Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
10.87
y
y
y
y
x
z
x
x
z
x
x
x
x
10.88
10.89
10.90
10.91
10.92
10.93
222 22
28 2d z y dx xydxdy x dy
2222
2
dz
2
dz
2
dz
22 2
22 2
cos 2 8 cos 2dz x
4sin 2 16 cos 2
2.
22
22 22
22
y dx xydxdy x dy
yyxydy .
22 22
y dx xydxdy x dy
y x dx xydxdy x y dy
22 22
222 222
dx
xy
xy
3
4
22
xy
3
sin sin 2cos cos sin sin .d z x y dx x y dxdy x ydy
24 2.dz ydx x ydxdy xdy
x
.
2
.
dxd
10.94
10.96
10.98
10.99
10.100
10.101
10.102
10.103
22
3sin .dz ydy
26 321
zxy x yz
dz dx dy
26 40
2222
32 32
yz
10.95
xyz zxyz
;
dz dx dy
22
114
xyz
yz xz
22
zxy zxy
26 1
113
22 1;
yz
220;
x
22310;
298150;
yz
210;
yz
yz
xyz
22 1
1
yz
.
201
xyz
223
xyz
112
22 3
442
xyz
232
298
.
.
.
.
.
1
.
.
191
Глава 11 Интегральное исчисление функции нескольких переменных
x
L
P
f
11.1 Двойной интеграл
На плоскости ХОУ рассмотрим некоторую замкнутую область
ограниченную замкнутой линией L. Пусть в
задана функция
определенная, непрерывная и ограниченная в области
y
P
i
0
(рисунок 11.1).
i
,
,zfxy
,
Рисунок 11.1
Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой L,
область будет называться незамкнутой областью
С геометрической точки зрения
- площадь фигуры, ограниченной
контуром L.
1. Разобьем область
на n частичных площадок
n
1
i
.
i
2. В каждой площадке возьмем произвольную точку
Pfxy
iii
,
и найдем
,
fxy
ii i
.
3. Составим сумму всех таких произведений
n
,
fxy
i
1
ii i
Полученная сумма называется интегральной суммой, составленной
.
, так чтобы
i
,
xy
iii
, вычислим
.
для функции
,zfxy
.
192
Определение Если при стремлении к нулю шага разбиения области
f
f
xy
f
f
f
x
f
f
интегральные суммы
n
,
fxy
i
1
ii i
имеют конечный предел, то этот предел
называется
двойным интегралом от функции
обозначается
(, )
xyd
.
,zfxy
по области и
Таким образом, по определению:
in
lim ( , ) ( , )
max 0
n
Область называется областью интегрирования,
подынтегральной функцией,
i
i
xy fxyd
ii i
1
,fxy
- подынтегральным выражением,
.
,fxy
-
-
d
элементом площади.
Если область интегрирования
разбита на элементарные площадки
прямыми параллельными осям координат, то
=
i
(площадь
ii
i
прямоугольника), тогда
(, )
xyd
=
(, )
xydxdy
.
Геометрический смысл двойного интеграла:
объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от аппликаты
,0zfxy
V=
, взятому по области .
in
lim ( , ) ( , )
max 0
i
xy fxyd
i
1
ii i
.
Физический смысл двойного интеграла:
масса неоднородной тонкой пластины численно равна двойному интегралу
in
lim ( , ) ( , )
m=
max 0
i
i
1
yxyd
ii i
.
Условия существования двойного интеграла:
Теорема
двойной интеграл
Если функция z= f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то
(, )
xyd
существует.
Свойства двойного интеграла
1)
(,) (,) (,) (,) (,) (,) ;
x y f x y f x y dydx f x y dydx f x y dydx f x y dydx
123 1 2 3
193
f
f
f
x
x
x
2)
(, ) (, )kf x y dydx k f x y dydx
;
3) Если
=
+
1
, то
2
xydxdy f xydxdy f xydxdy
12
;
(, ) (, ) (, )
4)
Теорема о среднем Двойной интеграл от функции f(x,y) равен
произведению значения этой функции в некоторой точке области
интегрирования на площадь области интегрирования;
5) Если f(x, y) 0 в области
6) Если f
7)
(x, y) f2(x, y), то
1
(, ) (, )
xydydx f xy dydx
(, ) ( , )fxyd fx y
, то
(, ) (, )
xyd f xyd
12
.
(, ) 0fxyd
00
.
;
;
11.2 Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
Область интегрирования называется правильной в направлении оси
Ох(оси Оу), если любая прямая, параллельная оси Ох(оси Оу), пересекает
границу L области
не более двух раз (рисунок 11.2,а). Область считается
также правильной, если часть её границы или вся граница L состоит из отрезков
прямых, параллельных осям координат (рисунок 11.2,б).
Рассмотрим методы вычисления двойного интеграла по областям,
правильным в направлении координатных осей; так как практически любую
область можно представить в виде объединения правильных областей (рисунок
11.2,в), то согласно свойству
3 двойных интегралов, эти методы пригодны для
их вычисления по любым областям.
а
y
0
б
y
0
в
y
1
4
2
3
0
194
(, )
f
x
x
A
x
B
f
f
x
x
f
Пусть требуется вычислить
Предположим, что область интегрирования
непрерывными кривыми y =
прямыми х=а, х=b (а
b) (рисунок 11.3).
xyd
(x), y =
1
.
(x) , и
2
ограничена двумя
Проведем через точку (х,0) оси Ох прямую, параллельную оси Оу. Эта
прямая встречает кривые, ограничивающие область
(назовем точкой входа и обозначим ординату
C
1
yx
1
, и двумя
2
соответственно в точках
)
(назовем точкой
1âõ
C
2
выхода и обозначим ординату
y
C
C
0
a
yx
2
1
yx
yx
).
2âû õ
2
1
L
b
(, )
Для того чтобы вычислить двойной интеграл
x
2
вычислить определенный интеграл
1
x
,
xydy
считая
xyd
нужно сначала
const
(или, как
говорят, внутренний интеграл) нижней границей интегрирования служит
ордината точки входа
yx
соответствующие данному фиксированному значению x.
2âû õ
yx
, а верхней границей - ордината точки выхода
1âõ
Результат вычисления этого интеграла является только функцией от
Интегрируя теперь эту функцию в границах от
aдо
получим значение
b
двойного интеграла.
() ()
xx
bb
22
(, ) (, ) (, )
x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy
ax a x
() ()
11
. (11.1)
.
195
Если область ограничена двумя кривыми
x
x
f
d
x
xy
L
y
y
и
1
y
2
yy
(
12
) и двумя прямыми
yc
можно доказать, что
(, ) (, )
x y dxdy dy f x y dx
Здесь при внутреннем интегрировании
есть функция от
.
до
d
, которую затем следует проинтегрировать в пределах от c
y
y
y
1
yd
и
d
cy
yconst
D
(
()
2
) (рисунок 11.4), то
cd
y
. (11.2)
()
1
, а результат интегрирования
2
с
C
0
В формулах (11.1)
постоянны.
Интегралы, стоящие в правых частях (11.1) и (11.2), называются
повторными или двукратными интегралами.
Из равенств (11.1)
Переход от левой части равенства (11.3) к правой его части и обратно
называется
изменением порядка интегрирования в повторном интеграле.
11.1
Вычислить двойной интеграл
и (11.2) границы внешних интегралов всегда
и (11.2) следует, что
()
x
b
2
()
1
(, )
dx f x y dy
ax
=
d
dy f x y dx
cy
Решение типовых примеров
24
dx x y dy
0
Решение
x
()
y
2
(, )
()
1
2
2
x
. (11.3)
.
196
24 2 2
x
2
x
dx x y dy x y dx x x x dx
00 0
22 222
2
x
22
24 2
48 48 4 8
xx dxx dx x
00
35 3 5 3 5
xx
48 82 80
310 3 103 10
4435
xxxx
22325
2
x
0
4
22
y
222
2
x
42 2 40 0
32 16 160 48 112 240 128
16 16 .
4
4
2
2
x
2
1
0
3 5 15 15 15
11.2
Изменить порядок интегрирования в интеграле
2
2
dx f x y dy
0
2
1
x
x
,.
Решение
Прежде всего, найдём область интегрирования, исходя из заданных
пределов интеграла. Запишем уравнения линий, ограничивающих область
:
,1,0,
yx y x x x
2
2
. Построив эти линии, получим область :
2
y
2
2
1
0
2
1yx
yx
2
2
При изменении порядка интегрирования воспользуемся формулой (11.2).
Область
является правильной относительно оси
состоит из двух участков, уравнения которых
разобьём область
на две части
1
и
, проведя прямую, параллельную оси
2
0y
, но её правая граница
2
,1yx y x
. Поэтому
и проходящую через точку
0
22
,
22
, в которой стыкуются указанные
участки правой границы. Тем самым интеграл по области
сумму двух интегралов и, следовательно,
197
разобьётся на
22
x
y
x
A
2
y
x
x
x
x
x
x
x
xy
J
z
22
dx f x y dy dy f x y dx dx f x y dx
0000
2
11
x
,, ,.
x
11.3
Изменить порядок интегрирования
122
xx
J dx f x y dy dx f x y dy
00 1 0
Построим область интегрирования, так как интеграл представляется
суммой интегралов, то и область
01
где
:
1
yyx
x
0
2
1y
1
2
2yx
1
2
2
1
y
y
2
2
22
,,.
Решение
:
2
12
xx
yy x
,
12
02
2
При перемене порядка интегрирования
внутренние интегралы будут вычисляться
по переменной
, поэтому уравнения
линий, ограничивающих каждую из
областей
и
1
, должны быть решены
2
относительно этой переменной.
Проведя линию, параллельную оси
замечаем, что область
простой относительно оси
входа принадлежат линии
12
0y
yx
является
. Все точки
2
, а точки
0
0y
0
1
2
уравнения относительно переменной
выхода – линии
получим
(
y
не принимается, так как линия находится в I четверти, а в ней
2
2
(I четверть).
В области
переменная
изменяется от
y
2
2
y
1
dy f x y dx
0
y
,.
0y
до
2
2yx
. Разрешая эти
во внимание
y
1y
, тогда
0
xy
11.4
Вычислить двойной интеграл от функции
по области,
представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0).
) и
198
Решение
x
x
x
z
x
x
x
x
y
1
0
1
11.5 Найти двойной интеграл от функции
прямоугольной области
Найдём двойной интеграл
Возьмём повторный интеграл сначала по переменной
Здесь
0, 1, 0, 1 .abyx yxx
12
Тогда
1
x
11 1
x
ydxdy dx x ydy xy dx
11
xx dx xdx x
11
00
00 0
2
1
x
11
22 23
2
2
y
2
0
11
3
xy
27
11,4 4.
:
y
Решение
11
3.
27
ydxdy
, затем по
y
1
3
0
по
переменной
14 1 1
dx x y dy y xy y dx x dx
14 0 0
:
11 1 1 1
3223 4132
27 2 14 7
Получим аналогичный результат, интегрируя сначала по переменной x,
а затем по переменной
41 4 4
dy x y dx x x xy dy y dy
41 0 0
11 1 1 31
343 42
27 4 7 47
11.6
Вычислить двойной интеграл
ограниченной линиями
14
413 48 .
:
y
42 48 .
xx
77
31 4
yy
414 7
1
2
0
2
,.yx yx
2
4
2
0
1
0
4
2
0
2
5
xy dxdy
по области ,
Решение
Область
изображена на рисунке. Линии
,yx yx
2
пересекаются в
точках (0, 0) и (1, 1).
199
x
Интегрируя сначала по переменной y, затем по переменной x,
f
f
f
f
f
f
получаем
Правильность результата можно проверить, изменив порядок
интегрирования:
x xy dxdy dy x xy dx dy x x y
Определить, по какой переменной взят интеграл, изобразить
y
yx
2
yx
11
222
x xy dxdy dx x xy dy dx x y x
555
1
75 71531
34 5 4 5 6
2232
1
0
xx xdx x x x
2 2 8 5 12 120
0
55
35
1 5 17 2 5 17 31
22
yy ydy yy y
23 3 4
3 2 6 15 6 24 120
x
2
00
x
y
11
00
y
1
0
15
32
1
0
x
2
y
2
2
x
.
y
y
.
область интегрирования:
3
2
x
(, )
11.7
11.9
11.11
1
24
2
3
3
00
x y dxdy
x
2
x
2
4
x
y
(, ) .
x y dxdy
(, ) .
x y dxdy
.
11.8
11.10
11.12
200
2
4
y
2
02
y
1
x
(, ) .
2
0
x
2
y
1
00
(, )
x y dxdy
x y dxdy
(, ) .
x y dxdy
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]