Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
6.3.4 Интегрирование чётной и нечётной функции
f
f
f
f
f
f
f
f
x
x
x
f
Если
Если
Пример 6.4
поэтому
x
- чётная функция, то есть
aa
xdx f xdx
a
x
- нечётная функция, то есть
a
fxdx
a
2
0
xfx
(6.7)
xfx
(6.8)
0
Решение типовых примеров
3
2
Вычислить интеграл
sinxdx
3
.
Решение
2
sin
Функция
xxx xx
33 3
22
sin 2 sin 2 1 cos 2 sin2
3
xdx x dx x dx x x
xx
22
sin sin sin sin
00
- чётная, так как
2
11
22
2
, то
, то
x
,
3
0
Пример 6.5 Вычислить интеграл
поэтому
Вычислить интегралы
12 1 13 3
sin cos .
32 3 32 6 322 3 4
1
2
arcsin
1
2
1
x
Решение
2
arcsin
Подынтегральная функция
2
arcsin
xx
xfx
1
1
1
fx
22
x
2
arcsin
xx
2
1
x
2
xx
dx
1
arcsin
1
.
0
2
x
x
.
dx
x
- нечётная, так как
,
41
6.6
x
x
x
x
x
x
x
xdxx
x
xdxx
x
x
3
3
.
dx
1
6.7
2
1
1
2
dx
x
.
6.8
6.10
6.12
6.14
6.16
3
x
3
.
edx
0
4
dx
.
0
8
0
2
1
1
0
2
1
3
2
1
x
1 tdt
2
4
3
.
xdx
dx
.
.
6.9
6.11
6.13
6.15
6.17
4
sin 4xdx
0
1
2
dx
1
0
2
2
1
4
1 t
t
1
1
1
.
.
2
23
xdx
.
dt
3
1x
dx
x
.
.
6.18
6.20
6.22
6.24
6.26
3
sin 2
cos
0
2
34
2xdx
1
3
4
0
2
2
3
x
0
1
xx
eedx
0
dx
.
.
.
2
.
4
1
2
4
.
6.19
6.21
6.23
6.25
6.27
2
x
edx
1
0
25 3
3
2
e
dx
2
dx
2
x
x
e
.
.
.
ln
x
e
ln 4
0
9
4
1
dx
x
x
e
e
.
dx
x
.
1
42
6.28
x
xdxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
64
1
dx
.
3
1
x
6.29
2
0
cos
sin
.
5
6.30
6.32
6.34
6.36
6.38
2
cos sinxxdx
0
4
0
4
3
2
0
dx
121
x
dx
2
32
xx
2
0
2
2
dx
dx
.
1sin
1
.
.
.
.
6.31
6.33
6.35
6.37
6.39
x
0
5
1
1
xx
0
1
2
2
2
ln 11x
1
dx
1
x
dx
x
45
xdx
2
32
8
x
.
.
.
2
.
dx
.
dx
6.40
6.42
6.44
6.46
6.48
6.50
1
2
x
e
x
1
1
e
0
3
cos
4
2
0
2
exdx
0
1
1
.
dx
2
ln 1
dx
dx
.
2
cosxxdx
x
cos
.
.
arctgxxdx
1
x
dx
2
sin
2
sin 2
2
x
.
.
.
.
.
dx
x
.
dx
1
6.41
.
6.43
6.45
6.47
6.49
.
6.51
edx
0
sinxxdx
0
3
sin
4
x
exdx
0
e
cos ln
1
3
3
43
6.4 Приложения определённого интеграла
x
x
x
x
x
f
x
6.4.1 Вычисление площадей плоских фигур
1. Если на
трапеции, ограниченной кривой
равна
y
yfx
;ab
функция
yfx
S
0
трапеции, ограниченной снизу кривой
a
2. Если на
,
axb
, равна
b
;ab
функция
0fx
, то площадь криволинейной
, осью
b
Sfxdx
a
0fx
, то площадь криволинейной
yfx
и прямыми
0
. (6.9)
, осью
,
axb
и прямыми
0
b
Sfxdx
yfx
x
3. Если функция
интеграл по всему отрезку
отрезкам. Площадь такой криволинейной трапеции соответственно равна
y
yfx
c
0
a
d
конечное число раз меняет знак на
;ab
b
разбиваем на сумму интегралов по частичным
cdb
S f xdx fxdx fxdx
acd
a
. (6.10)
. (6.11)
;ab
, то
4. Если основанием криволинейной трапеции является отрезок
0y
оси
, тогда площадь такой фигуры равна
44
;cd
y
x
xy
f
x
yf
yf
x
x
x
x
x
x
d
S
c
0
5. Пусть на отрезке
yfx
кривыми
y
2
такие, что
yfx
2
2
1
и
x
x
;ab
xfx
21
yfx
1
. Тогда площадь фигуры, заключённой между
на отрезке
d
Sydy
заданы непрерывные функции
Sfxfxdx
c
;ab
, вычисляется по формуле
b
21
a
. (6.12)
. (6.13)
yfx
и
1
0
где
ttt
12
полярных координатах уравнением
a
6. Если кривая задана параметрическими уравнениями
yyt
прямыми
t
1
,
12
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,
axb
и
определяются из уравнений
t
2
.
7. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в
6.52 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
b
и осью
, находится по формуле
Решение типовых примеров
4,yxx
0
Sytxtdt
Sd
2
, вычисляется по формуле
t
2
t
1
1
2
2
1,
и двумя полярными радиусами
. (6.15)
и осью
3
, (6.14)
,axt bxt
12
.
0
xt
и
0yt
при
,
45
x
y
x
f
x
x
x
y
x
x
f
.
4
0
6.53
Решение
Воспользуемся формулой (6.9)
b
Sfxdx
2
4yxx
Sxxdxx
0y
2
4
a
3
421892
1
, значит
22
1,a
3
3
x
33
1
122
1x
3
33
7..
кв ед
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
4
xxx
,
3b
2
1
,
y
0,
4y
.
Решение
y
xy
4
Воспользуемся формулой (6.12)
d
Sydy
c
, где
0, 4,cd yy
.
Значит
0x
0
4
Sydyy кв ед
0
4
33
22 16
22
33 3
40 ..
0
6.54 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
yxyex x
,,1,0
x
.
Решение
y
ye
1
В данном случае воспользуемся формулой (6.13)
b
Sfxfxdx
где
21
a
x
xe fx x a b
21
,,0,1
,
2
.
Следовательно,
0
1
yx
1
Sexdxe e e кв ед
2
0
2
xx
1
3
x
33 3
0
12
1.
6.55 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
yx
и
2yx
.
46
Решение
x
2
y
x
A
x
x
y
x
x
Найдём точки пересечения параболы и
y
4
yx
2
B
прямой, для этого решим совместно
уравнения данных линий
2
2
xx
2
xx
D
x
1,2
9
13
20
2
xx
0
1
2
yy
1, 2
12
1, 4
12
Таким образом, заданные линии
пересекаются в точках
1;1 , 2; 4AB
Следовательно, по формуле (6.13)
1, 2, 2,abfxxfxx
2
Sx xdx кв ед
1
28854,5..
21
2
2
2
x
2 3 323 32 2
3
x
2
2
811 91 1
1
6.56
3sin, 31cos
tty t
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью
. (Приложение З)
0
Решение
Фигура ограничена линией, заданной
параметрически. Значит, воспользуемся
формулой (6.14):
t
6
3
2
Sytxtdt
t
1
.
.
31 cos
0
6
Здесь
от
1
tt
до
0t
. Следовательно,
2t
2
, а t изменяется
22
3 1 cos 3 1 cos 9 1 cosSttdttdt
00
2
912cos cos 9 2sin sin2
0
92 27 . .
ttdtttt t
2
кв ед
2
11
24
2
0
6.57 Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
2
4cos2
.
47
Решение
x
Фигура ограничена кривой, заданной в
полярных координатах, следовательно,
воспользуемся формулой (6.15):
1
4
0
2
Sd
2
2
.
Четвёртой части искомой площади
соответствует изменение
от 0 до
поэтому
4
11
44cos2 8sin2 4104.
Sd кв ед
22
0
4
0
.
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
6.58
6.60
6.62
2
4, 0yxy
3
,0,8yx x y
4, 1, 4, 0
yxxy
.
.
.
6.59
6.61
6.63
2
1, 0yxx
,2.yx y x
22
,2.yx y x
.
2
, а
4
6.64
6.66
2
,2,0yxyx y
1
,,4yyxy
2
.
.
6.65
6.67
22
4, 2yxyxx
ln , 0, 0, 1yxx y y
.
.
x
2
6.68
23, 31yx x y x
.
48
6.69
,2,0yxy xy
.
6.70
x
x
xty
x
y
1
,,2yyxx
.
x
6.71
,43,0yxy xy
.
6.72
6.73
6.74
6.75
6.76
2
yxyex x
Астроидой
Эллипсом
Первой аркой циклоиды
,2,0,1
23cos
32sin.
x
33
cos , sin
atyat
cos , sin , 0 2
atybt t
t
.
tt
1cos
.
sin
и прямой
t
.
1
02x
y
2
.
6.77
6.78
6.79
6.80
Кардиоидой
Одним оборотом спирали Архимеда
движения соответствует
Трёхлепестковой розой
Кардиоидой
1cosa
1cosa
.
0
.
sin 3a
и окружностью
.
, если началу
a
.
a
49
6.4.2 Вычисление объёмов тел вращения
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
1. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
прямыми
вращения вычисляется по формуле
y
0
2. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
прямыми
0, ,yxaxb
yfx
a
,,0yc yd x
, вращается вокруг оси
b
, вращается вокруг оси 0y, то
y
d
xy
c
Vfxdx
x
d
Vydy
y
c
b
2
a
2
yfx
, то объём тела
0
. (6.16)
. (6.17)
и
y
и
0
3. Если фигура, ограниченная кривыми
0
тела вращения
0 yy
объём тела вращения
0
xfx
12
4. Если фигура ограничена кривыми
12
Пример 6.81 Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной кривой
и прямыми
и прямыми
Решение типовых примеров
,xaxb
, вращается вокруг оси
b
Vfxfxdx
x
yc
Vyydy
y
yx
22
21
a
yd
и
d
22
21
c
23
и прямой
yfx
11
. (6.18)
вращается вокруг оси
. (6.19)
.
2
и
y
и
1
yfx
, то объём
0
22
y
2
0y
, то
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]