Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
x
x
f
R
x
Решение типовых примеров
9.107 Вычислить с точностью до 0,001 число e
Решение
Запишем ряд Маклорена для
При
Запишем приближенное равенство
Оценим погрешность приближения с помощью остаточного члена ряда
Маклорена.
Так как
При
Учитывая, что
x
ex
получим
1
(1)
nx
()
xe
R
(1) ,
1
n
, получим
e :
23
1......
xx x
2! 3! !
n
.
n
11 1
11 ... ...
.
2! 3! !en
x
1 1 ...
e
()
, то
e
n
(1)!
xx
n
01
11 1
2! 3! !
c
e
(1)!
n
n
.
n
1
, где
.
cx
, 01
3
(1)
3ee
R
n
(1)!
n
.
.
31
При
5n
(5 1)! 240
0.001
.
31
При
6n
0.001
.
7! 1680
Поэтому для достижения требуемой точности достаточно взять
.
6n
Итак,
11111
11
e
2! 3! 4! 5! 6!
=
1.0000 1.0000 0.5000 0.1667 0.0417 0.0083 0.0014 2.7181.
Следовательно,
2.7181e
с точностью до 0,001.
9.108 Вычислить sin18
o
с точностью до 0,0001.
Решение
35
35
.
sin18
o
=
sin ...
10 3!10 5!10
Полученный ряд знакочередующийся, члены которого убывают по
абсолютной величине. Поэтому его остаток не превосходит первого
отброшенного члена ряда.
151
Так как
x
x
xx
3!10
получим
sin18 0.314159 0.00517 0.30899.
o
10 3!10 10 3!10
Итак, sin18 0.3090
o
.
9.7.2 Вычисление определенных интегралов
Сущность метода поясним на конкретном примере
9.109 Вычислить
x
Так как
2
x
e
246
xxx
1...
ex
1! 2! 3!
3
0.0001
3
33
33
, а
(3.14159) (3.14159)
5!10
5
5
0.0001
, то с точностью до 0,0001
1
3
2
x
edx
0
с точностью до 0,001.
Решение
23
1......
xx x
2! 3! !
этот ряд сходится при
n
, то положив
n
(;)
значит, его можно
2
x , получим
почленно интегрировать на любом отрезке и, в частности, на отрезке
11
33
2
x
edx dxx
00
(1 ...) ...
246 3 5 7
xxx x x x
1! 2! 3! 3 5 2 7 6
1
3
0
111
333
000
11 1 1
333 523 763
357
...
Искомый интеграл представлен знакочередующимся рядом. Так как
11
5
5 2 3 2430
Итак
0.001
1
3
2
x
edx
0
, то с точностью до 0,001 имеем
1
3
2
x
edx
0
0.321
11
3
333
.
0.3333 0.0123 0.3210
9.7.3 Применение рядов к решению дифференциальных уравнений
Пусть требуется найти решение уравнения
(, , )yFxyy
, (9.27)
1
0; :
3
удовлетворяющее начальным условиям при
152
,
yy
0
,
yy
0
.
0
Допустим, что решение
f
f
fx
x
f
f
x
xx
f
x
x
x
x
yfx fx fxxx xx
Нужно найти
() () ()( ) ( ) ...
()
x
0
от частного решения при
Из начального условия следует, что
уравнения (9.27) получаем
Дифференцируя обе части уравнения (9.27) по
y F xyy F xyy y F xyy y
(, , ) (, , ) (, , )
xy y
()yfx
и его можно представить рядом
fx
()
000 0
,
()
x
0
.
x
0
0 0 000
,
, …, то есть значения производных
()
0
() (, , ).yfx Fxyy
0
2!
()
xy
00
2
,
, получим
.
.
() .
xy
00
Из
Подставляя в это равенство
00 0
Дифференцируя
еще раз по x, найдем
y
, найдём
0
() ().yfx yx
IV IV
() ()
xyx
00
Найденные значения производных подставим в ряд Тейлора решения
Для тех значений
, при которых этот ряд сходится, он представляет решение
уравнения.
Решение типовых примеров
9.110 Найти первые три члена разложения в степенной ряд частного
решения уравнения
(0) 1, (0) 0yy
.
cosyy xx
, удовлетворяющего начальным условиям:
Решение
Ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена (т. к.
yy
(0) (0)
yy y x x
(0) (0) ...
23
.
)
0x
0
2! 3!
Учитывая, что при
0
1y
,
находим
(0) 1cos0 0 1y
.
и т. д.
()yfx
.
Для нахождения
cos sin 1yy xyx
При
получим
0
Подставляя значения
решения
()yx
, получим приближенное выражение частного решения в виде
частичной суммы ряда
.
дифференцируем обе части данного уравнения
y
(0) (0)cos 0 (0)sin 0 1 0 1 1 0 1 1yy y
(0)y
,
23
() 1
yx
(0)y
(0)y
,
,
в ряд для частного
(0)y
x
.
2! 3!
Если дифференциальное уравнение линейное, то удобнее искать
2
частное решение в виде степенного ряда
()()...ya axx axx
01 0 2 0
2
.
153
ya axax ax
01 2
... ...
n
n
или
Для нахождения коэффициентов
x
,
a
,…,
a
0
1
решение в виде степенного
a
n
ряда подставляют в уравнение и приравнивают коэффициенты, стоящие при
одинаковых степенях
в левой и правой частях уравнения.
Решение типовых примеров
24
yxyy
9.111
(0) 0, (0) 1
yy
Решение
ya axax ax ax
01 2 3
(0) 0ya
(0) 1ya
0
1
Следовательно,
1 2 3 ... ...
yaxaxnax
ya ax nnax
23
2 2 3 ... ( 1) ...
23
Подставляем
223 ...(1) ...
aaxnnax
23
2 (1 2 3 ... ...)
xaxax nax
4( ... ...)
xax ax ax
23
23
23
23
yxax ax ax
21
,,yy y
21
... ...
23
23
n
в уравнение, получим
n
n
n
n
n
23 ...ya ax ax
12 3
n
n
2
n
n
n
... ...
2
n
,
2
n
n
откуда
20a
32 2 4a
43 4 4aaa 4a
2
3
422
a
0
0a
2
1
3
(1) ( 2)2 4
nn a n a a
nnn
Следовательно,
;
0a
4
;
a
0
2
k
Подставляя найденные значения коэффициентов и искомое частное
решение, получим
357 21
yx
xxx x
1! 2! 3! !
22
21 1
a
5
42!
;
1
2
(1)!
a
21
k
k
2!
kk
n
...
n
;
0a
6
1
.
…
154
2
a
2
a
n
n
n
1
1
2
a
7
63!
1
2
;
1
a
9
;
4!
yx x
x
x
x
x
yxe
9.112 Вычислить
9.113 Вычислить:
4
а)
90
sin9 с точностью до 410
в)
9.114 Вычислить
9.115 Вычислить
9. 116 Ограничиваясь первыми тремя членами разложения вычислить
1
sin
а)
0
9.117 Вычислить:
а)
б)
9.118 С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать
уравнения:
1 ... ...
2
46 2
xx x
2
2! 3! !
n
n
.
cos10 ограничившись двумя членами ряда, оценить погрешность.
с точностью до
0
; б)
dx
x
0,1
ln(1 )
x
0
0,5
1cos
0
2
x
0
10
ln1,2
0,2
e
с точностью
с точностью
dx
с точностью
dx
2, (0) 0.yx y y
4
; б)
; г)
.
0,5
x
e
x
0
4
5
1
dx
10
;
10
.
с точностью
630
с точностью до
34
0,0001
; в)
3
4
;
.
0,4
0
4
10
4
10
.
2
x
4
edx
.
9.119 Методом последовательного дифференцирования найти первые
три члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения
yxyye y y
x
, (0) 1, (0) 0.
9.120
Найти решение уравнения
cos , (0) 0, (0) 1yyxyx xy y
,
используя метод неопределённых коэффициентов.
155
x
x
Рядом Фурье периодической функции
определённой на отрезке
где
Теорема Дирихле
(Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.)
Пусть
- периодическая функция
2
9.8 Ряды Фурье
()fx
с периодом
;
, называется ряд
a
0
2
(cos sin)
anxbnsx
n
1
n
1
afxdx
0
1
afxnxdx
n
bfxnxdx
n
1
()
()cos
()sin
, (9.29)
, (9.28)
, (9.30)
. (9.31)
()fx
на отрезке
2
;
,
удовлетворяет двум условиям:
()fx
1.
кусочно - монотонна, т.е. монотонна на всём отрезке, либо этот
отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из
них функция монотонна;
()fx
2.
кусочно – непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва первого рода.
()fx
Тогда соответствующий функции
ряд Фурье сходится на этом
отрезке и при этом:
В точках непрерывности функции сумма ряда
1.
функцией:
2.
() ()Sx f x
;
В каждой точке
разрыва функции сумма ряда равна
0
(0)(0)
()
Sx
fx fx
0
00
,
2
то есть равна среднему арифметическому пределов функции
()Sx
совпадает с самой
()fx
справа и
слева;
3.
В точках
и x(на концах отрезка) ряда равна
(0)(0)
ff
() ()
SS
.
2
Если функция
()fx
задана на отрезке
;ll
, где l- произвольное число,
то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция
может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
156
где
В случае, когда
()fx
свободный член и косинусы
где
l
2
afxdx
0
В случае, когда
()
l
0
()fx
a
() ( cos sin )
fx a b
afxdx
afx dx
n
bfx dx
n
0
2
0
1
ll
1
1
n
l
1
l
l
l
ll
l
()
l
l
()cos
()sin
nx nx
nn
ll
, (9.33)
nx
nx
, (9.34)
. (9.35)
, (9.32)
- чётная функция, её ряд Фурье содержит только
0
2
n
()cos
n
1
nx
, (9.37)
l
(9.38)
() cos
anx
fx a
;
2
afx dx
n
ll
0
- нечётная функция, её ряд Фурье содержит только
синусы
fx в
() sin
1
n
nx
n
, (9.39)
l
где
l
2
()sin
ll
0
Если функция
bfx dx
n
()fx
не является периодической, то, чтобы разложить её
в ряд Фурье, строят некоторую периодическую функцию
области определения функции совпадает с функцией
говорят, что функцию
()fx
периодически продолжают на всю числовую ось.
nx
. (10.40)
()fx
, которая в
()fx
. В этом случае
Возможны следующие случаи:
1.
()fx
с периодом
Если функция
2Tl
()fx
задана на отрезке
. Она на отрезке
;ll
совпадает с функцией
;ll
, то строят функцию
()fx
остальной части числовой оси является её периодическим продолжением.
2.
Если функция
()fx
задана на отрезке
;2aa l
, то строят
, а на
()fx
с
периодом
, которая на отрезке
2Tl
;2aa l
совпадает с функцией
()fx
, а на
остальной части числовой оси является её периодическим продолжением.
Коэффициенты Фурье будут находиться по формулам (9.32 - 9.35), только
пределами интегрирования являются
aи
157
.
2al
3. Если функция
f
f
f
x
5
f
x
()fx
задана на отрезке
0;l
, то для разложения в ряд
Фурье достаточно её доопределить на отрезке
Затем разложить в ряд Фурье, считая её заданной на отрезке
;0l
произвольным способом.
;ll
. Наиболее
целесообразно функцию доопределить так, чтобы её значения в точках отрезка
;0l
находились из условия
функция
()fx
на отрезке
() ()
xfx
;ll
будет чётной, а во втором – нечётной.
или
() ()
xfx
. В первом случае
Коэффициенты Фурье будут находиться по формулам (9.36 - 9.40).
Решение типовых примеров
.
()fx
с
9.121 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
;
периодом
, заданную на отрезке
2
уравнением
()
xx
Решение
y
2
На рисунке 1 изображён график
()
функции
Функция
xx
()fx
удовлетворяет
.
условиям теоремы Дирихле:
периодическая, монотонна и
непрерывна на отрезке
3
2
0
2
3 4
Определяем коэффициенты ряда
Рисунок 1
11()14
axdx
0
() 2
22
Фурье
22
x
();
uxdudx
1
axnxdx
n
11 11 11
()cos
()sin sin cos 0,
xnx nxdx nx
nnn
1
cos ; sin
dv nxdx v nx
n
2
();
u x du dx
1
bxnxdx
n
()sin
11 11 1 2
()cos cos 2cos cos,
nnnn
nx nxdx n n
1
sin ; cos
dv nxdx v nx
n
;
.
,
158
2
f
H
A
то есть
b
n
nk
,2,
n
2
nk
,21.
n
Следовательно,
sin 2 sin 3 sin 4
() 2sin ...
fx x
2sin.
xxx
234
1
n
(1)
n
nx
n
1
9.122 Синусоидальное напряжение с частотой
400
Гц и
действующим значением
1
В питает приёмник
115U
=10 Ом через
r
однополупериодный выпрямитель (рисунок 2). Силовой трансформатор
имеет коэффициент трансформации
. Кривая тока, протекающего
1n
через сопротивление нагрузки, изображена на рисунке 3.
Разложить кривую тока
в тригонометрический ряд.
i
2
i
i
2
U
1
U
2
r
H
2
Рисунок 2 Рисунок 3
Решение
1. Определяем коэффициенты ряда Фурье с помощью формул Фурье:
22
11
0
2
Ftdt B Ft ktdt
00
CFtktdt
k
,sin;
2
1
0
k
cos
.
t
Перенесём начало координат вправо на угол
(рисунок 4).
2
В этом случае получаем кривую выпрямленного тока, симметричную
относительно оси ординат, и поэтому в ряде Фурье будут отсутствовать члены
с синусами.
159
i
I
I
I
I
2
0
2
2
3
t
2
2
Рисунок 4
Определяем
2
11
0
2
3
2
22
00
cos 2 cos sin .
Itdt Itdt t
mm
IA
00
cos cos 0 0
I tdt I tdt dt dt
mm
Таким образом,
:
22
2
1
2
0
m
I
0
,
2
II
mm
3
2
0
где
UU
m
m
rr
HH
2 2 115
15,2
0
Выведем формулу для определения амплитуд гармонических
составляющих выпрямленного тока:
2
IC I tktdt
mk k m
1
0
Аналогично предыдущему случаю, разбиваем этот интеграл на четыре
интеграла. В результате получаем
2
CI I t ktdt
kmk m
2
0
но
15,2 ,
10
5,15 .
A
cos cos .
cos cos ,
160
A
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]