Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
Имеем неопределённость вида «
x
x
x
x
xxx
x
xxx
x
x
x
x
x
x
Прологарифмировав, получим
ln ln ; .
yx ye
Решение
0
0
». Обозначим
22ln
1ln 1ln
x
x
1ln
xyx
2ln
1ln
2
.
3.7
3.9
3.11
Тогда
lim ln lim 2 lim 2
00 0
xx x
lim ln 2.
x
Следовательно,
y
y
0
lim .
Таким образом,
x
Вычислить пределы
32
22
xxx
lim
x
lim
x
lim
x
3
1
1ln
1
12
1
ln 2
76
xx
2
.
2
x
.
2ln 1
xx
1ln 1
xx
2
1ln
2
2
x
e
3.8
ye
x
0
lim .
0
.
3.10
3.12
32
528
lim
x
lim
x
lim
x
0
16
xxx
43 2
1
216 215
xx xx
sin
x
4
x
x
.
3
2
.
4
x
.
3.13
3.14
3.16
3.18
3.20
sin
lim
x
xx
Указание:
2
ln 1
lim
x
0
x
ln 1
lim
0
x
sin cos
lim
x
4
x
ln 1 ln 2
lim
x
1
12 3
1
x
.
1
1
xx xx
.
x
x
x
1lim10.
xx
1
.
.
3.15
3.17
3.19
x
xx
ee
lim
0
x
lim
x
0
x
32
xx
eex
x
arc tg
lim
0
x
tg
4
x
.
1
x
x
2
3.21
sin sin
lim
0
x
11
x
2
2
.
2
.
.
.
61
3.22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim
x
ln
sin
2
arcsin
.
2
3.23
lim
x
0
sin
.
3.24
3.26
3.28
3.30
3.32
lim
x
lim
x
lim
x
lim
x
lim
x
0
0
0
0
0
cos sin
xx
3
x
tg sin
x
.
sin
x
x
1
e
.
sin 2
2
x
1
e
.
2
4
x
2
x
2cos 2
lim
1
.
3.25
x
1sin
.
2
sin3
1
3.27
3.29
3.31
lim
0
x
2sin2
lim
0
x
ex
lim
0
x
.
x
3
x
2
x
2
3
sin
.
cos
.
x
tg3
.
3.33
lim
x
2
.
tg5
3.34
3.36
3.38
3.40
3.42
e
lim
x
ln
lim
x
lim
x
ln 1
ln
lim
3
x
ln(sin )
lim
0
x
.
3
.
2
x
2
x
e
.
.
mx
.
ln sin
3.35
3.37
3.39
3.41
3.43
e
lim
x
3
43
lim
x
ln ln( 3)
lim
x
2
ln 2
lim
0
x
ctg
2
x
lim
x
x
.
x
.
2
2
x
.
x
.
2
1
.
2
62
3.44
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim
xx
3
2
.
3.45
13ln
lim
x
.
2
x
3.46
3.48
3.50
3.52
3.54
3
lim
xx
.
3
3.47
tg
lim
x
2
lim
x
1
lim ctg
0
x
lim ln 1
1
x
.
tg
5
21
xx
2
11
1
x
.
.
3.49
3.51
3.53
1
x
sin( 1)
.
3.55
lim
x
ln 1
11
lim
1
x
ln 1
xx
lim ln 1
x
11
lim
1
x
11
lim
x
0
sin
.
.
2
xx
x
ee
1
22
x
.
.
.
x
3.56
3.58
3.60
3.62
x
lim
1
x
lim
1
x
21 31
57
lim
57
x
1
xx
1
1ln
.
x
11
3
.
.
x
11
3.57
3.59
3.61
lim ln 1
x
Указание:
22
xxx
lim ln 1
x
Найти отдельно
22
lim
x
lim ln 1
xxx
1
ln
2
x
2
x
x
.
15
lim
x
3
lim
x
2
lim
x
0
sin 1 cos
2
xx
2
xxx
36
x
ctg 2cos
x
.
.
11
2
1
xx
2
ln
.
x
2
x
.
63
3.63
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim ln
0
x
x
.
3.64
lim
x
e .
3.65
3.67
3.69
3.71
3.73
3.75
3.77
lim 1 cos ctg
0
x
lim arcsin ctg
0
x
a
x
lim sin
x
lim ln ln 1
1
x
2
lim 1
x
3
lim ln
x
0
lim cos tg5
x
2
.
xx
1
.
e
x .
x
.
x
.
x
.
3.66
3.68
3.70
.
3.72
3.74
3.76
3.78
lim 1 tg
x
lim sin , 0
x
lim ln
lim ln ln
x
1
x
lim , 0
x
lim sin 2 1 tg
nx
xe n .
n
xn
3
x
0
1
1
2
lim ctg ln
0
x
x
.
2
a
x
x .
xx
xe.
.
.
x
.
3.79
3.81
3.83
3.85
3.87
3.89
3.91
lim
xx
lim
x
lim
x
lim cos2
xx
lim
x
lim 1
x
lim tg
x
.
0
tg
1
0
x
2
x
0
4ln
x
0
1
1
.
x
22
3
2
3
2
.
3
.
cos
2
x
.
tg
2
x
4
1
3.80
3.82
.
3.84
3.86
3.88
3.90
.
3.92
lim 1
x
lim
x
lim sin
x
x
lim
lim 1
x
lim ctg
mx
0
0
1
lim
xx
xx
.
sin
0
0
0
.
1
x
.
.
x
.
1
2
.
1
ln
.
64
3.93
x
x
x
x
x
x
f
x
R
f
R
f
f
lim ctg
xx
0
sin
x
.
3.94
lim
3
2
1
1
xx
.
ln sin
sin
x
.
ln
.
3
2
.
1
.
3.95
3.97
3.99
3.101
lim tg
xx
0
lim 1
x
0
lim cos 2
xx
0
lim
x
0
xx
Если функция
производные порядка
причем
xa
, то между точками a и x найдется такая точка c , что будет
x
и x- любое значение аргумента из этой окрестности,
1n
справедлива формула Тейлора
fx fa xa xa
nn
fa f c
!1!
nn
3.96
3.98
3.100
lim ln
xx
lim tg
x
lim 1
x
0
3.2 Формула Тейлора
имеет в точке
fa f a
a и некоторой её окрестности
1! 2!
1
xa xa
nn
1
4
.
tg 2
x
x
2
1
2
,
x
ex
.
1
1
.
где
где
где
x
fc
xxa
n
При
xx
n
01
n
n
fx
n
.
,0 1 ca xa
1
n
n
1!
имеем формулу Маклорена:
0a
xf x x xRx
1
1!
0,
1
n
,
1
- остаточный член в форме Лагранжа.
n
00 0
ff f
2
1! 2! !
n
n
n
Формула Тейлора позволяет представить приближенно функцию
в виде многочлена и оценить полученную при этом погрешность
n
fa f a f a
xfa xa xa xa
2
1! 2! !
Rx
n
абсолютная ошибка.
n
n
,
65
xn
x
x
x
x
x
R
ex
xx x x e
1,
23
1! 2! 3! ! 1 !
nx
nn
1
357 21
xRx
sin 1
xxx x
1
n
3! 5! 7! 2 1 !
21
Rx x n
cos 1 1
n
sin 2 1
246 2
xxx x
221!
n
x
n
1
n
2! 4! 6! 2 !
22
n
Rx x n
n
n
22! 2
x
cos 2 2
n
n
n
,
n
n
,
Rx
n
,
,
11 ,
xx xRx
111
2
2! !
n
n
n
n
- действительное число.
Если
n - натуральное число, то
11 .
n
nn
nx x x
1
2
n
2!
Формула Тейлора применяется при вычислении пределов и значений
функций с заданной степенью точности.
Решение типовых примеров
3.102
Вычислить
lim
x
sin
0
x
.
x
Решение
sin 1
xx x x x x
lim lim lim 2 2 0 2.
00 0
xx x
xx
3.103 Вычислить
35 24
xRxx
3! 5! 3! 5!
sin18
0
с точностью до 0,0001.
n
Решение
sin18 sin
0
10 10 3!10 5!10
Rx x n
n
Rx
n
При
sin 2 1
21
n
x
21!
n
имеем
2n
35
35
221!
5
5!10
5
0,0001
n
21
n
x
,
n
, следовательно,
x
,
66
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sin18 0,31159 0,00517 0,30899 0,3090,
0
10 3!10 10 6 1000
sin18 0,3090 0,0001.
0
3,14159
3
3,14159
3
Используя формулу Тейлора, найти пределы функций
3.104
3.106
3.108
3.110
3.112
3.114
sin3
lim
0
x
1cos
lim
0
x
sin 2 2 tg
lim
0
x
lim 1 1 2
x
lim
0
x
sin sin 1
lim
x
0
.
.
2
x
ln 1
3
2
xx x
x
.
3
x
11
sin
.
x
3
xx
5
x
2
.
3.105
3.107
3.109
3.111
.
3.113
e
lim
x
lim
x
lim 1 1
x
lim
x
lim ctg
x
.
3
0
2
cos
0
xx x
ee e
xx
ee
0
2
11
0
2
e
4
2
2
x
x
.
.
.
Вычислить по формуле Маклорена приближенные значения
.
3.115
3.117
3.119
3.121
3.123
3.125
cos15
3
ln1, 5
4
ln1,1
cos 6
0
.
.
29
.
с точностью до
90
с точностью до
0
с точностью до
10
10
10
3.116
3.118
3.120
4
.
3
.
5
.
3.122
3.124
.
e
cos 45
3
sin1
e
0
.
с точностью до
9
0
с точностью до
0,2
с точностью до
10
310
.
8
.
510
.
67
Функция
x
x
x
f
x
f
f
x
x
f
f
y
f
x
x
f
f
y
f
x
3.3 Исследование функции на экстремум
yfx
называется возрастающей (убывающей) на
промежутке
(меньшее) значение функции, т.е. для любых
x соответствует неравенство
12
то функция
промежутке
положительная (отрицательная), т.е.
Если неравенству
Необходимый признак возрастания (убывания) функции
Если дифференцируемая функция
Если дифференцируемая функция
, если большему значению аргумента соответствует большее
,ab
xfx fxfx
12 12
x соответствует нестрогое неравенство
12
xfx fxfx
12 12
называется неубывающей (невозрастающей) на
x
yfx
, то при всех значениях
,ab
00fx fx
yfx
1
и
из
2
возрастает (убывает) на
не убывает (не возрастает)
её производная
,xab
.
неравенству
,ab
.
,
,ab
.
на промежутке
На рисунке 3.1 изображена возрастающая функция, а на рисунке 3.2 –
убывающая.
,ab
, то
y
x
2
x
1
0
a
x
1
00fx fx
при всех значениях
y
x
1
x
2
b
2
x
68
0
a
.
,
ab
x
1
b
2
x
Достаточный признак возрастания (убывания) функции
xx
x
x
xx
xx
x
f
Если дифференцируемая на промежутке
функция
,ab
yfx
имеет при любом значении
производную, то эта функция возрастает (убывает) на данном промежутке.
Пример 3.126 Определить интервалы возрастания и убывания
функций
а)
1.
2. Найдём
3. Найдём корни производной
4. Найдём интервалы знакопостоянства производной
промежутках функция
y
Итак,
32
1, 5 1 8 1 yx x x
;Dy
:
.
0y при
.
22
33183 6yx x xx
.
2
32xx
.
12
33 2yxx
;3x
32
1, 5 1 8 1 yx x x
положительную (отрицательную)
,xab
Решение
60
и при
,
.
2;x
возрастает; при
, следовательно, на этих
3; 2x
0y
,
следовательно, на этом промежутке функция убывает.
б)
1.
2. Найдём
3. Так как
Функция
(рисунок 3.4)) при
к
выполняется неравенство:
0
3
;Dy
0
2
.
.
при всех
yfx
, если при всех значениях
0
yx
:
y
1
3
x
1
y
3
, то функция возрастает на
0
имеет максимум (рисунок 3.3) (минимум
xfx fxfx
.
2
3
00
.
;
и достаточно близких
0
69
y
x
x
x
x0x
x
x
x
x
fx
yfx
max 0
y
yfx
min 0
0
x
0
xx
x
Максимум и минимум функции называются экстремумами, а точка
0
x
0
xx
x
-
0
точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума
Если непрерывная функция
yfx
имеет в точке
0
,xab
экстремум, то производная функции обращается в этой точке в нуль (рисунок
3.5) или не существует (рисунок 3.6, рисунок 3.7).
y
0; 0fx fx
12
y
fx
0
y
fxне существует
0
0
0
0
0
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует,
называются критическими точками первого рода.
Функция
yfx
может иметь экстремум только в критических
точках.
Достаточные признаки экстремума
Признак 1
содержащем критическую точку
через критическую точку производная
Если функция
, и при переходе аргумента слева направо
0
yfx
меняет знак с плюса на минус, то
непрерывна в интервале,
функция в этой точке имеет максимум (рисунок 3.8), если знак производной
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]