Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
5) По изображениям находим оригиналы, то есть искомое частное
x
x
x
F
решение системы:
а) выполним элементарные преобразования:
Xp
Yp
б) используя таблицу 8.1 (формулы 13, 14), окончательно имеем
8.54 Решить систему уравнений
xx y
21,
yxy
61
p
561
pp
pp
2
pp
2
12 37
66
pp
12 37
te t t
yt e t
2,
222
61 61 61
ppp
.
2
61
p
6
t
cos sin ,
6
t
cos .
,
если
00, 05.xy
8.55 Найти решение системы уравнений
xy
yxy
удовлетворяющее начальным условиям:
,
2,
001.xy
8.8 Приложения операционного исчисления
8.8.1 Решение задач прикладной механики
Из механики известно, что колебания материальной точки массы m
описываются уравнением
2
dx dx k
dt m dt m m
2
1
ft
.
(8.7)
Данное уравнение получено на основании второго закона Ньютона
2
ma m F
dx
dt
2
.
(8.8)
В общем случае на материальную точку могут воздействовать:
а) так называемая
циональная отклонению
- некоторая постоянная («жесткость» упругой системы, например пружины
k
от положения равновесия, то есть
восстанавливающая сила
F
восст
восст
, пропор-
, где
kx
(рессоры));
111
б) сила сопротивления
f
F
Fkx
x
x
x
x
F
, направленная в сторону, противо-
сопр
положную направлению движения, и пропорциональная скорости движения
dx
Fv
точки, то есть
сопр
dt
, где
;
0const
в)
внешняя, или возмущающая, сила
Таким образом,
суммарная, или результирующая, сила,
t
.
действующая на материальную точку:
F
=
восст сопр
Fft
.
После подстановки в формулу (8.8) и элементарных преобразований и
получим уравнение (8.7).
Уравнение (8.7) называют уравнением
0ft
имеем уравнение свободных колебаний:
Если
колебаниям,
F
сопр
0
, то решение уравнения (8.9) соответствует затухающим
если же
2
dx dx k
dt m dt m
F
сопр
2
0
, то имеют место гармонические
вынужденных колебаний. При
0.
x
(8.9)
(незатухающие) колебания.
Замечание.
Уравнения типа (8.7) описывают не только механические
колебания, но и явления в электрических цепях.
Решение типовых задач
8.56
восстанавливающей силы
Материальная точка массы m движется под действием
, пропорциональной отклонению x и
восст
направленной в противоположную сторону, и силы сопротивления
Fv
сопр
.
В момент времени
равновесия и обладает скоростью
если
,2, 1km m x
точка находится на расстоянии
0t
. Найти закон движения
v
0
0
м и
м/с.
0v
0
от положения
0
xt
Решение
Согласно условию материальная точка совершает вдоль оси
свободное затухающее движение, которое описывается уравнением:
k
xt x x
0,
mm
или (при
km
Пусть
01, 00,xx
и
имеем
)
2m
tXp
20.xt xt xt
, тогда с учетом начальных условий:
01,x t pX p x pX p
112
точки,
0
22
x
x
x
Fkx
x
f
x
x
x
x
x
p
p
x
Fkx
Составим операторное уравнение:
Найдём операторное решение:
Xp
По таблице 8.1 (формулы 5 и 6) найдём оригинал – закон движения
точки:
8.57 Материальная точка массы m совершает прямолинейное
колебание вдоль оси
пропорциональной расстоянию
t pXp px x pXp p
2
22 11
pp
2
21 1
pp p
под действием восстанавливающей силы
0
00 .
21 0.pX p p pX p X p
11
p
22 2
11 1
pp p
te t
от начала координат и направленной к началу
t
1
.
.
восст
,
координат, и возмущающей силы
точки при начальных условиях
По условию материальная точка совершает
(
что
F
0ft
, а
сопр
Полагая, что
Пусть
Составим операторное уравнение:
0
), которые описываются уравнением:
txft
,2km A m
tXp
tpXp
, тогда с учетом начальных условий получим,
2
2
pX p X p
cos .
Найти закон движения
1
2cos .
.
cos .
t
если
tAt
00, 00,xv
Решение
k
mm
, имеем
tx t
, а
2
2
1
p
,2.km A m
вынужденные колебания
p
.
2
1
xt
Откуда
2
p
Xpp
2
С помощью таблицы 8.1 (формула 11 при
есть закон движения точки:
sin .
ttt
8.58 Материальная точка массы m движется прямолинейно,
отталкиваясь от начала координат с силой
113
.
2
1
) найдём оригинал, то
1
восст
, пропорциональной
расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды
x
x
Fkx
f
x
E
R
L
L
Fv
сопр
,
пропорциональная скорости
начала координат
если
колебание вдоль оси
возмущающей силы
начальный момент времени
электродвижущей силы (э.д.с.)
последовательно соединённых катушки индуктивности и резистора с
параметрами соответственно L и R, если в момент времени
(рисунок 8.1).
2, .km m
8.59 Материальная точка массы m совершает прямолинейное
8.8.2 Решение прикладных задач теории электрических цепей
8.60
Найти закон изменения тока
м, а скорость
1x
0
под действием восстанавливающей силы
0
tAt
v . В момент времени
м/с. Найти закон движения
1v
0
cos .
Найти закон движения
01x
м,
Решение типовых задач
E
0
00v
в электрическую цепь, состоящую из
м/с, а
it
при включении постоянной
расстояние точки от
0t
xt
восст
xt
точки, если в
9, 8.kmAm
ток
0t
и
0i
,
R
u
0
Решение
Физическое обоснование
I.
В момент включения источника питания по цепи потечёт ток i,
создающий падения напряжения на резисторе
индуктивности
уравновешивается э.д.с. самоиндукции
uL
L
di
, так как согласно закону Ленца напряжение
dt
, то есть
e
L
u
L
uiR
R
и на катушке
u
ueL
LL
Для мгновенных значений по
источника и сумма падений напряжения на элементах в замкнутой цепи равны
между собой, то есть
114
.
dt
второму закону Кирхгофа э.д.с.
di
L
p
EEp
E
p
p
R
L
A
R
R
L
R
L
R
L
E
R
uu E
LR
.
0
После подстановки получим, что ток в данной электрической цепи
удовлетворяет дифференциальному уравнению
di
Ri E E const
dt
Применение операционного метода
II.
00
.
Пусть
Следовательно, операторное уравнение имеет вид
Откуда
Разложим полученную дробь на простейшие (предварительно вынесем
L за скобки):
После преобразований получим тождество
Таким образом,
di
dt
it I p
, тогда
LpI p RI p
E
Ip
EEEAB
000
pLp R L p
1.
pL
1,
0p
1.
Lp R
Lp p
R
L
R
pBp
L
BB
AA
0
0
Ip
0
.
.
и
p
.
L
R
L
R
0
.
EELL E
Ip p
00 0
pLp R L R R R p
111
.
R
pp
L
Переходим к оригиналу:
R
it e
1.
R
E
0
t
L
Анализируя закон изменения тока, замечаем, что с момента включения
в цепь постоянной э.д.с. ток возрастает от нуля (при
0
величины
(при
t
) (рисунок 8.2).
115
) до постоянной
0t
E
R
it
p
EEp
E
L
0
0
t
8.61 Найти закон изменения тока
э.д.с.
в последовательный колебательный контур с параметрами R, L и С
E
0
при условии
00i
.
it
при включении постоянной
Решение
По закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем
,
0
где
uuu E
LRC
uRiuL u id
RL C
,, .
di
dt C
1
t
0
После подстановки получим дифференциально-интегральное
уравнение
t
1
0
.
0
iit
через
Ip
it I p
есть
di
LRi idE
dt C
Обозначим изображение функции-оригинала
.
Тогда по правилу дифференцирования оригинала и правилу
нахождения изображения интеграла от данной функции-оригинала находим
di
dt
Ip
и
t
id
0
Ip
p
, а
0
0
.
Подставив найденные изображения, получим операторное уравнение
, то
имеем
LpI p RI p
Ip
0
.
Cp p
Решая это алгебраическое уравнение относительно изображения
Ip
pLp R
Обозначим
E
0
R
2, .
LLC
1
Cp
или
1
116
Ip
2
0
Lp p
E
0
R
2
LC
.
1
Ip
,
Тогда, выделяя полный квадрат в знаменателе, получим
R
L
EE
Ip
Lp p
00
22
2
Рассмотрим случай, когда
EE
Ip
Lp
00
2
2
Lp
0
22
0
22
0
0
. Положив
L
22
0
p
22 2
0
2
.
.
2
, имеем
По таблице с учетом свойства линейности восстановим оригинал
E
it e t
Вывод. В реальном колебательном контуре существуют свободные
0
L
t
sin
.
колебания тока, которые носят затухающий характер (
затухания).
Закон изменения тока в реальном последовательном контуре
представлен графически на рисунке 8.3.
it
it
0
8.62 Найти зависимость тока от времени
it
- коэффициент
2
t
в электрической цепи,
состоящей из последовательно соединённых резистора R и катушки
индуктивности L и подключенной к источнику питания с электродвижущей
силой
00i
et kt k const
.
. Сила тока в начальный момент равна нулю, то есть
8.63 Найти мгновенное значение тока
электродвижущей силы
e t E t E const const
sin ,
mm
it
при включении переменной
в электри-
ческую цепь, состоящую из последовательно соединённых резистора R и
катушки индуктивности L, если в момент времени
ток
0t
.
0i
117
Тест 8
1 Восстановить оригинал по изображению
54 tt
1:
; 2:
)(2)(
eetf
()
Fp
18
(4)(5)
pp
54 tt
;
)(2)(
eetf
3:
tt
54
)(
eetf
; 4:
1
)(
2
54 tt
)(
eetf
.
2 Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и
1:
3:
)0()()(' fppFtf
; 2:
2
)0()()('
pfpFptf
; 4: Нет правильного ответа.
2
fpFptf
3 Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и
то
1:
3:
)0()()('' fppFtf
; 2:
2
)0()()(''
fpFptf
; 4: Нет правильного ответа.
2
2
)(
4 Найти оригинал функции
2
1: t
; 2: t; 3: t+1; 4: t3.
pF
3
p
)()( pFtf
,то
)0()()('
;
)()( pFtf
,
)0(')0()()(''
fpfpFptf
;
7
5 Найти изображение функции
)( ttf
2
2
7
)(
p
2
; 3:
3
1:
)(
pF
7
; 2:
3
p
pF
6 Восстановить оригинал по изображению
4tt
)(3)(
1:
3:
3)(
eetf
; 2:
tt
4
; 4:
eetf
2
)(
7 Найти оригинал функции
ttf cos)(
1:
; 2:
8 Найти изображение функции
1:
pF11)(
2
; 2:
pp
pF
ttf sin)(
3:
2
4
p
ttf
)(
pF
)(pppF
7
p
2
9
; 4:
2
)4)(1(
pF
tt
4)(
eetf
;
4tt
)(3)(
eetf
.
7
)(
.
2
p
ttf 2sin)(
; 4:
1)(
ttf 2cos)(
.
1
)(
pF
;
2
p
118
3:
pF1)(
; 4: Нет правильного ответа.
p
9 Найти оригинал функции
pF
ttf cos3)(
1:
; 2:
10 Найти изображение функции
1
)(
1:
pF
p
2
3
; 2:
)(
pF
)(
ttf 3cos)(
1
3
p
p
9
t
3)(
etf
2
p
; 3:
; 3:
ttf cos)(
; 4:
ttf sin)(
.
pF
p
; 4:
3
)(
pF
)(
1
1
.
3
2
p
119
f
f
f
f
f
f
f
f
f
p
p
f
f
f
Ответы к главе 8
8.4
8.6
8.10
8.12
8.14
8.16
Fp
Fp
ft e e e
tt e
2
pp
13
22
p
21 .
23 1
22
pp
32
ttt
p
1
2
4
2
t
.
.
.
32 6
5
ttt
ft e
sin 2 20cos3 .
2
1
3
t
41.
3
62 5 2
8.5
8.7
8.11
8.13
Fp
Fp
ft e te
8.15
8.17
tee
ttete
tett
32
ppp p
2
2
12 .
222.
1
2
22
pp
tt
4sin5cos.
4
1.
3
tt
tt
t
12
.
2
.
8.18
8.22
8.24
8.27
8.30
8.32
8.35
1
tt t
teetet
Fp
te t
22cos23sin2.
2
p
7
4
e
Fp
p
1cos.
tt
41 .
tte
Fp
18 54
p
3
p
2
316
5
t
sin 4 .
2
1
.
t
2
p
2
.
3
9
8.19
8.23
8.25
8.28
8.31
8.34
8.36
1
ttte
2sin2 cos2 .
t
5
15 1
Fp
2
tt
te t e t
cos3 sin 3 .
22
225 21
pp
2
3
24pe
Fp
Fpp
Fpp
1
ttt
2
5
sin .
2
1
.
2
4
.
2
2
.
22
p
8.37
Fp
22
p
.
2
8.40
120
e
t
1
.
1
p
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]