Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

7.13

х











x





x

7.15



уу х





sin ln 0, 1

у xyy y

2

1

 

.



 

2



7.14

.

7.16

1sinyyxyx





2ln,()1yyxуе



.

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21



 

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, для которых отрезок любой касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания (использовать геометрический смысл производной).

Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а за 3 секунды - 40 м?

Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 1000 до 800. Через сколько минут температура тела понизится до 40 температура окружающей среды составляет 10 охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды).

Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой:

а) в три раза больше углового коэффициента прямой,

б) равен квадрату ординаты этой точки.

0, ( 2) 4xy y у

соединяющей эту точку с началом координат;

.

0

? (Скорость

, если

y

7.22

xdy y dx

ln 0



.

7.23

yyx

x

y x

7.24

7.26

xy y y при x

22

1ln ; 1

 





  



y

7.28

xy y x y

 

sin , 1





x

1

e

0ухуdx x dy

.

2

71

.

7.25

7.27

7.29

xy y xe

34

yy



cos cos



xx



2yy y x





 



yx y



.

y x

0

.

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли





































Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным,

если оно содержит искомую функцию

и её производную

y



в первой степени

y

и не содержит произведения

0Qx

Если

является уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения линейного неоднородного уравнения заменим искомую

функцию

yuxvx



произвольно (например,





уравнение примет вид

y

Линейное неоднородное уравнение преобразуется к виду



u v uv P x uv Q x

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана



то есть



произведением двух других функций, то есть введём подстановку

, где

 

0vpxv

; тогда при таком выборе функции v линейное неоднородное

, то уравнение называется линейным однородным. Оно

ux

vx

и





v ), за v принимают любое частное решение уравнения



uv Q x

. Общий вид такого уравнения

y

dy

Pxy Qx



 

dx

- неизвестные функции.

, или





uQxe



uv u v P x v Q x

 

или





u







Pxdx





.

Qx

v

,



,

.



Pxdx



uc Qxe dx

откуда

Общее решение линейного неоднородного уравнения находится

умножением

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение

которое называется линейное уравнение с помощью подстановки

Уравнение Бернулли можно решить с помощью подстановки

yuxvx



u на v :



ye Qxe dxc



yPxyQxy n n

 

уравнением Бернулли. Его можно преобразовать в

, не сводя его предварительно к линейному.

 

Pxdx Pxdx

















n

,0,1,

zy

.



.





1 n



, где z - новая функция.

72

Численное интегрирование дифференциальных уравнений













x







x















Если ни один из приёмов интегрирования уравнения первого порядка

,yfxy

не приводит к цели или требует сложных выкладок, то можно прибегнуть к приближенному решению.

В зависимости от того, в каком виде необходимо получить частное решение, выбирают тот или иной метод приближённого решения. Так, например, если хотят получить частное решение в виде таблицы значений, то прибегают к методу Эйлера.

точками

Пусть решается

Отрезок интегрирования

,,,

xx



12 1

n



Расчётная формула

задача Коши

;

hx x



Эйлера

xxih



  





yfxy





 

yx y







[,]

0

- шаг интегрирования.

1nn



0

i

,

.



00

разбивают на n равных частей

x

n

,

yy fxy h

 

ii ii



111

,



Используя эту формулу, можно вычислить значение функции во всех узловых точках, то есть получить решение задачи Коши численным методом.

Метод Эйлера прост для вычислений, однако точность его во многих случаях оказывается недостаточной.

Метод Рунге-Кутта позволяет строить схемы решения задачи Коши различного порядка точности.

Пусть решается задача

Для нахождения решения выбирается шаг

Коши



yfxy



 

yx y







,



00

.

и строится

h

последовательность равностоящих точек (узлы):

xih

0i

.



Значения искомой функции в узловых точках определяются по формуле:

1

iiii

yykkkk

ii

11234



где

   

   

khfxy

6

i

1

i



khfx y

  

2

i



khfx y

  

3

ii

 

khfxhyk

  

43

22 ,

,

ii

i



hk



 

 

 



,

ii

22

hk

,

ii

22

,

ii



1



2

i

73

Все вычисления по методу Рунге-Кутта удобно располагать в

x







x















x









x

















x







x

















x









x





следующей таблице:

i

y

,khfxy

y

0

k

1

0

k

2

0

k

3

0

k

4

k

2k

k

0

x 

0

x 

0

h

2

h

2

h

y

0

k

y 

yk

1

0

2

0

k

2

0

2

0

03



1



k

1



k

2

1



k

3

1



k

4

2k

1

x 

1

x 

1

h

2

h

2

h

y

1

k

y 

1

2

k

2

1

2

yk

13

1

k

0



1

2

3

0



4

y

1



1

2

3

1



4

0



0



0

1

2

k

1

2

k

2

k

3

2

k

4

k

2k

k

2

x 

2

x 

2

h

2

h

2

h

y

2

k

y 

yk

1

2

k

2

23

2



2



2

Порядок заполнения таблицы следующий:

1)

Записываем в первой строке таблицы данные значения -

2)

Вычисляем

0



k

.

1

Записываем во второй строке таблицы

3)

,fxy



, умножаем на h и заносим в таблицу в качестве

00

y 

0

k

h

x

0

,

2

0



1

2

,

0

.

y

1

2



1

2



2

3

2



4

y

2

.

y

0

74

0







xh



f



















x









x



4) Вычисляем

fx y



 

0



k

в качестве

Записываем в третьей строке таблицы

5)

.

2



Вычисляем

6)

fx y



 

0



k

качестве

7)

Записываем в четвёртой строке таблицы

Вычисляем

8)

качестве

В столбец

9)

10)

Суммируем числа, стоящие в столбце

.

3



0



k

.

4

y

записываем числа

hk

,



00

22

hk

,



00

22

xhyk

,

003



1

, умножаем на h и заносим в таблицу

0



2

, умножаем на h, заносим в таблицу в

0



, умножаем на h, заносим в таблицу в

0

k

1

0



y 

0

yk

,

03

0



,

3

k

2

.

2

0



.

0



k

.

4

h

x

0

2k

,

2

0



2k

,

2

y

, делим сумму на 6 и

заносим результат в таблицу в качестве

11)

Вычисляем

На этом нулевой шаг

1i 



, выполняя все действия в том же порядке, что и на нулевом шаге. После

yy y

10



.

0i

заканчивается. Переходим к первому шагу

.

y

1

окончания первого шага переходим ко второму шагу и так далее.

Решение типовых примеров

7.30 Найти частное решение уравнения

1



yyx

tg



, если

00y

.



cos

Решение

Данное уравнение является линейным. Для его решения введём подстановку

yuv

, тогда



yuvuv

. Подставляя y и



уравнение, получим

1



uv uv uv x

 

tg

,

cos

или

1



uv u v v x

 



tg

.

cos

Выберем функцию

v таким образом, чтобы

1

1)



tg 0vvx



2)



uv



cos



в исходное

y

75

x



xyx







x



Подставим значение

Общее решение будет иметь вид

Найдём частное решение. Подставим начальные условия в общее решение:

tgdvvx



dx dv

tg



v

ln ln cosvx

1



v

cos

dx

.

v во второе уравнение:

11





u

cos cos

du

1; ; .



du dx u x c

dx

 

yuv xc



1

00

c



, отсюда

cos0

x

1

cos

.

0c

Тогда



- частное решение данного уравнения.

cos

7.31 Решить уравнение

y



yyx



x

Решение

Уравнение является уравнением Бернулли. Положим

  

;yuv y uvuv

Уравнение примет вид:



uv uv u v x



Выберем функцию

u так, чтобы выполнялось равенство

Тогда исходное уравнение примет вид

u

Решаем уравнение



u



0

;

x

uv

x

2

ln



22



1

u

.

ln

2

lnvuv x

.

u



u

0



.

x

.

76

1

x



x







x



x







х



x



х







Подставляя данное частное решение

u

в уравнение

получаем уравнение с разделяющимися переменными

его общее решение:

dv dx

ln



2

vx

,

dv

ln ln



2

v

dx



.

Интегрируя последнее уравнение, получим

2

ln

1

v

x



c

,

22

2

отсюда

v





ln

.

2

c



1



2



lnvvx

. Находим

2



lnvuv x

,

x

Следовательно,

уравнения.

7.32

7.34

7.36

7.38

7.40

7.42



yuv

2

xc

ln



Решить дифференциальные уравнения:

2



tg sinуусх х



.

7.33

ху у е х у

3у



ух



.

7.35

х



ууе









 



уху уе



.

ctg 2 sinуу xxx

2

30ху у х

3



.

2

.

7.37

7.39

7.41

7.43

yxye

ух у ху

ухуху

- общее решение заданного



cos sin sin 2у x ух х



ууе





2









х

  

0, 1, 0

00



.

2

.



2

.

3

.

вида

7.44



12 1хууух

 



2

5

.

7.45

yx

xy



1



.

2

x



7.2 Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение

n



, , , ,..., 0

Fxyyy y







.

77

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцируемая



x



x











yf

f

















yf





f







y



функция

yx

, которая обращает данное уравнение в тождество, то есть



n

, , , ,..., 0

Fx x x x x

   

  







.

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти решение

уравнения, удовлетворяющее условиям

1

n



, где

x

0



,,,,

yy y

000 0





- заданные числа, которые называют начальными

 

yy y y y y



,,,

00 0

данными, или начальными условиями.

Функция

yxcc

дифференциального уравнения выборе произвольных постоянных

, ,...,



1

называется общим решением данного

n

n-го порядка, если при соответствующем

, ,...,

cc c

12

эта функция является решением

n

любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Интегрирование дифференциальных уравнений n -го порядка удаётся произвести только в некоторых частных случаях.

Уравнение вида

n

yfx

Решение этого уравнения находится n - кратным интегрированием, а именно:

1

n



n



yfx



,





2

n







xdx c

xcdxfxcxc

11 2 12



11 1

xc



11

nn



 

при

…………………………………………..

где

xfxdx



n

, ,...,

cc c

12

 

yfxcx cx cxc





nnn

n раз

- произвольные постоянные.

n



12 1

n

,

...



12

nn

Решение типовых примеров

7.46

Найти общее решение уравнения



2sin2yx

.

Решение

Интегрируем обе части этого уравнения:



2sin2 cos2





xdx x c

.

1

Интегрируем ещё раз:

1



yxdxcdx xcxc

cos 2 sin 2



112

2

.

6

7.47

  

, y 1 2,у 11,у 11 y



х

  

3

.

,

78

7.48





х















у







p



















p







7.49

 

уу у

 

12

 



2

х

cos 4 2 4

42, 00,00усоsx уу



 

,,1

   

n



.





7.50

7.51

у

1





у



 

4cos2 , 0 0, 0 0у xy y

7.52

7.53

7.54

7.55

Уравнение вида



 

ух х еу у

  



  



y



x

1

.

2



24



х

2

410 22 6sin39cos3

хххе xx x

1



.

5

2



79,01,04

32 2

.

3

х

,, 0Fxyy

функции

.

х

, явно не содержащее искомой

y

.

Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой



,ypyp



7.56 Найти частное решение дифференциального уравнения

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию

тогда

линейное относительно неизвестной функции

подстановкой

 

yp



, где

  

 

. Получим дифференциальное уравнение первого порядка

  

px

.



Решение типовых примеров

ctg 2 sin , 1, 0yy x xxy y

Решение

, то есть имеет вид

y

ctg 2 sinpp x x x



 

,puv p uvuv



 

.

ctg 2 sinuv uv u v x x x

при

,, 0Fxyy

px



x

. Общее решение найдём



.

4

. Положим

yp

,



1)

ctg 0vv x



2)

79

2sinuv x x



.

Из первого уравнения находим функцию v :

x











p





y



y









x



x







p



dv

ctg

vx



dx

dv

ctg



dx

v

Подставляя во второе уравнение, получим

следовательно,

Интегрируя это равенство, найдём решение исходного уравнения

Подставляя в два последних равенства начальные условия, найдём

c

1

Искомое частное решение

2sin 2cos 1 2

yxx x



ln ln sinvx

sinvx

2,ux

2

ux c

uv x c x 





2

xc x xx xc    



12

2

;

16



2

xc x

1

cos 2 sin 2cos

12

c

2

.

,

1

sin

1

sin

2



22

, то есть

.



 

.



4



4

.

Уравнение вида

Уравнение такого вида допускает понижение порядка подстановкой

7.57 Найти частное решение дифференциального уравнения

Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргумента

, то есть имеет вид

dp



ypy yp



,



dy

,, 0Fyyy



переменной

, явно не содержащее независимой

dp



yppy yp

 

,



.

dy

  

yy y y y



tg 2 , 1 ; 1 2

2

  

4

Решение

,, 0Fyyy

:

dp

tg 2

yp

2



.

dy

.

. Выполним замену

После сокращения на первого порядка

0p

решим дифференциальное уравнение

80