Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие

3.137







































3.138

3.140

3.141

3.143

3.144

3.145

3.146

3.147

3.148

3.149

3.150

y при xk y при xk где k

mi n max

, , , , 0, 1, 2...

2626

33 1 33 1

    

   

 

11

0, 0y при x

min

3.139

min

,y при x



ee

4

0, 0; , 2y при xy при x

 

min max

min

y при xuxy при x

наим наиб

,1yeпри x

4, 1 2; 16, 4 

3.142 экстр. нет

2

e

11

y при xy при x

наим наиб

,;0,1

   

ee

1

y при xy при x 

наим наиб

y при xy при x   

наим наиб

y при xy при x 

наим наиб

y при xy при x

наим наиб

0, 0; , 1

3

74, 2; 45, 3 7, 2; 23, 4 0, 1; 1, 0

1

y при xy при x   

наим наиб

yïðèxyïðèx   

íàèì íàèá

1, 1; , 0

2

4

27 1 16 1

,;,

4

23172

3.151

y при xy при x

наим наиб

2, ; 13, 0,5arc tg

 

43

17 37



3.152

y при xy при xy при x

min min max

,1;,3;2,0

22 4

16 37

y при xy при x

наиб наим

3.153

3.154

y при xy при x 

наим наиб

3.158

3.160

-

точка перегиба,

3.161 вогнута при

перегиба

3.162 вогнута при

,2; ,3

34

экстр. нет;

0, 4; 0, 0; 16, 2y ï ðè x y ï ðè x y ï ðè x 

min min max

y при xy при x 

наим наиб

0, 0; 25, 1

вогнута при

4;206



1; ln 2 ; 1; ln2



4, 2; 67, 5

;x 



;2x



3.159 выпуклая при

и

4;x

, выпуклая при



- точка перегиба

, выпуклая при

1;1x



2;x



, выпуклая при



;2x

2

;x 

2; 4x



и

;1x

,

1;x



2;62

, точки

, точек перегиба нет

3.163

вогнутая при

перегиба

0; 0 ; ;



x

и

;0x 



399







264



3





;



2



91

, выпуклая при



0;

x



 

3

, точки

2

3.164 вогнутая при

















































x



x

xy

y



x

y



y



x

, выпуклая при

0; 2x



и

;0x

2;x 



, точки

перегиба

3.165

3.166



3.167

перегиба

3.168

3.169

3.170

3.171

3.173

3.176

3.180

выпуклая при

 



 



0; 0 ; 2; 0



вогнутая при

0; 0

вогнутая при

1; 2 ; 1; 0



вогнутая при

3;x 



вогнутая при

7

2

;

e

2

вогнутая при

5



6

;1

ee



1, 3 1

0, 2

yx y

, точки перегиба

7

5



5

2

6

yx

yx

,

3.177

2

3.181

3

, выпуклая при

;1x



, выпуклая при

;0x 



и

;1x 



и

3; 0x







3; 3 3 ; 3; 3 3ee

 

и

;0x 



7



2



3.174

;xe

 

5





6

;xe

 

, выпуклая при



xyx

1, 0



0, 0

y

1;x

0;

x

313

,

224

3.182

, выпуклая при



, выпуклая при

0;3x



33



22

, точек перегиба нет

3.178

, точка перегиба





0;x







0;

 



0;

e



 

3.175

0

3.183 нет 3.184

, точка перегиба

, точки

1;1x



;3x 



7

2

, точка перегиба

e

5



6

, точка перегиба

2,

3.179

xy



1;

2

и

1

3

0

 

yx 

3.185

x





3.186

2

0, 0

y

.

92

Глава 4 Комплексные числа и многочлены



z



z



z

x



A

y

x

A

Элементы высшей алгебры

4.1 Комплексные числа

Комплексным числом

z называется выражение

,zaib



где

a

числа

При

Числа числа

Комплексное число

тогда и только тогда, когда Всякое комплексное число

и b - действительные числа,

a

i

- мнимая единица, определяемая равенством 1i

 или

2

1i 

;

называется действительной или вещественной частью, b - мнимой частью

z . Их обозначают так:

aRez

0, 0a z ib ib

0, 0bzaia

- чисто мнимое число;

- действительное число.

,

bJmz

.

zaib и zaib называются сопряжёнными. Два комплексных

aib

11 1

и

aib

22 2

считаются равными

z

12

, если

aa

12

bb

,

12

z равно нулю:

aib



0, 0ab

aib

y

z

,Aab



можно изобразить на плоскости

виде точки координатами

0

.

0xy

(,)

ab

(рисунок 4.1) с

и b. Плоскость на

a

которой изображаются комплексные

r

b



0

a

числа, называется плоскостью

комплексного переменного

плоскости ставить символ

z (на

). Ось

z

называют мнимой осью, а ось действительной осью.

.

в

0

(,)

Соединив точку

ab

с началом координат, получим вектор OA . В некоторых

случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа

zaib вектор

Модулем комплексного числа

соответствующего этому числу. Модуль обозначают буквой

OA

.

называется длина радиус-вектора,

z

rz ab  (рисунок 4.1).

22

r .

Аргументом комплексного числа называется величина угла между

положительным направлением действительной оси и вектором

r

, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведётся против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет ведётся по часовой стрелке.

b

,

Обозначают:

  (рисунок 4.1).

rg z arctg

a

93

Аргумент, в отличие от модуля определяется неоднозначно, а с точностью до

A













z





z

























слагаемого

2 k , где k - любое целое число.

rgz argz



2k

, где arg z -

главное значение аргумента, заключённое в промежутке





(иногда в

;



качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку

Запись комплексного числа в виде



0; 2

)

aib

называется



алгебраической формой записи. Помимо алгебраической формы используются

и другие формы записи комплексного числа:

cos sinzr i



i



re



- показательная форма записи комплексного числа

- тригонометрическая форма записи комплексного числа;

Основные действия над комплексными числами

aib

11 1

zz aib aib aa ibb       

12 1 1 2 2 12 12

zz aib aib aa ibb       

12 1 1 2 2 12 12

zz a ib a ib aa iab iba ibb       

1 2 1 1 2 2 12 12 12 12

aa bb i ab ab 



1 2 12 12 21

 

.

aib



22 2

,

2

aa iab iba bb

12 12 12 12

,





Замечание: при умножении комплексных чисел необходимо учитывать, что

2

1i 

,

3

ii

42

,



1iiii  

,

5

ii

и так далее и вообще при любом

целом

z a ib a a ia b ia b i b b

111 121221 12

z a ib a ib a ib a i b

222 2222 2 2



k

44142 43

kk k k

1, , 1, .

iiii ii

   

aibaib





  

 

aa bb i ab ab



 

1 2 12 21 12



112 2



22

ab



22

 

222

,

при

222

22



0.zab

2

Если комплексные числа даны в тригонометрической форме

cos sinzr i



11 1 1

1212 12 12

zr

11

     

zr

22

nn

zr i r nin nZ 

,

cos sinzz rr i     



cos sin







cos sin cos sin ,



 



cos sinzr i

22 2 2





12 12

i

n

, то

,

.

Эта формула называется формулой Муавра.

22

   

n

zr i r i

 

cos sin cos sin ,





n

 

где

nZ ,

0,1, 2,..., 1kn

.

kk

nn

94

Если комплексные числа даны в показательной форме















z



z



1

2

z



1

2

z





i

zre

 , то

22

2

ii



zz re re rre

  

12 1 2 12

zre r

11 1

 ,

zre r

22 2

ni nin

zre re





nn

n

zre re k n

  .

12

i



1



i

2

n



i



i



e

Решение типовых примеров

2

4.1

1

i

i



12

,

12

,

2

k

 

i

n

iy

cos sin

eyiy

y

cos



0,1, 2, ... , 1



iy iy

ee



2

iy iy

ee

sin

y





i

2

32

i 

2

i

zre

 и

11

1

- формула Эйлера

,

.

Найти:

,

zzz

12 12

(геометрически и алгебраически),

2

1

z

,

12

z .

1

2

Решение

3

1

z

2

1

z

1

5

1

z

2

23213zz i i i 

12



2325zz i i i 

 

2326432628zz i i i i i i i   



,

2

95

,

232

z

xx

D

x









ii



zi iii i

ziii

1

2 6432 47 4 7

1

2

22



  

32 32 32 13 1313

  

24444134

iiii i 





2

22

32



 

.

2

290

4.2 Решить уравнение



.

Решение

22

4 4 36 32 32

bac i 

bD

x





1,2



1



2

 

232 242

22

232 242

 

22

,

a

2

ii

2

ii

,

122

i

,

.

i

,

Ответ:

1

122

i 

,

2

122

4.3 1zi, найти

Перейдём к тригонометрической форме. Для этого найдём модуль и

аргумент комплексного числа

22 22

11 2rz ab    ,

b

Arg z arctg arctg arctg

     ,

a



12cossin

zi i

 

  

8

zi i

2cos sin 2 cos8 sin8

 

 

4

2cos2 sin2 161 0 16ii



36

3

 

zi i

 

44



   

44 4 4

 





2 cos sin 2 cos sin



44 3 3



.

i 

8

z и

3

z

Решение

1

14

, тогда по формуле Муавра

8



.



   



22

44

kk



.





02cossin

ki

при

12cos sin

ki

при



6



12 12





 

6

 

22

 

44

33



,

kk



96

3 3 22 11



z















66

2 cos sin 2



 

 

22cos sin 2cossin.

kii

при



66

 



iii

44 22



44

 

44

3 3 12 12

  

17 17





 



4.4

Изобразить на комплексной плоскости комплексные числа.

Найти их модуль и аргумент.

32zi

а) z = 2; б) z = 3+2 i ; в) z = i; г) z = -2 i; д)

 .

4.5 Построить и вычислить сумму и разность чисел:

23, 54.

12

iz i 

4.6 Найти произведение чисел.

а) (5+i)(5-i); б) (1+2i)(5-i); в) (1-i)(1-i); г) (2-i)

4.7 Найти частное:

33

22

,

2 .

52

ii

;

а)

12



б)

4.8 Вычислить

(1 ) (1 2 )

ii



а)

3

i



4.9 Найти мнимую часть комплексного числа

3

а)

8211zi i  ; б)



4.10 Найти действительную часть комплексного числа

2

i



4

zi

 б)

а)

3

i

4.11 Выразить числа в тригонометрической форме:

;

б)

;

2

i

;

в)

1

i

32

(1 2 ) ;

ii



i

1

i

zi





13



z

 

i

2

в)

23

14



2

i

.

i



i

1.i

i

67

i



17



6

.

i

;

г)

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

23

ii



32

ii



.

а)

в)

д)

1;z 

б)

1;zi

13

zi

;

г)

е)

1;z

;zi

3;zi 

22

97

ж)

z



x

х



















zi 

и)

уравнение

2

а)



13

;

з)

223;zi 

22

2;

i

к)

5.



4.12 Решить уравнения и проверить подстановкой корней в

25 0

; б)

2

250

x

; в)

2

480

х



; г)

4.13 Выразить в показательной форме комплексные числа:

2

320.хх

а)

2;z 

б) 3;zi

 в)

zi 

22

4.14 Найти произведение:

13

 

а)

ziи zi

б)

ziи zi

в)



2cos sin 3cos sin ;

 

12



44 33



 



5cos sin 2cos sin ;

   

12



66 44







2cos sin .

 



33



4.15 Найти частное:

а)

cos75 sin 75 cos30 sin30 ;i и i



ziи zi

б)

12

ziи z

в)

12

zeи ze

г)

12

00 00

  

 

2cos sin 2cos sin

 

 

44 3 3

 

55



5cos sin 5;

 

 





66

5



i

4

22.



.

i

3

55

;

4.16 Вычислить, пользуясь формулой Муавра:



2 cos12 sin12i

а)





00



5

;

б)

1;i

30

.



в)

д)

ж)

13





22



13;i



22 .i



12

;

3

6

98

г)

е)

3;i

33;i

5

8





f



x

xa

f

fa

f



x













x



x





4.17

Вычислить:

а)

4

1;

б)

3

i ; в)38 ; г)

4.2 Разложение многочлена на множители

Определение

Функция вида

целой рациональной функцией от

Теорема Безу (Этьенн Безу (1730-1783) – французский математик)

При делении многочлена

()

a

равный

.

3

1; д) 327 ;i е) 522;i

xAxAx A



nn



01

1



...

.

()fx

на разность

получается остаток,

 ж)

называется

n

6

8

.

Следствие Если

()

x

многочлен

делится на

Определение Если уравнение имеет вид

многочлен степени уравнением степени

- корень многочлена, то есть

a

без остатка.

a



0Px

nZ , то это уравнение называется алгебраическим

.

n

() 0

, где

, то

Px

-

Теорема (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная

функция

()fx

имеет, по крайней мере, один корень, действительный или

комплексный.

Теорема Всякий многочлен

разлагается на

линейных множителей вида

n

коэффициенту при

n

.

-ой, где n-целое число, степени

n

и множитель, равный

a

Теорема Если два многочлена тождественно равны друг другу, то

коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то

разложение на множители имеет вид:

fx Ax a x a x a  

  

k

- кратность соответствующего корня.

i

01 2

kk k nnZ  

12

... ,

Отсюда следует, что любой многочлен

kk

12

m

...



-ой степени имеет ровно n

n

k

m

,

m

корней (действительных или комплексных).

Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.

99

Разложение правильной рациональной дроби









x





A

x









x

















на элементарные дроби

Теорема

знаменатель

квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:

разложена на элементарные по следующей схеме:

    

   

Qx



Px x a x b



Px



AA A BB

      





Если

которой представлен в виде произведения линейных и



12 12

xa xa xb xb

 

Mx N M x N M x N

11 2 2

  

2

xpxq



Rx S R x S

11 2 2

 

2



xrxs

Rx



22

...Px x a x b x px q x rx s



22

 

 



Qx



Px

... ...

22

xpxq xpxq

 



22

 



- правильная рациональная дробь,





, то эта дробь может быть

B







...

2

... ,

2

rx s x rx s

 



Rx S







,, , ,,

где

называемый том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях

Так как

BM NRS

ii i iii

Для нахождения величин

метод неопределённых коэффициентов, суть которого состоит в

Применение этого метода рассмотрим на конкретных примерах.

Разложить рациональную дробь на элементарные дроби

9302888

4.18

xxx xx x



9302888



- некоторые постоянные величины.

,, , ,,

BM NRS

ii i iii

Решение типовых примеров

32

22

22 2

32

xxx

 



68 4



68 4 2 4 4xx x x x x

, то

xx ABCxD

 

24 4



Решение

2





24 4

xx x



применяют так



2

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

22 232

44 24 689302888Ax x Bx x Cx D x x x x x 



100