Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1. Учебное пособие





x

A



x



32

9302888

32

xx  

426 4486 1688ABCx A B CDx A B C Dx A B D            

 

ABC C AB

 

          

426 30 30425466

 

 

ABCD ABCD

4486 28 224314

 

 

ABD ABD

1688 88 2 11



99

BCD D AB AB

99

CAB CAB

   

 

   

2424 2424

DAB DAB

 

2 2 36 4 4 72 6 12 14 4 10 50

AB AB A B A B

   

 

2242411 4535

AB A B A B

     



995

CAB CAB A

    

 

    

24 2 4 24 2 4 3

DAB DAB B

 

410 50 410 50 1

AB AB C

  

 

50 10 5 35 3 2



BB B D

  

32

9302888 5 3 2

xxx x

Итого:

 

24 4

xxx

 



2





24 4

xxx



.

2

54 3 2

6 8 25 20 76 7

xxxxx

4.19

   

32

34176

xx x



Решение

Так как дробь неправильная, то предварительно следует выделить у неё целую часть:

54 3 2

6 8 25 20 76 7

xxxxx

   

54 3 2

6 8 34 12

xx x x

 

32

98767

xx x



32

912 5118

xxx



2

20 25 25

xx

54 3 2 2

    

xxxxx xx

6 8 25 20 76 7 20 25 25

32 32

 

xx x xx x

34176 34176





2

x

23

32

34176

xx x



2

23

x



.

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при 3 знаменатель превращается в ноль. Тогда:

101

32



















x



A

x



x









34176

xx x



32

39

xx



2

517

xx



2

515

xx



26

x

26

x

352



0

3

x



2

xx



Таким образом,

455

Тогда:

3 231 3 231

    

 

23 1 33 1 3 2 4 5 5

xxBxxCxx xx



32 2

34176 3352 3 231xx x x xx x x x

2

xABC



    .



,

xxxx x

2

.

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределённых коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый

метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что

в полученное выше выражение подставляются поочерёдно несколько (по числу неопределённых коэффициентов) произвольных значений

. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае

3, 2, 1 3

Получаем:

40 16 2 5

AA

 

35 21 3 5

BB

 





11

CC





Окончательно получаем:

54 3 2

   

xx x x x

6 8 25 20 76 7 2 1 3 1 1

32

xx x x x x

34176 5 35 231

   

2

x

23

     

.

12 3 1

2

23 .

x

  

 

53 231

xx x

 



42

4.20

314 715



xx A BxCDxE

  

22

32 2

xx x

 

 

 

22

32

xx

2



Решение

Найдём неопределённые коэффициенты:

2242



2

2332314715Ax Bx C x Dx E x x x x x      

  

102

42 2 4 23 3

A

E





P



x

xx



x



44 3 3 236

xAxABxBxCxCDxDxDxDxEx



23 6 3 234

xEx EDAx DEx ABDEAx

    

3622364.

BC D Ex A C E A

 

 

243 2

  

DA D A

 

 

30 93

DE E A



BDEA B A AA

 

 

3627 31861867

BC D E BC A A

33

 

2 3414 62279414

       



36415 35418415

CEA C AA

  





33 3

DA DA A

  

   

EA EA B

 

BA A B C

   

37 73 0

93 93 2

    

11 35 11 35 1

  

BC C B D

  

 

32269 21970269 0

CA B B E

  

 

 

42

314 7153 21

Тогда

xxx x

xx x

 



 



22

32 2

 

22

3

x



.

4.23

4.25

4.21

Разложить многочлены на множители

а)

б)

в)







43 2

5756Pxxxxx  

43 2

3224  Px x x x x

42

15 10 24  Px x x x

;

.

4.22 Найти корни многочлена

а)

б)

xxxx





42

2376

32

7162  Px x x x

;

.

Разложить дроби на сумму простейших

3



x

32

xx

32



214 1615

xxx



32

.

4.24

x

2

.

4.26

2

1

x

3

xx



.



4

2

22



2

23

.



4.27

32

35251

xx



21

xx





.

2

103

4.28

32

24

xx

3

xx





2



.

4.20

x





4.31

.

3

1

x 

1

.

2

21xx



2

4.30

4.32

2

27

xx



2

21

xx





11



2

x

2

x



.

4.33

4.35

32

 

31 7 14

xx x

432

xx



37

432

63339

xxx x



32

xx x



53

32

42 135 160 37

xxx



.

4.34

4.36

413101

xx xx



6532



221xxxx

 

52

xx



2



.

104

Тест 4

































1.

Найти z, если

iz  3

.

1: 3; 2: 4; 3: 2; 4:

2. Найти (в градусах)

5

1:

; 2:

6

zarg

, если

; 3:

5

 ; 4:

6

iz  3

,

3. Найти

z

, если

zzz 

,

21

iz 5131

,

iz 2112

.

1: 400; 2: 12; 3: 20; 4:

4. Найти действительную часть Re(z), если

00

1

1:

; 2:

2

60sin60cos2 iz 

,

1



; 3:

2

120sin120cos3 iz 

35

2

00

; 4:

zzz

,

21

.

5. Найти

z

, если

zzz

,

21

iz 1581

,

iz 862

.

3

.



 .

6

20



00

180180 

.

35

.

2

1: 28900; 2: 154; 3: 72; 4: 170.

6. Найти (в градусах)

2

1:

; 2:

3

 ; 3:

20

zarg

, если

2

3

20

4:

3



31 iz 

,



.

3

00

180180 

7. Решить уравнение

1: нет решений; 2:

2

i1

; 3:

022

 xx

.

i

1

; 4:

i22

.

8. Построить на плоскости множество точек

53 z

.

9. Для комплексного числа (-1-i)

1: 2



2i; 2: 2+2i; 3: –2+2i; 4: –22i; 5: –44i.

10. Если i

2

=-1, то (1+i)3= ...

3

найти ему сопряженное.

1: 2+2i; 2: 2i-2; 3:-2-2i; 4: 2-2i; 5: 2i.

.

11. Главное значение аргумента комплексного числа (-1+i)

3

равно …

1: 2-2i; 2: –2+2i; 3: 2+2i; 4: –2-2i; 5: –4+4i.

105

12. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа

x



.

z 

iy

Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид…

1:

3:



cos22 i

 



cos2 i

 



4





sin

4



13. Решить уравнение

i8

1:

14. Рациональную дробь

; 2: 8; 3: -8; 4: i8.





sin



4

; 2:



4





; 4:

 

2

дробей:

A

:1

x



A

:4

x



B



x



Bx



1

x

C



221

x

4



15. Рациональную дробь





cos4 i

 



4



cos24 i

 

064

x

:





sin





4

sin

;

 





.



4



)32(

x

A

:2;

:5;



1

x



x

A



1

x



x

можно разложить на сумму простейших

2

)4)(1(

xx

CBx

4



ÑBx



.

22

)2(

x



)32(

можно разложить на сумму простейших

2

)1)(1(

xx

A

:3;

1

x



B



x

;

22

4



дробей

:1



x





x

111

x

C

B

A

:2;



x

B



1



x

C



1

x

)1(

A

:3;

1



x

CBx



;

22

1

x



B

A

:4



11

x



A

:5;

x



B



1

.

2

x

)1(



106

4.4























)2, 0;а z аrg z



)2, ;

г z аrg z



2

Ответы к главе 4

2

) 13, arctg ;

б z аrg z

3

2

)13,arg .

äz z àrctg

4.5 z

3

)1, ;

в z аrg z



= 7+7i; z1- z2 = -3-i.

1+z2

2

4.6 а) 26; б) 7+9i; в) - 2i; г) 3-4i. 4.7

43

);

а i

4.8

55

4

);

а

4.10

3

в i





)2cos sin ;







)sin;

åños



22





)2 cos sin ;

и i

 

)2 2; ) .

в i г



1

)б 4.11

2





44







22

123



53

);

б i

);

в i

22

.

)1 cos0 sin0 ; ) 1 sin ;абсosП i П





)2 cos sin ;

ãi

 





)cos sin ;

æi



)5 cos sinк i



i

4.13

721

10 10

00

55





66

22

 



33

i

)2 ;

а e



6

77

4.14



)6 cos sin ;

ai

 





12 12



)10 cos sin ;

б i

 

)1 2 2;а i

)1 ;б i

)1 .в i

271 35

).

г i

4.9 а) 90; .

2018 2018



)cos sin ;

äi

 



)4 cos sin ;

çi

 

4.12

5



i

6

)2 ;

áe

55





12 12





33

22





33

)5;)12;а i б i

2

).

в e



)2 cos sin .

в i

 



i



3

55

66

11

) б

17





117 17

 

4.15

)cos45 sin45 ;ai

00

)cos sin ;

б i

2

в i

ж) 512i.

б ik

)cos sin , 0,1,2

 

 

66

 

15 15

)2 0 1 2 .б ii 



   





4.17

44

4

)1cos sin , 0,1,2,3

а i где k

 

kk

;

   



 

)cos sin ;

2

).

г e

2

) cos16 sin16 1;в i

22

kk



44

66

22

kk



)cos sin , 0,1,2

г ik

 

10

) 8 cos sin , 0,1,2,3,4

е ik

)2cos sin , 0,1,2,3,4,5

ж ik





33

83 83

kk

 



 





 

20 20

21 21

kk



 

66

 

 



i

 

12 2



17



12

4.16



)16 16 3;ai



)2 cos sin , 0,1,2

в ik

 

41 41

;





)3cos sin , 0,1,2

д ik

kk

 



;

)16 3 16 ;г i

)8;д i

е) 1296;

;

22

kk





33



66

.

;

107

4.21



























x



)231aPx x x x  ;



2



)2122б Px x x x x

 ;

2



)3421в Px x x x x   

     

34 5

 

4.23

4.25

4.27

4.29

4.31

4.33

4.35

2122xx x

21210

212 325xxx

 

53 6

xx



31

xx



x



32

x



25 4 6



22

xxx x

x

  







21

11

x



2



11

2

7



x





x







31



31

x





x





37

356

2

1

xx

. 4.24

.

. 4.28

2

1

. 4.30



x

. 4.32

2

.

4.34



13

. 4.22

13 3

 

48 28 2xx x

4.26

52 53

xx



111 1 1

 

32

xx x x

3

x



52



111



21

x



76 35



xxx

413101

. 4.36

)2, 1ax x



421



2

x





442

312 2



51



xx





121





  

x

2

x



22



xx

2

x



22

xx

x

2

11 1

2

xx

31



;



2



2





2

x



1



.



.



)2,3б xx

.



.



.

2



x

2



xx

31



.

108

Итоговый тест МА-1



x



1. Дополнить формулировку:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют ... 1: пустым; 2: ограниченным; 3: несчётным.

2. Дополнить формулировку:

Два множества называют ..., если они состоят из одних и тех же элементов 1: элементарными; 2: равными; 3: счётными.

3. Дополнить формулировку:

... действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число -х, если х отрицательно. 1: аргументом 2: модулем; 3. квадратом.

4. Функция

2

xxy 

отображает множество



1,0

на множество…

1



1:

; 2:  ; 3:

0



5. Вычислить предел

lim

x



2

48

 

x



3

8



0,

; 4:

2

1:

0; 2: 3; 3:

13

; 4: 4.

6. Вычислить предел

lim 2

x





2

xx





1

; 2: 2; 3: ; 4: 0.

1:

3

541

xx

7. Вычислить предел

lim

x





87 1

3



x

1:

12

; 2:

57

; 3: 1; 4: 5/8.

x6sin

8. Вычислить предел

lim

0x 

x2tg

11



,





22



.

1: 6; 2:3; 3: 2; 4: 0.

9. Вычислить предел

1:

32

e

; 2:

12

e



lim



n



n



; 3:

1

; 4: ∞.

2

n

3

n



ee

109

10. Отметить номер предела, равного бесконечности

x



x



x



x

1:

5:

lim

x

lim

x

xx

)14)(32(





2



3

4



x

2

8



xx

; 2:

3

.

lim

x

2





135



xx

; 3:

23

lim

x

22

2



xx

147



35

; 4:

lim

x



13

;

2



xx



11. Выбрать функцию, наиболее точно соответствующую графику.

yx22 4cos( / )

1:

yx22 4cos( / )

2:

yx22 4sin( / )

3:

yx22 4sin( / )

4:

yx22 3 4sin( / )

5:



;

.

12. Выражение (A  B)  C  A  C  B  A при C=0 равно …

1: A; 2: B; 3: A  B; 4: A  B; 5: 0.

13.

Отметить номер предела, равного нулю

2

42



xx



3



x

; 3:

4

3

lim

x

3

2



322



xx

; 4:

3

lim

x

2

x



1:

5:

lim

x

lim

x

2



23



xx

2

; 2:

97





xx

25



lim

x

)3)(12(

.

2

14. Функция





xf

)(

 



xax

1,

непрерывна на всей числовой оси, если a равно



xx

1,13

45



;

24

3



1: 1; 2: 0; 3: -3; 4: -1; 5: 3;

15. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b,

удовлетворяющих условию a>b, выполняется неравенство f(b)-f(a)<0, то f обязательно:

1: возрастает; 2: ограничена; 3: убывает; 4: не ограничена; 5: отрицательна.

110