Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
1.15 Пусть
А
А
А
А
А
А
А
А
А
;
2
n
21В n
.
Найти
а)
б)
в)
1.17
если
Найти
шахматы могут играть 35 человек, в шашки – 40, причем в обе игры умеют
играть 21 человек. Сколько человек не умеют играть ни в шахматы, ни в
шашки.
науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального
строения.
применить понятия истинно или ложно.
высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято
обозначать соответственно И или Л.
соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно
составлять более сложные, соединяя простые
«или».
помощью некоторого математического аппарата.
высказываниями
1)
истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Отрицание Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое
;
В
1.16 Определить множества
02, 13АхRx В xR x
22
1.18 Даны множества
;
В
1.19 Составить множество В всех подмножеств множества
1.20 Анкетирование, проведенное среди 57 студентов, показало, что в
Математическая логика – разновидность формальной логики, то есть
Высказыванием называется предложение, к которому возможно
В математической логике не рассматривается сам смысл
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с
Вводятся следующие логические операции (связки) над
;
В
30, 430АхRx x В xRx x
12, 1 23АхRx В xRx x
Найти
2
;
В
;
\АВ
В
20 0AxRxx
;
\АВ
1.3 Элементы математической логики
;
\ВА
и
\ВА
.
;
В
;
;
В
.
;
\АВ
1; 2 , 1; 4АВ
\ВА
2
;
В
;
.
,
7120В xRx x
высказывания союзами «и»,
\АВ
.
;
.
, если:
\ВА
.
1; 2А
11
Обозначается ¬Р или Р.
Соответствие между высказываниями определяется таблицами
истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
Р ¬Р
И Л
Л И
Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказы-
2)
вание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается Р&Q или Р
Q.
Р Q Р&Q
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л
3) Дизъюнкция Дизъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается Р
Q.
Р Q РQ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
4) Импликация Импликацией двух высказываний Р и Q называется
высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q
– ложно .
Обозначается
Р Q
(или
Р Q
). Высказывание Р называется посылкой
импликации, а высказывание Q – следствием.
Р Q РQ
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И
5) Эквиваленция Эквиваленцией двух высказываний Р и Q называется
высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний
совпадают.
Обозначается Р~Q или Р Q.
12
Р Q Р~Q
p
p
x
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять
таблицы истинности сложных формул.
Решение типовых примеров
1.21
С помощью таблиц истинности проверить, являются ли
эквивалентными формулы
и ψ.
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
р
И И Л И И
И Л Л Л И
Л И И Л Л
Л Л И Л Л
p
И И Л Л Л И
И Л Л И И И
Л И И Л И И
Л Л И И И И
Данные формулы не являются эквивалентными.
1.22 Укажите, какие из следующих предложений являются
высказываниями и определите, истины они или ложны:
1. Москва – столица России.
2. Студент физико-математического факультета.
r
r
ppr
ppr
r
pr
pr
ppr
ppr
32728.
3.
4. Луна есть спутник Марса.
5.
6. Всегда
7. «А.С. Пушкин родился в 1799 году».
.
0а
3
32 23
yxxyxyy
33
.
13
1.23 Даны два высказывания а: (Роберт О. Нир – математик)
х
p
и
b: (Роберт О. Нир имеет собаку). Сформулируйте следующие выражения:
3.
àb
1.
ции и дизъюнкции и определите, ложны они или истины:
749
1.
2. «Чтобы любые углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую
сторону».
3. Последовательность чисел
геометрической прогрессией.
язык»,
логике». Дать словесную формулировку высказываний:
1.
равенства:
1.
. 2.
1.24 Среди следующих сложных высказываний выделите конъюнк-
2
àb
10ху
и
1.25 Пусть а – высказывание «Студент Иванов изучает английский
b – высказывание «Студент Иванов успевает по математической
1.26
2
749
Найдите логические значения х и у, при которых выполняются
àb
.
2.
.
2.
àb
2, 3, ,
ух
àb
927
24
. 4.
является арифметической или
bb
3.
àb
.
1.27 С помощью таблиц истинности проверить являются ли
эквивалентными формулы φ и ψ
1.
4.
электрической цепи в смысле замкнутости их (и) или разомкнутости (л).
Записать формулу, соответствующую схеме:
р qr
1.28 Составить таблицы истинности для составных высказываний
XY X Y
XY ZX
1.29 Пусть высказывания А, В, С обозначают контакты
5.
2.
р qqpr
QMP
XY Z Y
3.
XY Z
B
а)
A
14
C
б)
A
B
A
C
1.4 Предел функции
а) Числовая последовательность и ее предел
Определение
1, 2,3,..., ,...n
поставлено в соответствие действительное число
действительных чисел
ностью и обозначается
Числа
u – общий член последовательности.
n
uuu u называются элементами последовательности.
Если каждому числу n из натурального ряда чисел
u , то множество
n
, , ,..., ,...
uuu u называется числовой последователь-
123
.
u
n
, , ,..., ,...
123
n
n
Последовательность считается заданной, если указан способ
получения ее общего члена.
Последовательность изображается на числовой прямой в виде
последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
элементам.
Последовательность
если существует такое число М, что для любого ее элемента
называется ограниченной сверху (снизу),
u
n
u выполняется
n
неравенство
.
Последовательность
uM uM
nn
называется ограниченной, если она
u
n
ограничена сверху и снизу.
Определение Число а называется пределом числовой последователь-
ности
N, что для
, если для любого положительного числа существует такой номер
u
n
nN
Символическая запись
выполняется неравенство
ua
n
lim
ua
n
n
.
.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся.
Неравенство
ua
n
равносильно неравенству
которое означает, что все элементы последовательности
nN
, находятся в – окрестности точки а .
15
aua ,
, номера которых
u
n
n
всех
n; неубывающей, если
для всех
Последовательность
n; невозрастающей, если
называется возрастающей, если
u
n
uu
для всех n; убывающей, если
1nn
uu
для всех n.
1nn
uu
для
1nn
uu
1nn
Теорема 1 Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2 Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3 Алгебраическая сумма, произведение двух сходящихся
последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен соответственно алгебраической сумме, произведению пределов этих
последовательностей:
и
u
n
Теорема 4 Частное двух сходящихся последовательностей
при условии, что
v
n
lim 0
v
n
n
lim lim lim ;
uv u v
nnn
lim lim lim .
nnn
nn n n
uv u v
nn n n
, есть сходящаяся последовательность, предел
которой равен частному пределов этих последовательностей:
lim
u
u
nn
lim
n
vv
nn
lim
n
n
.
Теорема 5 Монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.
Решение типовых примеров
1.30
Доказать, что последовательность
123
,,,..., ,...
357 2 1
n
при
n
1
n
имеет пределом число
.
2
Решение
Пусть
– произвольное положительное число. Требуется доказать,
что существует такое число
1
u .
n
2
Найдем
n
212 221 221
nnn
11 1
Таким образом, неравенство
1
, откуда
22 1n
22 1 1n
NN
или
, что при
u
11
n
42
16
nN
n
выполняется неравенство
.
1
выполняется, если
2
.
В качестве числа N можно взять целую часть числа
Зададим
1
, тогда
40
n
11 1
19
1
4
22
.
40
Следовательно, начиная с номера
, будет выполняться
20n
11
.
42
неравенство
1
u
n
2
, то есть,
n
21240
n
11
, что означает
lim
n
n
212
n
1
11 1
1, , ,..., ,...
uu u u
12 3
49
310
?
n
u и ее
n
Найти
1.31 Функция
lim
u
. Каково должно быть n для того, чтобы разность между
n
n
u принимает значения
n
пределом была меньше заданного положительного числа
1.32 Доказать, что
u
n
стремится к единице при неограниченном
n
1
1
n
возрастании n. Начиная с какого n абсолютная величина разности между
единицей не превосходит 10
-4
?
15717
1.33 Общий член
n
21
имеет вид
lim
u
. Каково должно быть n, для того чтобы разность между
n
n
, если n – нечетное, и
n
2
по абсолютной величине не превзошла 10
u последовательности
n
n
21
, если n – четное число. Найти
n
2
-4
, данного положительного числа ?
uuuu
,,, ,...
1234
24816
u и ее пределом
n
1.34 Пользуясь определением предела последовательности, доказать,
lim
ua
что
n
последовательности
ua
а)
б)
n
ua
n
. Указать номер, начиная с которого, все члены
n
u
n
67
n
,3,0,001
11 2
32 3
54 5
n
2
n
,,10
2
n
находятся в – окрестности точки а, если:
;
4
.
lim
1.35 Найти
n
u
, если:
n
n
u
а)
б)
n
n
246...2
u
n
;
2
1
n
2
n
;
.
2
n
u и
n
17
в)
x
x
x
x
x
x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
u
n
21! 2!
nn
г)
unnn
n
3
Пусть функция
3!
n
;
32
.
б) Предел функции
yfx
определена на некотором множестве Х и
пусть
, ,..., ,...,
xx x элементы которой отличны от
12
0
n
X или
Последовательность функции
X . Возьмем из множества Х последовательность
0
fx fx fx
, ,..., ,...
12
последовательность.
Определение 1 Число А называется пределом функции
точке
последовательности
соответствующая последовательность
x (или при
0
x ), если для любой сходящейся к х
0
значений аргумента х, отличных от х0,
n
x
числу А.
Записывают
Функция
yfx
lim
xx
xA
0
в точке х0 может иметь только один предел.
.
Определение 2 Число А называется пределом функции
при
xx (или в точке х
0
такое, что при
0
Записывают
Если число А
lim
xx
xA
0
есть предел функции
1
), если для любого числа
0
xx
выполняется неравенство
0
.
xx
00n
тоже образуют числовую
n
значений функции сходится к
n
yfx
, сходящуюся к х0 .
yfx
yfx
существует число
0
fx A
при х стремящемся к х0
в
0
.
так, что х принимает только значения, меньшие х
левым пределом функции
Записывают
lim
xx
0
xA
0
в точке х0 .
x
или
1
0
xA
01
.
Аналогично определяется правый предел функции
стремящемся к х
Записывают
, при x>х0 :
0
lim
xx
0
xA
0
или
2
0
xA
02
.
Если левый и правый пределы функции
равны, то есть А
= А2 = А, то число А есть предел этой функции в точке х0 , то
1
есть, если
lim lim
00
xx xx
00
xfxA
18
, то
lim
xx
, то число А1 называется
0
при х
yfx
xA
0
yfx
существуют и
.
Определение 3 Число А называется пределом функции
x
M
x
В
f
fxx
В
f
f
x
x
f
x
f
f
x
x
f
x
, если для любого
можно указать такое число
0
значений х, удовлетворяющих неравенству
yfx
, что для всех
0
, выполняется неравенство
M
при
Теорема 1
xxfxx
,
соответственно
Теорема 2
Теорема 3
Теорема 4
fx A
.
Основные теоремы о пределах
lim lim
Если
и
fx A x
xx xx
00
xx
имеют в точке х0 пределы равные
А
A ВАВи В
;0
lim lim .
xx xx
xx
lim
xx
x
lim lim
xx xx
xx
fx fx
00
CC
0
Cf x C f x
00
n
.
.
n
.
, то функции
Теорема 5 Пусть функция
– имеет предел в данной точке х0 .
x
Тогда она ограничена в некоторой окрестности точки х
Теорема 6 Если функции
окрестности точки х
x
из этой окрестности выполняется неравенство
0
кроме того
lim lim
xx xx
xx
xxA
00
, за исключением может быть, самой точки х0, и для всех
0
. Тогда
,
x
и
qx
lim .
qx A
xx
0
x
1.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1
x (или при
0
Определение 2 Функции
Функции
x ), если
0
называется бесконечно малой в точке
x
lim 0.
fx
xx
0
x
называется бесконечно малой в точке
x
.
0
определены в некоторой
x
qx
. Пусть,
x , если для любого
0
существует такое число
0
19
, что для всех
0
x
x , удовлетворяющих неравенству
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
0
xx
0
, выполняется неравенство
fx
.
Теорема Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при
x , а также произведение бесконечно
0
малой функции на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми
функциями при
x .
0
Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.
Для того, чтобы функция
yfx
А, необходимо и достаточно, чтобы функция
малой при
x .
0
при
x имела пределом число
0
fx A
была бесконечно
Деление одной бесконечно малой функции на другую может привести
к различным результатам.
1) Если
чем
Пусть
lim 0, lim 0.
xx xx
xx
x
lim 0,
xx
0
x
x
.
xx
00
то
– бесконечно малая более высокого порядка,
2) Если
xx
порядка.
3) Если
lim 1,
xx
x
~
1)
sin
2)
tg
3)
arcsin
4)
arctg
5)
1cos
4) Если
x
0
0
x
x
x
A
то
lim 0,
x
.
Важнейшие эквивалентности
~x;
~
;
~x;
~x;
2
~
;
2
x
0
n
x
A
lim 0,
xx
x
то
и
то
и
– эквивалентные бесконечно малые:
e
6)
a
7)
8)
ln 1
9)
log 1
10)
(в частности 11
– бесконечно малые одного
x
1
~x;
x
1
~x;
~x;
~ log
11
k
x
~kx;
a
e ;
~
).
2
– бесконечно малая n-го порядка
относительно
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]