Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

tg 2py p





p



















х











y









p











.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

2tgdpydy



p

ln 2ln sin ln , 0pycc 

sin

cy

1

Заменим

p

на



:

y



sinyc y



1

переменными.

dy



2

y

sin

Интегрируя обе части равенства, получим:

ctg ycxc



12

Получили общее решение дифференциального уравнения в неявном виде. Подставим в него и в выражение для

2sin, 4

 

ctg , 3

 

4

2

cc

11

4

cc c

12 2

Подставляя полученные значения для находим

11

2

.

2

- уравнение с разделяющимися

cdx

;

1

.

начальные условия:

y

.

и

c

1

в общее решение,

c

2

arcctg 4 3yx



.

7.58

7.60

7.62

7.64

7.66

 

lnу xxу



 

tg 1у x у



 

3



1уу

1ху ху



.

2

0уу у



.

7.59

7.61

7.63

7.65

7.67

32

7.3 Линейные дифференциальные уравнения

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка

где функции

называется уравнение вида

 

ypxyqxyfx



,,

xqx fx



непрерывны на некотором отрезке

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами



ypyqyfx





tg sin 2уух x



 

ууех



2

12xy xy

 



tg 2

 





3



2( ) 0yyy

yy

,

.

2х

.



.

2

.

,ab

.



81

Общее решение линейного неоднородного дифференциального















f



f





p













f











f



p









уравнения с постоянными коэффициентами представляется в виде суммы

yyy

*



,

где

 



y

- общее решение соответствующего однородного уравнения .

0ypyqy

Квадратное уравнение

2



0kpkq

называется характеристическим

уравнением однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть

решение однородного уравнения

Если

,kk

12

kk

12

ki

1,2

В тех случаях, когда правая часть

- корни характеристического уравнения, тогда общее

,kk

12

y

находится по одной из трёх формул:

- действительные и

yce ce

12

kk

12

kx k x

12

, то

;

, то

kx

ye c cx

1

12

;



- комплексно сопряжённые корни, то

x



ye c xc x



cos sin

12

.

x

линейного неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

*

коэффициентами имеет специальный вид, частное решение

y

находится

методом неопределённых коэффициентов.

1.

xepx



а) Если





n

 не является корнем характеристического уравнения,

, где

x

- многочлен степени n .

n

x

то частное решение можно искать в виде:

* x

yeQx







n

Qx

,

n

- многочлен степени n с неизвестными

коэффициентами.

б) Если

 - корень характеристического уравнения кратности

то частное решение можно искать в виде:

В частности, если

если

* k

yxQx

не является корнем характеристического уравнения, или

0

, если



n

2.

xepx xQx x





многочлены степени

а) Если

* kx

yxeQx

- корень кратности k характеристического уравнения.

0

x





cos sin

nm

n и m соответственно.

i

не являются корнями характеристического уравнения,





xpx

то

*

yepx xQx x

б) Если

x







cos sin



NN

i

являются корнями характеристического уравнения,



n

.

, то есть

, где

;

max ,Nnm

*

, то

0





nm

yQx

,

xQx

.

k

n

-



,

то

82



*









f





























z













A



x

kx

yxepx xQx x







cos sin



NN

;

max ,Nnm



В частности, если

*

cos sinyA xB x

, если числа

кого уравнения или

xa xb x

*

cos sinyA xB xx



cos sin

 

i

не являются корнями характеристичес-

, то есть

если числа

, то

0mn  

i

являются

корнями характеристического уравнения.

*

Если

y

1

*

y

и

- частные решения соответственно уравнений

2

 

ypyqyfx



1

и





ypyqyfx



2

,

то функция

***

yyy

12

- частное решение уравнения



ypyqyfxfx

 



12

.



В общем случае, для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами используют метод вариации произвольных постоянных

(метод Лагранжа). Пусть

yx



1

и

yx

2

- фундаментальная система решений

однородного уравнения, тогда

** *

Функции

yzyzy

и

z

1

находятся из системы дифференциальных уравнений

z

2

11 2 2

.





zy zy





11 2 2





yzy fx







11 2 2

0,

.



Решение типовых примеров

7.68



44 3yyx

 

2

Решение

Общее решение этого уравнения имеет вид

y

- общее решение соответствующего однородного уравнения



1,2



12

Так как

40yy

2

40, 2kki



cos 2 sin 2yc xc x

12

2



*

y

- частное решение, то оно удовлетворяет уравнению

43; 0, 0, 0fx x k k  

*2

yAxBxc



**

2, 2yAxBy A

 

 

24 4 44 3

Ax Bx C x



22

.

yyy

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

*



.

, получим

83

x















x









y

x







x













A



x













x

2

44; 1

AA

1

40; 0

BB



1

2



4

Следовательно,

Общее решение:

7.69

 

yyex

 

x

243; .

AC C

0

*2

yx

cos 2 sin 2

cxcxx

12

21



1

.

4

.

Решение

Общее решение этого уравнения имеет вид

y

- общее решение однородного уравнения

1

4

.

yyy



*

.



yy

2

kk

0, 1kk

12

yc ce

1,kk  

*2xx

xe Ax B e Ax Bx



*2

yAxBeAxBxe





*2

yAeAxBeAxBeAxBxe



 

Подставим

xxxxxx

242 2 21

Ae Ax B e Ax Bx e Ax B e Ax Bx e e x    



xxx x

22 2

242

Ae Ax B e Ax Bx e 

** *



,,yy y



2











22

22 21

xABx

xx



в уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

1

22; 1

AA

21;1

AB B

0

*

Общее решение:

yxex

yc ce xex  

12



0



.



12

21

.



2

 



x

xx

1

.

1

.

x



, получим

7.70

 

44

yyyxe



2

.

Решение

yyy

*

84

y













x



x



x

A



x



x







x



- общее решение однородного дифференциального уравнения



440yyy



2

440kk

,

2

20; 2kkk





yccxe

Так как частное решение

*2 2

yxAxBe

y e Ax Bx e Ax Bx

    



* 23222 22 2

y e Ax Bx e Ax Bx e Ax Bx e Ax B



423223262







*23222

232



xx x x

23 2 2 2

x

44646462

eAxBxAxBxAxBxAxB 



*2 2 3

yeBBAxABxAx



- корень характеристического уравнения кратности 2, то

2

*

y

ищем в виде:

xx

23 2 2

x

412 4862

eAx AxBxBxAxB





x



286 124 4



 

12

2

.



.

** *

Подставив

сократив на

286 124 4 8 8 12 84 4BBAx ABx AxAxBx AxBxAxBxx   

 

2

e , получим

,,yy y

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях



 

2332 2 32

62

в дифференциальное уравнение и

xBx

.



:

1

61;

AA

0

20; 0

BB

*2 2 32

yx xe xe   

11

1

6



x

.

66

1

yccxe xe 



12

232

6

x

- общее решение дифференциального уравнения.

7.71

 

2cos3sinyy x x

 

.

Решение

Общее решение уравнения:

yyy

*



y

- общее решение однородного уравнения.



20yy

2

20, 0, 2;kk k k  

yc ce

12

*

y

ищем в виде

*

cos sinyM xN x

85

.



12

2

.

, так как

,kik i



12

.

*

y

M

x



M













M



M

x





 

sin cos ;

MxNx



*



 

cos sin ;yMxNx

найдём:

cos sin 2 sin 2 cos cos 3sin

xN x M x N x x x  

cos

sin

21

MN



23

NM



Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными

71

MN 

;

.

55

71

*

yxx 

cos sin

55

Общее решение дифференциального уравнения

71

2

x

yc ce x x  

12

cos sin

.

55

7.72





4cosyy x

Решение

yyy

y

- общее решение соответствующего однородного уравнения.

*



N

и

,

Так как

частное решение



*



       

Подставим

2 sin 2 cos cos sin cos sin 4cos

xNxMxxNxxMxxNxx x  

0yy



2

10, ;kki



cos sinyc xc x

12

i

являются корнями характеристического уравнения, то

*

y

неоднородного уравнения ищем в виде:

*



*



cos sin sin cosy M xN xxM xN x



1,2



cos sinyxM xN x



sin cos sin cos cos siny M xN xM xN xxM xN x

2sin 2cos cos sin.

  

** *

,,yy y

xN xMxxNxx



 

cos

sin

в дифференциальное уравнение:

24; 2

NN

20; 0

MM



.



*

2sin.yxx

Общее решение дифференциального уравнения

cos sin 2 sin .yc xc x x x

12

86

7.73











f



x

z









x

y

- общее решение соответствующего однородного уравнения.





tgyy x

2

Так как правая часть дифференциального уравнения

для нахождения частного решения постоянных:

*

Функции

и

z

1

находим из системы уравнений

z

2



cos sin 0

zxzx

 



12





sin cos tg

zxzxx

  



12

Решаем эту систему уравнений методом Крамера:

Решение

yyy

*



0yy



10, ;kki



cos sinyc xc x

12

*

y

cos sinyz xz x

12

1,2



применим метод вариации произвольных

.

xx



.

tg

, то

cos sin



xx

sin cos

xx



   

1

tg cos

xx

cos 0

0sin

   

2

sin tg







zzx

 

12



2

xx

sin



13 3



cos 2 4

x

244



*

yx cx xcx

sin ln tg cos cos sin

  

 

     

yyy c xc x x

 



*

12

x

x xx

1

sin

cos

dx c x c

sin coszxdxc xc



x

24

cos sin cos ln tg

22

cos sin 1 0.

xx

sin

sin tg .

xx

2

cos

cos tg sin .

2

x

xx

;sin

x

sin ln tg

 





34



x

 

24



.

7.74

7.76

7.78

7.80

 

21yyyx



 

2yyyx



 

391yyx

 

 

323

yyye



2

.

3

.

2

.

7.75

7.77

7.79

7.81

 

2620yyyx x

 



3121yy x



 

324

yyye



 

44 6

yyy e



2

.

3

.

2



.

87

7.82

х



х



х



х





х









x





x







7.84

7.86

7.88

 

75

уухе



 



69 2

ууухе

 



4414

ууу хе

 

515 4yy xx

 

.

3

 

2

.

2

.

7.83

7.85

7.87

7.89

 

24

ууу хе



 



32 14

ууу хе

 



23

ууухе



5613sin3yyy x



2

.

2





.



.

7.90

7.92

7.94

7.96

7.98







yyxe



 









94sin3yy xx

 

.

sinyy x

2

.

4yy x

sin 5yy x

.

7.91

7.93

7.95

7.97

.



32sin22cos2yyy x x

 

 

2sin

yyy xe

 

 

323

yyye



sin 2yy x



7.4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции

yx yx y x

уравнений, содержащих аргумент

,,,,



12

n

которые удовлетворяют системе дифференциальных

, искомые функции

yy y

12

производные. Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

dy

dx

1



,,,, ,

fxyy y



112





n



2

.

,,,

.

и их

n

.

dy

где

,,,

yy y

12

2



dx

dy

n

dx

- искомые функции, x - аргумент.

n

,,,, ,

fxyy y



212

,,,,

fxyy y



nn



12

n

Такая система, когда в левой части стоят производные, а правые части

не содержат производных, называется нормальной.

Неизвестные функции

,,,

yy y

12

, удовлетворяющие системе

n

уравнений и данным начальным условиям

yyyyy y

1102 20 0



xx xx

00 0

,,,

 

nn

xx

можно определить, проинтегрировав систему.

Решение типовых примеров

7.99

Проинтегрировать систему:







,

88

dx

x



x



x



x

z





x





 

dt



yz



dy

 

dt



dz

 

dt



z



y



Решение

t

Дифференцируя по

2

d x dy dz



2

dt dt dt

Исключая переменные

первое уравнение, найдём:

zxy xyz



и z из уравнений

y

dx d x

yz xyz

  

dt dt

2

,2,

2

2.

будем иметь уравнение второго порядка относительно

2

dx dx

2

dt dt

20

x



.

Общее решение этого уравнения:

tt



ce ce



12

2

.

Отсюда находим

dx

 

dt

tt



ce ce

12

2

и

dx

yzcecez

  

dt

tt



12

Подставляя в третье из заданных уравнений найденные выражения для

и y, получим уравнение для определения z:

:

2

2.

Интегрируя это уравнение, найдём

Общее решение заданной системы:

dz



dt

tt

zce ce

yccece

zce ce





32

  



  



13 2

tt



ce ce

12

13 2

tt



32

2

t

3

ce

.

2

,

22

tt



2

,

22

tt



2

.

,

89

Тест 7





x



x

х



х

x







1 Дополнить формулировку:

Уравнение, связывающее неизвестную функцию, аргумент и ... называется дифференциальным.

1: производные; 2: дифференциалы; 3: производные и дифференциалы; 4: определение полное.

2 Дополнить формулировку:

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит ... произвольных постоянных. 1: две; 2: n-1; 3: n+1; 4; n.

3

Определить вид дифференциального уравнения

220xy y x



1: линейное; 2: с разделяющимися переменными; 3: уравнение Бернулли; 4: однородное уравнение.

4 Какая из функций не является решением заданного дифференциального

уравнения 1-го порядка

1

32

tt



te e

1:





; 2:



t

exx23 

tCe e





5

1

32

tt



;

5

1

23tt

teCe

3:





5 Уравнение C



; 4:

22

yx



22



te eC



является общим решением дифференциального



35

tt





5



.

уравнения вида

1:

yy

; 2:

20

y

; 3:

22'0

y



; 4:

'4

yy

.

'0

6 Частное решение дифференциального уравнения

2

(1)2(4)



yxy



при

y(0)=1 имеет вид...

2

41

1:

4

; 2:

2

1x

3

xx

2



; 3:

1

4

1



; 4:

2

1x

4



5

.

2

1x

7 Дополнить формулировку:

Уравнение

2

0

 akak

по отношению

21

0

yayay

21

, где

a

и

1

2

постоянные действительные числа, называется …

1: однородным; 2: уравнением с постоянными коэффициентами; 3: линейным; 4: характеристическим.

90