Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
8.41
x
x
x
x
x
8.44
32
45 25.ppFppp
2
2
p
Yp
.
8.42
8.47
p
32
yt t t
22 1.pp p Ypp
1
sin .
2
8.48
8.50
8.54
8.58
8.62
1cos.yt t
32 1
tett
55 2
tee
yt e e
18
33
1
tee
t
cos 2 sin 2 .
28
tt
2,
33
tt
2.
2
tt
3
3
.
3
R
t
RR
kkL
it t e
L
2
1.
8.49
8.51
8.55
8.59
t
yt e t
ytteee
1.
172
tt t
2
.
399
te t t
yt e t t
t
cos 2sin ,
t
3sin cos .
1
sin cos 3 sin 3 .
tt t t
3
8.63
R
t
EE
it e t t
LL
mm
22
RR
22
LL
L
222
cos sin .
121
f
f
g
t
x
t
x
tx
t
x
x
x
x
F
x
x
F
Итоговый тест МА-2
() ()
1 Пусть f(x) и g(x) – непрерывные функции и
что f(x)=g(x), является:
1: верным; 2: неверным; 3: не имеет смысла.
2 Первообразной для функции
1:
3
20
cx
; 2:
20x
3
; 3:
() 5
xx
4
является функция:
5
cx
; 4:
x
xdx gxdx
5
.
. Утверждение,
3 По свойству неопределенного интеграла ,
()dfxdx
:
1: F(x)+c; 2: f(x)dx; 3. f(x)+c.
()
4. Рациональная дробь
Px
называется правильной если:
()
Qx
1: P(x)>Q(x); 2: P(x)=Q(x); 3: Степень P(x) выше Q(x);
4: Степень P(x) ниже Q(x).
4
5 Одна из первообразных для функции
2
имеет вид :
)53(cos
x
1:
4
xtg
)53(
; 2:
)53(xt
; 3:
5
4
xctg
)53(
; 4:
5
5
4
)2(
6 Подстановка, которая сводит интеграл
3
dxх
к интегралу от
)1(
xx
рациональной функции имеет вид:
1:
6
; 2:
2
; 3:
5
; 4:
8
.
.
)5(
xctg
7Для нахождения
dxxxln
применяется метод интегрирования:
1: по частям; 2: замена переменной; 3: подведение под знак
дифференциала; 4: метод непосредственного интегрирования.
x
8 Для нахождения
2
dx
применяется метод интегрирования
113
1: по частям; 2: замена переменной; 3: непосредственное
интегрирование; 4: выделение полного квадрата в знаменателе.
9 Если
1
; 2:
1:
3
)(
первообразная для функции
1
; 3: 0 ; 4: 1.
3
122
3cos)1(
, то
)0(
равна
xdxx
t
x
t
x
t
x
tx
x
x
x
x
x
4
(1 )
10 Подстановка, которая сводит интеграл
к интегралу от
x
рациональной функции имеет вид
4
1:
; 2:
11 Значение интеграла
1
1:
; 2:
5
12 Площадь фигуры ограниченной линиями
2
; 3:
0
1
1
; 3: 1; 4:
2
5
; 4:
4
1 dxх равно
5
.
y sin1
y
,
равна
; 2: 4; 3: 4,5; 4: 3.
1: 2
13 Площадь фигуры ограниченной линиями
y cos
y
,
1
.
4
0
,
,
0
2
3
0
,
2
x
равна
2
1: 4; 2: 2
; 3: ; 4: 4,5.
14 Значение интеграла
2
1:
; 2:
3
01
1dxx равно
2
; 3:
5
1
; 4: 1.
2
15 Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,
ограниченной кривой
8
1:
; 2:
3
16 Значение интеграла
4
3
6
cos dx
x
4
и прямой
2 yx
y
; 3:
принадлежит промежутку
22
, равен
; 4: 2.
3
1: [1,4; 1,75]; 2: [0,35; 0,7]; 3: [0,7; 1,05]; 4:[1,05; 1,4].
17 Площадь фигуры ограниченной графиками функций
2
2 xy
и
2
2
xy
равна
1
1:
; 2:
3
1
; 3:
6
1
; 4:
2
2
.
3
18 Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
cos8
,
, равна
43
1:
14
; 2: 3; 3:
3
123
8
; 4:
3
11
.
3
t
x
t
x
x
x
x
x
x
19 Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ отрезка
прямой
y
,
23
14
от х = 2 до х = 8, равна
1: 100
; 2: 50; 3: 60; 4: 80.
20 60. Значение интеграла
2
ln
1
x
2
e
dx
равно
x
1: 4 – 2е; 2: 2 – е; 3: 3 – е; 4: 5 – 3е.
21
Дополнить формулировку:
Порядком дифференциального уравнения называют ...
встречающейся в уравнении.
1: наименьший порядок производной; 2: наивысший порядок производной;
3: наибольшую степень производной; 4: наибольшую степень функции.
22
Дополнить формулировку:
Функция, при постановке которой в уравнении последнее обращается в
тождество называется ... уравнения.
1: значением; 2: порядком; 3: решением; 4: степенью.
23 Определить вид дифференциального уравнения
22
0yx y x y
1: линейное; 2: с разделяющимися переменными;
3: уравнение Бернулли; 4: однородное уравнение.
(2) 0ydy x y dx
24 Определить вид дифференциального уравнения
1: линейное; 2: с разделяющимися переменными;
3: уравнение Бернулли; 4: однородное уравнение.
25 Общий интеграл дифференциального уравнения
2yxc
1:
22
; 2:
22
3yxc
; 3:
22
yxc
yy x
2
3
равен
; 4:
2
3yxc
26 Частное решение дифференциального уравнения
(1 )
ey ye
x
при у(0)=1 имеет вид ...
1:
1
e ; 2:
1
1
; 3:
e
2
21
e
; 4:
1
1
e
2
27 Дополнить формулировку:
.
.
124
Дифференциальное уравнение п-го порядка называется …, если оно
x
первой степени относительно искомой функции «у» и её производных
n
yyy ,...,,
, т.е.
nn
1
10
...
n
xfyayaya
1: однородным; 2: уравнением с постоянными коэффициентами;
3: линейным; 4: характеристическим.
28 Дополнить формулировку
Уравнение
nn
1
10
n
, где
0...
yayaya
aaa ,...,
постоянные
n
10
действительные числа, называется линейным … дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами.
1: неоднородным; 2: характеристическим;
3: определение закончено; 4: однородным.
29 Если одним из частных решений дифференциального уравнения
y"-9y=-18x+9 является функция y=2x-1, то общее решение данного
уравнения имеет вид ...
33
1:
3:
12
33
хх
Се С е х
12
хх
Се С е х
21
21
; 2:
; 4:
33
хх
Се Се х
12
33
хх
Се Се х
12
18 9
18 9
;
.
30 Если одним из частных решений дифференциального уравнения
y"-4y=-12x+8 является функция y=3x-2, то общее решение данного
уравнения имеет вид ...
22
хх
Се С е х
1:
Се С е х
3:
12
22
хх
12
32
12 8
; 2:
; 4:
22
хх
Се С е х
12
22
хх
Се С е х
12
12 8
32
;
.
31 Если одним из частных решений дифференциального уравнения
y"+ y′=4 является функция y=x, то общее решение данного
уравнения имеет вид ...
ССе х
1:
3:
12
ССе х
12
4
; 2:
4
х
; 4:
ССе х
12
ССе х
12
4
х
;
4
х
.
4
х
32 Дифференциальное уравнение у″-3 у′+13у=0 имеет решение
2
x
ye C xC x
1:
3:
3
ye C xC x
x
cos3 sin 3
12
cos 2 sin 2
12
; 2:
; 4:
2
x
ye C xC x
yCe Ce
cos3 sin 3
12
23
12
x
.
;
125
х
А
х
х
А
х
33
Частное решение дифференциального уравнения у″+2 у′-3у=хех следует
искать в виде
1:
3:
y
y
част
част
хВе
.
хе
.
; 4:
; 2:
y Ах Вх е
част
.
y Ах Вх С е
част
.
2
2
;
.
34 Каким методом необходимо проинтегрировать данное уравнение
F(x,y′,y″)=0
1: применить подстановку
,
xPyxPy
;
2: проинтегрировать последовательно дважды;
3: применить подстановку
,
PyxPy
;
dy
dP
4: проинтегрировать последовательно «п» раз .
35 Каким методом необходимо проинтегрировать данное уравнение
yfx
n
1: проинтегрировать последовательно дважды;
2: применить подстановку
3: применить подстановку
,
,
xPyxPy
;
dP
PyxPy
;
dy
4: проинтегрировать последовательно «п» раз .
36 Если два частных решения
xy
и
1
xy
однородного линейного
2
дифференциального уравнения второго порядка линейно зависимы,
т.е.
xkyxy
, то они
21
1: образуют фундаментальную систему;
2: не образуют фундаментальную систему;
3: образуют общее решение данного уравнения;
4: являются посторонними решениями.
37 Восстановить оригинал по изображению:
1:
)(2)(
eetf
; 2:
32 tt
; 3:
)(2)(
eetf
32 tt
126
10
2
32 tt
eetf
6
pp
; 4:
)(2)(
1
)(
2
32 tt
.
)(
eetf
pF
)(
38 Восстановить оригинал по изображению:
s
p
)(
5
3
ðppF5
1:
; 2:
)5cos1(2)( ttf
.
ttf 5cos1)(
; 3:
tttf 5cos)(
; 4:
ttf 5sin1)(
39 Восстановить оригинал по изображению:
t
42
1.
; 2.
4)(
etttf
t
4
; 3.
ettf
14)(
pF
)(
16
2
)4(
ðp
t
4
; 4.
tetf
4)(
40 Функция комплексного аргумента
pt
1: оригиналом функции
0
dttfepF
, называется
tf
; 2: изображением функции
, определяемая равенством
i
3: определенным интегралом; 4: интегральной .
.
14)(
ttf
tf
;
127
Глава 9 Ряды
9.1 Числовые ряды
Пусть
, , ,..., ,...
uuu u
123
Выражение вида
называется числовым рядом (или просто рядом), а числа
называются членами ряда;
ряда (иногда первый член ряда обозначают
придают п значения 0, 1, 2, ...). Ряд часто записывают
Числовой ряд задан, если известен его общий член u
бесконечная числовая последовательность.
n
uuu u
123
при произвольном п называется общим членом
u
n
... ...
, второй —
u
0
(9.1)
n
и т. д., то есть
u
1
u
.
n
1
n
, или известен
n
,,,...uuu
123
закон, по которому он может быть получен.
Сумму первых п членов числового ряда обозначают через
называют
S
частичной суммой ряда :
; S2= u1+ u2; S3= u1+ u2+ u3; … ; Sn= u1+ u2+…+un . (9.2)
1=u1
и
S
n
Определение Ряд (9.1) называется сходящимся, если п-я частичная
сумма
т.е.
lim
n
при неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу,
S
n
SS
, где S называется суммой ряда (9.1).
n
Если же п-я частичная сумма ряда при
n не стремится к
конечному пределу или вообще не имеет никакого предела, то ряд называется
расходящимся.
Ряд а+аq+aq
2
+…+aq
n-1
+… (9.3)
называется геометрической прогрессией, а - первый член ряда; q – знаменатель
n
.
q
1
прогрессии, сумма ряда
S
n
aaq
При |q|<1 ряд (9.3) сходится, его сумма равна
(9.3) расходится.
111 1
Ряд
1 ... ...
234 n
называется гармоническим рядом, он расходится.
111 1
1 ... ...
Ряд
ppp p
234
128
Sq
и при |q|1 ряд
1
(9.4)
(9.5)
n
a
называется обобщенным гармоническим рядом, при p>1 этот ряд сходится, а
P
1
при
он расходится.
Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд
u
сходится, то его общий член u
n
1
n
то есть
Если общий челн ряда u
не стремится к 0 при
n
lim 0
u
n
n
. (9.6)
стремится к 0 при n ,
n
, то ряд расходится.
n
Достаточные признаки сходимости рядов
1. Признаки сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами
=
u
uu u
12
vv v
12
... ...
n
... ...
n
=
n
n
1
v
n
1
(*)
n
. (**)
1) Если члены ряда (*) не превосходят соответствующих членов ряда
(**), т. е.
uv
nn
и ряд (**) сходится, то сходится и ряд (*).
2) Если члены ряда (*) не меньше соответствующих членов ряда (**),
т.е.
uv
nn
и ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).
Этот признак остаётся в силе, если неравенства
uv uv
nn nn
номера
()
nN
выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого
.
2. Предельный признак сравнения
Пусть даны два знакоположительных ряда
существует конечный, отличный от нуля, предел
ряда
n
u
1
и
n
n
v
сходятся и расходятся одновременно.
n
1
u
и
n
1
n
u
n
lim (0 )
n
AA
v
n
v
. Если
n
1
n
, то оба
3. Признак Даламбера
lim
n
Если для знакоположительного ряда
u
1
n
l
u
n
Если
, то если
, то ряд может сходиться, а может и расходиться. В этом
1l
ряд сходится, если же
1l
uu u
12
1l
... ...
, то ряд расходится.
существует
n
случае признак Даламбера ответа не дает, приходится исследовать на
сходимость ряд с помощью других признаков.
4. Признак Коши (Радикальный признак)
n
lim
n
Если
Если для знакоположительного ряда
ul
, то если
n
, то радикальный признак ответа не дает.
1l
, то ряд сходится, если
1l
uu u
12
1l
... ...
, то ряд расходится.
существует
n
129
5. Признак Коши. (Интегральный признак).
f
f
A
A
A
Пусть члены знакоположительного ряда
123
1; )
функция, что
Тогда, если несобственный интеграл
...uu u
и
()fx
такая непрерывная невозрастающая на промежутке
(1)
,
u
(2)fu
1
,…,
2
()
nu
()fxdx
1
сходится, а если он расходится, то и ряд расходится.
Решение типовых примеров
21
9.1
Дан общий член ряда
u
n
n
. Написать первые четыре члена
n
3
ряда.
Решение
1
Если
, то
1n
u
1
; если
3
2n
, то
u
2
7
u
если
4n
, то
4
;…. Ряд можно записать в виде
81
... ...
,…
n
uu u
12
сходится, то и ряд
3
; если
9
3n
, то
u
3
13 5 7
3 9 27 81
n
5
;
27
...
.
9.2 Найти общий член ряда
Числители образуют геометрическую прогрессию
член этой прогрессии
прогрессию
aadn
1
n
член этого ряда
2, 4, 6,8,...
(1)
, где
un
n
; n-й член этой прогрессии находим по формуле
1
n
4
.
2
9.3 Найти сумму ряда
Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:
4 16 64 256
24 6 8
Решение
b
n
2, 2ad
. Знаменатели образуют арифметическую
, поэтому
n
1
1
2
56
nn
.
n
4
Решение
11
u
n
2
nn n n
56(2)(3)
….
. Следовательно, общий
2
an
n
234
4,4,4,4,...
; n-й
1
(2)(3) 2 3
nn n n
B
Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придём к
тождеству
1(3)(2)
Полагая
, находим 1 = А; значит 1
2n
, находим 1 = - В; значит 1B
3n
nBn
130
.
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]