Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

 

x

A



x



x

xdxx

x



 

cos sin cos sin sin cos

tt tt t t

11

         

sin cos tg

ttt



1

    

x

Интегралы вида

22

dt t t t dt

222

ln tg ln tg 1 tg

2

x





cos sin cos



dt dt

2

t



tc t tc

2

ln 1 .

daxbxc

xc

dx

2

1tg

с помощью «обратной подстановки»

2

xd





1

или

t

5.42 Найти



xxx





      



tt t

13 9

   

31

t

1

, сводятся к интегралам вида

d



dx



xxx



2

1210

Решение



t

dx

  

1210

22

x

dx

dt dt



22



991

ln 1 .



x



2



x

1

c

.

1



1

x

1

t

dt



2

t

1

ln 3 9 1

tt c

3

dx



2

xBxD

dt



2

t

11 1



 

12 110



tt t



2

.

Найти неопределённые интегралы

dx

.

5.43

5.45

5.47



1ln



cos

x

sin .

exdx



2



x

1.

xdx

5.44

5.46

5.48

sin

.

5.49



cos

3

11

5.50

2

sin cos .

2

x



exdx



3

.

2

dx

.

3



1

32

8.

xdx

xdx

5.51



x





x



x



x



x



x

R

x



1ln.x



x

dx

.

5.52



13

x



dx

.

22

xx

9

dx

.

4

x

7

1cos sin2 .

2

xdx

5.53

5.55

5.57

2

5

53.

xdx





144 .



7

2

dx

dx

.



2

xx x

1

5.54

5.56

5.58



5.2.3 Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:

,udv uv vdu

где

ux



vx

и

- непрерывно дифференцируемые функции.



Данная формула называется



формулой интегрирования по частям.

Применять её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях формулу необходимо применять несколько раз.

Метод интегрирования по частям рекомендуется для нахождения

интегралов от функций

x



sin

ax

 , cos

x



ax

 ,

arcsin

k

sin

,

x

arctg

k

, cos

и т.д., где

x

,

kx

e

,nk

- целые положительные

nk

, ln

x , ch

k

x

,

постоянные,



, а также для отыскания некоторых интегралов от

функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции.

Решение типовых примеров

5.59 Найти

edx



2.x



Решение

2

x

xu edxdv



2

x



xe dx





    

 



dx du v e dx e c c

 

1111

22 22

xx xx

 

eedxxeec

2224





22

xx





1

2

0



.

12

5.60 Найти

x





x

arctg .



xdx

Решение



arctg

uxdvxdx

arctg arctg

xxdx x



222

xxx dx

 

arctg arctg

221 2221

2

x

arctg arctg .



du v

111 11

xdxxdx



dx x



2

x



12



22



11

xxc

2

22

221

1

xdx

2



x

222

2

x

sin

5.61 Найти

exdx



.

Решение

2

sin

uxdvedx



222

xxx

sin sin cos

e xdx e x e xdx





cos

du xdx v e

x

11

1

 

x

2

22

2

cos

ux dvedx





du xdx v e

sin

 

x

111 1

222

xxx

sin cos sin

1

x

2

ex exexdx

222 2

 





2

11 1

22 2

exexexdx

24 4

Перенеся последний интервал в левую часть равенства, получим

Следовательно,

5.62 Найти





1

xx xx xdx

   



2

xx x

sin cos sin .

3113

222

xxx

sin sin cos .

exdxexe xс



4244

222

xxx

exdxexe xс

sin sin cos .



2

2cos2

xxdx



21

33

.



Решение

2

ux x dv xdx

 

2

2cos2

xx xdx

 



du x dx v x

2cos2

1

22 sin2

 



2

ux dv xdx

 

1sin2

2

2sin2 1sin2





1

du dx v x



cos 2

2

111

   

2

2 sin2 1 cos2 cos2



xx x x xdx

222





 

13



111

x



x



xdxx

x



x





x



xdxx





x



x



x



x



x



2

2sin2 1cos2 sin2 .



224

5.63 Найти

22

ln

xxdx



333

xxxx

  

ln ln ln

33 33



ux dvxdx



du v



3

x

ln ln ln ln .

39 9 3 9 27

Найти данные неопределённые интегралы

xxx x xc   

22

ln .



ln

ux dvxdx



du dx v

2ln 2

222



x

ln

dx x

x

221 2 2

23 2 323 3

xx xdx x x xx xc    



xdx

Решение

22

2ln

xx

x

dx x x xdx

2

3

333

2

ln ln

333 3





xxdx

2

xx

 



x

5.64

5.66

5.68

5.70

5.72

5.74

5.76

5.78

ln .xdx



sin



cos ln .xdx



cos

ln .xdx

  

.

2

3.x



edx



.

2

arcsin .

sin 2 1 .

xdx

xdx



5.65

5.67

5.69

5.71

5.73

5.75

5.77

5.79

arctg .xdx

2

cos .

x

sin .

exdx

ln 1 .

2



cos

2



sin

cos 1 .



51

x



edx

xdx

xdx

25 .

xedx

x

dx

x

 

2



.



x



.

dx



3

x

2.

dx

5.80



14

5.81

ln 3 .

xdx



x



A

x





x



x

5.3 Интегрирование рациональных функций

5.3.1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный

трёхчлен

Рассмотрим интеграл вида

Ax B

.

dx

2



Если производной квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе. Тогда в результате простых преобразований получим

Ax B A A x b

222

 

xbxc xbxc xbxc

  

BAb x bxc BAb

  

 

Для отыскания последнего интеграла выделим в квадратном трёхчлене полный квадрат, то есть представим трёхчлен в виде

, то из числителя можно выделить слагаемое

0



22

xb BAb

 



dx dx dx





22

dx A dx

2ln 2.

22



bx c x bx c

 

22

2

bx c



2

24xbxcxb cb 



2

, равное

b

2

и в зависимости от знака выражения

4cb

получим один из табличных

du

интегралов вида

5.82 Найти

32 324443 3 24

xx x

 

22 2

 



 

413 2 413 2 413

xx xx xx

  

8ln4138arctg.



x





57 5288145 5 28

xx x dx

 

22 22

87 2 87 2 87 24169

xx xx xx x x

   

dx dx dx

dx x

2

29

5.83 Найти

dx dx dx



22



ua



312

233

.

32

x



2



2



413

xx



xc

57

x



2

87

xx



.

dx

Решение

.

dx

Решение

13

55143

  

222343

5137

 

261

22

ln 8 7 13 ln 8 7 13 ln

ln 8 7 ln .

xxxc

2

xc



dx x

2



49

x



x



x



15





x

Замечание Если в интеграле квадратный трёхчлен имеет вид





A





2

0ax bx c a 



, то для отыскания этого интеграла коэффициент a в

знаменателе выносят за скобки:

22

ax bx c a x x

  

 



bc

.

aa

5.84 Найти





2

21210

xx

 

dx

.

43

x

Решение

43 1 43 26632

xxx





       

222

2 1210 2 65 65

x x xx xx

   



xdx x

26 9 912 3

2



 

xx x

65 2 242 3

dx dx dx

  

dx x x c

x



2



34

2

ln 6 5 ln .

Методы нахождения интеграла вида

Ax B

dx



2

ax bx c



аналогичны рассмотренным выше, однако в результате получаются другие табличные интегралы. При

Ax B A ax b b B a A





22

ax bx c ax bx c

 

dx dx



имеем

0



22

2

a

A ax b bA dx



22

aa

AbAdx



aa

Тогда при

2





22

ax bx c ax bx c

 

2

ax bx c B

 



2

b

ca

и



dx B

 



2

последний интеграл можно привести к виду

0a 

2



ax c

 

bb



24

aa

 



.

2

4

а при

ca

du



22

uq



2

b

и

- к виду

0a 

ln ,

uuqc

22



4

5.85 Найти



31

x



2

xx



du u

22

qu



.

dx

48

arcsin .

q

c



Решение

24 423

x

31 3

x





22

48 48

xx xx

 

dx dx



2





16



24

x

















x

3





2





22

48

xx



dx

5

dx

24

x





где

2

3485ln2 24.

5.86 Найти



xx xx

   

2

  



423arcsin .

     

xxx c 

45

x





45 22522

xx



22

23 23

22

xdx



22

23

xx

 

2

xc

2

23

xx

 

dx dx

2

 

dx



.

dx

Решение

41

x





1

x

2

Рассмотрим интеграл вида

Ax B



2

xpxq





- целое,

k

0; 4 0.kpq

2

dx

,

k

При

01Ak

Axp A

221

2



2

xpxq





выделим интеграл



dx c k

k

xpxq

2

Тогда интеграл сводится к интегралу вида

где

dx dx du

 

222

 

xpxq ua

 

2; 4 4; 4 0.uxp a qp qp    



kkk



x





22

2

pqp



24



Интегралы находят с помощью

степени знаменателя:

du u k du



22 2 22 22

 

ua ak ua ua





kk k

21





x

5.87 Найти

35



2

xx





25

dx

.

2

1

k





1.



,

k





4



2

рекуррентной формулы понижения

23

11

2

21

ak





.



17

Решение





x



R













xx

35 3222103



22

 

xx xx





25 25

2

dx x



3



2

xx



25



22

25





dx dx

22

2

22



dx

14

x





31 1 1

   

2

xx



225 8

 

2



814



31 1 1 1 1

   

22

2254258 2

xx xx

 



xdx

2

x





xx



x



41





arctg .

2

c

dx

.

5.88

5.90

5.92

5.94

2



45

xx

dx



12

27

x



2



xx



dx

2



420

xx

.

2

x

.

dx

2

5.89

5.91

5.93



xx



23 2

2



xx

37

.

5.95

2



xx

dx

2

23

dx

52

x



210



x



dx



1

x

dx

.

2

.

31

x

2

x

5.96

5.98

5.100

5.3.2 Интегрирование рациональных функций путём разложения на

Рациональной функцией

отношению двух многочленов:

где

- целые положительные числа;

,mn

2



87

xx



811

x





52

xx



23

x



4

Rx

2

x





.

dx

.

dx

2

.

dx

простейшие дроби

x

Qx





m

Px ax ax a



nn

mm



bx bx b

01

nn



01

,

ba R

ij

5.97

5.99

5.101

называется функция, равная



1



1



xx







m

,

0,1,2,..., ; 0,1,2,...,imjn



2

618

xx



x



31

2

210



3

x



2

22

xx





dx

2

.

18

Если mn , то

R







M





x

A

x

M

x



x



A





P





s

x

называется правильной дробью, если



mn

, то

неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель

можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

Qx Qx



где

x

,



mn



Например

Qx



l

ml

Px Px



nn

- многочлены;

4



4

x

2



31

- неправильная дробь. Разделив её по правилу

x

Mx



Qx

Px



mn



l

- правильная дробь;



n

,



ln

.

деления многочленов, получим

4

43314

xx



22

31 31

xx xx

 

2

310 .

xx



Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных дробей.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырёх

типов:

A

;

k

a

Mx N

px q



2

,

2k 

,

k

40pq

.

где

1)

3)

,, , ,,

aM N pq

2



;

2)

a

xN

;

4)

px q

- постоянные числа, k - целое,



2



Интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся

легко:

A



dx A x a c

xa



AA



xa xa k





ln ,



dx A x a dx c

kk

 



k



1





1

.

Методика нахождения интегралов от простейших дробей третьего и четвёртого типов рассмотрена в пункте 5.3.1. Таким образом, всякая простейшая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

x

Известно, что всякий многочлен

с действительными



n

коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде

kk

Px Ax a x a x a x px q x px q    

   

nmss

01 2 11

12



k

m

22

tt

1

,

19

где

P













s



A



R







x



,,,

kk k

12

,,,

aa a

12

, а

m

- действительные корни многочлена

m

2

4 0 1,2,...,pq s

 



;

kk k t tn

12 1

   

x

кратностей



n

22

ms

;

числа

,,,,,,

kk k t t

12 1

ms

- целые неотрицательные. Тогда верна теорема.

Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей

Qx



Всякую правильную рациональную дробь

Rx





m

Px



n

знаменателем, представленным в виде

kk

Px Ax a x a x a x px q x px q    

   

nmss

01 2 11

12



k

m

22

tt

1

можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1 – 4.

Qx



m

Px xa xa



n

AA BB

12 1 2

    



  



xa xa xa xa

 

   

12

Mx N M x N



11 2 2

2

xpxq







22

11 2 2

Для вычисления значений

AB

kk

1 2

kk

1 2

Mx N



tt



22

x pxq x pxq

 



 

,, ,

BM N

2

в разложении функции

.

t

сумму простейших рациональных дробей часто используют

неопределённых коэффициентов.

вычислений можно воспользоваться

В некоторых случаях с целью упрощения

методом частных значений. Суть этих

методов покажем на примерах.

23

5.102

Найти

x





xx x

12

 

dx

.

со

x

на



метод

,

Решение

В соответствии с формулой разложение на элементарные дроби имеет вид

23

xABC





xx x x x x

12 1 2

  

 

dx dx







.

(1)



Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции, а числители подынтегральной функции в левой и правой частях формулы (1) будут тождественно равными, то есть

23 1 2 2 1.

Найдём коэффициенты А, В, С

Ax x Bxx Cx x      

методом неопределённых

(2)

коэффициентов.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества (2), получаем систему уравнений

2

x



0,

ABC

1

232 ,

0



32,

ABC

  

A

  

20