin

x

2.26 6cos6yx

3

2.29

y



1



1

2



2

3



43

3

2.32

2





y



14





y

1

yxx

sin 2 sin( )



2

2( 1)

x



2.35

2.39

2

4

e

2.43

8

e



y







y

xx







y

(2)

2ctg

sin



4

2

4

x

23 1

x

2.44

yxe xxx x

y

2.50



2(3 5 7)( 1) ( 2)yxxxx

   

2









x

2 sin2(1 ctg2)

22

(42)(1)(2)

xx xxx

  





22

2

3

3( 1)( 2)

xx x



2

1 1 arcsin

(1 arcsin ) 1



22

xx

2.47



1arcsin



2.49

2.45



5(13)(12 12)(12)yx x x x x





y



2.51

55



y



42 2

(4) 2

xx

(2) 2

xx

sin

х

ххх



5

1(2 3)( 1)

xxx



2.46

2.48







cos ln





sin



2.52



х



х



x



x









x





x



x







x





x



x



х



х



х





xyx

x

х



















3

12

хх







y



3

1

х





31 2



2

12 2 3 1

хх х

 





2.53

х



y

1ln





х

2.54

2.56

2.59

2.62

2.66

2.70

2.74

2.77

2.80

2.83

ln 1





y



y х





y

''

(1 2 )



2

хх



2.55

26

1cos



5

7

х

42



2.60

3





y





25

х

 



2



17

y ех

1

''

y



22

(1) 1

xx







y



y







y

'



y

'

y





'

y

2.67



y

1

22

32

23



ey

y

ex

35

cos 2 3

32cos2

у xy

xy



22

yy



x



2.75



22



yy

3

yx



25

22

35

x у y



3

25

x ух



xy





2



2 63

9





y

2.71

2.68

4

y



y



y

2.78

'

2.81

y

2

2.84



cos

tg sin ln tg

6tg



2





х

212

 2.61

() 1

nnt

Sent

2

y

xy

eye x



xy

cos cos

eye x

'1

y

363

x ухy

32 2

x



1

 

sin

х



2.57 sin 2

х

2

(1) ( )

2





sin





y

1sin

2.72

sin sin

11



yy

22 2

615





y









2

y



22



уу

'

y



2sin

хх

yx 2.58

4

y



''



x

(1)

n



2.64



y

2.69

y





xy y



ee

1



2.73

x



e

2.76

yaa

yxy



y

2.79

33



22

'

2.82

2sin

у xy xe



y

22

xy ye



22



x ухy у



422



x

y

1

a

ye



''

a

3

x

ln







2





2

n



2

y

2

y

1



0



3

2

y



y

'

y



2

ух

2.85

2.89



y

2

x





y

x

2.96

y



2

t

y

2



21





'



12



2





x

6

3

t

y

2.86

2

y





y

,

2

x

18 2

tt

1



3

at t

sin

1



2.94

2

t

2.92

y

x

y

x

1



x

2



4sin

3



yt



,

x

t



'

y

2.88 2cos2,

у

е

1

у

2.90 1,

3

sin cos

tt



cos sin

tt



,

t

ctg ,



y



2

x

1

ctg

2.97

2

56

yt t

x

y



x





y

2

x

ett

y

t

cos sin



1

2.95

t

4

a

4sin



2

x

2







2cos2 2sin

yt ttt

2

x

2.91 ctg ,

0

2.93

3



ye

2

x

2

bb

'ctg,

yty

 

aat



23

sin





yt

x

t





y

2

x

3

t





ye



4



,

x

2

1

,

3

4

t

3

t

2

2.98









м

x





x









x













2.100

2.103

22

11

tt

'



yy

24

tt

'2cos2 2cos2 2sin2yt ty t tt t



'1y 





2.104

yey



2.99

3





'4yt

2.110

',

33

t



24

2.101

0,120601 0,12у dy



t

e

'

y

31

21

t

2

t

2.102

'

yt

sin

t

1cos



2.112

2.115

2.118

2.121

y

21

2.126

2.129

2.135

dVgH

gdH

2.113

dl 

14

2.114

)0,2001aS c



2

dx

sin 2



dy

1

31 1 2dy x x x dx 





dy dx





2arcsin 1



2.116

2



12arctg

2



xx



1

2.124

x



2

xx

 

dy dx



1, 07 4

2.136

4,9

2

x





2.130

dy x e dx

41

2

2.127

1

0,5147

2.137

2,96

dy tdt

2

1

3

23x

2.131

1,1

2.119

dy dx

x

2

x



2.125

2

3, 037

2.138

2.117

2tg



cos

2

2.122

dy x x dx



3ln 1dy x x dx

2.132

0,485

0,966

2.139

dy udu

2.120

dy x e x dx

2

31tg



2.128

2.133

0,96

2

,

)0,2б dS cм

sin

dx

dy





2sin

x



2



3

xx



2

cos



x



1,05 0,995f 

7,875

2.140

2.134

0,811

2

2.123

0,02

.

2

57

Глава 3 Аналитические приложения дифференциального



f





x























f

x









f









x



f

x















f

x

исчисления

3.1 Правило Лопиталя

Пусть функции

и

x



дифференцируемы в некоторой



окрестности точки



x



. Тогда если

0

(за исключением, быть может, её самой), причём

0

lim lim 0

fx x



xx xx

00



или

lim lim ,

fx x



xx xx

00



то

xfx



x





.

lim lim .



xx xx

00







Это правило применимо и в том случае, когда

0

Правило Лопиталя раскрывает неопределённости вида «

» и «

».

0

Неопределённости вида «

», «

0





», «

1

», «



0

», «

0

» с

помощью алгебраических преобразований сводятся к неопределённостям вида

0

«

0

» или «



».



Правило Лопиталя сводит вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.



Если производные

и

x



удовлетворяют тем же условиям,

что и функции

и

x





Правило Лопиталя можно применять при вычислении и односторонних пределов.

Вычислить пределы

2

321

3.1

lim



x



2

1



xx

, то



xfxfx

lim lim lim .

 

xx xx xx

00 0

 

() () ()

xx x

  







xx



Решение типовых примеров

x

.

2

Решение

58





Если в данное отношение подставить

x



x



x



x

0

неопределённость «

». Применим правило Лопиталя, то есть заменим

0

отношение функций отношением их производных:

2

321 6244

  

xx x

Таким образом,

lim lim

 

xx

2

3214



xx

lim



x

2

1



xx

2

11

  

xx x

22133

.

23

ln

3.2

lim

x

0

.

ctg

Решение

В данном случае имеем неопределённость вида «

предел по правилу Лопиталя

1

ln sin

lim lim lim

00 0

  

xx x



ctg

x

1



2

sin

0

Получили неопределённость вида «

0

применяем правило Лопиталя

2

sin 2sin cos

xxx



x

1

Таким образом,

lim lim lim sin 2 0.

00 0

  

xx x

ln

x

lim 0.

0

x

ctg

x

, то получим

1



.



». Вычислим



2

x

.

x

», для её раскрытия опять

x

3.3

lim

xx

В данном случае имеем неопределённость вида «

правило Лопиталя

Таким образом,

lim 0.

x

3.4

lim ctg 2

0

x

e



2

.

2

Решение



». Применяем



2

xx

lim lim lim 0.

xx x

2

x



2

x

e

x

.

222

xxx

  

exee

21



2

Решение

59

Имеем неопределённость вида «



x









x





x



x

выражение

». Преобразуем данное

0



Получим неопределённость вида «

Лопиталя

lim ctg 2 .

Таким образом,

xx

0

x

3.5



lim





x

3

93



Имеем неопределённость вида «

61



2

93

xx

к общему знаменателю



lim lim lim lim .



3333

   

xxxx

   

939 9 36



ctg 2 .

xx



tg 2

0

», которую раскроем по правилу

0

lim lim lim .

xx

 

xx x

00 0

tg 2 2 cos 2 2 2

xx

1cos21



2

1

2

61



2

xx



.

Решение



». Приведём выражение

63

61 3 11

   

222

xx x x x



x



x

611

Таким образом,



lim .





x

3

936





2

xx



1



1

3.6 а)

lim



x

.

1

Имеем неопределённость вида « прологарифмируем эту функцию

ln ln ; .

yx ye

 

Вычислим

Тогда

Таким образом,

lim ln lim lim lim 1.

xx x x

lim lim .

yee

11

xx



y

11 1 1

  





ln

x

1

x



1



lim .



x

1

2

1ln

б)

lim

x





x

0

.

Решение

1

». Обозначим

1

1ln

11

xx



ln 0 1 1

xx



x

ln

1



10 1

xx







1

e

xyx

и

60