Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.158
x
x
xyx
x
y
x
y
x
y
y
f
x
M
M
y
f
x
M
y
f
x
2
5209yx x.
3.159
2
6811
yxx.
3.160
3.162
3.164
3.166
3.168
3.170
43 2
y
x
3
y
xyxe
12 48 50.yx x x
2
.
2
2
2yx x
.
.
2
1
x
2
3
2
.
3.161
3.163
3.165
3.167
3.169
ln
.
2
3.171
3.5 Асимптоты графика функции
Прямая l называется асимптотой кривой
ln 1yx.
1
32
6
1arctg
yxx
3
1
yx
2
2
xyxe
3
ln 1
yfx
, если расстояние от
2
5
yxx .
.
3
.
.
yx x .
переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки
по кривой в бесконечность.
Асимптоты делятся на три вида: наклонные (рисунок 3.16), вертикаль-
ные (рисунок 3.17), горизонтальные (рисунок 3.18).
yfx
, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке
Прямая
называется вертикальной асимптотой графика функции
xa
бесконечный, то есть
lim , lim
fx fx
00
xa xa
.
l
N
0
N
l
0
0
N
l
81
Прямая
y
f
x
x
x
x
x
x
b
называется горизонтальной асимптотой графика функции
, если
Прямая
yfx
, если
ykxb k
yfx
функции
fx
lim ; lim
kbfxkx
xx
Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая наклонных
асимптот не имеет.
Если область определения функции
искать эти пределы отдельно при
Решение типовых примеров
Найти асимптоты графика функции
2
4
3.172
1.
Найдём область определения функции
x
y
x
.
2
lim
x
x
называется наклонной асимптотой графика
0
x
xb
.
yfx
и
.
Dy R
, то следует
.
Решение
lim
x
;2 2;Dy
2
x
2
x
lim
x
20
4
2
Вычислим
2.
Так как
; 2
2
4
x
2
x
, то прямая 2
- точка разрыва графика функции.
2
4
,
lim
x
20
x
.
2
x
- вертикальная асимптота (рису-
нок 3.19).
3.
Вычислим
4
fx
kk
lim lim lim lim 1; 1
xx x x
lim lim
bfxkx x
xx
xxx xx
22
xx
44
22
2
x
x
2
4
2
1
2
x
,
2
1
4
22
xxx x
lim lim lim 2; 2
xxx
42 24
xx
22
2
x
.
b
2
1
Следовательно, прямая
ykxb
, то есть
2
yx
- наклонная
асимптота.
82
2
y
x
x
x
x
xyx
x
x
x
x
x
x
x
2
Составить уравнения асимптот для графика функции заданной
уравнением:
3.173
3.175
y
yx
3.177
3.179
3.181
y
ye
2
321
x
1
x
4
x
.
2
2
1
.
2
3
1
x
213
21
x
2
.
x
2
1
.
3.174
x
y
23
.
x
1
2
yx
3.176
3.178
.
2
x
3.180
yx e
2
y
3
.
.
1
e
.
e
11
3.182
siny
.
x
83
3.183
x
x
xyx
xyx
32
3yxx
.
3.184
1cos
y
.
x
3.185
y
arccos
x
.
2
3.186
2
ln
.
4
3.6 Полное исследование функции и построение графика
Схема полного исследования функции
1.
Найти область определения функции.
2.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
3.
Исследовать функцию на непрерывность.
4.
Найти асимптоты.
5.
Найти критические точки 1-го рода.
6.
Найти критические точки 2-го рода.
7.
Разбить область определения функции найденными точками на
интервалы, составить таблицу и определить интервалы
возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости, экстремумы и
точки перегиба графика функции.
8.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
9.
Учитывая проведенное исследование, построить график функции.
Решение типовых примеров
3.187
Исследовать функцию и построить её график
3ln
.
Решение
1.
Найдём область определения функции
Функция не обладает свойствами четности или нечетности, т.к.
2.
3.
Область непрерывности функции совпадает с её областью определения.
0;Dy
.
0;Dy
.
Точек разрыва нет.
4.
Найдём асимптоты графика функции
а) вертикальные асимптоты
3ln 1
lim lim 3 lim ln lim 3
x
fx x
00 00
xx xx
xx
84
.
Следовательно, ось
y
y
x
x
x
x
x
x
x
0
- вертикальная асимптота.
б) наклонные асимптоты
fx
lim ; lim 3 lim 2 lim 0, 0
kk k
xxxx
x
3ln 1
x
xx xx
3ln 1
bfxkxb b
lim ; lim 3 lim 6 lim 0; 0
xxxx
0
- горизонтальная асимптота.
Найдём критические точки 1-го рода
5.
1
x
1
3
2
x
2
1
x
xx
x
1
x
2
11
xx
x
2
,
y
0
, если
3ln
y
x
1
1ln0
x
или
x
33
xe
2
y
при 0
, но эта точка не может быть критической, так как она не
входит в область определения функции.
Итак, критическая точка 1-го рода
Найдём критические точки 2-го рода
6.
1
1ln
y
33 ;
2
3 5
2 2
xx
x
11 3 1
222
31
22
xx x
x
8
0
y
, если
83ln 0
или
3
xe
ln
2
x
x
2
e
.
1ln
3
x
1
1ln
2
,
3
2
38 3ln
4
y
при 0x, но 0
7.
Разобьём область определения функции найденными точками на интервалы
не входит в область определения функции.
Составим таблицу и определим интервалы возрастания, убывания, выпуклости,
вогнутости, экстремума и точки перегиба графика функции
85
x
2
x
y
x
x
;ee
8
3
8
3
e 3
2
0;e
2
e
8
3
;e
y
y
y
0
max
6
e
6
8.
Найдём точки пересечения графика с осями координат
yfe
max
а) с осью
Положим
2
0
0
, тогда
e
3ln
x
или ln 0
0
, т.е. 1
x
б) с осью
0y
точек пересечения нет, ось 0y - вертикальная асимптота.
0
т.п.
8
4
3
e
8
yfe
..
ТП
3
.
8
4
3
e
Построим график функции (рисунок 3.20)
9.
6
e
8
4
3
e
2
e
8
3
e
Исследовать функцию и построить её график
86
3.188
xyx
x
x
x
xyx
xyx
x
3.190
2
2
1
x
y
21
x
x
.
3.189
y
2
.
2
3
21
x
.
2
3.191
31
yxe
.
3.192
3.194
3.196
3.198
3.200
3
1yx
y
1
2
2
2
y
3
x
3
.
3.193
12 yx x
1
.
2
.
3
2
4yxx
2
.
.
1
3.195
3.197
3.199
yx e.
xyxe
2
2
2
.
ln
.
2
.
1
87
Тест 3
x
x
x
x
f
f
x
x
x
f
f
f
f
3cos1
1. Значение предела
lim
x
0
x
, вычисленное с помощью правила
2
2
Лопиталя, равно:
1: -1/4; 2: 9/4; 3: 3/2; 4: 3/4; 5: 9/2.
x
2. Если
kb равна:
ykxb
- наклонная асимптота функции
y
43
2
1: 0; 2: -1; 3: -8; 4: -4.
2
3. Значение предела
lim
xx2ln
, вычисленное с помощью правила Лопиталя,
равно:
1: 2; 2:
; 3: 0; 4: 1; 5: 0,5.
4. Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции
3
, то сумма
1
222 xxy
на отрезке [2,3] , то значение выражения m+M равно:
1: 3; 2: 6; 3: 1; 4: 7; 5: 5.
23
xxxy 1232
5. Найти абсциссу точки перегиба функции
1: 0,5; 2: -0,5; 3: 3; 4: 1.
6. Найти горизонтальную асимптоту функции
xy14
1: 4; 2: -1; 3: 1; 4: 0.
7. Функция
удовлетворяющих условию
определена на всей числовой прямой. Если для любых aи b ,
ab , выполняется неравенство
функция ...
1: Возрастает; 2: убывает; 3: чётная; 4: нечётная.
8. Точка
называется точкой минимума функции
0
окрестность точки
, для всех точек которой отличных от точки
0
()yfx
, если существует
выполняется неравенство
() ()
1 :
xfx
0
; 2:
() ()
xfx
0
; 3:
() ()
xfx
0
; 4:
() ()
xfx
0
() ()
afb
,
0
.
,то
88
x
()
y
9. Точка
является точкой максимума функции
0
fx
, если
1: При переходе через эту точку производная не меняет знак;
2: При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-»;
3: При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»;
()0fx
4:
0
.
10. Функция возрастает, если
1:
0y
; 2:
y
не существует; 3:
0y
; 4:
0y
.
11. Достаточный признак точки перегиба:
1:
()0fx
0
; 2:
()0fx
0
;
3: При переходе через эту точку вторая производная меняет знак;
xcosln
12. Значение предела
lim
0x
x
вычисленное с помощью правила
2
Лопиталя, равно:
1: 0; 2: 0.5; 3: –0.5; 4: 1.
13. Указать вид графика функции, для которой на всем отрезке
одновременно выполняются 3 условия:
0; 0; 0yy y
1: только IV; 2: только I; 3: только I и II; 4: только III.
1
14. Точка перегиба кривой
()
yx x x
3
3
1: (0, 0); 2: (1, -1); 3: (1, 0); 4: (-1, -1).
15. Минимума функция 103612
23
xxxy достигает в точке
;ab
1: (-1, 59); 2: (1, 15); 3: (2, 22); 4:(6, -10).
89
3.7
3.16
Ответы к главе 3
1
3.8
2
5
3.9 -1 3.10
8
1
3.11
6
3.17 2,5 3.18 3 3.19 1 3.20
3
3.12
2
26ln3
1
3.13 0 3.14 0 3.15 1
4
3
3.21 2 3.22 -1 3.23
1 3.24
1
3.25 3.26 3 3.27 3 3.28
3
1
3.29
2
4
3.30 3.31
3
1
12
5
3.32
12 3.33
3.34 3.35 0 3.36 0 3.37
3.38 1 3.39 1 3.40 0
3
2
3.41
3.42 1 3.43 0 3.44 3.45 0 3.46
3.47 3.48 0
2
3.49
3.57
1
3.50 -
2
1
3.58
5
1
3.51 3.52 0 3.53
2
3.54 3.55
1
3.56
3
1
3.59 1 3.60 1 3.61 3.62 3.63 0 3.64 0 3.65
12
1
2
2
0 3.66
3.67 1 3.68 0 3.69 a
3.70
1
3.73
3.74 0 3.75 0 3.76
2
3.81
1 3.82 1 3.83 1 3.84 1 3.85
3.90 1 3.91
1
3.98
3.99
e
1
3.107
3.108 -2 3.109 1 3.110
12
1; 1; 0 1для naдля n для n
2
1
3.77
3.71 0 3.72 0
3.78 3.79 1 3.80
5
6
e
3.86 1 3.87
1
3.92
e
2
3
e
1
3.93 1 3.94
e
3.100
2
e 3.101
1
2
3.95 1 3.96 1 3.97 1
e
3.104 3 3.105 3.106
e
1
3.111
4
3
e 3.88 1 3.89 1
1
3.112 0 3.113 0
2
m
e
1
2
19
3.114
3.115 0,9662 3.116 1,649 3.117 3,072 3.118 0,7071 3.119
90
0,4055 3.120 2,080 3.121 3,08 3.122 0,01745241 3.123 0,095 3.124
1,22140 3.125 0,99452
5
3.131
y при xy при x
max min
,19,3
3
27
3.132
3.133
3.134
3.135
y при x
min
min
min min max
max min
,3
4
1, 0y при x
0, 0; 0, 12; 1296, 6y при xy при xy при x
2, 0; 2, 2y при xy при x
3.136
max
2, 0y при x
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]